date GBernetR / Séquence : Sta1s1que- Analyse de données/ 2nde 1

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Sta's'que  descrip've   Analyse  de  données  

 

Séquence  7  :  

 

Revoir  :  

-­‐  C a l c u l e r   u n e   f r é q u e n c e ,   u n   pourcentage  

-­‐  Lire  un  graphique   -­‐  Calculer  une  moyenne  

-­‐  Déterminer  et  interpréter  une  médiane   -­‐  Déterminer  et  interpréter  un  quar'le  

 

Capacités  aAendues  :  

-­‐  Déterminer  et  interpréter  des  résumés   d’une  série  sta's'que  

-­‐  U'liser   un   logiciel   ou   une   calculatrice   pour  étudier  une  série  sta's'que  

-­‐  Passer   des   effec'fs   aux   fréquences,   calculer   les   caractéris'ques   (ou   paramètres)   d’une   série   définie   par   effec'fs  ou  fréquences    

-­‐  Calculer   des   effec'fs   cumulés,   des   fréquences  cumulées  

-­‐  Représenter   une   série   sta's'que   graphiquement   (nuage   de   points,   histogramme,   courbe   des   fréquences  

I) Vocabulaire

Une étude statistique commence par le recueil de données concernant un caractère sur les individus d’une population.

Exemple : Listons la taille des élèves de la classe de 2^nde.

# La population d’une série statistique est l’ensemble des éléments

« individus » sur lesquels porte l’étude : personnes, plantes, objets …

…

# Un caractère est une particularité étudiée chez les individus : taille, forme des feuilles de plantes…

Un caractère est dit quantitatif quand on peut le mesurer : l’âge, la taille, le nombre de frères et sœurs, note obtenue au DM…

(Sinon, le caractère est dit qualitatif : couleur des yeux…)

# Les données sont les réponses concernant le caractère étudié : taille en cm des élèves : 175 – 180 – 160 – 168 – 175 – …

II) Présentation d’une série statistique

1)  Effectifs cumulés, fréquences cumulées Définitions :

# L’effectif d’une valeur du caractère est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série.

# L’effectif cumulé croissant (respectivement décroissant) d’une valeur est la somme des effectifs des valeurs qui lui sont inférieures (respectivement supérieures) ou égales.

Exemple : Nombre de frères et sœurs pour les élèves de 2^nde… Données :

Interprétations :

# élèves ont frères ou sœurs.

# Chez élèves le nbr de frères et sœurs est inférieur ou égal à . (ou élèves ont frères et sœurs ou moins,

ou élèves ont au plus frères ou sœurs).

Nombre  de  frères  

et  sœurs  (

x

_i)   0   1   2   3   4  

Effec1fs  (

n

_i)    

Effec1fs  cumulés   croissants  

                       

Définitions :

# La fréquence d’une valeur du caractère est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total :

Fréquence d’une valeur

(Fréquences peuvent s’exprimer en fraction, en %, en décimal)

# La fréquence cumulée croissante (respectivement décroissante) d’une valeur est la somme des fréquences des valeurs qui lui sont inférieures (respectivement supérieures) ou égales.

Propriété (admise) :

La somme des fréquences est égale à 1.

= effectif de la valeur effectif total

Vue en 5^ème

Exemple : Une enquête sur le temps de travail personnel quotidien des élèves de 2^nde donne les résultats suivants :

Interprétations :

# 47 % des élèves travaillent de 1h à 2h (exclue) par jour.

# 85 % des élèves travaillent un temps supérieur ou égal à 1h par jour.

(Ou 85 % des élèves travaillent plus de 1h par jour, ou 85 % des élèves travaillent au moins 1h par jour)

Temps  de  travail  (en  h)   [0;1[   [1;2[   [2;3[   [3;4[   Total  

Effec1fs   9   29   22   2   62  

Fréquences    

  0,15   0,47   0,35   0,03   1  

Fréquences  cumulées    

décroissantes   1   0,85   0,38   0,03   1  

Décroissant alors on commence par la dernière fréquence

Temps  de  travail  ^{(en  h)}   [0;1[   [1;2[   [2;3[   [3;4[   Total  

Effec1fs   9   29   22   2  

Fréquences  (

f

_i)  

 

Fréquences  cumulées     décroissantes  

2) Représentations graphiques

# Nuage de points

0 1

10

2 20

3 4

30 40

Effectif

Nombre de frères et sœurs

0

# Histogramme

Quand les valeurs sont regroupées en classes.

0 1

0,1

2 0,2

3 4

0,3 0,4

Fréquence

Temps de travail en h

0

0,5 47 % des élèves travaillent

de 1h à 2h par jour

# Courbe de fréquences cumulées (ou diagramme cumulatif)

0 1

0,2

2 0,4

3 4

0,6 0,8

Fréquences cumulées

Temps de travail en h

0

1 Les points sont reliés

par des segments

85 % des élèves travaillent un temps supérieur ou égal à 1h par jour

III) Paramètres de position et de dispersion (ou Indicateurs de…) 1)  Mesures de tendance centrale (ou Indicateurs de position) Définition :

La moyenne d’une série statistique, notée est :

Propriété (admise) :

On peut calculer la moyenne à partir des fréquences :

Remarque :

Pour une série regroupée en classes, il faut prendre pour

x

_i les centres (ou milieux) des classes.

x

x = somme des n

_i

× x

_i

somme des n

_i

= n

₁

x

₁

+ n

₂

x

₂

+ ... + n

_p

x

_p

n

₁

+ n

₂

+ ... + n

_p

"

#

$ $

%

&

' '

n_i est l’effectif de la valeur x_i

x = somme des f

_i

× x

_i

( = f

₁

x

₁

+ f

₂

x

₂

+ ... + f

_p

x

_p

)

^fi est la fréquence de la valeur x_i

Exemple :

Pour l’enquête sur le temps de travail, calculons la moyenne : Avec les effectifs :

Avec les fréquences :

x = 9 × 0,5 + 29 × 1,5 + 22 × 2,5 + 2 × 3,5

9 + 29 + 22 + 2 = 110

62 ≈ 1,8

x = 0,15 × 0,5 + 0,47 × 1,5 + 0,35 × 2,5 + 0,03 × 3,5 ≈ 1,8

Centre de la classe [0;1[

Définition :

La médiane

Me

d’une série statistique d’une série statistique de n valeurs rangées dans l’ordre croissant est :

# si n est impair,

Me

est la valeur « centrale »,

# si n est pair :

Me

est la demi-somme des deux valeurs centrales .

Interprétation : La médiane

Me

partage ces valeurs en deux groupes de même effectif :

# les valeurs inférieures ou égales à

Me

,

# les valeurs supérieures ou égales à

Me

.

Exemples :

# Pointures de 7 personnes :

Valeurs  rangées  :        38              38            40              40              41            42              42 Le nombre de valeurs est impair : 7,

la médiane est donc la valeur centrale,

Me

=

Interprétation : La moitié des personnes ont une pointure de 40 ou moins (ou de 40 ou plus).

# Pointures de 8 personnes :

Valeurs  rangées  :        38              38            40              40              41            42              42          45 Le nombre de valeurs est pair : 8, la médiane est donc la demi- somme des deux valeurs centrales,

Me

=

Interprétation : La moitié des personnes ont une pointure de 40,5 ou 40.

(40 + 41) : 2 = 40,5.

Définitions :

Soit une série statistique dont les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant.

# On appelle premier quartile Q₁ la plus petite valeur de la série telle que au moins 25% des valeurs sont inférieures ou égales à Q₁.

# On appelle troisième quartile Q₃ la plus petite valeur de la série telle que au moins 75% des valeurs sont inférieures ou égales à Q₃.

Exemples :

A partir d’une liste de valeurs ordonnées :

35 37 38 39 40 40 41 42 43 45 45 L’effectif total est de 11 pointures.

1^er quartile :

3^ème quartile :

Q₁=11× 25

100 = 2,75 valeur de la série ordonnée, soit 38.

Interprétation : au moins 25%

des valeurs de la série sont inférieures ou égales à 38

Q₃ =11× 75

100 = 8,25 ≈ 9^èmevaleur de la série ordonnée, soit 43.

Interprétation : au moins 75%

des valeurs de la série sont non entier,

alors on prend la valeur approchée entière par excès

≈ 3^ème

25%

75%

2) Mesures de dispersions (ou Indicateurs de dispersions) Définitions :

# L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de cette série.

# L’écart interquartile est la différence : Q₃ – Q₁ .

Résumé des indicateurs de position et de dispersion :

Fin de la séquence

Médiane Plus

petite donnée

Plus grande donnée

Q₁ Q₃

Au moins 50% des données Au moins 50% des données

Au moins 25%

des données

Au moins 25%

des données Au moins 50%

des données

Etendue

Ecart interquartile