Aide à la stabilisation par la commande d'un convertisseur boost alimentant une charge à puissance constante

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Submitted on 18 Nov 2014

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Aide à la stabilisation par la commande d’un

convertisseur boost alimentant une charge à puissance constante

Louis-Marie Saublet

To cite this version:

Louis-Marie Saublet. Aide à la stabilisation par la commande d’un convertisseur boost alimentant

une charge à puissance constante. JCGE 2014, Jeunes Chercheurs en Génie Electrique, Jun 2014,

Saint-Louis, France. �hal-01083926�

Aide à la stabilisation par la commande d’un convertisseur boost alimentant une charge à puissance constante

Louis-Marie SAUBLET GREEN, Université de Lorraine

2, Avenue de la Forêt de Haye, 54500 Vandœuvre-lès-Nancy, France ERTE

14, Rue de la Truie qui File, 91400 Saclay, France [email protected]

RÉSUMÉ – Les systèmes électriques embarqués comportent souvent des filtres LC connectés à des charges. Ces charges peuvent être contrôlées de façon à absorber une puissance constante, ce qui peut engendrer des instabilités. Pour aider à stabiliser le système sans augmenter son poids et son volume en ajoutant des composants passifs supplémentaires, un nouveau schéma de contrôle est étudié. Ce schéma est basé sur un contrôleur à mode glissant modifié. Il est appliqué à un convertisseur boost DC-DC qui alimente une charge à puissance constante munie d’un filtre LC d’entrée. Une analyse de stabilité est effectuée à l’aide d’un modèle échantillonné de ce système. Des résultats de simulations et expérimentaux montrent que cette approche permet d’aider à stabiliser ce système.

ABSTRACT – Embedded electric systems often include LC filters to connect loads. Constant power loads (CPL) are known to produce instabilities. In order to help the stabilization of the system without increasing its weight and volume by adding passive components, a new control scheme is studied. This scheme is based on a modified sliding mode controller. It is applied to a DC-DC boost converter supplying a CPL with an input LC filter. Stability analysis is done with a sampled model of this system. Simulation and experimental results are given to validate that the proposed method may help the stabilization.

MOTS-CLES – Charge à Puissance Constante, Convertisseur DC-DC Boost, Modèle Échantillonné, Régulateur Mode Glissant, Stabilité, Systèmes Non Linéaires

1. Introduction

Les charges à puissance constantes peuvent être modélisées dynamiquement sous forme de résistance négative. Elles sont sources d’instabilités. Des filtres d’entrées, par exemple de type LC, sont souvent ajoutés pour améliorer la qualité du réseau. Dans les applications embarquées, ces filtres sont réduits au maximum pour minimiser le poids et le volume.

Pour assurer la stabilité d’un tel système, il est possible d’ajouter des composants passifs supplémentaires ou de modifier la commande du système [1]. Comme il est impossible d’ajouter de nouveaux composants passifs pour ne pas augmenter l’encombrement du système, la commande va être modifiée. Deux façons sont considérées : la première est de modifier la commande de la charge, par exemple en y intégrant des composants passifs virtuels comme étudié dans [2] ; la seconde va changer la commande de la source, et cette approche est celle de cet article.

Le système étudié est composé d’un convertisseur boost DC-DC considéré comme la source, un filtre LC et une charge à puissance constante. La commande est effectuée à l’aide de deux boucles : une boucle externe d’énergie et une boucle interne de courant. La modification de la commande porte sur la boucle de courant. Cette dernière est basée sur un régulateur à mode glissant, dont la surface de glissement est modifiée pour inclure un terme stabilisant.

Les outils habituels de stabilité sont basés sur le modèle moyen, et ce modèle n’est valide que si la fréquence du filtre LC est inférieure à la fréquence de découpage. Lorsque ce n’est pas le cas, d’autres outils sont nécessaires. Dans cet article, un modèle discret, ou modèle échantillonné est développé et permet de prendre en compte l’effet du découpage.

Avec ce modèle, des outils basés sur l’étude des valeurs propres de la matrice Jacobienne sont utilisés et permettent de prédire la stabilité d’un système.

Le système et sa commande sont détaillés dans la section 2. Le modèle échantillonné est traité dans la section 3. Des résultats en simulation et en pratiques sont donnés dans la section 4 suivie par des conclusions.

Filtre LC Charge Convertisseur Boost (Source)

L

C r

V

V

(t)

i

(t) i

(constant)

V

(t) C

u

L

r

P P/V

Figure 1 : Partie puissance du système

2. Présentation du système et de sa commande 2.1 Partie puissance

La partie dite puissance est représentée figure 1. Elle est composée d’un convertisseur source, d’un filtre LC et d’une charge. Les équations d’état des variables de la source, iL et Vs, sont les suivantes :

(1)

Le filtre LC est décrit par les équations suivantes:

(2)

2.2 Partie commande

Dans cette partie et pour le reste de l’article, les grandeurs mesurées auront un indice mes pour les différencier des grandeurs instantanées. La mesure est synchronisée avec la MLI pour obtenir la valeur moyenne et se fait une fois par période.

2.2.1 Boucle externe

Cette sous-section détaille la boucle externe d’énergie. On régule ici l’énergie stockée dans le condensateur de sortie de la source appelé C. Ce régulateur d’énergie a pour équation :

(3) Ce qui donne :

(4)

+ _

+

+ +

1 𝑝

2 𝑣_{𝑠 𝑒𝑓}² 1 2 𝑣_{𝑠𝑚𝑒𝑠}² 𝑣_{𝑠𝑚𝑒𝑠}

𝑣_{𝑠 𝑒𝑓} ^𝑒𝑓

=

Boucle d’énergie

𝑐ℎ𝑚𝑒𝑠

𝑣_{𝑠𝑚𝑒𝑠}

Calcul 𝑒𝑓

Figure 2 : Boucle externe d’énergie

L

C rL

u Vsmes

ichmes







iref

Ve

Pe /Ve

Figure 3 : Puissances d’entrée et de sortie

Pour obtenir une référence de courant, on utilise les notations de la figure 3 pour obtenir :

𝑣𝑒𝑐 (5)

En écrivant et en substituant (4) dans (5) on obtient finalement le courant de référence :

(6)

Ce courant est l’entrée de la boucle interne, détaillée dans la sous-section suivante

2.2.1 Boucle interne

Cette sous-section détaille la boucle interne de courant. Le courant de l’inductance L est contrôlé par mode de glissement, adapté de celui trouvé dans [3]. La surface de glissement S est la suivante :

(7) K_i et K_v sont des gains, V_sf est la tension V_s filtrée par un filtre passe bande de pulsation basse w₁ et haute w₂. La loi de ralliement imposée est la suivante :

(8)

Avec (7) et (8), on peut écrire

(9) En introduisant dans (9) l’équation attendue du courant moyen mesuré :

(10)

On obtient alors le rapport cyclique D suivant :

(11) Ce rapport cyclique est alors comparé au signal triangulaire d’une MLI symétrique pour obtenir la commande u de l’interrupteur commandé. Cette boucle interne de courant est récapitulée figure 4.

𝜔1

𝑣 𝑚𝑒𝑠

𝑒𝑓

Régulateur

𝑽𝒔𝒎𝒆𝒔

𝜔2

Figure 4 : Boucle interne de courant

3. Modèle échantillonné

Cette section présente la méthode pour obtenir un modèle échantillonné du système. Cette méthode est adaptée de celle trouvée dans [4]. Elle consiste à discrétiser la période de découpage T et à calculer la matrice Jacobienne de l’application qui permet de passer de nT à (n+1)T. En prenant en compte le système de puissance ainsi que la commande, on obtient deux types de variables : les variables continues, qui sont celles de l’étage de puissance, et les variables échantillonnées qui sont celles apparaissant dans la commande. Ces dernières ne sont calculées qu’une fois par période MLI, elles ne posent donc pas de problèmes dans le modèle échantillonné car elles restent constantes pendant cette période, tandis que les variables continues évoluent. On va donc se focaliser sur les variables continues.

Les variables continues sont celles de l’étage de puissance, c'est-à-dire des équations (1) et (2). Si on introduit le vecteur X_c des variables continues, on peut réécrire (1) et (2) de façon suivante :

(12)

Ce qui peut s’écrire sous forme matricielle

(13)

Avec

(14)

Etant donné la non-linéarité de ce système (en 1/X₄), on va effectuer une approximation d’Euler pour estimer l’évolution de Xc durant la période T. Pour cela, on discrétise chaque période T avec un pas Te. On peut alors écrire :

(15) Avec cette équation, on va pouvoir obtenir chaque application H_x qui permet de passer de à , et par composition de ces applications H_x, l’application G qui permet de passer de nT à (n+1)T, comme schématisé en figure 5. Les applications sont rangées dans différentes sortes selon que u vaut 1, 0 ou change de 0 à 1. La dernière application est différenciée pour prendre en compte la mise à jour des variables échantillonnées. On peut ainsi calculer la matrice Jacobienne de cette application G par multiplication des matrices Jacobienne des applications H_x. On peut alors savoir si le système est stable : si les valeurs propres de la matrice Jacobienne de G sont toutes dans le cercle unité, le système est stable.

𝑛 𝑛 + 𝑒 𝑛 + 2 𝑒 ...

𝑛 + 𝑒

𝑛

𝑛 + 1 1

0 ^𝑛 /2

𝑯_𝟏

...

𝑯_𝟏 𝑯𝟐 𝑯𝟑 𝑯𝟒 𝑯_𝟏 H5

G

𝑛 𝑛+1

𝑛1 𝑒 𝑒 𝑛2 𝑒 𝑛3 𝑒 𝑒

𝑛 + 1

k₁ k₂ k₃ k₄ k₅

𝑛 /2 𝑛 +

( + 1) _𝑒

𝑛 + 1 ^𝑛 2 𝑛 + 𝑛 /2

Figure 5 : Discrétisation et applications H_x et G

Figure 6 : Echelon de puissance

Figure 7 : Position des valeurs propres par rapport au cercle unité

4. Résultats 4.1 Simulation

Le système présenté en figure 1 a été testé en simulation, avec la commande détaillée dans la partie 2. On considère deux cas, un dans lequel K_v est nul et qui correspond à une absence d’aide à la stabilisation, et un autre ou K_v est non nul et aide à stabiliser. La figure 6 présente un échelon de puissance de 50%. On peut observer que sans aide à la stabilisation, des oscillations apparaissent et sont amplifiées jusqu’à devenir très importantes, tandis que le courant est constant lorsque l’aide à la stabilisation est active. On peut donc penser que le système est stable. Pour le vérifier, on utilise le modèle échantillonné présenté dans la section précédente, en plaçant les valeurs propres calculées dans un plan complexe et en traçant le cercle unité. Comme on peut le voir figure 7, les valeurs propres avec K_v nul ne sont pas toutes dans le cercle, ce qui indique un système instable, tandis qu’avec l’aide à la stabilisation, elles sont toutes à l’intérieur de ce cercle, ce qui indique un système stable. On confirme ainsi ce qu’on a obtenu précédemment.

4.2 Pratique

La commande a été implémentée sur un montage expérimental équivalent à la figure 1, avec en guise de charge à puissance constante une charge active (de type boost) contrôlée pour absorber une puissance constante. Un schéma de ce montage se trouve figure 8.

L

C r_L

V_e Vs(t)

iL(t) ich(t)

Vch(t) Cch

u

Lch

rch

Filtre LC

Source: Boost Charge: Boost

C_cpl Vout(t) iL cpl(t) rLcpl Lcpl

u_cpl R_out

PLcpl Figure 8 : Montage expérimental

Pref i_L (source)

I_L (charge) i_ch (filtre)

w_CPL= 2000 , Kv=0 w_CPL= 3300 , Kv=0 w_CPL= 3300 , Kv=1.2

Figure 9 : Réponse en courant à un échelon de puissance de 300W à 600W

Les réponses en courant à un échelon de puissance de la figure 9 montrent plusieurs choses. La première est que pour obtenir des oscillations, il faut que la bande passante du régulateur de puissance de la charge soit suffisamment élevée, et donc s’approche plus d’une charge à puissance constante : en effet, pour une pulsation de 2000rad/s, le système reste stable après l’échelon alors que pour une pulsation de 3300rad/s, des oscillations apparaissent. Ces oscillations peuvent être supprimées avec la commande d’aide à la stabilisation, comme sur la troisième réponse de cette figure.

5. Conclusion

Cet article présente une commande d’aide à la stabilisation pour un circuit de type boost alimentant une charge à puissance constante à travers un filtre LC. Un modèle échantillonné de ce système est aussi présenté. Ce modèle permet de prendre en compte l’effet du découpage sur le système lorsque les fréquences caractéristiques des phénomènes observés ne sont pas très petites par rapport à la fréquence de découpage. Enfin des résultats de simulation et des résultats expérimentaux permettent de valider l’approche stabilisante de la commande proposée. Les perspectives possibles sont l’étude de cette commande avec plusieurs charges différentes, d’utiliser le modèle échantillonné pour étudier la robustesse du système vis-à-vis de variation paramétriques ou encore d’étudier l’influence de la commande proposée sur les efforts de stabilisation d’une charge active commandée elle aussi avec une commande stabilisante.

Références

[1] A. Emadi, A. Khaligh, C. H. Rivetta, and G. A. Williamson, "Constant power loads and negative impedance instability in automotive systems: definition, modeling, stability, and control of power electronic converters and motor drives," IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 55, pp. 1112-1125, 2006.

[2] P. Magne, D. Marx, B. Nahid-Mobarakeh, S. Pierfederici, “Large-Signal Stabilization of a DC-Link Supplying a Constant Power Load Using a Virtual Capacitor: Impact on the Domain of Attraction,” IEEE Transactions on Industry Applications, vol. 48, no. 3, pp. 878-887, May-June 2012.

[3] S-C. Tan, Y.M. Lai, C.K. Tse, “General Design Issues of Sliding-Mode Controllers in DC–DC Converters,”

IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 55, no. 3, pp. 1160-1174, Mar. 2008.

[4] R. Gavagsaz-Ghoachani, J.-P. Martin, S. Pierfederici, B. Nahid-Mobarakeh, B. Davat, “DC Power Networks With Very Low Capacitances for Transportation Systems: Dynamic Behavior Analysis,” IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 28, no. 12, pp. 5865-5877, Dec. 2013.