Représentation des informations

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Représentation des informations

A. MARTIN

Stanislas - PCSI1

Février 2015

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PLAN

1 Numération

Bases de numération Changement de base Opérations arithmétiques Choix de la base 2

2 Eléments d’architecture logique Le transistor

Eléments de combinatoire Mémoriser : circuits séquentiels

3 Représentation des nombres entiers Entiers naturels

Entiers relatifs Notion de type

Dépassement de capacité

4 Nombres à virgule (flottante)

Arithmétique flottante (IEEE 754) Dépassement de capacité

Précision et arrondis

5 Représentation d’autres informations : caractères, sons, images Caractères

Son, images

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Introduction -

Quelles informations en machine ? Comment ?

Calculer⇒ représenter des nombres entiers naturels

entiers relatifs

réels à virgule et nombre fini de décimales (décimaux) ⇔ sous-ensemble de Q

Mémoire de taille finie⇒ pas de nombres irrationnels ou rationnels non décimaux.

Autres tâches - autres informations

textes⇒ caractères sons

images

Codage(s) : une information ⇔ un nombre

L’ordinateurs étant au départ conçu pour manipuler des nombres, on cherchera à tout représenter par des nombres

⇒ nécessité d’un (ou plusieurs) codage(s).

Support pour enregistrer les nombres en mémoire : circuits électroniques

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(4)

Introduction -

entiers relatifs

images

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(5)

Introduction -

entiers relatifs

images

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(6)

Introduction -

entiers relatifs

images

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(7)

Introduction -

entiers relatifs

images

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Numération

1 Numération

Bases de numération Changement de base Opérations arithmétiques Choix de la base 2

2 Eléments d’architecture logique

3 Représentation des nombres entiers

5 Représentation d’autres informations : caractères, sons, images

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Numération Bases de numération

Bases de numération -

Définitions Définition : BaseB (B est un naturel)

X =a_nBⁿ+a_n−1Bⁿ⁻¹+· · ·+a₀B⁰+a₋₁B⁻¹+a_−mB^−m =

n

X

i=−m

a_iBⁱ

Représentation : X = (a_na_n−1. . .a₀,a₋₁. . .a_−m)_B Partie entière de X : (anan−1. . .a0)_B

Partie décimale deX : (a−1. . .a−m)_B

Bases courantes

Base Système chiffres nombres

10 décimal (arabes)a_i ∈ {0,1, . . . ,9} 123,45

2 binaire (bits)a_i ∈ {0,1} −101,00112

16 hexadécimal a_i ∈ {0,1,2, . . .9,A,B,C,D,E,F} 5A5,FC2

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Numération Bases de numération

Bases de numération -

Définitions Définition : BaseB (B est un naturel)

X =a_nBⁿ+a_n−1Bⁿ⁻¹+· · ·+a₀B⁰+a₋₁B⁻¹+a_−mB^−m =

n

X

i=−m

a_iBⁱ

Représentation : X = (a_na_n−1. . .a₀,a₋₁. . .a_−m)_B Partie entière de X : (anan−1. . .a0)_B

Partie décimale deX : (a−1. . .a−m)_B Bases courantes

Base Système chiffres nombres

10 décimal (arabes)a_i ∈ {0,1, . . . ,9} 123,45

2 binaire (bits)a_i ∈ {0,1} −101,00112

16 hexadécimal a_i ∈ {0,1,2, . . .9,A,B,C,D,E,F} 5A5,FC2

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Numération Changement de base

De la base B à la base 10

Représenter en base 10 un nombre en baseB transcrire les chiffres en base 10

si binaire : 0→0, 1→1;

si hexadécimal :

0→0, . . . ,A→10,B→11, . . .;

appliquer la définition de la décomposition, calculer en décimal.

Exemple

101,00112 = 1×2²+0×2¹+1×2⁰+. . .

0×2⁻¹+0×2⁻²+1×2⁻³+1×2⁻⁴

= 5,187510

à compléter...

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De la base B à la base 10

si hexadécimal :

0→0, . . . ,A→10,B→11, . . .;

Exemple

101,00112 = 1×2²+0×2¹+1×2⁰+. . .

0×2⁻¹+0×2⁻²+1×2⁻³+1×2⁻⁴

= 5,187510

à compléter...

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De la base B à la base 10

si hexadécimal :

0→0, . . . ,A→10,B→11, . . .;

Exemple

101,00112 = 1×2²+0×2¹+1×2⁰+. . .

0×2⁻¹+0×2⁻²+1×2⁻³+1×2⁻⁴

= 5,187510

à compléter...

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De la base 10 à la base B -

Détermination de la partie entière

Méthode

Effectuer des divisions euclidiennes successives dans les entiers;

Ecrire de gauche à droite la suite des restes du dernier au premier.

Exemple : écriture de 145₁₀ en base 10, 2, ou 16.

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De la base 10 à la base B -

Méthode

en base 10...

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(16)

De la base 10 à la base B -

Méthode

en base 10...

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(17)

De la base 10 à la base B -

Méthode

en base 10... Résultat :

145₁₀ = 10010001₂

= 91₁₆

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De la base 10 à la base B -

Méthode

en base 10... Résultat :

145₁₀ = 10010001₂

= 91₁₆

Remarque : passage facile en héxadécimal en groupant les bits par quartet de droite à gauche (car 2⁴ =16) : (1001

| {z }

916

0001

| {z }

116

)2

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De la base 10 à la base B -

Détermination de la partie décimale

Méthode 1

Multiplier successivement par B puis relever et retrancher la partie entière.

Exemple : passage de 0,145 en base 2 puis base 16.

Attention : peut conduire à une infinité de chiffres ds la nvelle base !

Méthode 2

Imposer le nombre de Chiffre Significatif (CS) msouhaité puis multiplier la partie décimale parB^m, puis coder sa partie entière.

Exemple : 8 CS en base 2, ou 2 CS en base 16 (même précision). 0,145×2⁸ =37,12 puis 37₁₀=00100101₂ donc 0,145≈0,00100101₂ 0,145×16² =37,12 puis 37₁₀=25₁₆donc 0,145≈0,25₁₆

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De la base 10 à la base B -

Méthode 1

Méthode 2

Exemple : 8 CS en base 2, ou 2 CS en base 16 (même précision). 0,145×2⁸ =37,12 puis 37₁₀=00100101₂ donc 0,145≈0,00100101₂ 0,145×16² =37,12 puis 37₁₀=25₁₆donc 0,145≈0,25₁₆

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De la base 10 à la base B -

Méthode 1

Méthode 2

Exemple : 8 CS en base 2, ou 2 CS en base 16 (même précision).

0,145×2⁸ =37,12 puis 37₁₀=00100101₂ donc 0,145≈0,00100101₂ 0,145×16² =37,12 puis 37₁₀=25₁₆donc 0,145≈0,25₁₆

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Numération Opérations arithmétiques

Opérations arithmétiques -

Exemple en binaire

Opérations +,−,×et /

Mêmes algorithmes / techniques de calcul qu’en base 10.

Penser aux retenues : +1 (additions) ou−1 (soustractions)

Exemple : soienta=1010=10102 et b=710=1112

a+b :

a+b=17₁₀=10001₂

a×b :

a×b =70₁₀=1000110₂

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Opérations arithmétiques -

Exemple en binaire

Penser aux retenues : +1 (additions) ou−1 (soustractions) Exemple : soienta=1010=10102 et b=710=1112

a+b :

a+b=17₁₀=10001₂

a×b :

a×b =70₁₀=1000110₂

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Opérations arithmétiques -

Exemple en binaire

Penser aux retenues : +1 (additions) ou−1 (soustractions) Exemple : soienta=1010=10102 et b=710=1112

a+b :

a+b=17₁₀=10001₂

a×b :

a×b =70₁₀=1000110₂

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Numération Choix de la base 2

Quelle base choisir pour l’ordinateur ?

Base 10 : une base pour les humains plus facile de compter sur ses doigts !

Base 16 : une base pour condenser l’écriture (binaire/4)

Transmettre des "mots" très longs (ex: clés de sécurité, adresses MAC; ...). Base 2 : une base pour les machines

Des perturbations physiques s’ajoutent au signal : fluctuations naturelles dues au bruit, ou perturbations exceptionnelles (choc, ...).

⇒ Erreurs possibles lors du stockage, de la lecture ou de la transmission.

⇒ nécessité d’augmenter la robustesse.

Systèmeanalogique : un infinité d’états⇒ transformation / dégradation inéluctable de l’information⇒ manque de fiabilité. Systèmediscret multi-états⇒ risquefortd’erreur.

Systèmediscret à deux états ⇒risquefaible d’erreur.

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Quelle base choisir pour l’ordinateur ?

Transmettre des "mots" très longs (ex: clés de sécurité, adresses MAC; ...).

Base 2 : une base pour les machines

Systèmeanalogique : un infinité d’états⇒ transformation / dégradation inéluctable de l’information⇒ manque de fiabilité. Systèmediscret multi-états⇒ risquefortd’erreur.

Systèmediscret à deux états ⇒risquefaible d’erreur.

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Quelle base choisir pour l’ordinateur ?

Transmettre des "mots" très longs (ex: clés de sécurité, adresses MAC; ...).

Base 2 : une base pour les machines

Systèmeanalogique : un infinité d’états⇒ transformation / dégradation inéluctable de l’information⇒ manque de fiabilité.

Systèmediscret multi-états⇒ risquefortd’erreur.

Systèmediscret à deux états⇒ risquefaible d’erreur. _{27 / 108}

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La base 2 en machine -

Mots binaires

Mots binaires : des nombres à taille fixe pour le processeur et la mémoire 8 bits = 1 Octet (Byte). 2⁸ =256 possibilités.

Ex: caractère alphanumérique (ISO-8859), palette de couleurs / niveaux de gris.

32 bits⇒ 2³²≈ 4 milliards de possibilités.

Ex: nombres entiers relatifs,...

64 bits⇒ 2⁶⁴≈ 2×10¹⁹ possibilités.

Ex: codage des nombres réels en virgule flottante (norme IEEE 754).

Machines 64 bits : le format d’aujourd’hui et de demain !

Remarque : certains types de données nécessitent une agrégation de ces types simples (ex: tableaux, listes, ensembles, dictionnaires,...).

Bit de poids fort ou faible (MSB: Most Significant Bit, LSB: Least...) ( 1

|{z}

2⁷:fort

0 1 0 0 0 1 1

|{z}

2⁰:faible

)2

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La base 2 en machine -

Mots binaires

|{z}

2⁷:fort

0 1 0 0 0 1 1

|{z}

2⁰:faible

)2

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La base 2 en machine -

Mots binaires

|{z}

2⁷:fort

0 1 0 0 0 1 1

|{z}

2⁰:faible

)2

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La base 2 en machine

Multiples- en octets (Bytes, B) plutôt qu’en bits (b): 1 B=8 b

Nom Notation Valeur kibibit Kibit 2¹⁰=1024 b kilobit kbit 10³ =1000 b

mebioctet MiB 2²⁰=1024²=1 048 576 B megaoctet MB 10⁶ =1 000 000 B

gebioctet GiB 2³⁰=1024³=1 073 741 824 B gigaoctet GB 10⁹ =1 000 000 000 B

tebioctet TiB 2⁴⁰=1024³=1 099 511 627 776 B teraoctet TB 10¹²=1 000 000 000 000 B

1 bit est un booléen : (0,1)↔(Vrai,Faux)

La manipulation des nombres en binaire s’exprime via l’algèbre de Boole.

⇒ le microprocesseur est un assemblage de PORTES LOGIQUES.

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La base 2 en machine

Multiples- en octets (Bytes, B) plutôt qu’en bits (b): 1 B=8 b

Nom Notation Valeur kibibit Kibit 2¹⁰=1024 b kilobit kbit 10³ =1000 b

mebioctet MiB 2²⁰=1024²=1 048 576 B megaoctet MB 10⁶ =1 000 000 B

gebioctet GiB 2³⁰=1024³=1 073 741 824 B gigaoctet GB 10⁹ =1 000 000 000 B

tebioctet TiB 2⁴⁰=1024³=1 099 511 627 776 B teraoctet TB 10¹²=1 000 000 000 000 B

1 bit est un booléen : (0,1)↔(Vrai,Faux)

La manipulation des nombres en binaire s’exprime via l’algèbre de Boole.

⇒ le microprocesseur est un assemblage de PORTES LOGIQUES.

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Eléments d’architecture logique

1 Numération

2 Eléments d’architecture logique Le transistor

Eléments de combinatoire Mémoriser : circuits séquentiels

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Eléments d’architecture logique Le transistor

Le transistor -

la brique de base

Transistor : double jonction de semi-conducteurs dopés N et P

La tension appliquée entre la Grille et laSourcecommande le passage du courant entre leDrain et laSource.

Deux états,passant ou bloqué, selon que la tension est positive ou nulle.

Transitors MOS de type N (gauche) et P (droite)

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Eléments d’architecture logique Le transistor

Le transistor -

la brique de base

Transistor : double jonction de semi-conducteurs dopés N et P

La tension appliquée entre la Grille et laSourcecommande le passage du courant entre leDrain et laSource.

Deux états,passant ou bloqué, selon que la tension est positive ou nulle.

Transitors MOS de type N (gauche) et P (droite)

formation d’un tunnel dans le N-MOS

Etat PASSANT

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Eléments d’architecture logique Eléments de combinatoire

Algèbre de Boole et portes logiques

Théorèmes de Morgan: A.B=A+B etA+B =A.B Transformer les ET en OU et vice-versa.

⇒ Le couple (ET, NON) ou le couple (OU, NON) suffisent donc à exprimer n’importe quelle formule algébrique combinatoire.

Opérateur complet

Opérateur qui permet à lui seul d’exprimer n’importe quelle fonction combinatoire.

Porte logique=Circuit combinatoire

Circuit tel que l’état des sorties ne dépend que de l’état des entrées. Les mêmes entrées conduisent toujours aux mêmes sorties : absence d’état interne.

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Algèbre de Boole et portes logiques

Opérateur complet

Circuit tel que l’état des sorties ne dépend que de l’état des entrées. Les mêmes entrées conduisent toujours aux mêmes sorties : absence d’état interne.

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Algèbre de Boole et portes logiques

Opérateur complet

Circuit tel que l’état des sorties ne dépend que de l’état des entrées.

Les mêmes entrées conduisent toujours aux mêmes sorties : absence d’état interne.

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Portes logiques

Porte NON (NOT) :A

Porte NON-OU(NOR) -A+B : Opérateur complet Permet en effet de former un NOT en reliant ses deux entrées.

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Portes logiques

Porte NON (NOT) :A

Porte NON-OU(NOR) -A+B : Opérateur complet Permet en effet de former un NOT en reliant ses deux entrées.

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Eléments d’architecture logique Mémoriser : circuits séquentiels

Mémoire (vive) -

Des circuits séquentiels

Définition : Circuit séquentiel

Circuit dont les valeurs de ses sortiesne dépendent pas que des valeurs de sesentrées, mais aussi d’unétat internequi dépend de l’historique des valeurs d’entrées précédentes.

état interne = bit d’information

Mémoire vive DYNAMIQUE

état interne : charge d’un condensateur A: ligne de commande, B: ligne de donnée A=0⇒isolement,A=1⇒lecture ou écriture Mémoire vive STATIQUE(portes logiques)

Etat interne = sortie d’une porte logique

Nécessité d’un REBOUCLAGE de certains signaux de sortie vers l’entrée.

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Mémoire (vive) -

Des circuits séquentiels

Définition : Circuit séquentiel

Circuit dont les valeurs de ses sortiesne dépendent pas que des valeurs de sesentrées, mais aussi d’unétat internequi dépend de l’historique des valeurs d’entrées précédentes.

état interne = bit d’information

Mémoire vive DYNAMIQUE

état interne : charge d’un condensateur A: ligne de commande, B: ligne de donnée A=0⇒isolement,A=1⇒lecture ou écriture Mémoire vive STATIQUE(portes logiques)

Etat interne = sortie d’une porte logique

Nécessité d’un REBOUCLAGE de certains signaux de sortie vers l’entrée.

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Mémoire (vive) -

La bascule RS (ou verrou RS)

La cellule mémoire statique la plus simple : La bascule RS (Reset Set) 2 portes NOR tête-bêche

circuitbistable : 2 états stables en sortie (Q,Q¯) = (0,1) ou(1,0) 2 entrées : R (Reset) etS (Set)

Fonctionnement

mode lecture : (R,S) = (0,0) Enregistrer 0 :

R →1→0⇒(Q,Q) = (0,¯ 1) Enregistrer 1 :

S →1→0⇒(Q,Q¯) = (1,0) Etat interne = bit mémorisé (Q ou Q)

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Mémoire (vive) -

La bascule RS (ou verrou RS)

La cellule mémoire statique la plus simple : La bascule RS (Reset Set) 2 portes NOR tête-bêche

circuitbistable : 2 états stables en sortie (Q,Q¯) = (0,1) ou(1,0) 2 entrées : R (Reset) etS (Set)

Fonctionnement

mode lecture : (R,S) = (0,0) Enregistrer 0 :

R →1→0⇒(Q,Q) = (0,¯ 1) Enregistrer 1 :

S →1→0⇒(Q,Q¯) = (1,0) Etat interne = bit mémorisé (Q ou Q)

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Représentation des nombres entiers

1 Numération

3 Représentation des nombres entiers Entiers naturels

Entiers relatifs Notion de type

Dépassement de capacité

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Représentation des nombres entiers Entiers naturels

Entiers naturels

Principe : nombre représenté en base 2 sur N bits Exemple : n=145₁₀

sur un octet (N =8) : 145₁₀=10010001₂ sur N =16 bits : 145₁₀=0000000010010001₂

sur N =4 bits : impossible ! (2⁴=16 possibilités<145+1)

Capacité : 2^N nombres entiersn∈[0;2^N−1] sur N =8 bits : 0 à 255

sur N =16 bits : 0 à 65535 sur N =32 bits : 0 à 4294967295

sur N =64 bits : 0 à 18446744073709551615

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Représentation des nombres entiers Entiers naturels

Entiers naturels

Principe : nombre représenté en base 2 sur N bits Exemple : n=145₁₀

sur un octet (N =8) : 145₁₀=10010001₂ sur N =16 bits : 145₁₀=0000000010010001₂

sur N =4 bits : impossible ! (2⁴=16 possibilités<145+1) Capacité : 2^N nombres entiersn∈[0;2^N−1]

sur N =8 bits : 0 à 255 sur N =16 bits : 0 à 65535 sur N =32 bits : 0 à 4294967295

sur N =64 bits : 0 à 18446744073709551615

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Représentation des nombres entiers Entiers relatifs

Entiers relatifs -

Magnitude signée

Principe (sur N bits)

bit de poids fort pour le signe : 0=positif, 1=négatif N−1 bits pour la valeur absolue ("magnitude") Capacité : n∈[−(2^N−1−1);2^N−1−1]

Exemple : N =8 bits +25₁₀=00011001₂

−25₁₀=10011001₂ n∈[−127;127] Inconvénients

Existence de deux zéros : 00000000₂ =10000000₂

Les opérations de base entre deux nombres ne sont plus élémentaires

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Entiers relatifs -

Magnitude signée

Exemple : N =8 bits +25₁₀=00011001₂

−25₁₀=10011001₂ n∈[−127;127]

Inconvénients

Existence de deux zéros : 00000000₂ =10000000₂

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Entiers relatifs -

Magnitude signée

Exemple : N =8 bits +25₁₀=00011001₂

−25₁₀=10011001₂ n∈[−127;127]

Inconvénients

Existence de deux zéros : 00000000₂=10000000₂

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Entiers relatifs -

Complément à 2

Principe : représenter les nombres négatifs par des nombres positifs...

nombres positifs : n∈[0;2^N−1−1]

nombres négatifs : bijection / translation

−2^N−1;−1 → [2^N−1,2^N −1]

n 7→ n+2^N

Exemples

N =4 bits⇒n ∈[−8;7] N =8 bits⇒n ∈[−128;127] N =16 bits ⇒n∈[−32768;32767] . . .

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Entiers relatifs -

Complément à 2

Principe : représenter les nombres négatifs par des nombres positifs...

nombres positifs : n∈[0;2^N−1−1]

nombres négatifs : bijection / translation

−2^N−1;−1 → [2^N−1,2^N −1]

n 7→ n+2^N

Exemples

N =4 bits⇒n ∈[−8;7]

N =8 bits⇒n ∈[−128;127]

N =16 bits ⇒n ∈[−32768;32767]

. . .

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Entiers relatifs -

Complément à 2

En pratique : 2^N+n= (2^N −1) +n+1

Base 10 à 2 : −25₁₀7→ −25+2⁸=−25+256=231₁₀=11100111₂ En base 2 : un nombre négatif s’obtient en ajoutant 1 au

complément bit à bit^a de sa valeur absolue.

+2510=000110012

−25107→(2⁸−1)10−2510+1=111111112−000110012+1= 111001102+1=111001112

aLecomplément bit à bitest aussi appelécomplément à 1.

Propriétés

Le bit de poids fort indique toujours le signe : 0=positif, 1=négatif. Le complément à 2 d’un entier positif est lui-même (à condition de ne pas tenir compte de la dernière retenue):

+2510+2⁸=000110012+1000000002= (1)000110012=000110012= +2510

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Entiers relatifs -

Complément à 2

En pratique : 2^N+n= (2^N −1) +n+1

Base 10 à 2 : −25₁₀7→ −25+2⁸=−25+256=231₁₀=11100111₂ En base 2 : un nombre négatif s’obtient en ajoutant 1 au

complément bit à bit^a de sa valeur absolue.

+2510=000110012

−25107→(2⁸−1)10−2510+1=111111112−000110012+1= 111001102+1=111001112

aLecomplément bit à bitest aussi appelécomplément à 1.

Propriétés

Le bit de poids fort indique toujours le signe : 0=positif, 1=négatif.

Le complément à 2 d’un entier positif est lui-même (à condition de ne pas tenir compte de la dernière retenue):

+2510+2⁸=000110012+1000000002= (1)000110012=000110012= +2510 54 / 108

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Entiers relatifs -

Complément à 2

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Entiers relatifs -

Complément à 2

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Entiers relatifs -

Complément à 2

Conséquence

On peut incrémenter naturellement/continûment des négatifs aux positifs (respectivement décrémenter des positifs aux négatifs)... à condition de ne pas tenir compte de la dernière retenue (dropping the carry bit).

Une soustraction se calcule comme une addition en prenant la représentation en complément à 2:

n−m=n+ (−m)7→n+ (−m+2^N) = (n−m) +2^N

Exemple

5−3=27→0101₂+1101₂= (1)0010₂ =0010₂ =2

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(58)

Entiers relatifs -

Complément à 2

Conséquence

On peut incrémenter naturellement/continûment des négatifs aux positifs (respectivement décrémenter des positifs aux négatifs)... à condition de ne pas tenir compte de la dernière retenue (dropping the carry bit).

Une soustraction se calcule comme une addition en prenant la représentation en complément à 2:

n−m=n+ (−m)7→n+ (−m+2^N) = (n−m) +2^N Exemple

5−3=27→0101₂+1101₂= (1)0010₂ =0010₂ =2

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(59)

Représentation des nombres entiers Notion de type

Notion de type

L’interprétation d’un mot binaire dépend du codage utilisé Entier positif non signé VS entier négatif signé en complément à 2;

1 entier 32 bits VS 2 entiers 16 bits côte à côte;

1 entier VS un réel, un caractère, un objet complexe (liste, vecteur, tableau, dictionnaire, classe . . . )

Conséquence : nécessité de définir des TYPES de données

une méthode de codage associée (ex : magnitude signée sur 32 bits); un espace mémoire alloué;

Typage dynamique: une spécificité de Python, Scilab, Matlab, . . . L’ordinateur réalise lui-même cette opération de typage «à la volée», lors de l’exécution du code. Le programmeur est déchargé de cette tâche.

plus souple, plus rapide, plus adapté au développement initial; plus coûteux en mémoire (donc en temps de calcul), plus dangereux (détection des erreurs de type difficile).

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(60)

Notion de type

une méthode de codage associée (ex : magnitude signée sur 32 bits);

un espace mémoire alloué;

plus souple, plus rapide, plus adapté au développement initial; plus coûteux en mémoire (donc en temps de calcul), plus dangereux (détection des erreurs de type difficile).

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(61)

Notion de type

une méthode de codage associée (ex : magnitude signée sur 32 bits);

un espace mémoire alloué;

plus souple, plus rapide, plus adapté au développement initial;

plus coûteux en mémoire (donc en temps de calcul), plus dangereux (détection des erreurs de type difficile).

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(62)

Représentation des nombres entiers Dépassement de capacité

Dépassement de capacité (overflow)

Définition : une opération conduit à un nombre non représentable Ex: addition de deux entiers met n signés en complément à 2 surN bits

m+n ≥2^N−1⇒ dépassement positif;

−2^N−1≤m+n<2^N−1 ⇒ résultat correct;

m+n ≤ −2^N−1−1⇒ dépassement négatif;

Remarque : jamais de dépassement dansm+n sim n<0.

Exemple : entiers relatif sur N =4 bits⇒n∈[−8;7] mod 2⁴

7+2=−7 ou −5−4=7 Ladétection est parfois possible - Exemple de l’addition

Deux nombres de même signe conduisent à une somme de signe opposé. . . Spécificité de Python

Adaptation du nombre de bits utilisés en fonction de la taille du nombre : type «à géométrie variable» (totalement transparent depuis Python 3).

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(63)

Dépassement de capacité (overflow)

Exemple : entiers relatif sur N =4 bits ⇒n∈[−8;7] mod 2⁴ 7+2=−7 ou −5−4=7

Ladétection est parfois possible - Exemple de l’addition

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(64)

Dépassement de capacité (overflow)

Exemple : entiers relatif sur N =4 bits ⇒n∈[−8;7] mod 2⁴

Deux nombres de même signe conduisent à une somme de signe opposé. . .

Spécificité de Python

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(65)

Dépassement de capacité (overflow)

Exemple : entiers relatif sur N =4 bits ⇒n∈[−8;7] mod 2⁴

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(66)

Dépassement de capacité -

Exemple à 4 bits

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(67)

Nombres à virgule (flottante)

1 Numération

Arithmétique flottante (IEEE 754) Dépassement de capacité

Précision et arrondis

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(68)

Nombres à virgule (flottante) Arithmétique flottante (IEEE 754)

Représenter les réels ?

Les entiers : une infinité discrète

Représentation exacte possible mais sur un intervalle delongueur finie.

Les réels : une infinité continue

Impossibilité de représentation correcte même d’un petit intervalle :

∀(a,b)∈R²\a6=b,∃c ∈R\a<c <b

⇒ Erreurs d’arrondis, de troncature.

Conséquence

On ne peut représenter qu’un sous ensemble de Q: "nombres à virgule"... de taille limitée, et représentable en binaire !

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(69)

Représenter les réels ?

∀(a,b)∈R²\a6=b,∃c ∈R\a<c <b

Conséquence

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(70)

Représenter les réels ?

∀(a,b)∈R²\a6=b,∃c ∈R\a<c <b

Conséquence

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(71)

Nombres à virgule

Rappel : nombres réels en virgule fixe

110,011₂ = 1×2²+1×2¹+0×2⁰+0×2⁻¹+1×2⁻²+1×2⁻³

= 6,375₁₀

Problème : difficulté pour représenter les nombres très grands (N_A) ou très petits (h).

Nombres réels en virgule flottante - (floats,floating point format) Plus de précision . . .

En base 10 :

309963,400=3,09963400×10⁵ En base 2 :

101010,10₂ = 1,0101010₂×2⁵ 0,00100011₂ = 1,00011₂×2⁻³

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(72)

Nombres à virgule

Rappel : nombres réels en virgule fixe

110,011₂ = 1×2²+1×2¹+0×2⁰+0×2⁻¹+1×2⁻²+1×2⁻³

= 6,375₁₀

Problème : difficulté pour représenter les nombres très grands (N_A) ou très petits (h).

Nombres réels en virgule flottante - (floats,floating point format) Plus de précision . . .

En base 10 :

309963,400=3,09963400×10⁵ En base 2 :

101010,10₂ = 1,0101010₂×2⁵ 0,00100011₂ = 1,00011₂×2⁻³

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(73)

Nombres flottants (IEEE 754)

Soit x ∈R:

x = (−1)^s ×M×2^E un bit de signe s : s =0,1;

unemantisse M : nombre à virgule binaire M ∈[1,2[ detaille fixée.

Toujours 1 avant la virgule⇒non codé :M=1,00101→f =00101.

unexposant E : entier relatif detaille limitée;

Codé surN bitsen biais:

E ∈[−(2^N−1−1),2^N−1]7→e=E+2^N−1−1∈[0,2^N−1]

En fait les extrêmesE =−(2^N−1−1)etE =2^N−1 représentent les situations exceptionnelles : +∞,−∞, NaN, etc.

Double précision 64 bits : (1,11,52) E ∈[−1023,1024] (except. −1023

1024)

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(74)

Nombres flottants (IEEE 754)

Soit x ∈R:

x = (−1)^s ×M×2^E un bit de signe s : s =0,1;

unemantisse M : nombre à virgule binaire M ∈[1,2[ detaille fixée.

Toujours 1 avant la virgule⇒non codé :M=1,00101→f =00101.

unexposant E : entier relatif detaille limitée;

Codé surN bitsen biais:

E ∈[−(2^N−1−1),2^N−1]7→e=E+2^N−1−1∈[0,2^N−1]

En fait les extrêmesE =−(2^N−1−1)etE =2^N−1 représentent les situations exceptionnelles : +∞,−∞, NaN, etc.

Double précision 64 bits : (1,11,52) E ∈[−1023,1024]

(except. −1023 1024)

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(75)

Nombres flottants (IEEE 754) -

Exemple : formattiny

Format tiny sur 5 bits (1,2,2) Nombres positifs représentables :

0 00 00 → 1,00×2⁻¹ = 0,5 0 00 01 → 1,01×2⁻¹ = 0,625 0 00 10 → 1,10×2⁻¹ = 0,75 0 00 11 → 1,11×2⁻¹ = 0,875 0 01 00 → 1,00×2⁰ = 1 0 01 01 → 1,01×2⁰ = 1,25 0 01 10 → 1,10×2⁰ = 1,5 0 01 11 → 1,11×2⁰ = 1,75

0 10 00 → 1,00×2¹ = 2 0 10 01 → 1,01×2¹ = 2,5 0 10 10 → 1,10×2¹ = 3 0 10 11 → 1,11×2¹ = 3,5 0 11 00 → 1,00×2² = 4 0 11 01 → 1,01×2² = 5 0 11 10 → 1,10×2² = 6 0 11 11 → 1,11×2² = 7

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(76)

Nombres flottants (IEEE 754) -

Format tiny sur 5 bits (1,2,2) Nombres positifs représentables :

0 00 00 → 1,00×2⁻¹ = 0,5 0 00 01 → 1,01×2⁻¹ = 0,625 0 00 10 → 1,10×2⁻¹ = 0,75 0 00 11 → 1,11×2⁻¹ = 0,875 0 01 00 → 1,00×2⁰ = 1 0 01 01 → 1,01×2⁰ = 1,25 0 01 10 → 1,10×2⁰ = 1,5 0 01 11 → 1,11×2⁰ = 1,75

0 10 00 → 1,00×2¹ = 2 0 10 01 → 1,01×2¹ = 2,5 0 10 10 → 1,10×2¹ = 3 0 10 11 → 1,11×2¹ = 3,5 0 11 00 → 1,00×2² = 4 0 11 01 → 1,01×2² = 5 0 11 10 → 1,10×2² = 6 0 11 11 → 1,11×2² = 7

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(77)

Nombres flottants (IEEE 754) -

Problème 1 : pas de codage pour 0

Solution : réserver 0 00 00 et 1 00 00 pour ±0 (perte de±0,5).

Problème 2 : grand trou autour de 0

Solution : réservere =0 pour lesnombres dénormalisés

⇒ le hidden bitn’est plus 1 mais 0 : M =0, . . ..

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(78)

Nombres flottants (IEEE 754) -

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(79)

Nombres flottants (IEEE 754) -

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(80)

Nombres flottants (IEEE 754) -

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(81)

Nombres flottants (IEEE 754) -

^Exceptions

Exceptions

Les infinis mathématiques et les résultats indéfinis (NaN^a).

aNot a Number

Problème 3 : pas de représentation des exceptions Solution : réservere =3 pour les exceptions.

Règles de calcul avec les infinis 1

+∞ = +0 , 1

−∞ =−0 , 1

+0 = +∞ , 1

−0 =−∞

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(82)

Nombres flottants (IEEE 754) -

^Exceptions

Exceptions

aNot a Number

+∞ = +0 , 1

−∞ =−0 , 1

+0 = +∞ , 1

−0 =−∞

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(83)

Nombres flottants (IEEE 754) -

^Exceptions

Exceptions

aNot a Number

+∞ = +0 , 1

−∞ =−0 , 1

+0 = +∞ , 1

−0 =−∞

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