Filtrage des interférogrammes InSAR par separation des sources
Zahia Guezoui Azzedine Bouaraba Laboratoire de radar et micro-ondes
Ecole Militaire Polytechnique Guezoui85@hotmail.fr abouaraba@gmail.com
A.Belhadj Aissa Laboratoire de traitement D’images et rayonnement-USTHB
h.belhadj@mailcity.com
Résumé— Les interférogrammes dans un processus interférométrique sont souvent bruités, ils présentent des discontinuités au niveau des franges ; qui sont due principalement à la décorelation spatiale, temporelle, et thermique, en plus des erreurs de recalage des couples interférométriques. Plusieurs méthodes de filtrage ont été développées. Dans ce travail nous sommes particulièrement intéressé aux techniques de filtrage interférométrique basées sur la décomposition en sous espaces dont nous avons proposé une méthode de sélection de sous espace optimal afin de conserver l’information physique particulièrement au niveau des zones de transitions des franges. La méthode a été testée sur des interférogrammes de zones accidentées. Les résultats obtenus sont comparés aux résultats de filtrage par les algorithmes de Goldstein et vecteur.
Mots clés—Interférogrammes; décorélation spatiale;
temporelle; thermique; recalage de couple interférométriques;
décomposition en sous espaces; Goldstein; vecteur.
I. INTRODUCTION
L’interférométrie radar à ouverture synthétique est une technique récente, qui exploite la différence de phases entre deux signaux radar SAR ; dans le but de générer la topographie et ses variations temporelles.
Le déroulement de phase interférométrique est une étape essentielle dans un processus interférométrique, cependant les décorelations spatiale, temporelle et thermique et aussi les phénomènes géométriques dans les terrains accidentés rendent la phase interférométrique entachée de discontinuités et de bruit, qui dégradent non seulement la qualité visuelle de l’interférogramme, mais augmentent les erreurs lors de l’étape de déroulement. Pour améliorer le produit interférométrique qui est représenté par le modèle numérique de terrain (MNT), une étape de prétraitement et de filtrage est nécessaire et indispensable.
Plusieurs techniques ont été proposées pour filtrer le bruit de phase. Les plus simples sont : Médian et Moyen[1], ils permettent de filtrer les zones de variations brusques et isolées quant au filtre vecteur qui est un filtre de lissage dont sa forme est adaptée à la variation des phases dans un interférogramme [2]; il convertit la phase en deux fonctions
périodiques continues pour régler le problème de discontinuités. Une caractéristique très importante de ce filtre est la préservation des franges avec réduction de bruit. Lee et Al [3] ont proposé un filtre adaptatif qui utilise une fenêtre directionnelle pour filtrer le bruit le long des franges, il préserve donc les franges d’une manière très efficace, mais les pixels dans cette fenêtre doivent être déroulés avant le filtrage et enroulés après, ce qui rend l’implémentation de ce filtre difficile. Goldstein a proposé une méthode de filtrage basée sur la qualité de l’interférogramme, le résultat est adapté au non stationnarité du spectre des franges [4]. Baran et Al ont introduit des modifications sur le filtre de Goldstein, cette amélioration tient compte des valeurs de la cohérence du couple d’images SAR et de nombre de vue utilisé dans le procédé multivues à l’aide d’un paramétre de filtrage (α)[5].
Les méthodes basées sur la décomposition en sous bande ont été développées, leurs principe est de séparer les basses fréquences des hautes fréquences en utilisant les ondelettes [6]. Récemment, de nombreuses études sont concentrées sur les méthodes de filtrage basées sur la décomposition en sous espace [7],[8]. Elles ont l'avantage d'être robustes aux erreurs de recalage, elles emploient la projection de sous-espace signal sur le sous-espace bruit ; qui sont obtenus par la décomposition spectrale de la matrice de covariance, pour estimer la valeur interférométrique optimale de phase. Dans cet article, nous sommes focalisés sur ces méthodes de filtrage dont nous avons proposé une méthode de sélection de sous espace optimal afin de conserver l’information physique ; particulièrement au niveau des zones de transitions des franges. Son principe est inspiré des méthodes de séparation des sources en introduisant l’information de la corrélation entre les pixels des images et la décomposition spectrale.
La méthode a été appliquée sur des interférogrammes obtenus à partir des images SLC (Single Look complex) acquises en 1996 par le satellite en tandem ERS1/ERS2, sur une région d’Alger.
Le papier est organisé comme suit : dans la deuxième section ; nous donnons quelques notions de base de l’interférométrie (InSAR), puis dans la troisième section nous présentons une synthèse de filtrage basé sur la décomposition en sous espace, dans la quatrième section nous mettons l’accent sur le modèle
a) b) Dimensions en distance
0 1
Dimensions en azimut
du signal utilisé pour filtrer nos interférogrammes. Par la suite nous exposons les résultats obtenus en comparant avec les filtres vecteur et Goldstein, nous terminerons par une conclusion générale.
II. L’INTERFEROMETRIE RADAR (INSAR)
Rappelons que l’interférogramme est le résultat d’un produit Hermitien de deux images complexe SAR (I1 et I2) [9] ; donné par l’équation suivante:
( ) *( )
1 2
1 int
2 2
( ) ( )
1 2
1 1
N n n
I I
n ej
N I n N I n
n n
(1) Tels que :
(N*N) est la taille de la fenêtre utilisée. I1 et I2 sont les images SAR complexes.
intarg( ) : Représente une image d’interférogramme dont les valeurs constituent une mesure ambiguëe entre zéro et 2 et qui caractérise principalement la différence de chemin entre les deux acquisitions.
: c’est une image de cohérence qui représente le module de la corrélation entre les deux images, Elle nous renseigne sur la fiabilité des données interférométriques.
Lorsque la cohérence est nulle, les images utilisées sont totalement décorrélées.
la figure (1) présente un exemple du produit interférométrique:
Figure 1. a) L’interférogramme, b) l’image de la cohérence La phase interférométrique qui présente la différence de phase de deux signaux radar est une combinaison de plusieurs paramètres [10], elle est donnée par l’équation suivante : φint=arg(γ)= φtrajet+ φrétrodif + φbruit + φatm
(2) φtrajet : est la phase due au trajet aller-retour de l’onde radar, φrétrodif : est la phase due à la rétrodiffusion de la cible, φbruit : est la phase due aux bruits électronique,
φatm : est le retard introduit par les couches atmosphériques.
Sous l’hypothèse d’une faible décorrélation spatiale et temporelle, les phases de rétrodiffusion, de bruit et de l’atmosphère seront négligeables devant la phase trajet; donc nous pouvons approximer la phase interférométrique à la phase télémétrique qui dépend de la différence des distances cible-radar. La phase interférométrique devient:
int
/ /
4
4 4
. .
sin( )
trajet
M
R
B h B
R
(3)
Tels que:
B‖=B sin (θ-α)=ΔR est la composante parallèle de Baseline.
B┴=B cos (θ-α) est la composante perpendiculaire de Baseline ; elle joue un rôle très important dans le calcul de l’interférogramme car elle donne les distances entre le radar et la cible pour chaque pixel de surface imagée.
λ est la longueur d’onde de signal radar, θ: est l’angle de visée RM: c’est la distance cible-radar pour la position maître, h: la hauteur de la cible.
On remarque que la phase interférométrique est proportionnelle à deux paramètres : Le premier dépend du B‖, il correspond à la phase de la terre plate (les frange orbitales) et le deuxième est proportionnel à B , il est lié à la phase topographique. C’est cette dernière qui est exploitée pour extraire l’information de l’altitude après élimination des franges orbitales:
int
sin( ) 4 RM
h B
(4) Comme l’interférogramme présenté par la phase topographique est entachée de bruit et des discontinuités, ce qui rend l’étape de déroulement de phase difficile; donc une étape de filtrage est nécessaire et indispensable pour diminuer le nombre de résidus.
III. FILTARGE INTERFEROGRAMMETRIQUE PAR LA DECOMPOSITION EN SOUS ESPACE
Le principe de la méthode de filtrage basée sur la décomposition en sous espace est de trouver un espace de dimension le plus faible possible ou les sources seront caractérisées. Ce type de filtrage décompose l’interférogramme bruité en deux sous espace orthogonaux appelés le sous espace signal et le sous espace bruit en utilisant la décomposition en valeurs propres et vecteurs propres. La projection de sous espace signal sur le sous espace bruit nous permet de trouver l’estimée optimale de la phase interférométrique. Les étapes de filtrage sont décrites comme suit :
1) Recalage des deux images et formation de vecteur des donnees communes :
Supposons que les images SAR sont recalées correctement c.-à-d. sans erreurs de recalage, et les phases interférométriques sont aplatées avec une surface de plan de référence zéro-hauteur [7], le vecteur de données complexes, noté d(i) d’une paire de pixels i (correspondant à la même zone au sol) des images SAR recalées, peut être formulé de la façon suivante :
1 2
i 1 2
i
( ) ( ), ( )
( ) ( ), ( ) ( )
( ) ( ) ( )
T
T
d i d i d i
a m i m i n i
a m i n i
(5)
Tels que:
i
( i) [1, j ]T
a e est le vecteur de direction spatiale de pixel (i);
iest la phase interférométrique qu’on veut estimer;
m(i) est le vecteur des amplitudes complexes de pixel (i);
définit le produit Hadamard et T dénote l’opération transpose d’un vecteur.
2) Calcul de la matrice de covariance et sa décomposition propre :
Le vecteur
d i ( )
peut être modélisé comme un vecteur complexe circulaire Gaussien avec la moyenne nulle et une matrice de covarianceC id( )qui est donnée par [10]:
2
i i
2 2
i i
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
H d
H H
n H
d d n
c i E d i d i
a a E m i m i I
i a a R i I
(6)
H: présente l’opération de transpose conjugue d’un vecteur E: c’est la moyenne statistique; I est la matrice identité de taille (2*2);
n2la puissance du bruit;
d2est la puissance du signal reçu de pixel i; Rd( )i est la matrice de corrélation qui est de la forme:11 12
21 22
( ) ( )
( ) ( ) ( )
d
r i r i
R i
r i r i
(7)
( ) (0 ( ) 1, n=1,2 et m=1,2)
mn mn
r i r i sont les coefficients
de corrélation entre les deux acquisitions.
Les éléments diagonaux de la matrice de corrélation sont les coefficients d’autocorrélation qui sont égaux à 1 dans le cas d’un recalage correcte (précis) de couple interférométrique, et les éléments non diagonaux sont les coefficients de l’inter- corrélation qui sont proches de 1, donc le rang de la matrice devient 1. Les dimensions des sous espace signal et bruit aussi vaux 1, dans ce cas la décomposition propre de la matrice de covariance est donnée par cette formule :
2 2
( ) ( )( ( i) )H H
d rd n rd n n n
C i a B B B
(8)
rd etBrd sont successivement les valeurs et les vecteurs propres de sous espace signal;
Bn les vecteurs propres correspondent au sous espace bruit
De l’équation (8) on peut dire que ( (ai)Brd)est dans le sous espace signal, et
Bn est dans le sous espace bruit.
( (a i)Brd) est orthogonal àBn, ce qui est employé pour estimer la phase interférométrique.
3) Projection de sous espace signal sur le sous espace bruit :
Pour avoir une estimation optimale de la phase interférométrique en présence de grandes erreurs de recalage,
la projection de sous-espace signal sur le sous-espace bruit est utilisée. Dans ce cas, la fonction de coût est calculée comme suit:
i i
i i
( ) ( ) ( )
( ( ) ) ( ( ) )
H d
H H H
rd n n rd
J a c i a
a B B B a B
La minimisation de cette fonction dans le sous espace bruit ou sa maximisation dans le sous espace signal permet d’obtenir l’estimation optimale de la phase interférométrique ˆ
iopt
,pour le faire plusieurs méthodes ont été appliquées ; comme les méthodes de Beamforming (Root-MUSIC, Capon, Esprit), l’algorithme rapide…etc. Dans notre application nous avons appliqué l’algorithme rapide.
IV. MODELE GENERALISE
Le modèle du signal repose sur une sélection d’une fenêtre de 2*2 de l’image maitre et une fenêtre de 4*4 de l’image esclave ; le vecteur de données commune est formé à partir des deux fenêtres. Comme montre la figure suivante :
Figure 2. Modèle de sélection d’un vecteur des données communes
Ce vecteur est composé de 20 éléments qui sont ordonnés de façon suivantes:
1 2 2 2 2 1 2
2 2 2 1 2 2 2
T
1 1 2 2 2 2
i [ i 1 , d i 6 , d i 5 , d i 2 , d i 1 , d i , d i 4 , d i 3 , d i , i 1 , i 3 , d i 2 , d i 3 , d i 6 , d i 7 , d i 4 , d i 4 , d i 5 , d i 8 , d i 9 ]
d d
d d
d1(i+a, a=-1,0,3,4) sont des pixels de l’image 1.
d2(i+b, b=-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) sont des pixels de l’image 2.
La matrice de covariance correspondante à d(i) est donnée par l’équation (16):
H
H 2Cd i E d i d i a(i)a (i)Rd( )i nI
Tel que:
a( ) [1, , , , ,1, , , , ,1, , , , , 1, , , , ]
i i i i i i i i i i i i
i i i i
j j j j j j j j j j j j
i
j j j j T
e e e e e e e e e e e e e e e e
Cd(i), Rd(i) et I sont des matrices de dimension (20*20).
La décomposition propre de la matrice de covariance est donnée par :
0 0 0 19 ( ) ( ) ( )
C i ( ) ( )
1 + SEB
l l l H
B B H B B
d rd rd rd nd nd nd
l SES
Tels que : SES est le sous espace signal qui contient une seule valeur propre et le vecteur propre qui la correspondre. SEB est le sous espace bruit qui contient le reste des valeurs propres.
i+3 i+5
(15)
(16) Image 2
i-6 i-5 i-4 i-3
i-2 i-1 i i+1
i+2 i+4
i+6 i+7 i+8 i+9
i-1 i
i+3 i+4
Image 1
(17)
(18) (9)
(20)
a) b)
c) d)
a) b)
c) d)
(23) (21)
(22)
(24) Nous utilisons le sous espace signal pour construire la matrice de transformation A (20*20) qui est donnée par cette formule :
0H 0
A B B
rd rd
Puis nous calculons la fonction de coût J [11]:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
16 16
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ), ( ), ( ), ( ) * *
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
H
i i i i
i i
H H H H
i i i i
i i
H H
i n i i n i
n n
J a Aa
A A A A B
A A A A B
B B B B
A A A A B
A A A A B
B A B B A B
Tel que: ( ) 1, j i, j i, j i, j i T B i e e e e On pose :
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
16
31 32 33 34 35
1
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
n n
b b b b b
b b b b b
B A b b b b b
b b b b b
b b b b b
B est une matrice Hermitienne i.e. :
*
1n n1 (n=2,3,4,5)
b b
On peut écrire alors : 5 * 5
1 1
2 2
n n
n n
b b
On pose :
5 5 5
1 1 1
2 2 2
tel que: et < .
j
n n n
n n n
b b e angle b
Donc J devient :
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
5 5 5
11 1 1
2 2 2 2
1
1, , , ,
i
i i i i i
i
i
i
j
j j j j j
j j
j
mn n n
m n n n
b b b b b
b b b b b e
J e e e e b b b b b e
b b b b b e
b b b b b e
b b b e b
5
5 5 5 * 5
11 1 1
2 2 2 2
5 5 5 * 5
11 1 1
2 2 2 2
5 5 5
11 1
2 2 2
2 cos( )
i
i i
i i
j
j j
j
mn n n
m n n n
j j
j j
mn n n
m n n n
mn n i
m n n
e
b b b e e b e
b b b e e b e e
b b b
La fonction J est maximale pour :
cos( ) 1 2k (k est un entier)
i i
On a : < et i<
Donc :
^ ( 0)
( 0)
iopt
V. RESULTATS ET INTERPRÉTATION
Les images que nous avons utilisé pour tester notre méthode de filtrage sont issues de la mission en tandem ERS1/ERS2, dans le cadre de projet ERS/ENVISAT contracté par le laboratoire de traitement d'images et rayonnement (LTITR) de l'université des sciences de la technologie Houari Boumediene (USTHB) avec l'agence spatiale Européenne (ESA), La scène
imagée est une zone d’Alger-Blida d’une étendue de 100 km par 100 km, pour les tests nous avons pris des images de taille 500*500 pixels à partir de la scène complète.
Dans les figures suivantes, nous montrons les résultats de filtrage des interférogrammes générés sans erreurs de recalage, avec une erreur d’un demi-pixel et une erreur d’un pixel de recalage:
Figure 3.a)Interférogramme obtenu sans erreurs de recalage b) filtre de Goldstein, c)filtrage vecteur, d) la méthode
proposée
Nous présentons les images de résidus avant et après le filtrage et nous remarquons qu’avec le filtre de Goldstein, les erreurs quantifiées par les résidus sont éliminées.
Figure 4.Images des résidus: a) Interférogramme obtenu sans erreurs de recalage b) filtrage de Goldstein, c)filtrage vecteur,
d) la méthode proposée (19)
a) b)
c) d)
a) b)
c) d)
a) b)
c) d)
a) b)
c) d)
Dans la figure suivante nous présentons les profils horizontaux, au niveau de la ligne rouge tracée précédemment sur l’interférogramme initial, nous remarquons que le profil de la méthode proposée suit mieux la variation de la phase dans l’intérférogramme initial par contre Goldstein a changé la variation.
Figure 5. Profils horizontaux
Figure 6. a) Interférogramme obtenu avec erreur de 0.5 pixel de recalage b) filtre Goldstein, c)filtrage vecteur, d) la
méthode proposée
Figure 7. Images des résidus: a) Interférogramme obtenu avec erreur de 0.5 pixel de recalage, b) filtrage de Goldstein,
c)filtrage vecteur, d) la méthode proposée
Figure 8. a) Interférogramme obtenu avec erreur d’un pixel de recalage b) filtre de Goldsein, c)filtrage vecteur, d) la
méthode proposée
Figure 9. Images des résidus : a) Interférogramme obtenu avec erreur d’un pixel de recalage b) filtrage de Goldstein,
c)filtrage vecteur, d) la méthode proposée
Les résultats de la méthode proposée sont comparés au filtre de Goldstein adaptatif et au filtre vecteur, nous remarquons que dans le cas d’un recalage précis de couple d’images SAR le filtre de Goldstein nous donne des franges interférométriques fortement lissées entrainant une réduction de bruit, comme le montré dans figure 2(b), tandis que la méthode proposée et le filtre vecteur assurent la conservation de détail des franges et éliminent le bruit, figure 2(c,d). Le filtrage de Goldstein et vecteur est dégradé dans le cas d’un recalage avec une erreur d’un demi-pixel et d’un pixel, par contre la méthode proposée garde toujours un bon résultat, figures 2,4,6 (d), d’ailleurs le bruit a été réduit considérablement et les franges sont mieux préservées, ce qui est employé dans l’étape de déroulement de phase ; cette méthode a maintenu efficacement la structure de l’interférogramme dans différents cas de corégistration. Nous pouvons dire que la méthode proposée est robuste aux erreurs de recalage qui peuvent atteindre même un pixel.
VI. CONCLUSION
Dans le présent article, nous avons proposé une méthode de filtrage basée sur la décomposition en sous espace; les résultants expérimentaux obtenus démontrent la capacité de cette méthode pour réduire le bruit dans les interférogrammes et préserve mieux la structure des franges par rapport aux d’autres filtres comme vecteur et Goldtein.
Nous constatons à travers les tests que nous avons effectué sur des interférogrammes réels qui sont générés sans et avec des erreurs de recalage que la méthode proposée est robuste à ce type des erreurs.
VII. LA BIBLIOGRAPHIE
[1] Treuhaft, R. N. and P. R. Siqueira, “Vertical structure of vegetated land surfaces from interferometric and polarimetric radar”, Radio Science, vol. 35, no. 1, 141–177, 2000.
[2] F. Wang and V. Primet, “A VECTOR filtering technique for SAR Interferometrique phase image”, Institute of Automation, academy of sciences, CHINA.
[3] J.S. Lee, P. Papathanassiou, T. L. Ainsworth, R. Grunes, and A. Reigber, “A new technique for noise filtering of SAR interferometric phase images”, IEEE Trans. Geosci. Remote Sensing, vol. 36, pp. 1456–1464, 1998.
[4] R. M. Goldstein and C. L. Werner, “Radar interferogram filtering for geophysical applications”, Geophysical Research Letters, vol. 25, no. 21, pp.4035-4038, 1998.
[5] Ireneusz Baran, Mike P. Stewart, Bert M. Kampes, Zbigniew Perski, and Peter Lilly, “A Modification to the Goldstein Radar Interferogram Filter”, IEEE Trans. Geosci.
Remote Sensing, vol. 41, no. 9, pp. 2114-2118, 2003.
[6] R. Abdelfattah and A. Bouzid, “SAR interferogram filtering in the wavelet domain using a coherence map mask”, Image Processing ICIP, IEEE 2008, pp. 1888-1891.
[7] H. Li and R. Wu “An improved joint subspace projection method for InSAR interferogram filtering”, Signal Processing (ICSP), IEEE 2010, pp. 2188-2191.
[8] L. Zhenfang, B. Zheng, and S. Zhiyong, “A joint image coregistration, phase noise suppression, and phase unwrapping method based on subspace projection for multibaseline InSAR systems,” IEEE Trans. Geosci. Remote Sens., vol. 45, no. 3, pp. 584–591, Mar. 2007.
[9] M. SANTORO, “Estimation of Biophysical Parameters in Boreal Forests from ERS and JERS SAR Interferometry”
FRIEDRICH-SCHILLER-UNIVERSITY, JENA Germany, NO. 188/2003.
[10] R. Gonçalo and M. Valadão, “Radar Interferometry: 2d Phase Unwrapping Via Graph Cuts”, Thése doctorat, Universidade Técnica De Lisboa Instituto Superior Técnico, 2006.
[11] Hai Li and Renbiao Wu, “Robust Interferometric Phase Estimation in InSAR via Joint Subspace Projection,” in Recent Interferometry Applications in Topography and Astronomy, Tianjin Key Lab for Advanced Signal Processing, China, InTech, March, 2012, pp. 112 -132
