Résumé—Le présent travail consiste à une étude numérique de la convection mixte laminaire dans une cavité carrée, dont le but est la recherche d’un paramètre capable de situer ce genre de convection. Approuvent une vrais concurrence entre convection forcée et convection naturelle, on a choisi une cavité dont la paroi verticale gauche est mobile et soumise à une température froide, tandis que la paroi droite est considérée fixe et chaude. Les parois horizontales sont adiabatiques. Les équations régissantes sont l’équation de continuité, les équations de Navier-Stocks et l’équation d’énergie. Ces équations sont discrétisées par la méthode des volumes finis sur un maillage décalé et l’algorithme SIMPLE a été utilisé pour le traitement du couplage vitesse- pression.
Les simulations numériques ont été faites pour une large plage des nombres de Reynolds (1Re600), et de Grashof (24Gr2.016107) en restant toujours en régime laminaire.
Les frontièresde transition d’un régime de convection à un autre régime (forcée-mixte, puis mixte-naturelle) ont été déterminées par nombre de Richardson modifié.
Mots clés — Cavité carré, Nombre de Richardson modifier, Régime convectif, Transition.
I. INTRODUCTION
La convection mixte (combinaison de la convection forcée avec la convection naturelle) a une grande importance, vu sa présence dans de nombreux processus industriels et des dispositifs de l’ingénierie tel que le refroidissement des composants électroniques, les pertes de chaleur dans les collecteurs solaires, la ventilation des locaux, réacteur
Manuscri reçu le 01 décembre 2010.
S. Boulkroune est un doctorant au Laboratoire Microsystème et Instrumentation, Département de Génie Mécanique, Université Mentouri, Route de Ain Elbey – Constantine ; Tel : (+213) 0551 825 003; (e-mail:
sofiane25000dz@yahoo.fr).
O. Kholai, M.C. au Département de Génie Mécanique, UMC, Route de Ain Elbey –Constantine ; (e-mail: kholai.omar@gmail.com).
S. Boudebous, Professeur au Département de Génie Mécanique, UMC, Route de Ain Elbey –Constantine ; (e-mail: s_boudebous@yahoo.fr).
D. Debbah, est un doctorant au Laboratoire Microsystème et Instrumentation, Département de Génie Mécanique, Université Mentouri, Route de Ain Elbey – Constantine ; Tel : (+213) 0550 746 004; (e-mail:
debbahdjoubier@hotmail.com).
nucléaire, etc. Dans la littérature, plusieurs travaux concernant la convection mixte existent, et cela pour des géométries différentes, parmi ces travaux on peut citer : A. Raji, et M.
Hasnaoiu [1] qui ont étudie numériquement la convection mixte laminaire dans une cavité rectangulaire ventilée et soumise à un flux de chaleur constant. Ils ont montré que le choix du paramètre gouvernants la prédominance de chaque agent (convection naturelle, ou convection forcée) dépend de plusieurs paramètres tels que les conditions aux limites et la géométrie du domaine d’étude. O.Ayden et W. J. Yang [2] ont mené une étude numérique de la convection mixte laminaire bidimensionnelle dans une cavité carrée ; une source chaude est placée au centre de la paroi inférieure. Les effets de la longueur de la source de chaleur ainsi que du nombre de Richardson ont été étudiés. Les résultats de l’étude de H. F.
Oztop et I. Dagtekin [3] concernant une cavité–carrée portant deux parois mobiles verticales et chauffées différentiellement et avec les parois horizontales maintenues adiabatiques – montrent que le nombre de Richardson influe sur l’écoulement du fluide et le transfert thermique pour Ri = 1, et par conséquent, le transfert de chaleur est assez meilleur.
R. Iwatsu, et al [4] ont étudié l’écoulement et le transfert de chaleur d’un fluide visqueux contenu dans une cavité carrée.
Les résultats ont été obtenus pour 0Re106, 3000
Gr
0 . Les résultats montrent que le transfert de chaleur est intensif pour Gr Re²1. Le sujet concernant la convection mixte dans des cavités reste encore à explorer ; D.
Milos et Pavlovic [5] ont fait une étude expérimentale sur la convection mixte dans une cavité cubique ouverte, trois cas en été étudié pour différents dimension de la cavité, ainsi que le coefficient de transfert de chaleur. Une corrélation entre les nombres de Nusselt, Reynolds et Grashof est obtenue.
L’objectif du présent travail consiste à examiner les effets des nombres de Grashof et de Reynolds sur la structure d’écoulement du fluide. Des corrélations donnant la relation entre Gr, Re pour réaliser la contribution de la convection mixte au transfert de chaleur sont proposées.
II. GEOMETRIE ET MODELE MATHEMATIQUE
La configuration géométrique étudiée est présentée sur
Détermination des Paramètres Caractérisant la Convection Mixte Laminaire dans
une Cavite Carrée
S. Boulkroune, O. kholai, S. Boudebous et D. Debbah, Laboratoire LEAP - Département de Génie Mécanique, Université Mentouri-Constantine
L
Le choix de cette configuration et des conditions aux limites est motivé par :
--La coexistence de deux types de convection au sein de la cavité, la convection forcée déclenchée par la paroi gauche mobile, et la convection naturelle due à la différence de température entre les deux cotés gauche et droite de la cavité.
--La simplicité de la géométrie permet une détermination facile d’un critère d’existence de l’une de deux convections ou les deux en même temps.
On a introduit des variables adimensionnelles dans les équations de conservation qui régissent ce type d'écoulement, à savoir, l'équation de continuité, l'équation de quantité de mouvement et l'équation de l'énergie, citées dans Patankar [6], ces variables adimensionnelles sont :
f
c f
2 0
0 0
0
T T T T , U p P
, L U t , U v V , U u U , L y Y , L x X
Les équations adimensionnées obtenues qui régissant l’écoulement s’écrivent comme suit :
Y 0 V X
U
(1)
Y U Y X U X X
P Y V U X U U U
Re 1
(2)
0 Y et
0 V 1
0 et 0
0 Y et
0 V 1
0 et 0
1 et 0
V 1
0 et 1
0 et 1 V et 0 1
0 et 0
U X
Y
U X
Y
U Y
X
U Y
X
III. METHODE NUMERIQUE
Les équations régissantes, ont été discrétisées par la méthode des volumes finis sur un maillage décalé et l’algorithme SIMPLE a été utilisé pour le traitement du couplage vitesse-pression. Dans le présent travail nous allons utiliser le schéma de la loi de puissance (Power Law), car il exige moins de temps de calcul et permet de fournir une meilleure stabilité de la solution numérique et des résultats proches de la solution exacte. La discrétisation nous a donné un système d’équations algébriques non linéaires, dans la solution nécessitent l’utilisation d’une méthode numérique itérative par double balayage en utilisant l’algorithme de THOMAS [6].
IV. RESULTATS ET DISCUSSION
Les résultats de nos simulations numériques à pour but d’étudié paramétriquement la convection thermique dans la géométrie considérée (24Gr2.016107 ; 1Re600).
Nous verrons en premier lieu, l’influence du maillage sur les résultats, puis nous procédons à la validation de notre code de calcul. Pour plus de clarté, nous avons jugé utile de présenter les résultats selon le mode de convection (convection forcée, mixte et en fin convection naturelle) pour déterminer les limites inferieure et supérieure de la convection mixte et les paramètres qui caractérise le mode de la convection. Pour cela on trace la courbe qui montre la variation de nombre de Gr critique en fonction de Re critique.
A. Validation du code de calcul
Pour la vérification des résultats numériques obtenus dans le présent travail, une validation du code numérique a été faite en prenant en compte les résultats de R. Iwatsu et al [4], obtenus dans le cas d’une cavité carrée, dont la paroi supérieure est mobile et maintenue à une température chaude. La paroi inférieure est soumise à une température froide, les parois verticales sont adiabatiques.
Adiabatique
L
L
Tf X Tc
Y V
Fig. 1. Configuration géométrique du problème considéré.
B. Profil de vitesse au centre de la cavité
Pour qu’on puisse déterminer les limites de la convection mixte, on a tracé le profil de vitesse au centre de cavité pour les trois zones de la convection.
Pour que la convection forcée soit dominante (Fig. 4a), on a supposé que le débit dû aux effets mécaniques à gauche de la cavité (paroi mobile) est presque 30 fois le débit dû aux effets naturels à droite de la cavité (différence de températures).
Dans le cas où les deux débits sont du même ordre (Fig. 4b), le régime convectif est caractérisé par la convection mixte.
En fin lorsque la convection naturelle prédomine (Fig. 4c), on suppose un rapport entre les débits inverse à celui supposé pour la convection forcée, c'est-à-dire, le débit près de la paroi chaude est presque 30 fois le débit près de la paroi mobile.
C. Les limites de la convection mixte
La Fig. 5 représente la variation du Gr critique en fonction de Re critique sur une échelle logarithmique.
On remarque la présence de trois zones, une zone médiane (illustre la convection mixte) possède deux frontières limites.
Au-delà de la limite supérieure, les effets gravitationnels augmentent (Gr augmente) par rapport aux effets d’inertie (Re). Cette zone est dominée par la convection naturelle. En fin, la zone inferieure du graphe est dominée par le régime de convection forcée.
On remarque aussi que pour un nombre de Reynolds entre 1 et 10,l’épaisseur de la zone médiane(convection mixte) est presque constante, au fur et a mesure que le nombre de Reynolds augmente, cette épaisseur devient plus large.
Fig. 5. La variation de Gr en fonction de Re.
a.
b.
c.
Fig. 4. Profil de la vitesse au niveau du centre de la cavité pour Re=70, Gr=4900 : (a) Cas de la convection forcée prédomine ; (b) Cas de la convection mixte ; (c) Cas de la convection naturelle prédomine.
a. b.
Fig. 3. Comparaison des isothermes pour Re=103, Gr=10² (Ri=0.0001) : (a) Présent travail, (b) Résultat de R. Iwatsu, et al [4]
a. b.
Fig. 2. Comparaison des contours de la fonction de courant pour Re=103, Gr=10² (Ri=0.0001) : (a) Présent travail, (b) Résultat de R. Iwatsu, et al [4]
présence des zones de recirculation contrarotatives dans les deux parties gauche et droite de la cavité. Le débit entrainé par la cellule près de la paroi mobile froide est plus important que celui par la cellule près de la paroi chaude; ceci est expliqué par la prédominance de la convection forcée.
Les isothermes sont montrées par la Fig. 6 pour les mêmes nombres de Reynolds (5, 70 et 200) et différents nombres de Grashof (122.5, 1519 et 5360). Les lignes matérialisant les isothermes se concentrent parallèlement le long de la paroi chaude où les gradients sont importants et le transfert thermique dans cette partie est conductif. Nous notons également que les lignes sont perpendiculaires aux parois horizontales et traduisent ainsi la condition d’adiabacité sur celles-ci.
Les isocourants sont présentés sur la Fig. 7 pour différents nombres de Reynolds (5, 70 et 200) et différents nombres de Grashof (250, 4900 et 32000). Deux cellules contrarotatives des différentes formes et intensités mais comparables sont observées, l’une dans le sens antihoraire occupe les deux tiers jusqu’au trois quart de la cavité. L’autre de sens horaire occupe la zone gauche. On remarque aussi que le débit entrainé par la cellule près de la paroi mobile froide et celui par la cellule près de la paroi chaude, ont le même ordre de grandeur.
La même figure représente les isothermes pour les mêmes nombres de Reynolds et de Grashof. On remarque que la déviation des lignes isothermes est significative près de deux parois (froide et chaude), ce qui explique l’effet combiné de deux régimes de la convection sur ces isothermes.
a.
b.
c.
Fig. 7. Fonctions de courant et isothermes dans le cas de la convection mixte : (a) Re=5, Gr=250, (b) Re=70, Gr=4900, (c) Re=200, Gr=32000 a.
b.
c.
Fig. 6. Fonctions de courant et isothermes dans le cas de la convection forcée prédomine : (a) Re= 5, Gr=122.5, (b) Re=70, Gr=1519, (c) Re=200, Gr=5360.
Zone de la convection naturelle dominante
Les isocourants sont présentés sur la Fig. 8 pour les mêmes nombres de Reynolds et différents nombres de Grashof (2750, 235200 et 1920000). Par comparaison avec le cas où la convection forcée prédomine, on remarque que cette fois la cellule intense se trouve dans la partie droite de la cavité et devient de plus en plus grande avec l’augmentation du nombre de Reynolds, d’où on remarque que pour Re=70 et 200 la cellule droite occupe presque toute la cavité et la cellule gauche se rétrécisse.
Les isothermes sont montrées par la Fig. 8. Lorsque le nombre de Reynolds augmente nous observons une stratification de la température dans la partie droite de la cavité. Dans ce cas, la convection naturelle domine la convection forcée et la chaleur ce propage à partir de la paroi chaude vers la paroi froide de la cavité en commençant par la partie supérieure.
D. Détermination des paramètres qui contrôlent la convection mixte
Le critère de similitude pour la convection mixte laminaire dans une cavité carrée est basé sur un paramètre= f(Gr, Re).
L’extérieur de l’intervalle min max représente soit la convection naturelle, soit la convection forcée.
Convection naturelle
La Fig. 9 représente la variation du nombre de Grashof critique en fonction du nombre de Reynolds critique nécessaire pour le passage d’un régime de convection mixte à un régime de convection naturelle. On remarque que cette courbe est une fonction de la forme : Grcri Reacri.
5791 .
46
et a = 2.03202 alors :
03202 . 0 2
03202 . 0
2 46.58Re
Re Re Gr
Re 58 . 46
Gr
et donc : Ri46.58Re0.03202 .
Ce résultat montre le bon accord entre nos calculs et la théorie, c'est-à-dire, que Ri est le paramètre décisif au passage d’un régime de convection mixte à un régime dominé par la convection naturelle. Re0.03202 est très petit et ne peut pas changer beaucoup de chose dans les résultats.
Donc pour Re 600 Re0.03202 1.23 00 . 1 Re
1
Re 0.03202
Si on suppose que dans l’intervalle 1Re600, on peut prendre Re0.03202 égale à une valeur moyenne constante.
Donc : Re0.03202
1.231.00
/21.115.Finalement, on trouve Ri = 52. Ce qui entraîne que la convection naturelle est dominante pour Ri≥52
→Convection naturelle prédomine.
Convection forcée
La Fig. 10 montre la variation du nombre de Grashof critique en fonction du nombre de Reynolds critique nécessaire pour le passage d’un régime de convection mixte à un régime de convection forcée. On distingue deux parties remarquables : La première partie est presque une ligne horizontale allant de Re≈0jusqu’auRe = 100 ; cette courbe est représentée par
a.
b.
c.
Fig. 8. Fonctions de courant et isothermes dans le cas de la convection naturelle prédomine : (a) Re=5, Gr=2750, (b) Re=70, Gr=235200, (c) Re=200, Gr=1920000
Fig. 9. La variation du nombre de Grashof critique en fonction du nombre de Reynolds critique pour la convection naturelle dominante.
La deuxième partie est aussi presque une droite qui augmente linéairement avec Re pour 100Re600. On trouve la même fonction mais :λ= 0.58818 et a = 1.71046.
Donc le paramètre qui contrôle la convection forcée est Gr/Re1.71046, ainsi ; au dessous de la valeurλ= 0.58818, la convection forcée prédomine.
V. CONCLUSION
Le présent travail porte sur la recherche d’un critère de similitude pour la convection mixte dans une cavité carrée dont la paroi verticale gauche est mobile et soumise à une température froide, tandis que la paroi droite est considérée chaude. Les parois horizontales sont supposées adiabatiques.
On a pu déterminer des paramètres qui caractérisent la convection mixte en discrétisant les équations gouvernant ce phénomène ; les résultats obtenus montrent que quelque soit la valeur du nombre de Reynolds,la structure de l’écoulement est qualitativement la même.
Nous avons trouvé aussi que le paramètre qui précise la convection naturelle est presque égale au nombre de Richardson et pour la convection forcée c’est Gr/Re pour Re≤à 100 et Gr/Re1,71046pour Re > 100.
heated lower wall and moving sidewalls, Numerical Heat Transfer, Part A, 37, pp 695-710, 2000.
[3] H. F. Oztop, I. Dagtekin, Mixed convection in two sided lid driven differentially heated square cavity, Int. J. Heat. Mass Transfer 47, pp 1761-1769, 2004.
[4] R. Iwatsu, J. M. Hyun, K. Kuwahara, Mixed convection in driven cavity with a stable vertical temperature gradient, Int. J. Heat. Mass Transfer, Vol 36, N° 6, pp 1601-1608, 1993.
[5] D. Milos et Pavlovic, Experimental investigation of the combined natural and forced convection in an open isothermal cubic cavity, ude:
536.331 biblid: 0354-9836, 4 (2000), 2, 41-53.
[6] S.V.Patankar, Numerical heat transfer and fluid flow, Hemisphere, Washington DC, 1980.
Fig. 10. La variation du nombre de Grashof critique en fonction du nombre de Reynolds critique pour la convection forcée dominante.
