Echantillonnage et estimation (série 4)
Exercice 1 :
Une machine Produit des pièces dont la longueur est une variable aléatoire 𝑋, acceptable si elle est comprise entre 28,18 et 28,22 mm.
1. Dans un premier temps, on estime que 𝑋 suit une loi normale, N (28,20 ; 0,012).Calculer le pourcentage de pièces acceptables auquel il faut s’attendre.
2. Sans mettre en cause l’écart type estimé 𝜎 = 0,012, on désire vérifier la valeur moyenne de la longueur des pièces produites, 𝜇, par l’analyse d’un échantillon. Quel doit être la taille de l’échantillon qui placera 𝜇 dans un intervalle d’amplitude 0,001 mm centré sur 𝑋,̅ moyenne de l’échantillon, au risque de 1% ?
3. On prélève un échantillon de 50 pièces qui donne les résultats suivants : La moyenne 𝑋̅= 28,195 ; Ecart type S = 0,015 Déterminer l’intervalle centré sur 𝑋̅ où se trouve 𝜇 au risque de 1%.
4. On complète l’analyse par une étude des retours vers l’atelier de montage pour non- conformité. Sur 250 pièces expédiées, 21 sont retournées. Déterminer la probabilité p pour qu’une pièce produite soit hors tolérance, dans un intervalle de confiance à 95%.
Exercice 2 :
Le fabricant d’une machine a garanti à son utilisateur que la longueur moyenne des pièces qu’il fabrique est de 20 cm avec une variance de 4 cm.
Pour vérifier si la machine est bien réglée, on prélève régulièrement un échantillon dont on calcule la longueur moyenne que l’on compare à la moyenne théorique avec un risque de 5%.
1. L’échantillon prélevé est de 100 pièces. Etablir un intervalle de confiance de la moyenne 𝜇 au risque de 5%.
2. L’échantillon prélevé est de 25 pièces. Donner le nouvel intervalle au risque de 5%. Pour cela on suppose que les longueurs sont distribuées suivant une loi normale de paramètres inconnus.
3. L’échantillon prélevé est de 10 pièces et fournit les longueurs suivantes en cm : 22 22 18 24 18 15,5 18 16 24,5 18 Construire le nouvel intervalle de confiance au risque de 5%.
4. Comparer et commenter :
Les différences dans les hypothèses des 3 questions.
En déduire s’il existe un lien entre la taille de l’échantillon et sa représentativité.
Exercice 3 :
Dans une population donnée, on considère une variable aléatoire 𝑋 distribuée selon une loi normale de paramètres 𝜇 et 𝜎 inconnus. Soit un échantillon de 16 observations indépendantes telles que :
∑16𝑖=1𝑋𝑖=36,8 et ∑16𝑖=1𝑋𝑖2=148,84
1. Quels sont les estimateurs de 𝜇 et 𝜎 ? sont-ils sans biais et convergents ? Justifier votre réponse.
2. Donner un intervalle de confiance à 95% pour la moyenne 𝜇.
3. Quelle taille d’échantillon doit-on choisir pour obtenir un intervalle de confiance à 90% pour 𝜇 avec une précision d’estimation de 10% de 𝜇 ?
