Localisation spectrale et sous-espaces hyperinvariants

Localisation Spectrale et Sous-Espaces Hyperinvariants Author(s): A. Daoui and O. El-Fallah

Source: Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 127, No. 7 (Jul., 1999), pp.

2117-2122

Published by: American Mathematical Society Stable URL: http://www.jstor.org/stable/119450 . Accessed: 18/12/2014 23:25

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Volume 127, Number 7, Pages 2117-2122 S 0002-9939(99)04725-5

Article electronically published on March 3, 1999

LOCALISATION SPECTRALE

ET SOUS-ESPACES HYPERINVARIANTS

A. DAOUI ET 0. EL-FALLAH (Communicated by Palle E. T. Jorgensen)

ABSTRACT. To get hyperinvariant subspaces, we establish a relation between the growth of the resolvent and the geometry of the spectrum. Our approach is based on a resolution of the generalized Dirichlet problem.

1. INTRODUCTION

Dans ce papier, E designera un espace de Banach complexe et C(E) l'algebre des operateurs bornes sur E. Pour tout operateur T de C(E), on notera T* son adjoint agissant sur E*, l'espace dual de E. Un sous-espace ferme non trivial M de E est invariant pour T si Tx E M pour tout x C M. Le sous-espace M est dit hyperinvariant (s.e.h.i.n.t) pour T s'il est invariant pour tout operateur qui commute avec T. On notera le spectre de T par a(T).

Soit p une fonction de [0, +oo[ dans [0, +oo[. On dira que ,p verifie la propriete (R) ^si Sp est de classe C2, strictement croissante , p(O) = p'(O) = 0 et I est convexe.

Posons m ({y) tw= ^a /( ,dt ) ou a est un reel strictement positif. On notera:

D(p) ⁼ {x + iy/x E R, IYI < Wp(Ix)}, D+(pp) -D(p) n +,

D- (p) =D(f) n C-

(oui C+ = {z ^E C / Re(z) ^> 0} et C- ⁼ {z E C / Re(z) < 0}).

Dans ce travail nous demontrons le resultat suivant:

Theoreme. Soit T E L(E) et soit ^f une fonction verifiant la proprie'te (R). Sup- posons que c(T) n C+ - 0 , a(T) n C- 7 0 et a(T) C D(Wo). Si

logll(z - T)-111 = 0(exp(cim,(c2dist(z, a(T)))))

(dist(z,a(T)) ^-> 0, z E C \ D(fp)) pour tout cl,c2 > 0, alors T admet des s. e.h.i.n.t.

Dans le cas particulier oiu p(x) = ^xq+ (q > 0), on retrouve un resultat du a J.G. Stampfli [11].

Nous donnons en fait, une version locale du resultat cite (voir theoreme 3.3).

Received by the editors November 26, 1996 and, in revised form, October 17, 1997.

1991 Mathematics Subject Classification. Primary 47A10.

?1999 American Mathematical Society 2117

A. DAOUI ET 0. EL-FALLAH 2. PRELIMINAIRES

Soit T c C (E) et soit u E E, on dit que A ^E C est dans le resolvant local de T en u ( on notera A E p(u, T) ) s'il existe un voisinage V de A et une application F de V dans E, analytique, tels que (,u-T)F(,u) = u pour tout IL ^E V. Le spectre local de T en u ( note a(u, T) ) est le complementaire de p(u, T) dans C. On dit que T admet la propriete de l'extension unique ( en abrege S.V.E.P.) si 1 'equation (, - T)F(,u) = 0 sur un ouvert Q de C admet une et une seule solution analytique. Dans ce cas l'application A ^-> (A - T)-1u admet une extention analytique maximale unique notee _Ru(A, T) definie sur p(u, T). Pour plus de precisions voir [4].

Soit D un ouvert borne de C, la frontiere de D sera notee OD. Nous designerons par A(D) l'ensemble des fonctions continues sur D et holomorphes sur D. Le lemme suivant est une version locale d'un resultat bien connu, voir par exemple [11] ou [10].

Lemme 2.1. Soit T E 1C(E) verifiant la S. V.E.P. et soit u C E, u Z 0. S'il existe un ouvert borne' D de C et une fonction f c A(D), non nulle, tels que

(i) a(u,T) n D 7 0, (ii) IIf(z)Ru(z,T)IldzI <+oo

D

alors il existe v E E, v O 0tel que: u(v, T) C D.

Preuve. D'apres (i), soit Ao e _{u(u, T)} n D. Quitte a considrer la fonction _(A(A) si f est nulle au point A0 avec l'ordre de multiplicite n, on peut supposer que f(Ao) , 0.

Consid6rons v =

2

(A- T)2 f Ru(z, T)dz

27Zr D Z (zT) 2im JD z - A

= if )(( - z) + (z - T))Ru(z,T)dz

2U7r

= _2i7r (UID- JD ^{z (z)d A dzU ) 2i7r If} J f(z)Ru(z,T)dz (1) (~2i7rI

fJ

Donc si A E D alors:

(A -T)j ^J -f(Z)Ru(z,T)dz = f(A)u-v.

Donc v - 0 car sinon nous aurons: (A - T)F(A) = f(A)u oiu F(A) = 2 _2r

I

JQD (z - A)

qui est analytique au voisinage de A0, ce qui est en contradiction avec le fait que Ao E ac(u, T). D'apres (1), pour A E ^C \ D, nous avons: (A - T)F(A) = -v; donec

(V, T) c D.

2118

Remarque 2.2. Lorsque OD est assez reguliere, on peut remplacer dans le lemme 2.1 A(D) par H??(D) et on peut demontrer aussi que a(v, T) C D n a(u, T).

Nous aurons besoin dans la suite du resultat, bien connu, suivant:

Proposition 2.3. Soit F : C ^- C une fonction entiere. Si IF(z)l < IRe z)l Re(z) 7 0, alors F est constante.

Preuve. Soit a > 0 et soit Ra = {x + iy/lxI < a et IyI ^{< a}.} Considerons Fa(z) = (z - ia)(z + ia)F(z). Pour z E _dRa , |Fa(z)I < 5/2'ca2. D'apres le principe du maximum, pour z E C et pour a assez grand, IFa(Z)l < 5v/2ca2 ; donec IF(z)I ^< _Iz 5a ia . Quand a tend vers oo , on obtient IF(z)l <

5Jv2c; donc F est constante.

3. EXISTENCE DE S.E.H.I.N.T.

Le lemme suivant est une variante d'un lemme du a Beurling ([3], Lemme 2).

Lemme 3.1. Soit cp une fonction verifiant la propriete (R). Alors il existe une fonction h harmonique sur D+(p), continue sur D+((p) \ {0}, strictement positive telle que: h(x + iop(x)) = exp({m,(op(x))) , 0 < x < b ou I = SUpo<<bP'/(x) + 1 et D+(() = D() n {x + iy E + / x < b}.

Preuve. Il suffit de trouver une fonction ho surharmonique satisfaisant les conditions du lemme. Soit f(x) = exp11 Sfb d-) et soit:

Y2 1 (1_1)2

ho(x + iy) = f(x)(l - 1 J ₎

avecJ(1 + ⁽ )) < q ^< I.

On a alors Aho = If" ^- 2q2 - qy2()/.

Comme 1 est convexe, il est clair que (f)" > 0. Donc Aho ? If" - 2q ; d'oiu Aho < f (' - (2q - )) ^?< - 1 - 2q + ), pour x E]0, b]. Donc ho est surharmonique sur D+ (p).

Or ho(x+i(p(x)) ⁼ (l-q)f(x) et fb d = m(p(x))+c, ou c est une constante, par consequent ho(x + isp(x)) ⁼ Cexp(} m,(p(X))).

Theoreme 3.2. Soit T E C(E) posse'dant la S.V.E.P. et soit p une fonction verifiant la propriete' (R). Supposons qu'il existe u ^E E tel que:

a(u, T) n C+ 0, c(u, T) n C+ C ^D+(Wp), et logllRu(z, T) 11 = O(exp(clm, (c2dist(z, (T)))))

(dist(z,a(u,T)) ^-* 0, z E C \ D+(cp)) pour tout c17c2 > 0. Alors il existe v ^E E \ {0} tel que a(v, T) c a(u, T) n C+ .

Preuve. Soit b(x) = 2?(x), il est clair que 4' verifie la propriete (R). Soit b > 0 tel que r(u, T) n C:+ c _Dt+(Q) . _D'apres le lemme 3.1, il existe h harmonique sur D+ (,) telle que:

h(x + i4(x)) = exp(-'mOp(V(x))), 0 < x < b, ou I = Supo<x<bO'(x) + 1.

A. DAOUI ET 0. EL-FALLAH

Soit k un conjugue harmonique de h et soit f(z) = exp(-h(z) - ik(z)) pour z E D+ (so). Nous avons alors:

loglf (z)R (z, T)\I < -h(z) + Cexp(clm,(c2dist(z, a(T))))

< -exp(- mf ( (x)) + Cexp(cl m(c2dist(z, u(T))), pour z E 9DZ+(b)\{0}. Or d'une part mp (4'(x)) = m,(so(x)) + c et d'autre part il est facile de voir que dist(z, a(u, T)) > aop(x) (z = x + il(x)) oiu a = Min{ , I}.

Donc pour c2 = l'inegalite precedente devient:

logllf(z)R (z, T)j < -c"exp(-Im (p(x))) + c"'exp(clmrn,(o(x)).

Pour cl < , le deuxieme terme de l'inegalite tend vers -co quand x tend vers 0. Donc jjf(z)Ru(z,T)\l est bornee sur aD+(Q) \ {0}. D'apres le lemme 2.1, v _{2ir fD+()} f(z)Ru(z, T)dz verifie a(v, T) C u(u, T) n C+

Theoreme 3.3. Soit T C ?1(E) tel que T et T* ont la S. V.E.P. et soit o une fonction verifiant la proprie'te' (R). Supposons qu'il existe u e E et u' c E* tels

que:

0 7 a(u, T) n C+ C D +(p), 0 a(u', T*) n C+ c D-().

Si pour tout c1, C2 > 0:

log|| R(z, T)l = O(exp(clm, (c2dist(z, o(T)))))

(dist(z, a(u, T)) ^-> O, ^{z E} C\ D+(p)).

log||Ru (z, T*) 11 = O(exp(cinm,(c2dist(z, a(T*))))) (dist(z, a(u',T*)) z 0 0, EC\ D-(<p)).

Alors T admet des s.e.h.i.n.t.

Preuve. D'apres le theoreme precedent, nous avons: a(v, T) c cr(u, T) n C+ ou v = 21r faD+() f(z)Ru(z, T)dz. De maniere analogue nous associons a u' un element v' E E* tel que r(v',T*) C (u',T*) n C-. Soit S E L2(E) tel que ST = TS.

Considerons la fonction F(A) = ((A - T)-1Sv, v'), pour A c C \ a(T). Comme F(A) = (Sv, (A - T)*-lv'), pour A E C\ a(T) et T, T* verifient la S.V.E.P. alors F se prolonge analytiquement sur p(v, T) U p(v', T*) D C \ {0}. Posons G(z) = F( ) pour z 7 0 et G(0) = (Sv, v'). II est clair que G est une fonction entiere verifiant les conditions de la proposition 2.3 donc G - (Sv, v') et alors F(z) ^{(Sv v)} pour tout z $7 0. D'ou (T'Sv, v') = 0 pour tout n > 1. Par consequent span{STv, ST = TS}

est un s.e.h.i.n.t.

Theoreme 3.4. Soit T E ?(E) et soit sp une fonction verifiant la propriete' (R).

Supposons que a(T) n C+ $ 0 , a(T) n C- $7 0 et a(T) C D({p). Si log\J(z - T)-111 = O(exp(cm, (c2dist(z, a(T)))))

(dist(z,a(T)) ^-> 0, z ^E C \ D(p)), pour tout cl,c2 > 0, alors T admet des s. e. h. i. n. t.

Preuve. II est bien evident que si T ne possede pas la S.V.E.P. alors T admet plusieurs valeurs propres, donc T admet des s.e.h.i.n.t. On peut supposer alors que T et T* ont la S.V.E.P. Comme a(T) = UuCE a(U, T) (voir par exemple [5]), alors il existe u c E tel que u(u, T) n C+ $f 0. De meme il existe u' ^C E* tel

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que c(u', T*) n C- =- 0. Les autres conditions du theoreme 3.3 sont trivialement satisfaites. Donc T admet des s.e.h.i.n.t.

Remarque 3.5. 1) Si p(x) = x+1, q > 0; il est clair que (o verifie la propriete (R).

Dans ce cas m, y(y) ⁼ y- +1 +cst. On retrouve alors un resultat diu a J.G.Stampfli [11];

2) Si po(x) = e-x q, q > 0, p verifie bien la propriete (R) et dans ce cas m. (y) est de l'ordre de (log())- 9 .

3) Nous remarquons que plus la courbe de (p est tangente a l'axe des abscisses plus la croissance de la resolvante permise est large; cependant m, reste toujours integrable en 0 ce qui est tout a fait coherent avec le theoreme de Ljubic-Matsaev [9] ( voir aussi [12]).

4) En utilisant les memes techniques, on peut donner une version locale du theoreme de Ljubic-Matsaev ( voir [2], [1], [8] pour des versions locales du theoreme de Wermer).

4. UN CAS PARTICULIER

Theoreme 4.1. Soient D1 et D2 deux disques ouverts bornes de C tels que D1 C C+, D2 C C- et D1 n D2 C {0}. Soit T E C(E) tel que T et T* ont la S. V.E.P.

Supposons qu'il existe u c E, u' E E* tels que: ao(u,T)fnDi # 0, o(ut',T*)nD2 7 0.

Si

log IRu(z, T) 1 ldz < +oo,

JDi

log IlRu (z, T*) 11 dzl < +oo

JD2

alors T admet des s.e.h.i.n.t.

Preuve. Nous utilisons la meme methode que celle developpee dans la preuve du theoreme 3.3. Sans perdre de generalite, nous pouvons supposer que D1 est le disque de centre 1 est de rayon 1. Soit _h(eit) = IRu(1+et,T) . Alors fo2' log h(eit)dt < ^+00;

donc il existe une fonction f E H0, non nulle, telle que If(eit)l = h(eit) p.p. [7].

En particulier (ii) du lemme 2.1 est verifiee, donc v = ² faD f(z - 1)Ru(z, T)dz verifie ao(v, T) C D1. De meme il existe v' ^E E* tel que u(v', T*) C D2. On termine la demonstration de la meme maniere que dans le theoreme 3.3. D Corollaire 4.2. Soient D1 et D2 comme dans le theoreme 4.1. Soit T E C(E) tel que: a(T) n Di -l 0, cr(T*) n D2 # 0. Si

I log |11 z -T)- 11 idz < +oo

JDi

pour i = 1, 2, alors T admet des s.e.h.i.n.t.

Remarque 4.3. La technique utilisee tout au long de ce travail est basee sur une resolution du probleme de Dirichlet generalise. Comme ce probleme est invariant par transformation conforme, le resultat de ce paragraphe peut etre exploite dans le cas des domaines pour lesquels nous avons une transformation conforme (vers le disque unite) "explicite".

A. DAOUI ET 0. EL-FALLAH REFERENCES

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UNIVERSITE MOHAMMED V, FACULTE DES SCIENCES, DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE, B.P.1014, RABAT, MOROCCO

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