SUJET DE MATHEMATIQUES

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Epreuves de Mathématiques et de Physique-Chimie Mercredi 9 mai 2007

9 h - 12 h

SUJET DE MATHEMATIQUES

Nous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d’épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie.

La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1 h 30.

Il est noté sur 20 points.

L’usage d’une calculatrice est autorisé.

Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, est interdit.

Aucun document n’est autorisé.

L’usage du téléphone est interdit.

Quatre exercices indépendants sont proposés.

Les démonstrations ne sont à rédiger que si elles sont explicitement demandées.

Ne rien inscrire ci-dessous

1

2

3

4

TOTAL

Le sujet comporte 10 pages num´ erot´ ees de 2 ` a 11

EXERCICE I - (7 points)

Donner les r´ eponses de la Partie A de cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 3

On consid` ere la suite de r´ eels (u _n ) _{n∈ N} d´ efinie par :



 

 

u ₀ = 3 u _n+1 = 1

2 µ

u _n + 3 u n

¶

, pour tout n ∈ N Le but de l’exercice est de montrer que la suite (u n ) _n∈N converge vers √

3.

Partie A

On ´ etudie dans cette partie la fonction f d´ efinie sur R ^∗ ₊ par : f (x) = 1

2 µ

x + 3 x

¶

, pour tout x > 0

Soit C f la courbe repr´ esentative de f dans le plan rapport´ e ` a un rep` ere orthonorm´ e (O,~ı, ~  ).

I-A-1- Donner les limites de f aux bornes de son domaine de d´ efinition.

I-A-2-a- Calculer f ⁰ (x) o` u f ⁰ est la d´ eriv´ ee de f . I-A-2-b- Compl´ eter le tableau des variations de f .

I-A-2-c- En d´ eduire que f admet un minimum m que l’on pr´ ecisera.

I-A-3-a- Calculer lim

x→+∞

µ

f (x) − 1 2 x

¶ .

I-A-3-b- En d´ eduire que C f admet, au voisinage de + ∞ , une asymptote ∆ dont on donnera une ´ equation.

I-A-4-a- Donner l’expression de f (x) − x en fonction de x.

I-A-4-b- Etudier le signe de f (x) − x en fonction de x ∈ R ^∗ ₊ .

I-A-5- Tracer la droite D d’´ equation y = x, la droite ∆ et la courbe C ^f .

REPONSES A L’EXERCICE I (Partie A) I-A-1- lim

x→0

f (x) = lim

x→+∞ f (x) =

I-A-2-a- f ⁰ (x) =

I-A-2-b-

x 0 + ∞

f ⁰ (x)

f (x)

I-A-2-c- m =

I-A-3-a- lim

x→+∞

µ

f (x) − 1 2 x

¶

=

I-A-3-b- ∆ :

I-A-4-a- f (x) − x =

I-A-4-b-

x 0 + ∞

signe de (f (x) − x) I-5-

O

~ 

~ı

EXERCICE I - (suite)

Donner les r´ eponses ` a la Partie B de cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 5

Partie B

On rappelle que la suite (u n ) n∈ N est d´ efinie par :



 

 

u ₀ = 3 u _n+1 = 1

2 µ

u _n + 3 u _n

¶

, pour tout n ∈ N

I-B-1- En utilisant la Partie A, montrer que pour tout entier n, on a : u _n ≥ √

3

I-B-2- En utilisant la Partie A et la question I-B-1- , expliquer pourquoi la suite (u n ) n∈ N

est d´ ecroissante.

I-B-3-a- Expliquer alors pourquoi la suite (u _n ) _{n∈ N} admet une limite r´ eelle. On note l cette limite.

I-B-3-b- Justifier que l = √

3.

REPONSES A L’EXERCICE I (Partie B)

I-B-1- Pour tout n ∈ N , u _n ≥ √

3 car

I-B-2- (u n ) _n∈N est d´ ecroissante car

I-B-3-a- (u n ) n∈ N a une limite l car

I-B-3-b- l = √

3 car

EXERCICE II - (4 points)

Donner les r´ eponses de cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 7

On se propose dans cet exercice de r´ esoudre l’´ equation suivante dans R : (E) : x ² + (1 − e ² ) e ^x x − e ^2+2x = 0

II-A-1-a- Mettre e ^{2 x} en facteur dans le membre de gauche de l’´ equation (E).

II-A-1-b- D´ eterminer l’expression de X en fonction de x pour que l’´ equation (E) soit ´ equiva- lente ` a l’´ equation (E ⁰ ) suivante :

(E ⁰ ) : X ² + (1 − e ² ) X − e ² = 0

II-A-2-a- D´ eterminer le r´ eel b pour que l’on ait :

(1 − e ² ) ² + 4 e ² = (1 + b) ²

II-A-2-b- D´ eterminer alors les deux solutions r´ eelles X ₁ et X ₂ de l’´ equation (E ⁰ ).

II-A-3- En d´ eduire que x est une solution de (E ) si et seulement si x v´ erifie une des ´ equa- tions :

x = − e ^g(x) ou x = e ^h(x) o` u g et h sont des fonctions que l’on d´ eterminera. Justifier la r´ eponse.

II-A-4- On consid` ere dans un rep` ere orthonorm´ e (O;~ı, ~ ), la courbe C 1 d’´ equation y = e ^x .

II-A-4-a- Par quelle transformation g´ eom´ etrique simple la courbe C 2 d’´ equation y = − e ^x se d´ eduit-elle de C 1 ?

II-A-4-b- Par quelle transformation g´ eom´ etrique simple la courbe C 3 d’´ equation y = e ^2+x se d´ eduit-elle de C ¹ ?

II-A-4-c- Tracer l’allure des courbes C 2 , C 3 et la droite D d’´ equation y = x.

II-A-5- D´ eterminer graphiquement, ` a l’aide de la question II-A-4-c-, le nombre de solutions

de l’´ equation (E). Justifier la r´ eponse.

REPONSES A L’EXERCICE II

II-A-1-a- (E) : e ^2x

µ ¶

= 0

II-A-1-b- X =

II-A-2-a- b =

II-A-2-b- X ₁ = X ₂ =

II-A-3- g(x) = h(x) =

car

II-A-4-a- C 2 se d´ eduit de C 1 par

II-A-4-b- C 3 se d´ eduit de C 1 par

II-A-4-c-

O

~



~ı

II-A-5- Nombre de solutions de (E) : car

EXERCICE III - (5 points)

Donner les r´ eponses ` a cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 9

Dans le plan complexe rapport´ e ` a un rep` ere orthonorm´ e (O; ~ u, ~ v), on consid` ere les points A, B, C et F d’affixe respective :

z _A = 4 + 4i , z _B = 4 , z _C = 7 , z _F = 4 + 3i.

On d´ esigne par E le point d’intersection des droites (AC) et (OF ).

Partie A

III-A-1- Faire une figure compl` ete.

III-A-2-a- Calculer z _F z A − z C

sous forme alg´ ebrique.

III-A-2-b- Que peut-on d´ eduire de la question III-A-2-a-, pour les droites (OF ) et (AC).

Justifier la r´ eponse.

III-A-3- On veut v´ erifier que le point F est le barycentre du syst` eme de points pond´ er´ es

½

(0 ; 3) , (A ; α) , (C ; 25 − α)

¾

, o` u α est un r´ eel.

III-A-3-a- Exprimer le vecteur −→ OF en fonction de α, −→ OA et −→ OC.

III-A-3-b- D´ eterminer la valeur de α.

III-A-4- Le point E d’intersection des droites (AC) et (OF ) est barycentre du syst` eme { (A ; β) , (C ; 4) } . D´ eterminer la valeur de β.

Partie B

On consid` ere les cercles suivants :

- Le cercle C ₁ , circonscrit au triangle BOF , de centre Ω ₁ et de rayon r ₁ . - Le cercle C ₂ , circonscrit au triangle OEC, de centre Ω 2 et de rayon r ₂ . - Le cercle C ₃ , circonscrit au triangle ABC, de centre Ω ₃ et de rayon r ₃ . - Le cercle C ₄ , circonscrit au triangle AEF , de centre Ω ₄ et de rayon r ₄ .

III-B-1- Donner les affixes z ₁ , z ₂ , z ₃ et z ₄ des points Ω ₁ , Ω ₂ , Ω ₃ et Ω ₄ . Calculer r ₁ , r ₂ r ₃ et r ₄ .

III-B-2- Calculer z ₃ − z ₄ et z ₂ − z ₁ sous forme alg´ ebrique.

Que peut-t-on en d´ eduire pour le quadrilat` ere Ω 1 Ω 2 Ω 3 Ω 4 ? III-B-3- Calculer z ₃ − z ₄

z ₁ − z ₄ sous forme alg´ ebrique.

Que peut-t-on en d´ eduire pour le quadrilat` ere Ω ₁ Ω ₂ Ω ₃ Ω ₄ ?

REPONSES A L’EXERCICE III III-A-1-

O

~ v

~ u

III-A-2-a- z _F z A − z C

=

III-A-2-b- (OF ) et (AC) sont car

III-A-3-a- −→ OF =

III-A-3-b- α =

III-A-4- β =

III-B-1- z ₁ = z ₂ = z ₃ = z ₄ =

r ₁ = r ₂ = r ₃ = r ₄ =

III-B-2- z ₃ − z ₄ = z ₂ − z ₁ =

Ω ₁ Ω ₂ Ω ₃ Ω ₄ est

III-B-3- z ₃ − z ₄

z ₁ − z ₄ =

Ω Ω Ω Ω est

EXERCICE IV (4 points)

Donner les r´ eponses ` a cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 11

On se propose de d´ eterminer toutes les fonctions f , d´ efinies sur R , qui sont solutions de l’´ equation diff´ erentielle suivante :

( E ) : f ⁰ (x) − 3 f (x) = 3 1 + e ^{− 3 x} et qui v´ erifient : f (0) = 0.

Soit une fonction f , d´ efinie sur R , solution de l’´ equation diff´ erentielle ( E ). On d´ esigne par f ⁰ sa d´ eriv´ ee.

On note h la fonction d´ efinie sur R par :

h(x) = e ^{− 3 x} f (x)

On d´ esigne par h ⁰ la d´ eriv´ ee de h.

IV-1-a- Exprimer h ⁰ (x) en fonction de f ⁰ (x) et de f (x), pour tout r´ eel x.

IV-1-b- Expliquer pourquoi la d´ eriv´ ee h ⁰ de h v´ erifie, pour tout r´ eel x : h ⁰ (x) = 3 e ^{− 3 x}

1 + e ^{− 3 x} .

IV-2- D´ eterminer alors toutes les fonctions h possibles. On justifiera la r´ eponse.

IV-3- En d´ eduire toutes les fonctions f solutions de ( E ).

IV-4- D´ eterminer la fonction f ₀ , solution de ( E ), qui v´ erifie f ₀ (0) = 0.

REPONSES A L’EXERCICE IV

IV-1-a- h ⁰ (x) =

IV-1-b- h ⁰ (x) = 3 e ^{− 3 x}

1 + e ^{− 3 x} car

IV-2- h(x) = car

IV-3- f (x) =

IV-4- f ₀ (x) =