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Modélisation de deux écoulements en milieu naturel
Jair Manuel Reyes Olvera
To cite this version:
Jair Manuel Reyes Olvera. Modélisation de deux écoulements en milieu naturel. Mécanique [physics].
Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2016. Français. �NNT : 2016PA066654�. �tel-01585240�
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sujet de thèse :
Modélisation de deux écoulements en milieu naturel
soutenance prévue le 16 décembre 2016
devant le jury composé par
M. Olivier CADOT
Examinateur
M. José-María FULLANA
Examinateur
Mme. Béatrice GUERRIER
Rapporteur
M. Innocent MUTABAZI
Rapporteur
Table des matières
Introduction générale 1
Partie I Écoulement turbulent avec une surface libre cisaillée
3
1 Un exemple géophysique : l’écoulement dans un cours d’eau 5
1.1 Mesures expérimentales des vitesses . . . 5
1.2 Écoulement principal d’un cours d’eau . . . 5
1.2.1 Modèle simplifié de l’écoulement principal . . . 6
1.2.2 Résultats expérimentaux concernant l’écoulement principal . . . 9
1.3 Écoulements secondaires . . . 9
1.4 Objectif de l’étude . . . 11
2 Le modèle d’écoulement turbulent de type Poiseuille-Couette 15 2.1 Configuration géométrique . . . 15
2.2 Dynamique de l’écoulement . . . 16
2.3 Mise sous forme adimensionnelle du modèle . . . 17
2.4 Méthode numérique : reformulation des équations sans gradient de pression . . . 19
2.4.1 Équations pour les nombres d’onde k2≡ k2x+ k2y6= 0 . . . 19
2.4.2 Équations pour le nombre d’onde k = 0 . . . 20
2.5 Méthode numérique : discrétisation spatiale . . . 20
2.6 Méthode numérique : discrétisation temporelle pour k26= 0 . . . 21
2.6.1 Discrétisation pour l’équation en ˜ωz . . . 22
2.6.2 Discrétisation pour l’équation en ˜w . . . 22
2.6.3 Discrétisation suivant z pour k26= 0 . . . 23
2.7 Méthode numérique : discrétisation temporelle pour k = 0 . . . 24
2.8 Stabilité du code et validation . . . 25
3 Résultats de l’écoulement de Poiseuille-Couette avec surface libre 27 3.1 Caractéristiques moyennes de l’écoulement . . . 28
3.1.1 Nombre de Reynolds de volume et contrainte de cisaillement moyenne . . . 28
3.1.2 Vitesse longitudinale moyenne . . . 31
3.2 Propriétés statistiques des fluctuations . . . 34
3.2.1 Moyenne quadratique . . . 34
3.2.2 Énergie cinétique turbulente . . . 37
3.3 Structures caractéristiques de l’écoulement sur la paroi du fond . . . 39
3.4 Structures caractéristiques de l’écoulement à la surface . . . 43
3.4.1 Streaks à la surface . . . 43
3.4.2 Divergence horizontale de la vitesse . . . 45
3.5 Structures caractéristiques dans le cœur de l’écoulement . . . 47
Partie II Déferlement d’une onde interne sur une topographie
51
4 Stratification et ondes internes 53
4.1 Caractérisation de la stratification . . . 54
4.2 Origine de la stratification . . . 55
4.3 Ondes Internes : généralités . . . 56
4.3.1 Origine des ondes internes . . . 56
4.3.2 Conséquences écologiques des ondes internes . . . 58
4.4 Ondes internes : propagation linéaire et non-linéaire . . . 58
4.4.1 Aspects linéaires : cas d’une stratification discontinue . . . 58
4.4.2 Aspects non-linéaires : cas d’une stratification discontinue . . . 60
4.4.3 Aspects linéaires et non-linéaires : cas d’une stratification continue . . . 60
4.5 Déferlement des ondes internes . . . 60
5 Onde solitaire interne approchant une topographie : le modèle 65 5.1 Diverses stratifications . . . 66
5.2 Configurations géométriques . . . 67
5.3 Équations de la dynamique de l’écoulement . . . 68
5.4 Resuspension et Dynamique du sédiment . . . 69
5.5 Mise sous forme adimensionnelle du système d’équations . . . 71
5.6 Conditions initiales sous forme adimensionnelle . . . 72
5.6.1 Condition de symétrie . . . 72
5.6.2 Conditions initiales en milieu stratifié S1 . . . 73
5.6.3 Conditions initiales en milieu stratifié S2 . . . 74
5.7 Paramètres physiques utilisés dans les simulations . . . 76
5.7.1 Expérience de laboratoire . . . 76
5.7.2 À l’échelle d’un lac . . . 76
5.7.3 Les simulations pour la stratification S2 . . . 77
6 Onde solitaire interne approchant une topographie : le code numérique 81 6.1 Description du code numérique Gerris . . . 81
6.1.1 Discrétisation spatiale . . . 81
6.1.2 Discrétisation temporelle . . . 82
6.2 Validation du calcul du cisaillement sur le fond dans le cas tri- et bi-dimensionnel avec Gerris . . . 84
6.3 Validation de la condition sur le flux Jφpour un écoulement bidimensionnel . . . 89
7 Onde solitaire interne approchant une pente unique 93 7.1 Onde interne en forme d’une dépression avec une "stratification discontinue" S1 . . . 93
7.1.1 Développement de la condition initiale et propagation de l’onde avant l’arrivée sur la pente . . . 93
7.1.2 Approche de la pente : création et détachement d’une couche limite . . . 94
7.1.3 Génération d’un tourbillon . . . 94
7.1.4 Formation de la structure dite "bolus" et le "run-up" . . . 96
7.1.5 Run-down . . . 99
7.2 Onde interne en forme d’une dépression avec une stratification continue S2 . . . 99
7.3 Onde interne en forme d’une proéminence avec une "stratification discontinue" S1 . . . . 102
7.3.1 Développement et propagation avant l’arrivée sur la pente . . . 102
7.3.2 Approche de la pente et run-up . . . 102
7.3.3 Création d’un courant descendant, raidissement de la pycnocline et génération de tourbillons . . . 103
7.4 Onde interne en forme d’une proéminence avec une stratification continue S2 . . . 106
7.5 Développement de la condition initiale et propagation en amont de la topographie . . . 108
7.5.1 Méthode génerale . . . 108
7.5.3 Propagation (cas d’une stratification S2) . . . 112
7.6 Déferlement et run-up pour une dépression . . . 113
7.7 Run-up et déferlement pour une proéminence . . . 116
7.8 Caractéristiques Dynamiques . . . 117
8 Onde solitaire interne approchant une configuration C2 et analyse de la resuspension du sé-diment 121 8.1 Cas d’une marche de hauteur comparable à la hauteur de la pycnocline . . . 121
8.2 Cas d’une marche de hauteur inférieure à la hauteur de la pycnocline . . . 124
8.3 Analyse de la resuspension du sédiment . . . 127
8.3.1 Masse totale de sédiment . . . 130
8.3.2 Flux de sédiment . . . 132
8.3.3 Conclusion sur la resuspension de sédiment . . . 133
Conclusion générale 135 Annexe A Les ondes internes : approche linéaire 137 A.1 Les équations linéaires . . . 138
A.2 Modes propres périodiques en x . . . 138
A.3 Solutions numériques pour N2(z) quelconque : approximation numérique . . . 139
A.4 Modes propres numériques pour k → 0 . . . 140
A.4.1 Mode k → 0 pour la stratification S1 . . . 140
A.4.2 Mode k → 0 pour la stratification S2 . . . 141
Annexe B Onde interne longue : approche faiblement non-linéaire 143 B.1 Théorie des ondes internes longues : équations aux échelles multiples . . . 143
B.1.1 Équations au premier ordre . . . 144
B.1.2 Équations au deuxième ordre . . . 145
B.1.3 Condition de solvabilité . . . 147
B.1.4 Vérification des calculs avec le cas S1 . . . 148
B.2 La condition initiale . . . 149
Introduction générale
Dans cette thèse, on considère deux problèmes simplifiés issus d’écoulements géophysiques. D’une part on étudie un écoulement turbulent de canal soumis à un cisaillement imposé à la surface libre. Il s’agit d’une version académique de l’écoulement d’un cours d’eau soumis à la gravité et à un cisaillement de surface. On analyse quelles structures se forment dans cet écoulement. D’autre part on étudie un écou-lement stratifié plus précisément le déferécou-lement d’une onde interne et sa conséquence à savoir la resus-pension de sédiment. Ce problème est lié à des problèmes écologiques d’efflorescences algales dans les lacs. Dans ces deux cas, on utilise la simulation numérique directe des équations de Navier-Stokes. Bien entendu, les nombres de Reynolds que nous considérons, sont bien inférieurs à ceux correspondant aux écoulements naturels. C’est une contrainte évidente mais inévitable pour transposer les résultats obtenus aux écoulements naturels.
Le modèle d’écoulement cisaillé de type Poiseuille-Couette est inspiré des observations faites dans quelques rivières où l’on a mesuré, dans le cœur du courant, des tourbillons longitudinaux issus des champs de vitesse fluctuants (Chauvet et al. [2014]). Afin de décrire cet écoulement turbulent, on résout les équations de Navier-Stokes dans un domaine rectangulaire tridimensionnel. À la surface on impose un cisaillement pour simuler l’effet d’un vent relatif. Les simulations numériques directes sont fondées sur un code pseudo-spectral inspiré de celui de Kim et al. [1987]. Ce code a été développé par Francesco Zonta de l’Université d’Udine. C’est avec ce chercheur et Sergio Chibbaro de l’Institut d’Alembert que l’on a collaboré pour ce travail.
La deuxième partie de la thèse concerne l’étude des ondes internes se propageant dans un écoulement stratifié en densité et déferlant dans différents types de bathymétrie : une pente unique et une pente sur laquelle on superpose une marche. Cette étude aborde la description du mécanisme de déferlement et la mesure de la contrainte de cisaillement sur le fond, ainsi que la modélisation de la resuspension du sédiment comme conséquence du mécanisme précédent. Ce travail s’inspire des différentes études ex-périmentales et numériques du déferlement (Helfrich [1992] ; Michallet and Ivey [1999] ; Rickard et al. [2009]) et des recherches qui mesurent la resuspension par l’action des courants dans des lacs peu profonds (Chao et al. [2008]). Les ondes internes étudiées concernent diverses amplitudes et deux mi-lieux stratifiés différents. Comme dans le travail Rickard et al. [2009], on utilise le code Gerris flow solver (Popinet [2003b]) pour résoudre numériquement notre modèle. Ce code a été developpé par Popinet [2003a].
Bibliographie
Chao, X., Jia, Y., Shields, F. D., Wang, S. S., and Cooper, C. M. (2008). Three-dimensional numerical mo-deling of cohesive sediment transport and wind wave impact in a shallow oxbow lake. Advances in
Water Resources, 31(7) :1004–1014.
Chauvet, H., Devauchelle, O., Metivier, F., Lajeunesse, E., and Limare, A. (2014). Recirculation cells in a wide channel. Physics of Fluids, 26(1) :016604.
Helfrich, K. R. (1992). Internal solitary wave breaking and run-up on a uniform slope. Journal of Fluid
Kim, J., Moin, P., and Moser, R. (1987). Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Rey-nolds number. Journal of Fluid Mechanics, 177 :133– –166.
Michallet, H. and Ivey, G. N. (1999). Experiments on mixing due to internal solitary waves breaking on uniform slopes. Journal of Geophysical Research, 104(C6) :13467–13477.
Popinet, S. (2003a). Gerris : A tree-based adaptive solver for the incompressible Euler equations in com-plex geometries. Journal of Computational Physics, 190(2) :572–600.
Popinet, S. (2003b). The Gerris flow solver. Available from the oficial website http ://gfs.sourceforge.net. Rickard, G., O’Callaghan, J., and Popinet, S. (2009). Numerical simulations of internal solitary waves
Première partie
Écoulement turbulent avec une surface
libre cisaillée
Chapitre 1
Un exemple géophysique : l’écoulement
dans un cours d’eau
L’hydrologie s’attache à mesurer le débit d’un cours d’eau et à décrire son évolution en fonction du temps et de la position le long du cours, à l’aide de modèles de type Saint-Venant (Finaud-Guyot et al. [2011], Moussa and Bocquillon [2000]). Toutefois, elle étudie également les profils stationnaires et les fluctuations des vitesses longitudinales et transversales dans une section donnée de ce cours d’eau car ceux-ci influencent le charriage des sédiments ou le transport de polluants ou de nutriments dans l’écoulement. On introduit ci-dessous quelques éléments concernant ces derniers aspects. On s’inspi-rera de ces recherches en géophysique pour définir ensuite un problème plus académique : les struc-tures hydrodynamiques dans un écoulement de Poiseuille-Couette turbulent.
1.1 Mesures expérimentales des vitesses
Avant d’aborder la description du champ des vitesses dans un cours d’eau, on présente très brièvement les mesures en milieu naturel. L’une des premières méthodes de mesure de l’écoulement consistait sim-plement à évaluer le temps et la distance parcourue par des flotteurs pour en déduire la vitesse du fluide les ayant transportés (Sanders [1998]). Par la suite, une gamme d’appareils est apparue. Ceux-ci ne sont plus seulement utilisés pour estimer le débit mais aussi pour étudier plus précisément les profils de l’écoulement. La plus connue et répandue de ces techniques est le profileur à effet Doppler (ADCP Acoustic Doppler Current profiler). Cet appareil permet de mesurer instantanément les trois compo-santes de la vitesse de l’écoulement dans un plan bidimensionnel. Le principe physique est d’émettre une onde acoustique qui se réfléchit sur des particules en suspension. La fréquence du signal réfléchi permet de calculer la vitesse locale (Gordon [1989] ; Vermeulen et al. [2014]). En laboratoire on utilise des particules de densité très proche de l’eau pour être le plus voisin d’un traceur passif. En milieu naturel on utilise des particules naturelles présentes dans l’écoulement (sédiments mais aussi bulles, micro-organismes). Ces appareils ont permis de caractériser l’écoulement dans la Seine (Chauvet et al. [2014]). En laboratoire, on étudie la nature turbulente de l’écoulement dans un canal : pour fixer les idées, Wang et al. [2011] ont travaillé sur un canal de 13.5 [m] de longueur, de 0.6 [m] de hauteur et de largueur.
1.2 Écoulement principal d’un cours d’eau
Les écoulements observés dans un cours d’eau vérifient les équations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible soumis au champ de pesanteur à savoir les équations de conservation de la masse et de
la quantité de mouvement ∂ ˆuj ∂ ˆxj = 0, (1.1) ∂ ˆui ∂ˆt + ∂ ˆuiuˆj ∂ ˆxj = − 1 ˆ ρ ∂ ˆp ∂ ˆxi + ∂ ∂ ˆxj µ ν∂ ˆui ∂ ˆxj ¶ + ˆgi, (1.2)
où ˆui = ( ˆu, ˆv, ˆw) représente le champ de vitesse, ˆp la pression, xi = ( ˆx, ˆy, ˆz) la position dans l’espace, ˆρ
la masse volumique du fluide, ν = µ ˆρ−1la viscosité cinématique (avec µ la viscosité dynamique) et ˆgi les composantes de l’accélération de la gravité. Ces écoulements sont en régime turbulent comme de nombreux écoulements en milieux naturels. D’une part, la turbulence joue un rôle important dans la distribution des flux de quantité de mouvement (Oertel [2004]). D’autre part, on observe des structures avec un grand nombre d’échelles spatiales qui évoluent avec un grand nombre d’échelles temporelles. Dans les cas réalistes, les plus petites structures peuvent être inférieures au millimètre et évoluer en moins de quelques millisecondes (Kundu [2002]). En raison de la complexité de ces écoulements, on s’intéresse en premier lieu, aux caractéristiques générales que l’on aborde du point de vue statistique : la vitesse et la pression peuvent être décomposées en une partie fluctuante et une partie moyenne
ˆ
ui= 〈 ˆui 〉 + ˆu′i, p = 〈 ˆp 〉 + ˆpˆ ′. (1.3)
où l’opérateur linéaire 〈 〉 représente la moyenne d’ensemble sur une série de réalisations (Kundu [2002]) et l’indice′représente la partie fluctuante. La décomposition précédente est connue sous le nom de la décomposition de Reynolds. En remplaçant cette décomposition dans les équations (1.1)-(1.2) puis en prenant la moyenne de ces équations, on obtient les équations dynamiques de l’écoulement moyen
∂〈 ˆuj 〉 ∂ ˆxj = 0, (1.4) ∂〈 ˆui 〉 ∂ˆt + ∂〈 ˆui〉〈 ˆuj 〉 ∂ ˆxj + ∂ ∂ ˆxj〈 ˆu ′ iuˆ′j〉 = − 1 ˆ ρ ∂〈 ˆp 〉 ∂ ˆxi + ∂ ∂ ˆxj µ ν∂〈 ˆui〉 ∂ ˆxj ¶ + ˆgi. (1.5)
L’écoulement moyen est non-divergent. Le dernier terme de la partie gauche de l’équation (1.5) résulte de la moyenne du terme convectif. En passant ce dernier terme dans la partie droite de l’équation, on obtient pour l’écoulement moyen, une forme proche de l’équation (1.2) de conservation de la quantité de mouvement de l’écoulement instantané,
∂〈 ˆui〉 ∂ˆt + ∂〈 ˆui〉〈 ˆuj〉 ∂ ˆxj = − 1 ˆ ρ ∂〈 ˆp 〉 ∂ ˆxi + 1 ˆ ρ ∂ ∂ ˆxj µ µ∂〈 ˆui〉 ∂ ˆxj − ˆρ〈 ˆu ′ iuˆ′j〉 ¶ + ˆgi (1.6)
mais avec une contrainte additionnelle appelée contrainte de Reynolds− ˆρ〈 ˆu′
iuˆ′j〉: les fluctuations
en-traînent donc un flux additionnel de quantité de mouvement sur l’écoulement moyen.
1.2.1 Modèle simplifié de l’écoulement principal
Considérons un écoulement turbulent dans un canal de profondeur 2 ˆh et incliné d’un angle θ par rap-port à l’horizontale (voir figure 1.1). Le fluide est soumis à la gravité. On définit un repère cartésien tel que l’axe ˆx soit parallèle au lit du canal, l’axe ˆz soit dans le plan vertical et perpendiculaire à l’axe ˆx et la direction ˆy corresponde à l’axe transversal. L’origine du repère est choisie telle que ˆz = − ˆh corresponde au fond et ˆz = ˆh à la surface. L’écoulement turbulent d’un cours d’eau est pleinement développé et sta-tistiquement stationnaire. On suppose donc cette hypothèse ci-dessous. En outre on suppose un canal beaucoup plus large (direction transversale ˆy) que profond (direction ˆz) et on néglige l’effet des bords latéraux sur la dynamique. Si on suppose enfin l’invariance de l’écoulement moyen dans cette direction
y, la moyenne du champ de vitesse 〈 ˆui 〉 est invariante suivant la direction longitudinale ˆx et dépend
uniquement de ˆz. Pour cette raison, l’équation de continuité (1.4) devient d〈 ˆw 〉
surface lit ˆ gz ˆ gx 〈 ˆu〉 ˆx ˆz hauteur θ
FIGURE1.1 – L’écoulement dans un canal incliné d’un angle θ par rapport à la verticale. Dans le repère cartésien, la
pesanteur ˆg possède une composante longitudinale.
La condition de non-glissement sur le fond impose alors une vitesse nulle 〈 ˆw 〉 = 0 en tout ˆz. La
vi-tesse moyenne loin des parois est donc principalement confinée le long de la direction longitudinale. La composante 〈 ˆu 〉 définit l’écoulement principal.
Dans la direction verticale ˆz, l’équation de conservation de quantité de mouvement (1.6) se simplifie −1 ˆ ρ ∂〈 ˆp 〉 ∂ ˆz − d d ˆz〈 ˆw′wˆ′〉 − ˆg cosθ = 0 (1.8)
En intégrant l’équation précédente et en imposant la condition 〈 ˆw′wˆ′〉 = 0 à la surface libre ˆz = ˆh (on néglige l’effet des vagues), on obtient
〈 ˆp 〉 + ˆρ〈 ˆw′wˆ′〉 = − ˆρ ˆg cosθ( ˆz − ˆh) (1.9) Ceci implique que le gradient de pression moyen suivant x est nul. Dans la direction longitudinale x, l’équation moyenne de conservation de la quantité de mouvement devient
d ˆτ
d ˆz= − ˆρ ˆg sinθ, (1.10)
où ˆτ représente le cisaillement total moyen
ˆτ ≡ µd〈 ˆu 〉d ˆz − ˆρ〈 ˆu′wˆ′〉 (1.11)
La force de pesanteur n’est pas alignée avec l’axe z et n’est pas contrebalancée par la pression hydro-statique. L’équation (1.10) représente l’équilibre entre la composante suivant x de la pesanteur et le ci-saillement vertical responsable de l’écoulement. On peut intégrer explicitement l’équation (1.10). Ceci donne une variation linéaire en ˆz du cisaillement
ˆτ( ˆz) = ˆτ2w µ 1 − ˆzˆh ¶ + ˆτs 2 µ 1 +ˆhˆz ¶ . (1.12)
où ˆτs≡ ˆτ( ˆh) représente la contrainte de cisaillement à la surface et ˆτw≡ ˆτ(− ˆh) la contrainte de
cisaille-ment sur le fond. Le profil de la contrainte de cisaillecisaille-ment est donc linéaire et ne dépend pas du régime de l’écoulement (Pope [2000]). L’équilibre impose que
1
2 ˆh( ˆτw− ˆτs) = ˆρ ˆg sinθ, (1.13)
Notons que si on pose ˆ
p∗≡ ˆp + ˆρ ˆg cosθ( ˆz − ˆh) + ˆpw avec pˆw≡ − ˆρ ˆg sinθ ˆx, (1.14) on élimine dans les équations de Navier-Stokes la pesanteur mais on introduit un gradient moyen de pression constant et dirigé le long de la direction x
∂〈 ˆp∗〉
∂ ˆx =
d ˆpw
d ˆx = − ˆρ ˆg sinθ,. (1.15)
Ce problème est équivalent. Dans le chapitre suivant, on supposera l’existence d’un gradient moyen de pression constant.
Le profil de l’écoulement principal théorique proche des parois
Pour obtenir le champ des vitesses, il est nécessaire d’intégrer
νd〈 ˆu 〉 d ˆz − 〈 ˆu′wˆ′〉 = ˆτw 2 ˆρ µ 1 − ˆhˆz ¶ + ˆτs 2 ˆρ µ 1 + ˆzˆh ¶ (1.16) Lorsqu’on est proche d’une paroi (sous-couche visqueuse), les contraintes de Reynolds peuvent être négligées et il est possible d’intégrer cette équation. On utilise couramment pour caractériser l’écou-lement moyen d’une couche limite turbulente les unités de paroi à savoir une longueur et une vitesse caractéristiques. Sur le fond on a
ˆ δν≡ ν ˆ uτ et uˆτ≡ s ˆτw ˆ ρ , (1.17)
basées sur la viscosité cinématique ν et la contrainte ˆτw de frottement sur le fond. La vitesse ˆuτest
connue comme étant la vitesse de frottement. Sur le fond, la vitesse moyenne uniquement due aux effets visqueux est donnée par la loi de paroi
u+= z+, (1.18) où z+≡ 1 ˆ δν ( ˆz + ˆh) (1.19)
représente la distance au fond mesurée en unités de paroi et ˆu+représente la vitesse moyenne mesurée en unités de parois
u+≡〈 ˆu 〉 ˆ
uτ
. (1.20)
Proche de la surface, on a des quantités équivalentes ˆδν,s≡uˆντ,s et ˆuτ,s≡
qˆτ
s
ˆ
ρ et la vitesse moyenne est
donnée par u+ s = z+s, avec u+s ≡〈 ˆu − ˆu( ˆh) 〉uˆ τ,s , z + s ≡ 1 ˆ δν,s( ˆz − ˆh). (1.21)
Le profil de l’écoulement principal théorique loin des parois
Il existe une zone plus éloignée de la paroi où les effets visqueux sont négligeables. Les contraintes de Reynolds posent toutefois un problème de fermeture des équations : on a besoin d’une équation sup-plémentaire pour relier les contraintes de Reynolds aux variables de l’écoulement moyen. L’une des premières hypothèses utilisées est celle de la viscosité turbulente. Cette hypothèse suppose que les contraintes de Reynolds ont une forme similaire aux contraintes visqueusesµ∂ ˆ∂x
j〈 ˆui〉, à savoir
− ˆρ〈 ˆu′
iuˆ′j〉 = ˆρ ˆνt∂〈 ˆui 〉
∂ ˆxj (1.22)
ou dans notre cas particulier
− ˆρ〈 ˆu′wˆ′〉 = ˆρ ˆν
t∂〈 ˆu 〉
∂ ˆz . (1.23)
La quantité ˆνtpossède les dimensions du produit d’une vitesse par une longueur comme la viscosité
du fluide : elle est dite viscosité turbulente. Contrairement à la viscosité du fluide, elle dépend des ca-ractéristiques de l’écoulement et non uniquement de celles du fluide. Une fois cette viscosité connue, le problème de la fermeture est résolu. Divers modèles fournissent une prescription pour la viscosité turbulente ˆνt: les modèles algébriques, de longueur de mélange ou les modèles k − ǫ (Pope [2000]). On
va introduire le cas le plus simple pour lequel ˆνt≡νˆ0 4 µ ˆz ˆh+ 1 ¶ µ 1 − ˆzˆh ¶ (1.24)
avec ˆν0= 2κ ˆh ˆuτune viscosité effective constante et κ une constante sans dimension. Cette loi
parabo-lique permet de retrouver près des parois l’approximation de Von Karman. Si on néglige la viscosité du fluide ˆν et on utilise les équations (1.16)–(1.24)–(1.24), on obtient la relation
ˆν0 4 µ ˆz ˆh+ 1 ¶ µ 1 −ˆhˆz¶ d〈 ˆu 〉 d ˆz = ˆτw 2 ˆρ µ 1 −ˆhˆz ¶ + ˆτs 2 ˆρ µ 1 + ˆzˆh ¶ (1.25) qui s’intègre 〈 ˆu 〉( ˆz) ∼ 2h ˆτˆ w ˆν0ρˆ ln µ ˆz ˆh+ 1 ¶ + 2h ˆτˆ s ˆ ρ ˆν0ln µ 1 − ˆhˆz ¶ +C1 (1.26)
avec C1une constante. Pour ˆτs= 0 (surface libre en ˆz = ˆh), on retrouve la vitesse en unités de paroi u+ décrite par la loi logarithmique
u+=1
κln z
++C2, (1.27)
C2représente une constante de translation. Dans le cas d’une couche limite simple, κ est égale à la constante de Von Karman κ ∼ 0.41 et C2à la constante de translation C2= 5.2 (von Kármán [1930]). Cette zone est connue sous le terme de couche logarithmique. Entre la sous-couche visqueuse et la couche logarithmique, il existe une zone de transition appelée couche tampon dans laquelle les effets visqueux diminuent sans perdre totalement leur influence sur l’écoulement moyen.
1.2.2 Résultats expérimentaux concernant l’écoulement principal
Des expériences de laboratoire (Nezu and Nakagawa [1993]) ont montré que la quantité−〈 ˆu′wˆ′〉
∂〈 ˆu 〉 ∂ ˆz
(1.28) est proche de la forme parabolique proposée (1.24). Par ailleurs, au cours de campagnes expérimen-tales dans la Seine ou dans un cours d’eau de taille bien plus petite (Chauvet et al. [2014]), on retrouve l’existence d’une zone logarithmique loin de la surface et du fond (voir figure 1.2).
FIGURE1.2 – Vitesse longitudinale moyenne mesurée dans la Seine. On observe une zone logarithmique de couche
limite classique. Figure tirée de la thèse de Chauvet [2013].
1.3 Écoulements secondaires
En réalité, l’écoulement moyen n’est qu’approximativement invariant dans la direction transverse : en plus de la direction principale de l’écoulement, on observe des écoulements secondaires dans le plan
orthogonal à la direction principale de l’écoulement. Ils se structurent sous forme de cellules de
recir-culation. Ces écoulements entraînent une distribution non-homogène de la contrainte du cisaillement
sur le lit de la rivière. Ceci peut avoir une répercussion sur l’érosion ainsi que sur la resuspension ou la déposition de sédiments. Il existe plusieurs types de recirculations.
Écoulements secondaires proches des parois latérales
On observe des écoulements secondaires sous forme de tourbillons uniquement localisés à proximité des berges des cours d’eau ou canaux. Ces cellules de recirculation sont le résultat direct du gradient de contrainte de cisaillement turbulent dû aux bords (voir Gessner [2006]).
Écoulements secondaires associés aux méandres
Des tourbillons sont associés aux méandres : la courbure du méandre entraîne un équilibre entre une force centrifuge et un gradient de pression centripète. Près du fond cet équilibre est rompu ce qui conduit à un mouvement agissant de la rive externe (ou concave) vers la rive interne (ou convexe) (Callander [1978]). Cela crée une ou plusieurs cellules de recirculation dans le plan orthogonal (figure 1.3) qui s’étendent sur tout la section transversale. Différentes études numériques ont reproduit ces ob-servations expérimentales. Elles ont également mis en évidence la relation entre cet écoulement et la distribution de la contrainte de cisaillement sur le fond (Zeng et al. [2008] ; Van Balen et al. [2009]) et le déplacement des sables ou galets. Ces derniers sont transportés par le courant du fond du côté exté-rieur de la courbe vers le côté intéexté-rieur : la rive concave s’érode tandis que la rive convexe se comble (Blanckaert [2010]).
FIGURE1.3 – Mesure de la vitesse moyenne de l’écoulement dans un méandre effectuée par Thorne and Hey [1979]
dans la rivière Serven, Royaume Uni. On montre la section transversale du bassin. En haut, la composante transverse 〈 ˆuy 〉 de la vitesse. En bas, les isolignes de vitesse longitudinale 〈 ˆux〉 et les lignes de courant (avec des flèches) indiquant les recirculations transversales.
Écoulement secondaire dans les sections rectilignes
Un nombre important de fleuves et de canaux construits par l’homme présente de longs tronçons recti-lignes où l’écoulement n’est pas soumis à l’action de la force centrifuge. En utilisant un profileur à effet Doppler, Chauvet et al. [2014] ont mesuré la vitesse moyenne 〈w〉 le long d’une section transversale de la Seine (figure 1.4). Ces mesures s’interprètent comme une série de cellules de recirculation (figure 1.5) dont la hauteur est de l’ordre de la profondeur de la rivière et qui présentent une longueur d’onde ca-ractéristique également de l’ordre de la profondeur. Le rapport d’aspect transversal de cette rivière est
FIGURE1.4 – Mesure de la vitesse moyenne 〈w〉 le long de la section transverse (courbe rouge) à mi-profondeur
pour deux débits différents effectuée par Chauvet et al. [2014] dans la Seine. La profondeur de la Seine est de l’ordre de 6 [m]. ˆx ˆy ˆz écoulem ent lit
FIGURE1.5 – Cellules de recirculation d’un écoulement dans un canal à surface libre.
grand (22.5): l’existence des cellules loin des bords ne peut être expliquée par un effet de rives. Ces tour-billons longitudinaux loin des parois ont été mis en évidence également en laboratoire (Blanckaert et al. [2010]). Dans les deux cas, ces structures sont d’une amplitude beaucoup plus faible que l’écoulement principal. Pour la Seine, la vitesse moyenne de l’écoulement principal est de l’ordre de 1.6 [ms−1] alors que la vitesse verticale moyenne est de l’ordre de 0.5 10−2[ms−1] (figure 1.4).
Les mécanismes à l’origine de cet écoulement secondaire ne sont pas très clairs. À ce jour, diverses hypothèses ont été proposées. L’une d’entre elles concerne l’influence de la rugosité du fond. Des expé-riences ont été réalisées dans cette direction, en introduisant des patrons rugueux : le fond est composé de bandes lisses et rugueuses alternées (figure 1.6). Les mesures ont en effet montré la présence de tourbillons. Toutefois, d’autres études ( Blanckaert et al. [2010] ; Albayrak and Lemmin [2011]) montrent également l’existence de cellules de recirculation dans des canaux à fond lisse. Ceci suggère que le mé-canisme lié à la rugosité est trop spécifique. Chauvet et al. [2014] ont également proposé un effet de convection thermique.
1.4 Objectif de l’étude
Dans les deux chapitres qui suivent, on examine si un écoulement cisaillé turbulent est caractérisé ou non par la présence d’écoulements secondaires. Ceci permettrait de conclure à la nécessité d’introduire ou non des effets physiques supplémentaires tels des effets de rugosité ou de la convection thermique. À cette fin, on étudie numériquement un problème d’écoulement cisaillé dans un cadre turbulent mais sans introduction d’effets physiques supplémentaires : on suppose uniquement la présence i) d’une sur-face libre, ii) de la gravité remplacée de manière équivalente par un gradient de pression longitudinal
FIGURE1.6 – Cellules de recirculation observées en présence de rugosité sur le fond lors des expériences de
Wang and Cheng [2005]. En haut, le champ vectoriel de l’écoulement secondaire. En bas, représentation simplifiée de patterns de l’écoulement secondaire.
constant et iii) d’un cisaillement sur la surface libre. Tous ces éléments sont présents dans le cas d’un cours d’eau. Le cisaillement de surface par exemple peut être interprété comme l’effet d’un vent relatif. En milieu naturel, le cisaillement de surface induit par le vent relatif est donné par la loi phénoménolo-gique suivante
ˆτs= ˆρaCd| ˆU10| ˆU10,
où ˆU10représente la vitesse longitudinale relative moyenne du vent à 10 mètres au-dessus de la surface, ˆ
ρa= 1.225 [kg m−3] la masse volumique de l’air et Cd= 10−3un coefficient de traînée1.
Ce travail académique est toutefois éloigné des conditions en milieu naturel. Le nombre de Reynolds (5.33) fondé sur le gradient de pression est fonction de l’angle de pente qui est pour la Seine en 10−4(30 [m] d’altitude à Paris situé à 300 [km] de l’embouchure) et de la profondeur de 6 [m]. Il vaut Re ∼ 105 alors que nous nous contenterons d’un écoulement turbulent avec Re = 180. De même, les valeurs du cisaillement de surface ˆτsque l’on utilisera sont un ordre de grandeur plus grand que celle d’un vent
moyen mais cela est nécessaire si on veut magnifier l’effet supposé qui est assez faible (la vitesse des écoulements secondaires est de 3 pour mille dans la Seine).
Bien entendu ce travail est plus général qu’une application aux cours d’eau même si l’idée initiale de l’étude est issue de ce problème : il s’agit d’examiner les structures d’un écoulement cisaillé de type Poiseuille-Couette turbulent avec surface libre. Ceci peut aussi s’appliquer à des écoulements cisaillés à l’interface fluide-gaz.
Bibliographie
Albayrak, I. and Lemmin, U. (2011). Secondary Currents and Corresponding Surface Velocity Patterns in a Turbulent Open-Channel Flow over a Rough Bed. Journal of Hydraulic Engineering, 137(11) :1318– 1334.
Blanckaert, K. (2010). Topographic steering, flow recirculation, velocity redistribution, and bed topogra-phy in sharp meander bends. Water Resources Research, 46(9).
Blanckaert, K., Duarte, A., and Schleiss, A. (2010). Influence of shallowness, bank inclination and bank roughness on the variability of flow patterns and boundary shear stress due to secondary currents in straight open-channels. Advances in Water Resources, 33(9) :1062–1074.
Callander, R. A. (1978). River Meandering. Annual Review of Fluid Mechanics, 10(1) :129–158.
1. Cette loi phénoménologique est largement utilisée en océanologie et en limnologie (Pedlosky [1979] ; Hellerman and Rosenstein [1983]).
Chauvet, H. (2013). Écoulements secondaires dans les rivières : influence sur le transport de quantité de
mouvement et de soluté. PhD thesis.
Chauvet, H., Devauchelle, O., Metivier, F., Lajeunesse, E., and Limare, A. (2014). Recirculation cells in a wide channel. Physics of Fluids, 26(1) :016604.
Finaud-Guyot, P., Delenne, C., Guinot, V., and Llovel, C. (2011). 1D–2D coupling for river flow modeling.
Comptes Rendus Mécanique, 339(4) :226–234.
Gessner, F. B. (2006). The origin of secondary flow in turbulent flow along a corner. Journal of Fluid
Mechanics, 58(01) :1.
Gordon, R. L. (1989). Acoustic Measurement of River Discharge. Journal of Hydraulic Engineering. Hellerman, S. and Rosenstein, M. (1983). Normal Monthly Wind Stress Over the World Ocean with Error
Estimates. Journal of Physical Oceanography, 13(7) :1093–1104. Kundu, P. (2002). Fluid Mechanics (Second Edition). Elsevier.
Moussa, R. and Bocquillon, C. (2000). Approximation zones of the Saint-Venant equations f flood routing with overbank flow. Hydrology and Earth System Sciences Discussions, 4(2) :251–260.
Nezu, I. and Nakagawa, H. (1993). Turbulence in Open-Channel Flows.
Oertel, H. (2004). Prandtl’s Essentials of Fluid Mechanics | Herbert Oertel jr. | Springer. Springer-Verlag. Pedlosky, J. (1979). Geophysical Fluid Dynamics. Springer US, New York, NY.
Pope, S. B. (2000). Turbulent Flows. Springer.
Sanders, L. L. (1998). A Manual of Field Hydrogeology. Prentice Hall.
Thorne, C. R. and Hey, R. D. (1979). Direct measurements of secondary currents at a river inflexion point.
Nature, 280(5719) :226–228.
Van Balen, W., Uijttewaal, W. S. J., and Blanckaert, K. (2009). Large-eddy simulation of a mildly curved open-channel flow. Journal of Fluid Mechanics, 630 :413.
Vermeulen, B., Sassi, M. G., and Hoitink, A. J. F. (2014). Improved flow velocity estimates from moving-boat ADCP measurements. Water Resources Research, 50(5) :4186–4196.
von Kármán, T. (1930). Mechanische Aenlichkeit und Turbulenz. Proc. Third International Congress in
Applied Mechanics, pages 58–76.
Wang, X. Y., Yang, Q. Y., Lu, W. Z., and Wang, X. K. (2011). Experimental study of near-wall turbulent cha-racteristics in an open-channel with gravel bed using an acoustic Doppler velocimeter. Experiments
in Fluids, 52(1) :85–94.
Wang, Z.-Q. and Cheng, N.-S. (2005). Secondary flows over artificial bed strips. Advances in Water
Re-sources, 28(5) :441–450.
Zeng, J., Constantinescu, G., Blanckaert, K., and Weber, L. (2008). Flow and bathymetry in sharp open-channel bends : Experiments and predictions. Water Resources Research, 44(9) :n/a–n/a.
Chapitre 2
Le modèle d’écoulement turbulent de
type Poiseuille-Couette
Dans ce chapitre, on introduit le modèle hydrodynamique et le code numérique. On considère un canal tridimensionnel de section transversale rectangulaire. L’écoulement est induit par un gradient de pres-sion constant que l’on note ˆΠ agissant dans la direction longitudinale qui représente la composante de la force de pesanteur le long de la direction de l’écoulement ( ˆΠ= − ˆρ ˆg sinθ). On étudie des cas
caractéri-sés par un nombre de Reynolds assez faible en comparaison aux cas d’écoulements naturels mais assez grand pour qu’il s’agisse d’écoulements en régime turbulent. Ce travail est en effet contraint par l’utili-sation de la simulation numérique directe et de la nécessité de simulations assez longues pour avoir de nombreuses réalisations.
On présente tout d’abord la configuration géométrique du modèle dans la section 2.1, puis les équations dynamiques et les conditions aux limites qui gouvernent l’écoulement dans la section 2.2. On étudie deux cas de conditions aux limites sur la surface : glissement et cisaillement imposé. Le système dyna-mique est mis sous forme adimensionnelle en section 2.3. Puis on discute la méthode numérique. D’une part on reformule ce système en terme de vorticité et de vitesse en section 2.4 et d’autre part, à partir de la section 2.5, on décrit la méthode de discrétisation et la stabilité.
2.1 Configuration géométrique
La configuration géométrique (figure 2.1) est représentée par un volume rectangulaire de longueur ˆLx
suivant la direction principale de l’écoulement, de hauteur ˆLz et de largeur ˆLy. Dans le calcul, on
sup-pose un rapport entre ces trois longueurs
ˆLx= 4π ˆh, ˆLy= 2π ˆh et ˆLz= 2 ˆh, (2.1)
avec ˆh représentant la demi-hauteur du canal. On utilise un repère cartésien où les coordonnées lon-gitudinale, transversale et verticale sont notées respectivement ˆx, ˆy et ˆz.1L’origine ( ˆx, ˆy, ˆz) = (0,0,0) est située (fig. 2.1) de telle manière que le fond soit situé en ( ˆx, ˆy,− ˆh), la surface en ( ˆx, ˆy,+ ˆh) et que les coordonnées du plan horizontal soient toujours positives.
On fait l’hypothèse que la surface libre demeure en ( ˆx, ˆy,+ ˆh). Ceci implique que les déplacements ver-ticaux de cette surface sont très petits par rapport à la hauteur du canal (celle-ci étant de l’ordre de la longueur des structures auxquelles on s’intéresse). On néglige donc ces déplacements verticaux de la
ˆx ˆy ˆz ˆLz ˆh ˆh ˆLx ˆLy Écoulement principal
FIGURE2.1 – Configuration géométrique du modèle. Le domaine fluide est contenu dans un parallélépipède de
longueur ˆLx, de largeur ˆLyet de hauteur ˆLz.
surface. Cette approximation, connue sous le nom de rigid lid (en anglais), est souvent utilisée dans di-vers problèmes de mécanique des fluides avec surface libre. Bien entendu, cette condition élimine les ondes de surface.
2.2 Dynamique de l’écoulement
On étudie un écoulement incompressible régi par les équations de Navier-Stokes
∂ ˆui ∂ˆt + ˆuj ∂ ˆui ∂ ˆxj = − 1 ˆ ρ ∂ ˆp ∂ ˆxi + ν ∂2uˆi ∂ ˆxj∂ ˆxj, (2.2) ∂ ˆuj ∂ ˆxj = 0, (2.3)
où les composantes longitudinale, transversale et verticale de la vitesse ˆui sont notées respectivement
ˆ
u1≡ ˆu, ˆu2≡ ˆv et ˆu3≡ ˆw. ˆp représente la pression2, ˆρ la masse volumique et ν la viscosité cinématique,
ces deux dernières étant des propriétés physiques constantes du fluide. Dans ce travail, on modélise l’écoulement dans un canal mais situé loin des bords latéraux et donc peu influencé par ceux-ci. Dans ce but, on impose des conditions aux limites périodiques dans la direction transversale ˆy. Pour des raisons numériques, on impose également une périodicité le long de x mais on a pris une boîte plus grande le long de la direction ˆx pour prendre en compte la corrélation des tourbillons longitudinaux. Par ailleurs, on impose une condition de non-glissement sur le fond
( ˆu, ˆv, ˆw) = (0,0,0) en ( ˆx, ˆy,− ˆh) (2.4) et une condition du type rigid lid sur la surface
ˆ
w = 0 en ( ˆx, ˆy,+ ˆh). (2.5) Pour les composantes horizontales de la vitesse à la surface ( ˆx, ˆy,+ ˆh), deux cas différents sont étudiés : une condition de glissement (FSC pour "free-slip condition"), une condition de cisaillement imposée (ISC pour " imposed stress condition").
Condition aux limites de glissement (FSC)
Le premier cas étudié correspond à une surface libre non soumise à un cisaillement. Physiquement ceci signifie que l’on néglige les effets extérieurs, comme par exemple le cisaillement imposé par l’atmo-2. La pression ˆp correspond à la pression ˆp∗définie par l’équation (1.14), mais on a enlevé le symbole étoile par souci de
sphère. Ceci conduit aux équations
µ ∂
∂ ˆzu( ˆx, ˆy,+ ˆh) = 0ˆ et µ ∂
∂ ˆzv( ˆx, ˆy,+ ˆh) = 0,ˆ (2.6)
où µ représente la viscosité dynamique.
Condition aux limites de cisaillement imposée (ISC)
Pour le deuxième cas, on impose un cisaillement non nul ˆτs6= 0 sur tout le plan ( ˆx, ˆy, z = + ˆh) qui agit
uniquement le long de la direction longitudinale ˆx. Cette condition aux limites s’exprime sous la forme
µ ∂
∂ ˆzu( ˆx, ˆy,+ ˆh) = ˆτˆ s et µ ∂
∂ ˆzv( ˆx, ˆy,+ ˆh) = 0.ˆ (2.7)
2.3 Mise sous forme adimensionnelle du modèle
Pour mettre ce système sous forme adimensionnelle, on introduit une longueur caractéristique [L] et une vitesse caractéristique [U ]. Cela permet de définir les variables adimensionnelles suivantes
(x, y, z) =[L]1 ( ˆx, ˆy, ˆz), (u, v, w) =[U ]1 ( ˆu, ˆv, ˆw), t =[L][U ]1 −1ˆt, p =ρ[U ]ˆ 1 2p, τ =ˆ ρ[U ]1 2ˆτ. (2.8) Par convention dans cette thèse, toutes les variables portant le symbole chapeau ˆ sont dimensionnelles et celles qui ne le portent pas représentent la variable adimensionnelle associée. Cette convention ne s’applique pas aux viscosités cinématique ν et dynamique µ qui sont toujours des quantités dimension-nelles.
La longueur caractéristique [L] est la demi-hauteur du canal ˆh. Le choix de la vitesse caractéristique [U ] dépend de la nature de l’écoulement et du phénomène à étudier. Très souvent on utilise comme vitesse caractéristique la vitesse maximale ou la vitesse moyenne de l’écoulement. Dans cette étude, l’écoulement est forcé de l’extérieur grâce à un gradient de pression constant. On préfère donc définir la vitesse caractéristique à partir du gradient de pression moyen :
[L] = ˆh et [U ] = s
ˆh ˆ
ρ| ˆΠ| , (2.9)
On définit ci-dessous la relation entre cette vitesse caractéristique [U ] et la vitesse de frottement ˆ uτ≡ s ˆτw ˆ ρ , (2.10)
où τwreprésente la contrainte de cisaillement moyenne sur la paroi inférieure.
Canal ouvert sans cisaillement en surface
À partir de l’équilibre des forces semblable à l’équation (1.13) obtenue dans le chapitre précédent, on obtient pour un écoulement avec une surface libre non cisaillée
ˆτw= −2 ˆh ˆΠ. (2.11)
Il en résulte que la vitesse de frottement (2.10) dans un canal ouvert est égale à ˆ
uτ=
p
Canal ouvert avec un cisaillement tangentiel imposé à la surface
Lorsqu’on impose un cisaillement sur la surface, le gradient de pression moyen est toujours équilibré par le cisaillement au fond ˆτwet à la surface ˆτsi.e. on a ˆτw− ˆτs= −2 ˆh ˆΠ. La vitesse de frottement (2.10) pour cet écoulement est donc
ˆ
uτ=
p
2 + τs [U ] , avec τs≡ρ[U ]ˆˆτs 2. (2.13)
Pour un écoulement de Poiseuille standard, le cisaillement en surface est de même magnitude de celui sur le fond (mais avec le signe contraire) ˆτs= − ˆτw. Pour cet écoulement on a ˆuτ= [U ].
En utilisant les longueurs caractéristiques décrites par l’équation (2.9), le domaine de définition du sys-tème est x : [0,4π], y : [0,2π] et z : [−1,+1]. Les équations dynamiques (2.2) et (2.3) sont réécrites respectivement ∂ui ∂t + uj ∂ui ∂xj = − ∂p ∂xi + 1 Re ∂2ui ∂xj∂xj. (2.14) ∂uj ∂xj = 0, (2.15)
où le nombre de Reynolds est défini par
Re ≡[L][U ] ν = ˆhrhˆ ˆ ρ| ˆΠ| ν . (2.16)
On peut introduire également à partir de la vitesse de frottement ˆuτ, un autre nombre de Reynolds
Reτ=
ˆh ˆuτ
ν .
Pour les écoulements en canal ouvert sans cisaillement (FSC) on a donc Reτ=
p
2Re. Pour les écoule-ments en présence de cisaillement (ISC) on a Reτ=p2 + τsRe.
Dans la suite, on exprime la pression comme la somme d’une partie moyenne ¯p et d’une partie
fluc-tuante p′. Sous forme adimensionnelle, le terme du gradient moyen de pression le long de x est égal à moins l’unité. L’équation de Navier-Stokes (2.14) est donc réécrite
∂ui ∂t = Si− ∂p′ ∂xi + 1 Re ∂2ui ∂xj∂xj, (2.17)
où Sicontient le terme non linéaire moins le terme du gradient moyen de pression,
Si= −
∂(ujui)
∂xj + δi1. (2.18)
Les conditions aux limites sur le fond (2.4) et celle du type rigid lid sur la surface (2.5) deviennent res-pectivement
(u, v, w) = (0,0,0) en z = −1, (2.19)
et
w = 0 en z = 1. (2.20) Pour les conditions aux limites concernant les composantes de vitesse u et v, trois cas ont été proposés. Le cas FSC (eqn (2.6)) et le cas ISC (eqn (2.7)) se réécrivent respectivement
∂ ∂zu(x, y,+1) = 0, ∂ ∂zv(x, y,+1) = 0, pour FSC. (2.21) ∂ ∂zu(x, y,+1) = Re τs ∂
2.4 Méthode numérique : reformulation des équations sans gradient
de pression
La résolution des équations de conservation (2.15) et (2.17) présente des difficultés en raison des condi-tions à imposer sur la pression. Aussi préfère-t-on éliminer le gradient de pression des équacondi-tions que l’on simule. Cette méthode est inspirée des travaux de Kim et al. [1987] et Lam and Banerjee [1992]. En raison de la périodicité du modèle dans les directions x et y, on représente le champ des vitesses par des modes de Fourier en x et y
ui(x, y, z; t) ≡X |nx| X |ny| ˜ ui(kx,ky, z; t)ei(kxx+kyy), (2.23)
où la somme est effectuée sur les entiers relatifs nxet nyallant de −∞ à ∞. Les nombres d’ondes kx et
kysont définis comme
kx≡2πnx
Lx , ky≡
2πny
Ly . (2.24)
˜
uireprésente le coefficient de Fourier3. Pour éliminer le gradient de pression, on sépare les modes ayant
un nombre d’onde k2≡ k2
x+ k2y 6= 0 et le mode unique à k = 0 car, dans ce dernier cas, le terme ∂p
′
∂xi
disparaît automatiquement des équations.
2.4.1 Équations pour les nombres d’onde k
2≡ k
x2+ k
2y6= 0
Pour obtenir un système pour les modes k26= 0, on élimine le gradient de pression de l’équation de Navier-Stokes (2.17) en appliquant l’opérateur rotationnel. On obtient ainsi l’équation de transport de la vorticité ω = ∇ × u ∂ω ∂t = ∇ × S + 1 Re∇ 2ω. (2.25)
En appliquant l’opérateur rotationnel une fois de plus à cette équation et en utilisant l’équation (2.15) de continuité et l’identité ∇×(∇×v) = ∇(∇·v)−∇2v, on obtient une équation supplémentaire du quatrième ordre pour u ∂(∇2u) ∂t = ∇ 2S − ∇¡ ∇ · S¢+ 1 Re∇ 4u. (2.26)
On simule uniquement l’équation (2.25) pour la composante de la vorticité normale à la paroi ωz et
l’équation (2.26) pour la composante de la vitesse normale à la paroi w. On obtient ensuite grâce à l’équation de continuité (2.15) et à la définition de la composante verticale de la vorticité ωz, deux
équa-tions pour calculer les composantes de la vitesse u et v. Ceci constitue un système fermé de quatre équations ∂ωz ∂t = ∂S2 ∂x − ∂S1 ∂y + 1 Re∇ 2ω z (2.27a) ∂(∇2w) ∂t = ∇ 2S 3− ∂ ∂z µ ∂Sj ∂xj ¶ + 1 Re∇ 4w (2.27b) ∂u ∂x+ ∂v ∂y = − ∂w ∂z (2.27c) ∂v ∂x− ∂u ∂y = ωz. (2.27d)
On ferme ce système d’équations en réécrivant pour les modes de nombre d’onde k26= 0 les conditions aux limites (2.19)-(2.22) en fonction de la composante verticale de la vorticité ωz et de la composante
verticale de la vitesse w. Sur le fond z = −1, la condition aux limites de non-glissement (2.19) impose des 3. Dans la suite, le symbole tilde ˜ indique qu’il s’agit du coefficient de Fourier de la variable concernée.
gradients tangentiels (∂x et ∂y) des composantes horizontales de la vitesse (u et v) nuls. Dans ce plan,
l’équation de continuité (2.27c) se réduit donc à une condition supplémentaire pour la composante verticale de la vitesse w
∂
∂zw(x, y,−1) = 0. (2.28)
Pour la même raison, l’équation (2.27d) se réduit à une condition pour ωz
ωz(x, y,−1) = 0. (2.29)
Concernant les conditions aux limites sur la surface pour les cas FSC et ISC, on dérive l’équation de continuité (2.27c) par rapport à z et on remplace dans cette dernière l’équation (2.21) pour FSC ou l’équation (2.22) pour ISC :
∂2
∂z2w(x, y,+1) = 0. (2.30) En dérivant l’équation (2.27d) par rapport à z et en utilisant à nouveau l’équation (2.21), pour FSC ou l’équation (2.22) pour ISC, on obtient
∂
∂zωz(x, y,+1) = 0. (2.31)
Le système d’équations (2.27) et les quatre conditions aux limites ci-dessus gouvernent la dynamique de l’écoulement. La méthode numérique pour résoudre ces équations est décrite dans la section 2.5.
2.4.2 Équations pour le nombre d’onde k = 0
Pour le mode k = 0, on calcule ce mode pour u et v en utilisant l’équation (2.17) dans l’espace de Fourier
∂ ∂tu(0,0, z) = ˜S˜ 1(0,0, z) + 1 Re ∂2 ∂z2u(0,0, z) .˜ (2.32) ∂ ∂tv(0,0, z) = ˜S˜ 2(0,0, z) + 1 Re ∂2 ∂z2v(0,0, z) .˜ (2.33) Le champ w est calculé à partir de l’équation de continuité (2.15)
∂
∂zw(0,0, z) = 0 .˜ (2.34)
En utilisant la condition aux limites de non-glissement sur le fond (2.19), il en résulte que ˜w(0,0, z) = 0.
En utilisant à nouveau le non-glissement sur le fond, on a ˜u(0,0,−1) = ˜v(0,0,−1) = 0. Concernant les
conditions aux limites à imposer aux composantes de vitesse ˜u(0,0, z) et ˜v(0,0, z) en z = 1, le cas FSC se
réécrit
∂
∂zu(0,0,+1) = 0,˜
∂
∂zv(0,0,+1) = 0˜ pour FSC. (2.35)
Concernant le cas ISC, on obtient les conditions
∂
∂zu(0,0,+1) = Re τ˜ s
∂
∂zv(0,0,+1) = 0˜ pour ISC. (2.36)
2.5 Méthode numérique : discrétisation spatiale
Le système d’équations est résolu avec une méthode pseudo-spectrale. On discrétise en considèrant un nombre fini de modes de Fourier
ui(x, y, z; t) ≡X |nx| X |ny| ˜ ui(kx,ky, z; t)ei(kxx+kyy), (2.37)
1 1 2 2 3 3 4 4 Nx Ny Nz 1 i j k
FIGURE2.2 – Domaine numérique. Nx, Nyet Nzreprésentent respectivement le nombre de points le long de x(i ), y(j ) et z(k) (voir eqn (2.38)).
où la somme est maintenant effectuée sur les entiers relatifs nx et nycompris dans les intervalles −Nx/2+
1 ≤ nx≤ Nx/2 et −Ny/2 + 1 ≤ ny≤ Ny/2, où Nxet Nyreprésentent le nombre de modes de Fourier
utili-sés (Canuto et al. [2006]).
Le domaine géométrique de la section 2.1 est discrétisé en utilisant un maillage structuré4. Le nombre de modes utilisés pour l’interpolation spectrale est le même que le nombre de noeuds du maillage. Dans les plans horizontaux, les noeuds sont équidistants. Le long de la direction z, on obtient un maillage plus fin près des bords inférieur et supérieur où les gradients de vitesse sont plus forts et requièrent donc une résolution plus élevée. Les points en z sont donnés par les zéros des polynômes de Tcheby-chev (Canuto et al. [2007]). Plus précisément, le domaine géométrique (voir figure 2.2) est discrétisé aux points suivants x(i ) = (i − 1)NLx x− 1 i = 1,2,3,...,Nx (2.38a) y(j ) = (j − 1)NLy y− 1 j = 1,2,3,...,Ny (2.38b) z(k) = cosµ k −1N z− 1π ¶ k = 1,2,3,...,Nz (2.38c)
où Nx, Nyet Nzreprésentent respectivement le nombre de points le long de x(i ), y(j ) et z(k).
2.6 Méthode numérique : discrétisation temporelle pour k
26= 0
La définition (2.37) permet de représenter le système d’équations (2.27) dans l’espace de Fourier pour les modes de Fourier k26= 0. L’équation de continuité (2.27c), la définition de la composante verticale de la vorticité (2.27d), l’équation de transport de ωz(2.27a) et l’équation de transport de w (2.27b) deviennentrespectivement ikxu + ik˜ y˜v + ∂ ∂zw = 0 ,˜ (2.39) ˜ ωz= ikxv − ik˜ yu ,˜ (2.40) ∂ ˜ωz ∂t = ikxS˜2− ikyS˜1+ 1 Re µ ∂2 ∂z2− k2 ¶ ˜ ωz. (2.41) ∂ ˜φ ∂t = − ∂ ∂z¡ikxS˜1+ ikyS˜2 ¢ − k2S˜3+Re1 µ ∂ 2 ∂z2− k2 ¶ ˜ φ , avec φ ≡˜ µ ∂ 2 ∂z2− k2 ¶ ˜ w. (2.42)
La résolution dans l’espace modal de la partie non linéaire du terme Si (2.18) requiert le calcul d’un
produit de convolution. Si on fait cette opération de manière directe, ce calcul a un coût de O(N)2 4. Un maillage structuré est celui où chaque noeud du réseau peut être considéré comme l’origine d’un système de coordon-nées local dont les axes coïncident avec les lignes de la grille. Cela implique que les lignes de la maille appartenant à la même famille ne se coupent pas et que toute triade de lignes appartenant à des familles différentes ne se croisent qu’une seule fois (Ferziger and Peri´c [2002]).
opérations le long d’une direction, où N est le nombre total de points le long de cette direction. Le calcul de ˜Si est donc très pénalisant. Pour contourner cette difficulté on utilise la méthode
pseudo-spectrale (Canuto et al. [2007]). Le coût numérique est de O(N log2N) par direction donc de O(N3log 2N) globalement. La maille discrète avec un nombre fini de points provoque toutefois une erreur de replie-ment spectral (aliasing en anglais) dans le calcul de la transformée de Fourier. On supprime cette erreur en utilisant la règle de 2/3 (troncature), qui consiste à ne considérer que les 2/3 des modes de Fourier totaux (Canuto et al. [2007]).
2.6.1 Discrétisation pour l’équation en ˜
ω
zAfin de discrétiser temporellement l’équation (2.41), on sépare les termes convectifs et les termes diffu-sifs : on écrit cette équation sous la forme
∂ ˜ωz ∂t = ξ + ψ , (2.43) avec ξ = ikxS˜2− ikyS˜1 et ψ = 1 Re µ ∂2 ∂z2− k2 ¶ ˜ ωz. (2.44)
La discrétisation temporelle des termes convectifs ξ est effectuée avec le schéma d’Adams-Bashforth, et celle des termes diffusifs ψ par un schéma de Crank-Nicolson
˜ ωn+1z = ˜ωnz+ ∆tµ 3 2ξ n−1 2ξn−1 ¶ +∆t 2 ¡ ψn+1+ ψn¢ . (2.45)
où ∆t représente le pas du temps et n l’indice de la variable temporelle. Comme les schémas d’Adams-Bashforth et de Crank-Nicolson (voir [Ferziger and Peri´c, 2002, sec 6.2.2]) sont du deuxième ordre en temps, c’est le cas pour l’équation de transport de la vorticité ˜ωz. En utilisant les équations (2.40) et
(2.44), l’équation précédente devient une équation de Helmholtz µ ∂2 ∂z2− β2 ¶ ˜ ωn+1z = − 1 γ¡ikxH n 2− ikyH1n¢ , (2.46) avec β2≡ k2+1 γ , γ ≡ ∆t 2Re. (2.47) Hin= ∆tµ 3 2S˜ n i − 1 2S˜n−1i ¶ + γµ ∂ 2 ∂z2− k2+ 1 γ ¶ ˜ uin i = 1,2. (2.48)
2.6.2 Discrétisation pour l’équation en ˜
w
L’équation de transport de la composante verticale de la vitesse (2.42) est discrétisée temporellement par une procédure analogue à celle de l’équation de transport de la vorticité ˜ωz. Elle est écrite en utilisant
une variable auxiliaire ˜φn+1
µ ∂2 ∂z2− β2 ¶ ˜ φn+1= Hn γ (2.49) µ ∂2 ∂z2− k2 ¶ ˜ wn+1= ˜φn+1 (2.50) avec Hn≡ ∂ ∂z¡ikxH n 1+ ikyH2n ¢ + k2H3n. (2.51)
où on trouve après quelques calculs que H3na une forme similaire à H1nou H2n
H3n= ∆tµ 3 2S˜ n 3− 1 2S˜3n−1 ¶ + γµ ∂ 2 ∂z2− k2+ 1 γ ¶ ˜ u3n (2.52)
La quantité ˜wn+1est donc également obtenue par la résolution de deux équations de Helmholtz (2.49) et (2.50).
2.6.3 Discrétisation suivant z pour k
26= 0
La résolution du système d’équations (2.27) est réduite à la résolution de trois équations de Helmholtz qui fournissent ˜ωn+1z et ˜wn+1. On utilise ensuite les équations (2.39) et (2.40) pour obtenir ˜un+1et ˜vn+1.
L’algorithme de résolution de ce système est donc le suivant : — on calcule les termes historiques Hn
i et Hn,
— on résout les équations (2.46) et (2.49)-(2.50), — on obtient ˜un+1et ˜vn+1.
On peut résoudre ces équations de Helmholtz numériquement par la méthode de Tchebychev-Tau (Canuto et al. [2006]). Dans la direction verticale z, les vitesses sont représentées par des polynômes de Tchebychev Tnz(z) (Canuto et al. [2007]) : les modes de Fourier des vitesses ui peuvent s’écrire
˜
un+1i (kx,ky, z) ≡X
|nz| ˜˜un+1
i (kx,ky,nz)Tnz(z). (2.53)
avec 0 < nz < Nz, où Nz est le nombre de coefficients dans la direction z. La vitesse ui est alors une
fonction de kx, kyet nz. On discrétise ensuite en z une équation de Helmholtz et on prend en compte
les conditions aux limites correspondantes aux quantités et aux cas étudiés FSC ou ISC. On réécrit donc dans l’espace de Fourier les conditions aux limites sur le fond et à la surface pour chacune des possibi-lités. Ces conditions aux limites sont (ici écrites pour ˜ωz) de la forme
p1ω˜z(kx,ky,−1) + q1 ∂
∂zω˜z(kx,ky,−1) = r1 p2ω˜z(kx,ky,+1) + q2 ∂
∂zω˜z(kx,ky,+1) = r2.
(2.54)
Leurs coefficients pi, qiet ri dépendent des deux cas étudiés.
Cette méthode calcule les coefficients ˜˜wn+1
i (kx,ky,nz) et ˜˜ωn+1z (kx,ky,nz). On obtient ensuite ˜˜un+1(kx,ky,nz)
et ˜˜vn+1(kx,ky,nz) en utilisant (2.39) et (2.40). Le calcul de la dérivée suivant z est effectué grâce aux
pro-priétés du développement de Tchebychev (Canuto et al. [2006]). On discute ci-dessous chacun des cas particuliers.
Conditions aux limites pour l’équation de Helmholtz pour ωz
On réécrit donc dans l’espace de Fourier les conditions aux limites sur le fond (2.29) et à la surface (2.31) pour FSC ou ISC. Les coefficients pi, qiet ri sont simples pour ˜ωz. Elles sont données dans la table 2.1.
pi qi ri
Sur le fond 1 0 0 Sur la surface 0 1 0
TABLE2.1 – Les coefficients des conditions aux limites discrètes de l’équation du transport de la composante
verti-cale de la vorticité ˜ωz(2.46) identiques pour les deux cas étudiés (FSC et ISC)
Conditions aux limites pour l’équation de Helmholtz pour w et φ
On a une difficulté particulière pour les équations de Helmholtz (2.49) et (2.50) : on ne connaît pas les conditions aux limites à appliquer à la variable ˜φn+1. Ceci couple en fait la résolution de w et φ. Pour parvenir à scinder les problèmes, on utilise la méthode de la matrice d’influences (Daube [1991]). D’une part, on décompose la quantité ˜φ comme suit
˜
les fonctions ˜φ1, ˜φ2et ˜φ3étant définie telles que µ ∂2 ∂z2− β2 ¶ ˜ φn+11 =H n γ φ˜ n+1 1 (+1) = 0, φ˜n+11 (−1) = 0 (2.56a) µ ∂2 ∂z2− β2 ¶ ˜ φ2= 0 φ˜2(+1) = 0, φ˜2(−1) = 1 (2.56b) µ ∂2 ∂z2− β 2¶˜ φ3= 0 φ˜3(+1) = 1, φ˜3(−1) = 0 (2.56c) ˜
φn+11 est une solution particulière du problème complet, tandis que ˜φ2et ˜φ3sont des solutions parti-culières du problème homogène. Les constantes A et B sont indéterminées à ce stade. En revanche, les conditions pour ˜φine dépendent pas de la nature des conditions de paroi. D’autre part, on décompose
la vitesse ˜wn+1en trois parties :
˜
wn+1= ˜wn+11 + A ˜w2+ B ˜w3. (2.57)
et on impose les conditions de paroi w(x, y,±1) = 0. µ ∂2 ∂z2− k2 ¶ ˜ w1n+1= ˜φn+11 w˜1n+1(+1) = 0, w˜1n+1(−1) = 0 (2.58a) µ ∂2 ∂z2− k2 ¶ ˜ w2= ˜φ2 w˜2(+1) = 0 w˜2(−1) = 0 (2.58b) µ ∂2 ∂z2− k2 ¶ ˜ w3= ˜φ1 w˜3(+1) = 0 w3(−1) = 0, (2.58c)
On peut maintenant utiliser la méthode Chebyshev-Tau avec les conditions aux limites pour calculer les ˜
wi et ˜φi (table 2.2). Enfin il reste à évaluer les constantes A et B pour obtenir la valeur de ˜w. On doit
p1 q1 r1 p2 q2 r2 ˜ φ1 1 0 0 1 0 0 ˜ φ2 1 0 1 1 0 0 ˜ φ3 1 0 0 1 0 1 ˜ w1 1 0 0 1 0 0 ˜ w2 1 0 0 1 0 0 ˜ w3 1 0 0 1 0 0
TABLE2.2 – Les coefficients des conditions aux limites discrètes des équations de w et φ.
imposer les conditions aux limites sur le fond (2.28) et la surface (2.30) (pour FSC ou pour ISC). Elles sont représentées de manière générale comme suit
Ã∂2 ∂z2w˜2(+1) ∂ 2 ∂z2w˜3(+1) ∂ ∂zw˜2(−1) ∂z∂w˜3(−1) ! A B = − Ã∂2 ∂z2w˜1(+1) ∂ ∂zw˜1(−1) ! (2.59) Enfin, pour obtenir les valeurs de ˜u et ˜v on résout le système linéaire formé par les équations (2.39) et
(2.40).
2.7 Méthode numérique : discrétisation temporelle pour k = 0
En se plaçant dans l’espace de Fourier, on peut appliquer aux équations (2.32)-(2.33) l’algorithme de discrétisation temporelle de la section précédente. On obtient alors deux équations de Helmholtz à ré-soudre µ ∂2 ∂z2− 1 γ ¶ ˜ un+1(0,0, z) = −H n 1 γ (2.60a) µ ∂2 ∂z2− 1 γ ¶ ˜ vn+1(0,0,z) = −H n 2 γ (2.60b)
