Vitesse de F par rapport à B

Geodynamics M1 2021 Cinzia G. Farnetani

Cours IV

cinzia@ipgp.fr

B=Buoy, F=Ferry, T=Truck, A=Alice (une tortue!)

Vitesse de F par rapport à B

_B

V

_F

= vers NE à 4 km/h Vitesse de T par rapport à F

_F

V

_T

= vers E à 4 km/h Vitesse de A par rapport à T

_T

V

_A

= vers SE à 2 km/h Vitesse de A par rapport à B  ?????

Vitesse de déplacement de B,F,T,A

Plate Tectonics. How it works A. Cox and R.B. Hart (1986)

Vitesse du ferry F par rapport à B

_B

V

_F

vers NE à 4 km/h

E_F=4*cos(45°)

E_F=4*0.707=2.82km/h c'est la composante vers l'EST du Ferry (par rapport à B,fixe).

Le 'truck' T bouge par rapport au ferry

_F

V

_T

vers E à 4 km/h

En partant de F je dessine le vecteur _FV_T

Le vecteur de B à T donne _BV_T Composante Nord :

BN_T = _BN_F + _FN_T Composante Est

BE_T = _BE_F + _FE_T

BV_T = _BV_F + _FV_T

Alice bouge par rapport au 'truck'

_T

V

_A

vers SE à 2 km/h.

Le point A a coordonné : N

_A

= N

_T

+

_T

N

_A

E

_A

= E

_T

+

_T

E

_A

B

V

_A

=

_B

V

_T

+

_T

V

_A

Vitesse de la tortue Alice, par rapport à la bouée fixe.

Vitesse de déplacement de 3 plaques ABC

On considère que la plaque A est fixe.

Frontière AB= faille transformante, 3 mm/yr N 135° E Frontière BC= zone de subduction, 3 mm/yr N 45° E Vitesse de la plaque C par rapport à A ?

Nature de la frontière AC ?

A

V

_B

Vitesse de B par rapport à A :direction N 135° E 3 mm/yr

A

V

_B

B

V

_C

A

V

_C

B

B

V

_C

Vitesse de C par rapport à B :direction N 45° E 3 mm/yr

A

V

_B

B

V

_C

A

V

_C

B

C

A

V

_C

Vitesse de C par rapport à A

A

V

_B

B

V

_C

A

V

_C

B C

On trouve que la direction est N 90° E et

_A

V

_C

= 4.2 mm/yr.

La frontière de plaque entre A et C est une faille transformante

Problème : Les failles transformantes (2, 3, 4, 5) ne sont pas parallèles entre elles

2 plaques : North America, Pacific

Les isochrones permettent d'estimer l'age des roches, et le taux d'expansion de la dorsale Juan de Fuca

'

La plaque P est considérée fixe.

Le mouvement de N par rapport à P est obtenu le long de la faille de

San Andreas * : vitesse de déplacement

_P

V

_N

=56 mm/yr , direction N140°E Le mouvement de F par rapport à P est obtenu le long de la faille transformante * (direction N115°E), avec les isochrones

_P

V

_F

=58 mm/yr

*

3 plaques: Juan de Fuca (F), NorthAmerica (N), Pacific (P) Nature de la frontière entre F et N ?

*

'

Il y a convergence entre N et F à une vitesse de 26 mm/yr.

La frontière est une zone de subduction !

*

N

V

_F

3 plaques: Juan de Fuca (F), NorthAmerica (N), Pacific (P)

Nature de la frontière entre F et N ?

On peut aussi considérer que N est fixe et se voir que

le mouvement de F par rapport à N fixe est une CONVERGENCE

-Given _FV_T and _TV_A find _FV_A. F is FIXED

-Determine the nature of the plate boundaries (ridges, trenches or transforms)

Solution : all boundaries are ridges

Another example page 66, Cox & Hart

Another example page 66, Cox & Hart

-Determine the nature of the plate boundaries (ridges, trenches or transforms)

Solution : a transform, a ridge, a trench

Another example page 66, Cox & Hart

-Determine the nature of the plate boundaries (ridges, trenches or transforms)

Solution : all trenches

Another example page 66, Cox & Hart

-Determine the nature of the plate boundaries (ridges, trenches or transforms)

Solution : a transform, a ridge and a trench

Tout déplacement sur une sphère est une rotation

rotation dite eulérienne, du nom de Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse.

A

B

A

B

Comment décrire un mouvement d’un point A à un point B sur une sphère ?

Déplacement sur une sphère

Pôle d’Euler

Angle d’Euler

?

Cours N 5 Farnetani

§ Le mouvement d'un corps rigide sur une sphère est décrit par une rotation autour d'un pôle (Euler pôle) à une vitesse angulaire ω.

§ La direction du vecteur ω est donné par la direction de l'axe de rotation, un axe qui passe par le Euler pôle et le centre de la sphère.

§ Le signe de ω est positif si la rotation est contre les aiguilles d'une montre, quand vue du dessus (the right hand rule) .

Théorème d'Euler

Euler pôle

axe de rotation entre plaque A et plaque B

ω

axe de rotation de la Terre

Les vecteurs vitesse angulaire ω et vitesse linéaire v, sont reliés par un produit vectoriel v = ω x r où r est la distance radiale

ω est exprimé en degrés (ou en radians) par an (ou par Ma)

The right hand rule

ω ^r

Comment trouver, graphiquement,

la position du le pôle d'Euler entre deux plaques ?

General bathymetry of the Equatorial Atlantic (From : Antobreha et al., Marine and Petroleum Geology, 2009) R=rifted margin, T=transform (or sheared) margin, MAR=Mid-Atlantic Ridge, PFZ=St. Paul Fracture Zone, RFZ=Romanche Fracture Zone, CFZ=Chain Fracture Zone, AFZ=Ascension Fracture Zone.

Les plaques South America & Africa sont separées par la dorsale (MAR)

La dorsale est segmentée par des failles transformantes.

On considère la plaque 1 fixe, la plaque 2 bouge, son mouvement est décrit par une rotation autour du pôle de rotation.

On trace la normale à chaque segment de faille transformante.

Les normales (----) se croisent au pôle de rotation.

1

ω

₂

Comment trouver, graphiquement, la position du le pôle d'Euler (rotation pole) entre deux plaques ?

Les failles transformantes permettent de déterminer la position du

pôle de rotation car elles correspondent à des petits cercles, dont

le centre est le pôle de rotation.

Les pionniers de ce type d'étude : Xavier Le Pichon 1968

§ Il divise la surface du globe en 6 grandes plaques lithosphériques dont il détermine les frontières à partir de l'activité tectonique.

§ Il calcule les 'pôles de rotation' de leur mouvement relatif depuis 120 Ma.

§ Il montre que en partant des linéations magnétiques on peut déterminer les mouvements des fonds océaniques.

LePichon 1968

L

Unité de mesure des angles plans. 1rad=57,3° Angle (rad)=L/R R Plaque A : est fixe (voir fig.b) r

Plaque B : tourne autour du pôle de rotation E

(Euler pôle) à la vitesse angulaire

_A

ω

_B

Les frontières entre A et B sont donc:

une dorsale,

une faille transformante, une zone de subduction.

E E

un cas simple

L

Unité de mesure des angles plans. 1rad=57,3° Angle (rad)=L/R R

r La vitesse linéaire

_A

V

_b

au point b, situé à une

distance r de E est :

_A

V

_b

=

_A

ω

_B

x r

Pour r = 1000 km ;

_A

ω

_B

= 10

^-8

rad/yr ;

_A

V

_b

= 10 mm/yr

E E

un cas simple

r

E E

Dans la figure (c) on considère que la plaque B est fixe et la plaque A bouge, avec

_B

ω

_A

= -

_A

ω

_B

.

Le pole d'Euler E est le seul point qui reste toujours fixe

E

un cas simple

La vitesse de rotation

_B

ω

_A

est constante.

La vitesse linéaire v en un point P n'est pas constante, car v dépend de la distance δ entre

E et P

La vitesse linéaire v varie de zéro à v

_max

Théorème d'Euler  v =

_B

ω

_A

x r

...mais r c'est quoi ?

Motion of PLATE A relative to PLATE B .

Stippled zone is the new crust added

during time t. S is the distance between

the isochrons that formed at time t.

Motion of PLATE A relative to PLATE B . Stippled zone is the new crust added during time t. S is the distance between the isochrons that formed at time t.

r est un vecteur normale à l'axe de rotation, sa valeur correspond à la distance entre P et l'axe de rotation r = R sinδ, où R est le rayon terrestre

Donc : v =

_B

ω

_A

x r =

_B

ω

_A

R sinδ

2 Plaques. Rotation de A par rapport à B :

_B

ω

_A

avec pole d'Euler

_B

E

_A

L'expression v =

_B

ω

_A

x r permet de calculer la vitesse linéaire v dans un point P (latitude λ, longitude Φ), en connaissant la position du pôle de rotation

_B

E

_A

(latitude μ, longitude θ) et la vitesse de rotation

_B

ω

_A

3 Plaques. Rotation de B par rapport à A :

_A

ω

_B

avec pole d'Euler

_A

E

_B

Rotation de C par rapport à B :

_B

ω

_C

avec pole d'Euler

_B

E

_C

On peut calculer la rotation de C par rapport à A :

_A

ω

_C

=

_A

ω

_B

+

_B

ω

_C

comme une somme vectorielle.

AN=Antartica, IN=India, AF=Africa. ω(lat, long, vitesse rot.)

AN

ω

_IN

=

_AN

ω

_AF

+

_AF

ω

_IN

AN

ω

_AF

= (9.4°, -41.7°, 0.15°/my) on calcule (

_AN

ω

_xAF

,

_AN

ω

_yAF

,

_AN

ω

_zAF

)

AF

ω

_IN

= (17.3°, 46.0°, 0.64°/my) on calcule (

_AF

ω

_xIN

,

_AF

ω

_yIN

,

_AF

ω

_zIN

)

On peut calculer enfin les composantes x,y,z, de

_AN

ω

_IN

AN

ω

_xIN

=

_AN

ω

_xAF

+

_AF

ω

_xIN

AN

ω

_yIN

=

_AN

ω

_yAF

+

_AF

ωy

_yIN

AN

ω

_zIN

=

_AN

ω

_zAF

+

_AF

ω

_zIN

From Cox & Hart, page 145

From Cox & Hart, page 145

Present day plate motion models

...a vast literature Minster & Jordan 1974,1978 : 11 plates. Data set : 110 spreading rates

78 transform fault azimuths 142 earthquake slip vectors is inverted to yield an instantaneous plate motion model (Relative Motion 2)

DeMets et al., 1990, 1994 : 12 plates. Data set : 277 spreading rates

121 transform fault azimuths^(§) 724 earthquake slip vectors

is inverted to yield an instantaneous plate motion model called NOUVEL-1 (see fig.)

Eurasia fixe

DeMets et al., 2010 : 25 plates. Plate motion model called MORVEL

Data set : ~1700 spreading rates ~ 600 transform fault azimuths

Fewer earthquake slip vectors (which average motion over a shorter time period than do spreading rates and transform fault azimuths)

Increased shipboard, airborne and satellite coverage of mid-ocean ridges Instantaneous tectonic plate velocities from Global Positioning System ^(GPS)

Present day plate motion models

...a vast literature

This type of study enables to : - estimate plate motion (see fig.) - detect zones of deformation

- determine the limits to the rigid plate approximation

DeMets et al., 2010

Plate tectonic reconstructions

Euler rotations are used to reconstruct the paleopositions of continents and plates.

Absolute plate motion models are important for :

- mantle convection models (being the surface boundary conditions) - past ocean circulation and climate models, since continent-ocean distributions change over time

Absolute plate motion models are based on :

- hotspot tracks are confined to the last 130 Ma

- paleomagnetic data reflect plate motion relative to the magnetic dipole axis for long times (Ga), but cannot provide paleolongitudes, because of the axial symmetry of the Earth’s magnetic dipole field.

Torsvik et al., (2008), Reviews of Geophysics

Champ magnétique engendré par un Dipôle Axial Centré

Geocentric Axial Dipole

(GAD hypothesis)

Expression générale d’un potentiel magnétique

Un aimant est un dipôle magnétique (pôle + , pôle - ) d’intensité |M| (A m²) Ce dipôle génère un champ de force, le champ magnétique, mesurable en tout point P de l’espace

pôle -

pôle +

r

Pour tout point P situé à une distance r du dipôle, le long d’une droite faisant un angle δ avec l’orientation du dipôle, le potentiel magnétique V s’écrit:

avec k = μ₀ / 4 π = 10^-7 car la perméabilité magnétique du vide est μ₀= 4π10^-7

 

V   kM cos  r

²

Expression générale d’un potentiel magnétique

Le potentiel magnétique est un scalaire.

Le champ magnétique B est un vecteur de composantes (B_x,B_y,B_z)

 

B    gradV 

x    ^V

 ^X y    ^V

 ^Y z    ^V

 ^Z





 





 



En tout point P, le vecteur B peut être défini par:

ses composantes cartésiennes, par convention:

X est dirigé vers le Nord géographique Y est dirigé vers l’Est

Z est dirigé vers le centre de la terre

H est la projection de B sur le plan horizontalH D déclinaison magnétique : angle entre HH et le nord géographique; par convention D>0° vers l’est et

D<0° vers l’ouest, de 0° à ± 180°

I inclinaison magnétique : angle entre B et le plan horizontal; par convention I>0° vers le bas et I<0° vers le haut, de 0° à ± 90°

F module (intensité) du vecteur champ magnétique l'unité est le Tesla (N A^-1 m^-1 ),

on utilise souvent le nano-Tesla (nT)

B Z

HH P

P

B

x  H.cos D  F.cos I .cos D y  H.sin D  F.cos I .sin D z  F.sin I



 



H  x

²

 y

²

F  x

²

 y

²

 z

²

 H

²

 z

²

D  arctan y

x I  arctan z

H  arctan z x

²

 y

²





 





 

 

Des relations trigonométriques classiques lient ces diverses composantes:

Z

Y X

Un modèle simple: le dipôle axial centré

Pôle Nord En P le potentiel V = -k |M| cosθ / r²

est en coordonnées polaires {r,θ,Φ}, par contre B est en coordonnées cartésiennes {x,y,z}.

B gradV 

x ^V

^{X } 1 r.^V

 y ^V

^{Y  } 1 r.sin^.

V

 z ^V

^{Z } V

r















B gradV 

x ^V

^{X } 1 r.^V

 y V

^{Y  } 1 r.sin ^.

V

 z ^V

^{Z  } V

r













 Cartesian coordinates (x,y,z)

Spherical coordinates (r,θ,Φ)

= B

_θ

= B

_Φ

= B

_r

Un modèle simple: le dipôle axial centré

Pôle Nord En P le potentiel V = -k |M| cosθ / r²

est en coordonnées polaires {r,θ,Φ}, par contre B est en coordonnées cartésiennes {x,y,z}.

B gradV 

x ^V

^{X } 1 r.^V

 y ^V

^{Y  } 1 r.sin^.

V

 z ^V

^{Z } V

r















B gradV 

x1 r.^V

 ^{k M}

sin r³ y  1

r.sin^.

V

 ^{ 0} z V

r 2k M cos r³















= B

_θ

= B

_Φ

= B

_r

Un modèle simple: le dipôle axial centré

M

B

_r

θ

B

_θ

B

B

_r

/ B

_θ

= 2 cosθ / sin θ

En utilisant l'inclinaison I (voir fig.)

B

_r

= B sinI et B

_θ

= B cosI

B

_r

/ B

_θ

= sinI / cosI

On obtient

2 cot θ = tan I

et

2 tan λ = tan I

car θ+λ = 90°

B

_θ

B

_r

Un modèle simple: le dipôle axial centré

Pôle Nord 

B gradV 

x 1 r.^V

 ^{k M}

sin r³ y  1

r.sin^.

V

 ^{ 0} z V

r 2k M cos r³















Le modèle du dipôle axial centré prévoit que l'intensité F du champ magnétique soit deux fois plus élevée aux pôles (θ=0°et θ=180°) qu’à l’équateur (θ=90°)

Un modèle simple: le dipôle axial centré

Pôle Nord 

B gradV 

x 1 r.^V

 ^{k M}

sin r³ y  1

r.sin^.

V

 ^{ 0} z V

r 2k M cos r³















Le modèle du dipôle axial centré prévoit que l'inclinaison du champ magnétique soit I=90° au pôle Nord, I=0° à l’équateur et I=-90° au pôle Sud.

La déclinaison est partout D=0°.

I arctan z

x²  y² arctan z

x Darctan y

x

Finlay et al., 2010

nTesla=10^-9 T

1T= 1 Wb m^-2= 1V s m^-2

Finlay et al., 2010

Champ magnétique terrestre mesuré en 2014 par la sonde Swarm

L' axe dipôle n'est pas aligné avec l'axe de rotation terrestre, mais est incliné de ~11,5°.

Conséquence-1: le pôle, et l’équateur, géomagnétique ne correspondent plus au pôle, et à l’équateur, géographique.

Conséquence-2: un meilleur accord avec les observations.

Par exemple, le pôle N magnétique, (I=90°) est à 85°N;132°W, c'est à dire 550km du pôle N géographique.

Axe du dipôle

Un autre modèle simple: le dipôle centré

11,5

a = 6371.2 km mean Earth radius

P

^m_n

(cosθ) Associated Legendre polynomials of degree n order m

exemple for m=0 : P⁰₁=cosθ ; P⁰₂=1/4 (3cos2θ +1)...

exemple for m=1 : P¹₁=sinθ ; P¹₂=3/2 sin2θ ...

g

^m_n

, h

^m_n

Gauss coefficients,

calculated up to n=13 and m=13

International Geomagnetic Reference Field (IGRF) 2010 by Finley et al.

n=1

n=2

n=3

m=0 m=1 m=2 m=3

The most important part of the magnetic field is the dipole component (n=1), all other terms (n≥2) are the non-dipole components. The term g₁⁰ describes a magnetic dipole located at the center of the Earth and aligned with the rotation axis.

The three terms n=1 describe a geocentric dipole whose axis is inclined (~11°) with respect to the rotation axis (~95% of the observed field is explained).

(nT)

cos(mΦ) P

_n^m

(θ)

zonal harmonic sectoral harmonic

n-m=0 tesseral harmonic

n-m>0

International Geomagnetic Reference Field (IGRF) 2010 by Finley et al.

IGRF is a numerical model used to calculate the large scale internal part of the Earth’s magnetic field from 1900 to present, at the Earth’s surface.

IGRF is derived from observations by satellites, by magnetic observatories, by magnetic surveys.

IGRF must thus be revised every 5 years since the internal part of the geomagnetic field, almost entirely core-generated, undergoes slow changes on timescales of years to decades.

degree n ordre m

EXEMPLE : F is represented by a sum of weighted functions

Since Gauss (1777-1855) spherical harmonic analysis of the magnetic field, measured at the Earth's surface, indicates that 99% of the magnetic field has an INTERNAL origin.

1906 :

B. Brunhes découvre que les laves ont une mémoire magnétique (voir suite),

mais aussi que certaines montrent des inversions du champ magnétique terrestre.

1929 :

M. Matuyama, ajoute une notion temporelle à ces inversions, car il date diverses coulées de laves et conclut à l'existence d'inversions multiples à travers les temps géologiques. On the direction of magnetization of basalts in Japan,Tyosen and Manchuria

Les inversions du champ magnétique

Les conclusions de Matuyama tombent dans l'indifférence et l'oubli pour plus de 40 ans ....

Les anomalies magnétiques des fonds océaniques témoignent : 1) les inversions du champ magnétique

2) l'expansion des fonds océaniques

1963 : F. Vine & D. Matthews, Magnetic anomalies over oceanic ridges

en étudiant les anomalies magnétiques des fonds océaniques ils concluent que la lithosphère océanique possède une structure en bande d’aimantations normales/inverses ("magnetic stripes")…

- Les inversions sont des événements brefs (milliers d'années).

- L'intensité du champ magnétique décroit (~90% de perte d'intensité)

- Le champ n'est plus dipolaire, mais est constitué de plusieurs pôles

- Ces pôles coalescent et le champ reprend d'intensité.

- Le champs est à nouveau dipolaire (i.e., les pôles magnétiques sont à proximité des pôles géographiques) , mais la polarité est inversée

1995 : G. Glatzmaier & P. Roberts, A three-dimensional self-consistent computer

simulation of a geomagnetic reversal

Magnetic Chron Gilbert polarité inverse, avec des événements

de polarité normale Magnetic Chron Gauss

polarité normale, avec des événements

de polarité inverse Magn. Chron Matuyama

polarité inverse, avec des événements

de polarité normale Magnetic Chron Brunhes

polarité normale, avec des événements

de polarité inverse

Anomalie positive (en noir), le champ magnétique fossile (i.e., la direction de magnétisation enregistrée dans les

roches) est dans le même sens que le champ magnétique actuel.

Anomalie négative (en blanc), le champ magnétique fossile est dans le sens

opposé au champ magnétique actuel.

Échelle des inversions

géomagnétiques depuis 160 Ma

L’enregistrement du champ magnétique

Beaucoup de matériaux archéologiques et géologiques sont susceptibles de

-- enregistrer la direction du champ magnétique ambiant au moment de leur formation -- conserver la mémoire de cette direction (aimantation rémanente)

On utilise : des fours domestiques ; de fours de potier ; des briques...

Archéomagnétisme

Au cours des derniers millénaires

Paléomagnétisme

Aux échelles de temps géologiques

Toutes les roches (effusives, intrusives,

sédimentaires) sont aimantées et fossilisent la direction du champ magnétique présent au moment de leur formation.

Les électrons sont des particules chargées, leur mouvement (orbital autour de leur noyau et de spin autour d'eux mêmes) peut être assimilé à une boucle de courant qui engendre un champ magnétique.

Magnétiquement parlant un matériau est une collection de dipôles (i.e.,des moments magnétiques) qui sont orientés aléatoirement en l'absence d'un champ magnétique extérieur (B=0)

Propriétés magnétiques des matériaux et structure atomique

Si on applique un champ magnétique extérieur (B≠0) les moments magnétiques se orientent.

B

Certains matériaux conservent une aimantation magnétique

(i.e., des moments magnétiques restent orientées) même

une fois que le champ magnétique extérieur retourne à zéro

Matériaux FERRO (FERRI, ANTIFERRO) magnétiques, selon l'organisation des dipôles par rapport au champ magnétique qui les a alignés.

Fe, Ni, Co

Hematite Fe₂O₃

Magnetite Fe₃O₄

Lagroix &

magnetite

Magma à haute température :

à T > T

_{C u r i e}

l'agitation thermique empêche l'alignement des moments magnétiques. T

^Ni_Curie

~350°C,

T

^Fe3O4

~ 580°C, T

^Fe_Curie

~770°C.

Le magma se refroidit :

à T < T

_{C u r i e}

les substances

ferromagnétiques acquièrent une aimantation (forte et stable) dans la même direction du champ magnétique terrestre.

B

_terrestre

B

_terrestre

Aimantation Thermo Rémanente (ATR)

-Roches volcaniques et métamorphiques-

Curie

Pour un métamorphisme type schiste vert (300°-500°C)

la réaimantation est partielle. A' plus haute température

(550°-750°C) la réaimantation sera totale.

Aimantation Rémanente Détritique (ARD)

-Roches sédimentaires-

Lorsqu'une suspension de grains fins (<60μm) se dépose en eau calme, les particules portant un moment magnétique sont orientées par le champ magnétique terrestre. L'orientation est préservée dans les sédiments.

B

_terrestre

roches : shales

mudstones fine-grained sandstones

La détermination d’UNE direction moyenne d’aimantation pour UNE formation

géologique donnée est le résultat:

- de l’échantillonnage de plusieurs sites où cette formation affleure (~15-20), - du prélèvement de plusieurs carottes

(~8-10) sur chaque site,

- de plusieurs mesures 15-20 paliers de désaimantation pour chaque spécimen UNE direction moyenne d’aimantation

correspond à des centaines de mesures

La magnéto stratigraphie

§ Each sample contains a primary or characteristic component, from when the rock originally formed, which may be overprinted by one or more magnetization that where acquired at later times.

.. Demagnetization .. (?)

§ These overprinted components must be removed, by gradually demagnetizing the sample,

and ''stripping'' off the younger, less stable magnetizations, until the characteristic remanence is left.

§ Objective : obtain the inclination I and the declination D of the magnetization.

NRM=Natural Remnant Magnetization

Butler, 1998

Programme :

PS Pole Sud

PGV Pôle Geomagnétique Virtuel

Dans le passé temps T₀ 

Au moment de sa formation la roche mémorise l'inclinaison I et la

déclinaison D du champ magnétique La latitude λ du lieu de formation de la roche est liée à I par :

2 tan λ = tan I

La colatitude θ représente la distance entre le lieu de formation de la roche et le pôle géographique

IMPORTANT

^(*)

: Une hypothèse de base du paléomagnétisme est que le champ magnétique est décrit par un dipôle axiale centré.

Le pôle magnétique correspond au pôle géographique

(*)voir après

Le pôle magnétique, enregistré par la roche, correspond au pôle Nord

Aujourd'hui temps T₁ 

Aujourd’hui: on calcule le Pôle Geomagnétique Virtuel (PGV).

Sa position ne correspond pas à la position du pôle Nord

Dans le passé temps T₀ 

T₁ 

T₀  T₁ 

Pourquoi ?

Entre le temps T

₀

et T

₁

la plaque a dérivé En utilisant les angles D et I de

l’aimantation de la roche on calcule une position du Pôle Géomagnétique Virtuel (PGV)

Aujourd'hui temps T₁ 

T₀  T₁ 

La reconstruction consiste à

ramener, par le calcul, le VGP sur

le pôle Nord, avec le continent...

Avec une indétermination

majeure: la longitude...!!!

S (λ

_S

,Φ

_S

) est le site de prélèvement des échantillons de roche. Les angles D

_m

et I

_m

sont la paléo-Déclinaison et la paléo-Inclinaison enregistrées par la roche au site S.

Il faut calculer la position du P(λ

_P

,Φ

_P

) le Pôle Géomagnétique Virtuel

(PGV).

La distance angulaire p entre S et P est une 'paleo-colatitude', reliée à I

_m

tan I

_m

= 2 tan λ = 2 cot p

On connaît p, comment calculer λ

_P

?

P

S

La latitude de P est : λ

_p

= 90°- p

_p

Grace au theoreme des cosinus, sur le triangle NPS, la colatitude p

_p

est :

N

Le theoreme des sinus sur NPS

permet de calculer l'angle β, la

difference de longitude entre P et S.

Le champ géomagnétique est-il dipolaire et centré ?

Sur des échelles de temps de 0-500 ans, la réponse est ''non''

Variation séculaire : I et D depuis 1700 à Paris et à Londres.

Pour un Dipôle Axiale Centré, les étoiles rouges donnent I et D à Paris et à Londres

Le champ géomagnétique est-il dipolaire et centré ?

Sur des échelles de temps de 0-500 ans, la réponse est ''non''

Sur des échelles de temps de 2000-3000 ans la réponse est ''plutôt oui''.

A partir des directions archéo-magnétiques, on peut : (1) calculer la position successive des pôles nord magnétiques, (2) faire la moyenne vectorielle de ces pôles

magnétiques.

Cette moyenne contient le pôle géographique actuel

De 2000 à 950 avant J.C. : I a varié de 20°,

D a varié de 40°, mais la moyenne sur 3000 ans n’est pas loin de celle que produirait un dipôle axial centré (étoile rouge)

Le champ géomagnétique est-il dipolaire et centré ?

On se rapproche du dipôle axial centré lorsqu’on moyenne les mesures sur un temps suffisamment long (10 000, 100 000 ans .... Ma)

Schneider & Kent, 1990.

Étude sur 186 échantillons (voir carte) de sédiments marins, âgés de 0 à 2.74 Ma.

Ils montrent un bon accord entre I

observée et la latitude à l'époque de leur formation (voir figure à gauche)

tanI = 2 tanλ

Programme :

On a calculé la position du paléo-pôle magnétique pour le continent Indien.

PGV = Pôle géomagnétique virtuel.

70 Ma : PGV1 est au pôle nord (PN) 60 Ma : PGV2 est au pôle nord

la plaque a bougé, PGV1 a donc bougé

50 Ma : PGV3 est au pôle nord

la plaque a bougé, PGV2 et PGV1 ont bougé...

Présent : PGV est au pôle nord.

Les PGV des époques précédentes décrivent une 'trajectoire' nommée CDAP (Chemin de Dérive Apparente des Pôles).

Il ne s'agit PAS d’un mouvement réel de ces pôles, mais d'une dérive

apparente, due au déplacement tectonique de la plaque.

200 Ma

0 Ma

100 Ma 50 Ma

Apparent Polar Wandering Path (APWP)

Chemin de Dérive Apparente des Pôles (CDAP)

de l'Inde depuis 200 Ma

En utilisant des roches d'Amérique du Nord, on calcule la position des

paléo-pôles depuis 350 Ma.

En unissant les paléo-pôles on a un 'parcours' de 'dérive apparente du pôle'.

En effet, vu que le pôle magnétique ne bouge pas, la dérive apparente du

paléo-pôle montre que c'est le continent que a bougé !

Exemple de dérive apparente du Plaéo-Pôle apparent polar wander path

Europe USA

PGV=Pôle Géomagnétique Virtuel PMV=Pôle Magnétique Virtuel

How to rotate a continent page 220 Cox & Hart

We want to rotate Africa back to its position relative to South America, assumed fixed, prior to the opening of the South Atlantic ocean

A rotation ROT [E,Ω]

E(λ_E,Φ_E) known The rotation angle Ω is :

Ω = ω Δtime

SA

AF

A' = R A

A

A'

Ω

How to rotate a continent page 226 Cox & Hart

You can find the complete derivation of these expressions in the following paper : B. Greiner, (1999) Euler rotations in plate-tectonic reconstructions,

Computers & Geosciences 25, 209--216

Further back in the past ? Yes, we can

Stampfli & Borel, 2002 : A plate tectonic model from Paleozoic to Mesozoic times.

They develop the concept of a dynamic plate boundary (e.g. active spreading ridge, subduction zone, transform fault) by adding to each continent its oceanic surface.

They construct paleo- synthetic oceanic isochrons through time, in order to determine the location of spreading ridges and to restore subducted ocean basins.

Use constraints from geology, petrology, paleomagnetism, geodynamics (plate forces)

Note : other possible references McElhinny, M.W. et al., 2003 Macouin, M. et al., 2004

Meert, J.G., 2002 Li, Z.X. et al., 2008

Paleozoic ~ Ordovician

NOTE : Rheic ocean opening, separating Avalonia from Gondwana, is constrained by subsidence analysis and by paleomagnetism, and its docking to Laurentia by deformation and post-collisional deposits

Paleozoic ~Devonian

NOTE : The opening of the PaleoTethys is associated with the detachment of the ribbon-like Hun superterrane along the northern margin of Gondwana.

The variscan orogeny 380-280 Ma ago.

A phase of mountain building in Europe

Paleozoic ~Carboniferous

Gondwana colling with Laurasia

Paleozoic ~Permian

NOTE : NeoTethys opened from the Late Carboniferous to Early Permian starting east of Australia. This opening was associated with the closure of PaleoTethys.

The opening of NeoTethys and detachment of the Cimmerian blocks was realized through increasing slabpull forces in the PaleoTethys domain, following the subduction of its mid- oceanic ridge below the Eurasian margin (e.g. accretion of Permian MORB in Iran).

Mesozoic ~Trias

NOTE : Between 240 and 220 Ma northward subduction of the PaleoTethys triggered the opening of back-arc oceans along the Eurasian margin from Austria to China

~146Ma

Mesozoic ~Jurassic

NOTE : NeoTethys subduction recorded through the onset of magmatism along its northern Iranian margin, created a strong slab pull,which contributed to the break-up of Pangea and the opening of the central Atlantic Ocean in Early Jurassic time.

~130Ma

~84Ma

~118Ma

Mesozoic ~Cretaceous

The End cours 4

Dans ''supplementary material'' (pages suivantes) il y a :

GLOSSARY avec des termes que nous avons utilisé souvent REGLES pour le changement de repère et pour la rotation

Extracted from Torsvik et al., (2008), Reviews of Geophysics

Extracted from Torsvik et al., (2008), Reviews of Geophysics

Changement de repère

Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)

Changement de repère

Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)

l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 = " " " Y l13 = " " " Z

O x y z x’ l11 l12 l13

Que l’on peut réécrire:

l

_ij

= cos α 

_ij

Changement de repère

Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)

l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 = " " " Y l13 = " " " Z l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l22 = " " " Y l23 = " " " Z

O x y z x’ l11 l12 l13 y’ l21 l22 l23

Que l’on peut réécrire:

l

_ij

= cos α 

_ij

Changement de repère

Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)

l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 = " " " Y l13 = " " " Z l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l22 = " " " Y l23 = " " " Z l31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe X l32 = " " " Y l33 = " " " Z

O x y z x’ l11 l12 l13 y’ l21 l22 l23 z’ l31 l32 l33

Que l’on peut réécrire:

C’est la matrice de transformation [TM]

l

_ij

= cos α 

_ij

Changement de repère

Le point P, de coordonnées (x,y,z) dans l’ancien repère (X,Y,Z) aura pour coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’):

ou:

P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z) ou:

x' y ' z'





 







 

 

l

₁₁

l

₁₂

l

₁₃

l

₂₁

l

₂₂

l

₂₃

l

₃₁

l

₃₂

l

₃₃





 







 

 .

x y z





 







 



x'  x .l

₁₁

 y .l

₁₂

 z .l

₁₃

y '  x .l

₂₁

 y .l

₂₂

 z .l

₂₃

z'  x .l

₃₁

 y .l

₃₂

 z .l

₃₃

Changement de repère

On retrouve les coordonnées d’origine (x,y,z) de P dans l’ancien repère (X,Y,Z) à partir des coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’) à l’aide de la matrice transposée:

P(x,y,z) = [TM]T * P(x’,y’,z’) et:

À noter:

[TM ] 

l

₁₁

l

₁₂

l

₁₃

l

₂₁

l

₂₂

l

₂₃

l

₃₁

l

₃₂

l

₃₃





 







 



[TM ]

^T



l

₁₁

l

₂₁

l

₃₁

l

₁₂

l

₂₂

l

₃₂

l

₁₃

l

₂₃

l

₃₃





 







 



[TM ]

^T

.[TM ] 

1 0 0 0 1 0 0 0 1





 







 



Rotation 2D

Avant rotation le point P a coordonnées x=r cosε ; y=r sinε

Après la rotation d'un angle θ la nouvelle position est P'(x',y') x'=r cos(ε + θ) ; y'=r sin(ε + θ) En utilisant les regles :

cos(ε + θ) = cosε cosθ - sinε sinθ sin(ε + θ) = sinε cosθ + cosε sinθ on a :

x'=r [cosε cosθ - sinε sinθ]

y'=r [sinε cosθ + cosε sinθ]

en substituant x et y on trouve : x'= [x cosθ - y sinθ]

y'= [y cosθ + x sinθ]

c'est à dire :

ε

Rotation 3D – règle du trièdre direct

Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

Rotation 3D

Rz() est donc la matrice de rotation autour de l’axe Z Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

x' x.cos y.sin y' x.sin  y.cos z' z







ou:

x' y' z'

















cos sin 0









sin ⁰ cos ⁰ 0 1







 .

x y z

















R_z(⁾

cos sin 0









sin ⁰ cos ⁰ 0 1









à 3 dimensions, les matrices de rotations suivantes correspondent à des rotations autour des axes X,Y et Z (respectivement) :

Rx tourne l'axe Y vers l'axe Z, Ry tourne l'axe Z vers l'axe X et Rz tourne l'axe X vers l'axe Y.

Rotation 3D

R_x() 1

0 0









0 0 cos sin sin cos









R_y(⁾

cos 0

sin









0 sin 1 0

0 cos









R_z(⁾

cos sin 0









sin ⁰ cos ⁰ 0 1









Rotation Eulérienne

Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes



Rotation Eulérienne

Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes - étape 1:

Etablir un nouveau repère (X’,Y’,Z’) avec:

- Z’ aligné sur le Pôle d’Euler

- X’ sur le même méridien et orthogonal à Z’

- Y’ formant un trièdre direct avec (X’,Z’) Dans ce repère, le point P a pour coordonnées:

P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z) ou:



x' y' z'





 







 

 

l

₁₁

l

₁₂

l

₁₃

l

₂₁

l

₂₂

l

₂₃

l

₃₁

l

₃₂

l

₃₃





 







 

 .

x y z





 







 

