BIFURCATIONS SUCCESSIVES ET STABILITÉ

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BIFURCATIONS SUCCESSIVES ET STABILITÉ

G. Iooss

To cite this version:

JOURNAL DU PHYSIQUE Colloque C5, supplément au n° 8, tome 39, août 1978, page C5-99

BIFURCATIONS SUCCESSIVES ET STABILITÉ

G. IOOSS

I.M.S.P., Parc Valrose, 06034 Nice, France

Résumé. — Dans l'optique d'une théorie déterministe de la turbulence hydrodynamique, on

expose ici les résultats connus sur les bifurcations de tores invariants dans des équations différentielles autonomes en dimension infinie. On insiste en particulier sur le calcul effectif des solutions bifurquées.

Abstract. — In view of a deterministic theory of hydrodynamic turbulence, we discuss here known

results on bifurcations of invariant tori in autonomous differential equations on an infinite dimen-sional space. We also indicate how an effective computation of the bifurcated solutions can be done.

1. Introduction. — Nous nous intéressons aux

bifurcations successives dans le but de mieux compren-dre la transition vers la turbulence en hydrodynami-que. Un exemple typique est fourni par le problème de l'écoulement entre deux cylindres concentriques en rotations uniformes, quand on augmente la vitesse de rotation du cylindre intérieur. Les expé-riences de Swinney, Fenstermacher et Gollub [33] ont mis en évidence les bifurcations successives sui-vantes (cylindre extérieur au repos) : la première bifurcation est celle de l'écoulement de Couette en cellules de Taylor stationnaires, la deuxième bifur-cation est de type Hopf et donne lieu à des cellules qui s'ondulent et se meuvent en rotation uniforme, autour de l'axe des cylindres. La troisième bifurca-tion marque l'apparibifurca-tion d'une nouvelle fréquence qui varie continûment avec la vitesse de rotation du cylindre intérieur.

La traduction mathématique de ce fait est la bifur-cation d'un cycle en un tore invariant pour le système d'équations de l'hydrodynamique. Ce tore invariant semble disparaître ensuite pour redonner une solution périodique, mais en présence d'un ensemble continu de fréquences secondaires, de faibles amplitudes. Enfin, si on augmente encore la vitesse du cylindre intérieur, on obtient une brusque disparition de la fréquence prédominante pour donner lieu à un état turbulent.

Toutes les transitions vers l'état turbulent ne rentrent pas dans ces cadres, comme le montre en particulier C. Bardos dans une communication à ce Colloque [1]. Voir aussi l'article de revue de H. Rose et P. L. Sulem [25] à ce sujet.

L'idée d'un nombre fini de bifurcations successives, conduisant à la turbulence, est due à Ruelle et Takens [26] ; elle a donné naissance à de nombreux modèles, souvent construits à partir du problème de la convection de Bénard. Voir par exemple les modèles de Me Laughlin [20] et de Curry [7] perfectionnant celui de Lorenz [22].

La conjecture de Ruelle et Takens est la suivante : i) La turbulence peut être décrite par un système différentiel en dimension finie

^ = F(x, X), x(0) = x0 , (1)

où x(t) e W et X est un paramètre, comme par exemple le nombre de Reynolds ;

ii) Après un petit nombre de bifurcations super-critiques, quand X varie, la solution x(t) du problème de Cauchy (1) peut avoir un comportement turbulent quand t -> oo.

On entend, par bifurcation supercritique, les cas où un ensemble limite minimal perd son caractère

attractif pour X > X0 et où un autre ensemble limite

minimal bifurque à partir de celui-ci pour X > X0.

Nous verrons qu'en général, celui-ci est attractif. L'attractivité d'un ensemble limite est pour nous synonyme de la stabilité, par rapport à de petites perturbations initiales, du phénomène correspondant aux trajectoires au voisinage de cet ensemble limite. Il est alors clair que c'est le cas intéressant pour la physique puisque, seuls, les phénomènes stables peuvent être observés.

Notre but est ici de montrer :

i) Comment on peut théoriquement ramener l'étude de certains ensembles limites — ceux qui se déduisent les uns des autres par des bifurcations successives — à un problème en dimension finie ;

ii) Comment calculer effectivement les solutions bifurquées pour les types les plus simples de bifur-cations.

2. Réduction à un système en dimension finie. — Les phénomènes physiques sont très souvent régis par un système d'équations aux dérivées partielles tel que, si l'on se fixe des conditions initiales et aux limites, on ait un problème d'évolution dont la solution u(t) varie de-façon régulière dans un espace

C5- IO0 Ci. IOOSS

de Hilbert. Un tel exemple est fourni par le système d'équations de Navier-Stokes pour lequel la réduc-

tion à une équation différentielle dans un espace de

Hilbert adapté est maintenant classique [21], [la] [15]. Les phénomènes que nous considérons dépendent d'un paramètre A > O, tel que si A est assez petit, alors il y a unicité des solutions stationnaires pour le système autonome. Par exemple, si les forces exté- rieures et les conditions aux limites sont indépendantes de t, le système de Navier-Stokes entre dans ce cadre,

A étant le nombre de Reynolds. Notre hypothèse de

base est que l'on connaît, pour toutes les valeurs de A, une solution stationnaire u(P) du système considéré. Ceci est vrai en particulier dans l'exemple cité en

introduction, uiO) est dans ce cas la solution de Couette.

Posant

u = uf"

+

u") ₍₁₎

la perturbation u('J satisfait à une nouvelle équation

différentielle dans l'espace fonctionnel, de la forme du'"

- =

dt A i u(l)

+

NI.[u(l)] ,

où A , est l'opérateur de la théorie linéarisée autour de uiO', et Ni la partie non linéaire.

Dans les cas que l'on considère, le spectre de A , est tel que la partie a, qui est de partie réelle 2 0, est composée d'un nombre fini de valeurs propres de multiplicités finies. Notant n la somme des multi-

plicités des valeurs propres dans a,, on a alors le

résultat suivant (voir [23] pour une démonstration) :

i) Si n = O, ujp) est exponentiellement stable, i.e. pour toute donnée initiale voisine de ur), la solution

u(t) tend vers uiO) quand t + co, dans l'espace fonc-

tionnel adapté ([16] ou [24]).

ii) Si n

>

O, il existe une variété M de dimension n, au voisinage de MI'), telle que u5.O' E M, M est locale-

ment invariante par le système d'évolution : si

u(0) E M et si u(t) reste au voisinage de uio) pour

t E [O, Tl, alors u(t) E M pour t E [O,

T].

De plus M

est localement attractive, i.e. si u(t) reste au voisi- nage de uiO) pour t

>

O, la distance entre u(t) et M

tend vers O quand t -+ co (démonstrations dans [19],

[VI).

Il suffit alors de considérer la restriction du sys-

tème à la variété de dimension finie M, pour obtenir

le comportement asymptotique de u(t) = uiO)

+

u"'(t),

pourvu que u(t) reste au voisinage de quand

t + co. On obtient un nouveau système différentiel

que l'on peut écrire dans Rn, après utilisation d'une bonne carte.

Il faut noter qu'il est possible de calculer explicite- ment le développement de Taylor de la fonction dont

le graphe donne M et de calculer de même le nou-

veau système différentiel de Rn, à l'ordre de précision

que l'on désire, pourvu que le système (2) soit assez régulier (en général le système est analytique en un certain sens par rapport à [A, u(')], voir [13] pour la régularité en t des solutions).

3. Bifurcations successives. Comportement des solu-

tions. - Profitant maintenant du fait que le compor-

tement asymptotique des solutions de (2.2) se déduit

d'une étude dans Rn, nous donnons des modèles de situations typiques de bifurcations d'ensembles limites minimaux les plus simples.

3.1 LA PREMIÈRE BIFURCATION. - 3.1 .1 BifUr-

cation stationnaire. - Considérons le système dans Rn,

d F

A . " =

-

dx (O, A) E C(Rn)

Si les valeurs propres de A , sont de parties réelles

<

O pour A

<

A,,

il est bien connu que x = O est

asymptotiquement stable pour ( l ) , pourvu que F

soit assez régulier. La structure de l'attracteur change dès qu'une ou plusieurs valeurs propres de Ai tra- versent I'axe des imaginaires.

Le cas le plus simple est alors celui où une seule valeur propre simple traverse, en passant par 0,

I'axe des imaginaires lorsque A traverse la valeur A,.

Exemples en dimension 1 :

dx

- -

dt

-

(A - A,) x - &x3

,

E =

+

1

.

(3)

Dans ces exemples, O est la solution de base, stable pour  < A,, instable pour A > A,. Les solutions bifurquées sont stables si elles bifurquent pour 3, > A,

(bifurcation supercritique), instables si elles bifur-

quent pour A < A, (bifurcation subcritique).

On démontre que les trois stituations de ces exem- ples sont les situations typiques.

BIFURCATIONS SUCCESSIVES ET S T A B I L I T ~ CS-101

où l'on suppose que A et N sont analytiques en leurs

arguments, et

N p , étant q-linéaire symétrique dans Rn.

On fait alors l'hypothèse suivante : on note ((A)

la valeur propre simple de A, telle que ((A,) = 0 ,

et on suppose ('(A,) > O. Les autres valeurs propres

de A , sont supposées rester des parties réelles < O pour À voisin de A,. On a alors le résultat :

Il existe une unique solution bifurquée stationnaire de (4), sous la forme x = x(E), R = A(&) où ~ ( 0 ) = 0, x f ( 0 ) # 0, A(0) = Ibo, et c voisin de O. De plus, x et 3, sont analytiques (si on suppose seulement A et N de classe Ck, k >, 2, x et A sont alors Ck- ' ) . Enfin, si

&At(&) > O la solution bijiurquée est stable tandis que si

&At(&) < O e& est instable.

Calcul effectif de la solution bifurquée. - On pose

x =

1

En X n

n b 1

et on identifie les puissances de E dans l'équation

On trouve alors

Les inconnues (x,, ?.,) sont déterminées en appliquant

l'alternative de Fredholm à chaque étape, en remar-

quant que

5'0.")#

0

-

(Al Co,

C g )

2 O

où

Co

et sont les vecteurs propres tels que

On peut poser x , =

Co

et xn orthogonal à

Cg

pour n 2 2.

Dans l'exemple cité en introduction, on trouve

)bl = 0, A, > O, ce qui donne une. situation du type

de celle de l'exemple [(3), E = 11. Pour d'autres

exemples de ce type de bifurcation en hydrodynami-

que, on peut se référer au livre de D. D. Joseph [17].

Les traitements systématiques du point de vue mathé-

matique, applicables à l'hydrodynamique se trouvent

dans [30], [ l l ] , [17].

3 . I . 2 La bijùrcation de Hopf [IO]. - Ce cas est celui ou deux valeurs propres simples, conjuguées,

traversent l'axe des imaginaires lorsque A traverse

la valeur A,.

Exemples en dimension 2 :

Dans ces exemples, x = ( x , , x,) = O est la solution de base, stable pour Â. < A,, instable pour A > 2,.

Les valeurs propres de l'opérateur linéaire A, sont

ici A - A, f i l . Dans tous les cas, la bifurcation est d'un seul côté de A = ),,, le cycle bifurqué étant

x l =

~ L ( A

- A,) cos (At

+

6 ) x , = t/'e(A

-

A,) sin (At

+

6 )

où 6 est une phase arbitraire. Pour E = 1, la bifurca- tion est supercritique et le cycle est stable : quelle

que soit la donnée initiale # O il existe une phase

limite 6, telle que la solution du problème de Cauchy

tend vers (7) quand t + CO. Pour E = - 1 , la bifur- cation est subcritique et le cycle est instable. On démontre que ces deux situations sont typiques pour le problème général.

En fait, partant encore du système différentiel (4),

on fait l'hypothèse suivante : on note

a(A) = ( ( A )

+

io(A)

la valeur propre de Ai telle que

et on suppose que {'(A,) > O. De plus, a part a(A) et

-

a(A), le reste du spectre de A, reste de partie réelle

< O pour 3, voisin de A,. On a alors le résultat :

II existe un cycle bifurqué unique, invariant par (4), sous la forme : [x(E, S ) , T ( E ) , A(&)] où

et A sont paires en E. Si A et N sont de classe Ck, k 3 2. ou Test la période inconnue. On pose ensuite

alors (x, T, A) est Ck- l ; si A et N sont analytiques,

alors le cycle est aussi analytique en E au voisinage de O. ? = T / ~ Z , ? 0 = 1 / w 0 ,

Enfin, si EA'(E) > O le cycle bifurqué est stable

tandis que si ci'(&)

<

O il est instable. _{et (4) devient}

Calcul effectif de la solution bifurquée. - On com-

mence par effectuer le changement de variables _{~ x ( E , S )}

-=

S = 2 n t / T , d S ?A, X(E, S ) + ~NA[x(E, S)] (8)

on pose enfin

X(E, S ) =

x

6, X, où x, est 2 n-périodique par rapport à S

n a 1

I

et on identifie les puissances de E dans (8).

On trouve alors

Les inconnues (x,, A,, q,) sont déterminées en appli-

quant l'alternative de Fredholm à chaque étape. En

fait (10) nous donne

x1(S) = eis

Co

+

e-"

&,

0iJ

A, Co = iwo Co(?, = wo ')

et définissant tel que

A,*

C8

= iwo

C:

,

([O, C8) = 1 ,

l'hypothèse t'(Ao) > 0 est équivalente à

Re (AI Co, CE) > 0

.

Définissant le produit scalaire dans

L2[(0, 2 x ) ; C"] : ((x, Y)) =

5

l

1;

[x(S), Y(W, 7 et les opérateurs d d J o = ~ - ~ o A o , J $ =

- - -

dS ?O A$

dans un espace convenable, on montre que JO est de

Fredholm, de noyau de dimension 2, ainsi que J,*. Le noyau de J,* est engendré par (eis [8, eëiS [8). Ainsi, pour résoudre (1 1) par rapport à (x,, Al, q,) il suffit d'exprimer que le second membre est orthogonal

au noyau de J,* et on peut choisir x, orthogonal à ce

noyau, comme tous les x,, n 2 2.

Remarque. - On trouve toujours

Dans l'exemple cité à l'introduction, il s'agit de la

seconde bifurcation et l'on aurait A, > O comme

devrait le montrer un calcul numérique (bifurcation

de Hopf supercritique). Le traitement mathématique

de la bifurcation de Hopf, appliquable directement aux problèmes d'hydrodynamique se trouve en parti- culier dans [30], [Il], [ I l , [23].

Pour d'autres exemples de ce type de bifurcation

en hydrodynamique, on peut se référer au livre de

D. D. Joseph [ I l . Il faut néanmoins noter le cas de l'écoulement de Poiseuille dans une conduite annu- laire qui donne une bifurcation subcritique de type

Hopf. En fait pour  > A,, on observe un écoulement

turbulent qui échappe à la théorie des bifurcations

Pour rendre compte de ce qui peut se passer lors d'une bifurcation subcritique, l'idée la plus naturelle est de construire un modèle plus simple que les

équations du problème réel. C'est dans cet esprit

qu'ont été construits les modèles de Lorenz [22] et de Rikitake [6] et les améliorations comme celle

de Curry

[l.

Dans ce dernier, obtenu à partir du

système d'équations régissant le problème de Benard

- convection bidimensionnelle entre deux plaques

planes - l'auteur en tronquant simplement les séries

de Fourier de certaines composantes, comme Lorenz, a pu obtenir en dimension 14 pratiquement tous les types de bifurcations décrits ici avant d'arriver au fameux attracteur de Lorenz pour une valeur assez élevée du nombre de Rayleigh.

3.2 LA DEUXIÈME BIFURCATION. - NOUS SUPPOSOnS

maintenant que la solution stationnaire de base

uiO) a d'abord bifurqué pour A > A, en un cycle

uil) auto-oscillant par une bifurcation de Hopf.

Supposons que ce cycle uil) devienne instable quand A

traverse la valeur A, > A,. Pour étudier le comporte-

ment des trajectoires au voisinage du cycle

où l'on considère les coordonnées polaires dans R2 et

@A : (r, 9)

-

(R, 4 )

.

Sur cet exemple, il est facile de voir que le cercle r = Jc(Â - A,)

est invariant par QiÀ. Cela correspond à l'existence

d'un tore invariant de dimension 2 pour le système différentiel. Notons que les trajectoires sur le tore bifurqué, sont périodiques si or est rationnel, denses sur le tore si or est irrationnel.

Le tore est stable si la bifurcation est supercritique

(cas E =

+

l), instable dans le cas contraire (E =

-

1 )

Dans le cas général, en supposant que l'origine

de (P) est le point fixe uj'(0) de @,, on considère la

dciivéc à l'origine D@,(O) et on fait l'hypothèse

suivante : quand A traverse la valeur A,, deux valeurs

propres simples p(A), p(A) traversent le cercle unité

en deux points p,, jio qui ne sont pas racines de l'unité

jusqu'à l'ordre 4 : p", 1, n = 1, 2, 3, 4 ; les autres valeurs propres de D@,(O) restent dans un disque

de rayon < 1 pour A voisin de A,. Alors, en général,

{~(A1)(1); T l ) , il existe un toré invariant de dimension 2 qui bifurque

à partir du cycle u*). Ce tore est attractif si la bifurca-

on construit ce qu'on appelle me application de tion est supercritique, répulsif si elle est subcritique.

Poincaré. Considérons un hyperplan (P) transverse A Les trajectoires sur le tore peuvent être denses sur le

à la trajectoire uf'(t) au point u$."(O). A une donnée tore ou fiire des spirales entre deux orbites périodiques

initiale uf) voisine de u':'(O) dans (P), correspond de stabilités opposées sur le tore (il y a alors un nombre

une trajectoire d2'(t), t

>

O qui revient dans (P) égal d'orbites stables et instables). Enfin, l'ensemble

au voisinage de uil)(0) au bout d'un temps r voisin des valeurs du paramètre A pour lesquelles la solution

de la période T de ui". On note u("(r) le point ainsi du système différentiel sur le tore est quasi périodique,

obtenu et l'application de Poincaré est définie par a une mesure de Lebesgue positive, mais sa structure

u<,2) %t d2)(5)

.

est en générai au moins aussi compliquée qu'un

ensemble de Cantor.

Pour ce type de résultats, voir le théorème de Kolmogorov dans [32] et les travaux d'Herman [9] ou le séminaire de Chenciner [5]. Les études théori- ques sur la bifurcation d'un tore de dimension 2 ont le

label bijiurcation de Hopf pour les dz~éomorphismes.

R. J. Sacker semble avoir donné la première démons-

tration en dimension finie [29]. Des démonstrations complètes et des formules analytiques se trouvent

dans [12], [13j et [23]. Dans le cas ou on a la résonance :

,u; = 1, 1 < n

<

4, on peut consulter le travail de

G . Iooss et D. D. Joseph [14]. Les cas les plus intéres- sants sont quand une valeur propre simple de D@,(O)

passe par 1 ou

-

1 pour

A

= A,. Dans ces cas le

cycle uy) bifurque en un cycle de période voisine, ou voisine du double de la période de UA), les stabilités de ces cycles s'échangeant de la façon classique.

FIG. 3. _{En ce qui concerne un calcul effectif du tore bifur-}

qué, la méthode est plus complexe que dans les cas

L'exemple le plus simple et représentatif d'une telle précédents et l'on suit en fait la démonstration théori-

application de Poincaré est le suivant dans ~ 2 , que de près. Un calcul a été effectué utilisant les for-

uil)(0) est translaté à l'origine : mules analytiques pour obtenir un tore bifurqué (sa

R = r[1

+

(Â

-

A,)

-

&r23, E =

+

1

,

partie principale en fait) dans le travail de Bouc,

Defilippi, Iooss [2] relatif à un problème d'électricité.

tion, il semble clair à l'heure actuelle que l'on a bien Cela signifie que le système (1) dans R4 possède

affaire ii un tore de dimension 2 qui bifurque, mais il un tore invariant de dimension 3, qui bifurque de

resterait, pour le vérifier, à eirectuer les calculs indi-

el2'

en À = A,. Ici encore, si la bifurcation est super-

qués par la théorie et comparer avec l'expérience ! critique (& =

+

1) le nouveau tore est attractif,

tandis que si la bifurcation est subcritique, il est 3 . 3 LA TROISIÈME BIFURCATION. - Jusqu'ici nous

avons obtenu des solutions ou ensembles de solutions

bifurquées faciles à décrire. La bifurcation suivante,

même supercritique va pouvoir donner un comporte- ment erratique des trajectoires. Montrons d'abord comment un tore invariant de dimension 2 qui devient instable peut bifurquer en un tore invariant de dimen- sion 3, stable si la bifurcation est supercritique. Ensuite, nous donnerons des indications sur la nature des trajectoires sur ce nouveau tore.

Nous supposons que le système différentiel (1)

[W" a un tore invariant de dimension 2 Ci2', obtenu après deux bifurcations supercritiques comme indiqué au

paragraphe 2. On suppose que C!i2) est attractif pour

A < A, et répulsif pour A > 1,. Il est possible de définir une application de Poincaré comme a u para-

graphe 2 d'une section de ce tore (une courbe fermée y,)

sur elle-même, quand le tore vient de bifurquer d'un

cycle pour 1 > A,. Nous faisons l'hypothèse que ceci

reste vrai pour À voisin de 1,. Ceci rend possible la

définition d'une application G , décrivant le premier

retour des trajectoires issues d'une couronne trans-

verse au tore le long de y,. NOUS pouvons paramétrer

l'application sous la forme

où f et @ sont périodiques en 8, pour 9 décrivant y, -

on peut prendre cette période égale a 1 - et où

Y E Rn-, est voisin de O. Par construction

puisque ceci traduit l'invariance par G, du cercle

Tl x O (on identifie y, à Tl = RIZ).

Le problème est d'étudier ce qui se passe quand

Tl x O devient répulsif pour Gi.

Considérons un exemple simple dans R4. L'appli-

cation G, : T' x R2 + T 1 x R2 est écrite en coor-

données polaires dans R2 :

1

Y

1

= r, arg Y = 2 ncp

f(9, Y,

A)

=

O

+

0, (mod. 1)

[

@(O, Y, 1) 1 = r[l

+

(À

-

A,) - &r2] , E = 1 ,

Arg @(O, Y, A) = 2 ((P

+

Q,) (mod. 2 K) .

(15) Sur cet exemple, on voit facilement que

T' x O (

=

y,)

est stable pour A < A,, instable pour  > A,. Il

existe un tore invariant de dimension 2 : AL, pour

l'application G, :

{ r = JEU

-

A,), (8, (P) E T2 )

.

répulsif(& = - 1).

Malheureusement, le cas général n'est pas aussi simple que l'exemple (15). La partie linéaire de

@(O,

Y, À) notée A,(@ Y est telle que la matrice A,(O) dépend (périodiquement) de O, ce qui rend délicate

l'étude de la stabilité du cercle invariant TL x O.

En fait, dans le cas général, on ne connaît la solution du problème de bifurcation que si, pour un change- ment de variables adéquat, dépendant de 8, on arrive

A

une forme de @ telle que A,, soit indépendant de 8,

avec deux valeurs propres simples conjuguées :

exp(+_ 2 inQo) sur le cercle unité.

D'autre part, la forme de f dans (15) est aussi

très particulière et il n'est pas toujours possible de trouver un changement de variables régulier tel que f

soit une rotation d'angle 0,. En fait, on doit supposer

que ceci est possible pour f,(O) = f (O, O, A,) pour arriver au tore bifurqué.

C'est le fameux problème de la conjugaison d'un

difféomorphisme du cercle à une rotation (voir

M. Herman [8]). On peut définir un nombre de rota-

tion de j b (voir [5]) qui donne la rotation équii~alente à

f,,

quand on l'itère une infinité de fois. Dans (15)

le nombre de rotation de fo est o,. Dans le travail

de A. Chenciner et G . Iooss [4] on montre, grâce aux

hypothèses précédentes et à quelques conditions

(généralement satisfaites) de nature arithmétique

sur Q0 et a,, que l'application donnée à l'exemple (1 5)

est caractéristique de ce qui arrive en générai. En particulier, si la bifurcation est supercritique le tore invariant

c3'

qui bifurque pour i > A, est attractif. Les trajectoires sur le tore (35,3' n'ont pas une stru-

ture a priori comme sur Ci??'. D. Ruelle ([28] ou [26])

a montré qu'il est possible de trouver sur le tore

el3'

un attracteur Axiome-A, qui ne serait ni un point stationnaire, ni un cycle (attracteur étrange). Pour comprendre sa structure, on considère le tore inva-

riant pour l'application G,. Les points non

errants de

Ai

sont l'ensemble des points tels qu'une

infinité de leurs itérés leur soient voisins. Un attrac- teur Axiome-A, défini par exemple dans [27], a la

propriété suivante : il est contenu dans l'ensemble

des points non errants et, dans cet, ensemble, GA est une contraction dans une direction, une extension dans une direction supplémentaire, et n'a pas de point fixe. Ce type d'attracteur est tel qu'une petite modification du système (1) ne modifie pas la struc- ture de l'attracteur. De plus, les trajectoires voisines de l'attracteur ont un comportement erratique. En fait, considérons une fonction de corrélation comme

où f est une observable du système, (

),

est la

BIFURCAI'IONS SUCCESSIVES ET STABILITE C5-105 de l'attracteur. Bowen et Ruelle [3] ont montré que,

pour les attracteurs Axiome-A, q ( r ) + O quand

z + m. Ceci montre une très sensible dépendance

par rapport aux conditions initiales, comme dans le cas d'un mouvement turbulent.

Bien que ce type d'attracteur soit générique sur

eQ), on peut aussi rencontrer d'autres types d'attrac- teurs et même obtenir, moyennant des hypothèses

de même type que celles faites pour arriver à ci3),

des bifurcations successives vers des tores de dimen- sions de plus en plus élevées

[A,

[31], [4].

On ne connaît pas, actuellement, d'exemple physi- que où l'on aurait détecté la présence d'un tore inva-

riant de dimension 3. 11 faut toutefois noter que les

caractéristiques expérimentales d'un tel tore sont loin d'être claires.

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