PCSI 1, 2 et 3 Stanislas CB 1 2015-2016
CB 1 de PHYSIQUE
Samedi 19 décembre 2015 (durée : 4h) 1 Microscope optique
1. Un système optique est dit stigmatique pour un couple de points (A, A
0) si tous les rayons lumineux issus de A convergent en A
0après avoir traversé le système. Le système est dit stigmatique s’il est stigmatique pour tout point. A part le miroir plan, aucun système optique n’est rigoureusement stigmatique pour tout point. On obtient cependant un stigmatisme approché pour les systèmes centrés, en travaillant dans les conditions de Gauss, c’est- à-dire avec des rayons paraxiaux : peu inclinés par rapport à l’axe optique et dont les points d’incidence sur les dioptres et miroirs du système sont proche de l’axe.
2. Un objet est un ensemble de sources ponctuelles primaires ou secondaires de rayons lumineux incidents sur le système optique. Une image est l’ensemble des points de concours des supports des rayons émergents du système.
3. Un système centré est dit aplanétique si l’image d’un objet situé dans un plan frontal (plan perpendiculaire à l’axe optique) est elle-même dans un plan frontal.
4. Le foyer (principal) image d’un système centré est l’image d’un objet ponctuel situé à l’infini sur l’axe optique.
On peut le déterminer expérimentalement en faisant l’image du soleil par exemple, ou d’un objet situé à l’infini par autocollimation d’une lentille convergente située en amont du système.
5. Une lentille sphérique est un système centré constitué d’un milieu d’indice n différent de celui du milieu extérieur, délimité par deux dioptres sphériques.
Une lentille sphérique mince est une lentille sphérique dont les rayons de courbure des dioptres ainsi que la distance entre les centres de courbure des dioptres sont grands devant la distance entre les sommets des dioptres.
6. Pour un objet réel éloigné (c’est-à-dire à distance supérieure à la distance focale), une lentille convergente donne une image inversée alors qu’une lentille divergente donne une image droite. Pour un objet réel proche (c’est-à-dire à distance inférieure à la distance focale), une lentille convergente donne une image grandie alors qu’une lentille divergente donne une image rapetissée.
7. Les rayons parallèles à l’axe optique proviennent du point de AB qui est situé sur l’axe optique.
8. Soit un couple de points (A, A
0) conjugués par la lentille de centre O, de foyers principaux objet F et image F
0et de distance focale image f
0= OF
0. Si A est l’objet et A
0l’image, la formule de Descartes s’écrit avec origine au centre
− 1 OA + 1
OA
0= 1 f
0et celle de Newton avec origine aux foyers
F A.F
0A
0= −f
02Modélisation d’un microscope
L’objectif.
9.
10. En utilisant la relation de grandissement de Descartes, on obtient : γ
1= A
1B
1AB = O
1A
1O
1A =
OA f
10+ 1
−1= −2
1
C.Lacpatia
, A.Martin
, N.Piteira
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11. On veut O
1A
0> 0 et |γ| > 1. La relation de conjugaison permet d’écrire : OA
0= OAf
0f
0+ OA On distingue donc deux cas possibles :
(a) (OA > 0 ET f
0+ OA > 0) =⇒ OA > 0 =⇒ F A > f
0OU
(b) (OA < 0 ET f
0+ OA < 0) =⇒ OA < −f
0=⇒ F A < 0 La relation de grandissement donne γ =
f0F A
donc l’image sera plus grande si |F A| < f
0. En superposant les conditions :
(F A > f
0OU F A < 0) ET
−f
0< F A < f
0On voit que le seul cas permettant d’obtenir une image réelle agrandie est de placer l’objet dans l’intervalle :
0 < F A < f
0(1)
soit à gauche de F
1mais à une distance inférieure à f
10L’oculaire.
12. L’œil ne fait pas la différence entre une image virtuelle et réelle puisqu’il en fait une image sur la rétine. Donc une image réelle est visible à l’œil nu. Il suffit de placer son oeil à une distance supérieure au Punctum Proximum de l’oeil.
13. Un œil normal voit à l’infini sans accomodation. Donc pour que A
0B
0soit à l’infini, il est nécessaire que A
1soit au foyer F
2.
14.
O
1O
2= O
1A
1+ F
2O
2= 1
f
10+ 1 OA
−1+ f
20= 35 mm
∆ = F
10O
1+ O
1O
2+ O
2F
2= −f
10+ 1
f
10+ 1 OA
−1= 10 mm
On note que ces valeurs ne sont pas très réalistes. Ceci est du à la position trop éloignée de l’objet, pour des raisons de commodité de tracé graphique.
Doublet de lentilles minces.
15. Doublet de lentilles minces
(a) On se trouve dans la configuration suivante : F →
L1F
1→
L2A
0(∞) et A(∞)
L→
1F
10L→
2F
0. La formule de conjugaison de Newton donne donc dans chaque cas :
F
1F .F
10F
2= −f
102= ⇒ F
1F = − f
102∆ = −2.5 mm F
2F
10.F
20F
0= −f
202=⇒ F
20F
0= f
202∆ = 40 mm
(b)
2
C.Lacpatia
, A.Martin
, N.Piteira
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Caractéristiques d’un microscope Grossissement commercial.
16. Grossissement commercial
(a) Pour un œil normal, le P.R. est à l’infini. Donc l’objet intermédiaire A
1B
1est dans le plan focal objet de l’oculaire. L’angle α
0est alors donné par le rayon issu de B
1passant par O
2non dévié. Donc
tan α
0= A
1B
1f
20≈ α
0et tan α
ref= A
1B
1d
pp≈ α
refd’où G
c2= d
ppf
20(b) A la différence du calcul précédent, on a cette fois : α
ref≈ AB
d
ppdonc G
c=
A
1B
1f
20d
ppAB
= |γ
1|.G
c2= 25
(c) D’où P
i=
|γf10| 2= 10δ
(d) On peut augmenter G
cet P
ien augmentant le grandissement γ
1, c’est-à-dire en rapprochant l’objet du foyer objet de l’objectif. Cela augmente par contre l’encombrement du microscope puisque l’image intermédiaire s’éloigne de l’objectif.
Profondeur de champ (ou latitude de mise-au-point).
17. On est replacé dans la situation de la question 1.2.1.a, pour laquelle on a trouvé ∆ = 10mm (question 1.2.2.c).
On a les conjugaisons suivantes : A
R L1→ A
1R L2→ A
0R(∞) et A
P L1→ A
1P L2→ A
0P.
(a) Donc les points A
1visibles nets par l’œil à travers l’oculaire (donc l’œil voit leur image A
0) sont situés entre A
1Ret A
1P. Or A
Rest à l’infini donc A
1R= F
2, et la formule de conjugaison de Newton donne dans le second cas :
F
2A
1P.F
20A
0P= −f
202=⇒ F
2A
1P= f
202d
pp. (b) De même, l’application de la formule de Newton conduit à :
F
1A
R= − f
102F
10A
1R= − f
12∆ et F
1A
P= − f
102F
10A
1P= − f
12∆ + F
2A
1P= − f
12∆ +
df202pp
d’où
l = A
RA
P= f
102∆
1 − 1 1 +
∆df202pp
≈ 0.34mm.
La profondeur de champ est donc faible. Avec des valeurs réalistes elle est encore beaucoup plus faible (de l’ordre de 0.001mm).
2 Filtrage
2.1 Étude en régime permanent sinusoïdal
1. A haute fréquence, les condensateurs se comportent comme des fils. Donc V
+= 0. Comme V
+= V
−= V
S, il vient que V
S,HF= 0.
A basse fréquence, les condensateurs se comportent comme des interrupteurs ouverts. Il vient que l’intensité circulant dans les résistances est l’intensité entrant dans la borne + de l’A.O. : elle est donc nulle. Les tensions aux bornes des résistances sont donc nulles et V
+= V
E. Comme V
+= V
−= V
S, il vient V
S= V
E. Il s’agit donc a priori d’un filtre passe-bas.
3
C.Lacpatia
, A.Martin
, N.Piteira
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2. On a V
+= V
−= V
s. De plus, les lois des noeuds en terme de potentiel aux points V
Aet V
+s’écrivent : V
A− V
eR + V
A− v
S 1 2jCω+ V
A− V
+R = 0 V
+− V
AR + V
+− 0
1 jCω
= 0
soit :
( 2
R + j2Cω)V
A− ( 1
R + j2Cω)v
S= v
ER V
A= (1 + jRCω)V
SEn éliminant V
A, il vient :
((2 + j2RCω)(1 + jRCω) − (1 + j2RCω)) v
S= v
Esoit :
H = 1
1 − 2(RCω)
2+ j2RCω (2)
Il vient ω
0=
√12RC
et σ = RCω
0=
√1 23. (a) H(ω) =
q 1 (1−(ω0ω)2)2+4σ2(ω0ω)2soit avec σ = 1/ √ 2 :
H(ω) = 1
q 1 − 2(
ωω0
)
2+ (
ωω0
)
4+ 2(
ωω0
)
2H(ω) = 1
q 1 + (
ωω0
)
4(b) ϕ = −arg(1 − (
ωω0
)
2+ 2jσ
ωω0
) soit :
tan ϕ = − 2σωω
0ω
02− ω
2Remarquons que la partie imaginaire de arg(1 − (
ωω0
)
2+ 2jσ
ωω0
) est toujours positive, donc arg(1 − (
ωω0
)
2+ 2jσ
ωω0
) ∈ [0; π] donc ϕ ∈ [−π; 0].
4. H(0) = 1. On veut donc :
1 + ( ω ω
0)
4≤ 2 ( ω
ω
0)
4≤ 1
=⇒ ω ≤ ω
05. G
dB= 10 log
(1 − (
ωω0
)
2)
2+ 4σ
2(
ωω0
)
2.
A basse fréquence, G
dB≈ 10 log(1) = 0 soit une asymptote horizontale confondue avec l’axe des abscisses.
A haute fréquence, G
dB≈ −40 log(
ωω0
) soit une asymptote oblique de pente −40dB/decade.
Il s’agit donc bien d’un filtre passe-bas.
4
C.Lacpatia
, A.Martin
, N.Piteira
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6.
7. ∆ω = ω
0= 10
4rad.s
−12.2 Étude du circuit en régime transitoire 8. Chaque terme en jω correspond à une dérivée, donc :
(1 − ω
2ω
20+ 2jσ ω
ω
0)v
S= v
Eω
02v
S(t) + d
2v
Sdt
2(t) + 2σω
0dv
Sdt (t) = ω
20v
E(t)
9. (a) L’équation précédente est stable et prévoit un régime permanent indépendant du temps tel que : v
S(t) = v
E(t) soit E = 1V
(b) ∆ = 4ω
02(σ
2− 1) < 0 car σ =
√12
< 1. Il s’agit donc d’un régime pseudo-périodique.
Ω = ω
0p 1 − σ
2On accepterait aussi une justification basée sur l’allure de la courbe (dépassement).
2.3 Analyse de Fourier
10. On se place dans cette question à Ω = ω
0et l’on constate expérimentalement que la tension de sortie v
sest une fonction sinusoïdale du temps.
(a) Le gain réel H(ω) est strictement décroissant donc les harmoniques de rang supérieure sont d’autant plus atténuée. La seule composante d’amplitude encore importante est donc forcément le fondamental. Donc ω = ω
0. (b) On a : v
Sm= H(ω
0)
8Eπ2m=
√8Em2π2
et ϕ
S= 0 + ϕ(ω
0) = −π/2 d’où : v
S(t) = 8E
m√ 2π
2cos(ω
0t − π
2 ) (3)
5
C.Lacpatia
, A.Martin
, N.Piteira
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(c)
time / (ms)voltage / (V)
10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v(1) v(3)
v(1) correspond à v
Eet v(3) correspond à v
S.
On attend ici un tracé sinusoïdal pour
vS(t). Le tracé donné ici est la simulation réelle de la réponse du filtre. On observeque le signal n’est pas en réalité pas tout à fait sinusoïdal, ce qui signifie que les harmoniques de rang supérieures modifie encore un peu l’allure temporelle.
11. Le raisonnement précédent est toujours valable, le fondamental impose encore la pulsation soit :Ω = ω
0. L’ampli- tude des harmoniques décroit moins rapidement (en 1/p et non en 1/p
2). Même après le filtre, elles peuvent donc encore modifier l’allure du signal. Pour une harmoniques de rang 2p + 1, le gain réel s’écrit :
H((2p + 1)ω
0) = 1 q
(1 − (2p + 1)
2)
2+ 2(2p + 1)
2= 1
q
1 + (2p + 1)
4et le déphasage :
ϕ = −π − arctan(
√ 2(2p + 1) 1 − (2p + 1)
2)
Les amplitudes des premières composantes spectrales pour le signal de sortie donnent : p Amplitude de sortie Déphasage
0
√2E02π
−pi/2
1
√2E082π
−π + arctan(
3√ 2 8
)
2
√2E0626π
−π + arctan(
5√2 24
