AIV1 Analyse d'images et Vision 1 Semaine 1 : Transformée de Fourier d une image Olivier Losson d'après B. Mathon

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AIV1 – Analyse d'Images et Vision 1

Semaine 1 : Transformée de Fourier d’une image Olivier Losson d'après B. Mathon

Unité AIV1 : https://link.infini.fr/aiv1

Supports : http://auto-ens.univ-lille.fr/Cours/AIV1

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Fréquences dans une image

Outils d'analyse et applications

2 – Analyse fréquentielle en 1D

Signaux périodiques et série de Fourier Transformée de Fourier

3 – Analyse fréquentielle en 2D

Transformée de Fourier d'une image continue Échantillonnage spatial

Transformée de Fourier discrète Applications

Sélection de références

(3)

Fréquences dans une image (1/3)

Fréquence d'un signal temporel

Un signal s(x) est périodique s'il existe T tel que s(x+T) = s(x) Période fondamentale T

^*

: valeur minimale de T

Fréquence fondamentale f

^*

= 1 / T

^*

Fréquence angulaire fondamentale : ω

^*

= 2π / T

^*

= 2π f

^*

Fréquence spatiale d'une image

1 cycle 2 cycles

x

s₁(x)

T₁^*

s₂(x)

T₂^* = 0.5 T₁^* x

(4)

fréquences

Hautes

fréquences

Basse fréquence

...

Haute fréquence

Somme des 4 signaux

(5)

Fréquences dans une image (3/3)

Fréquences spatiales et contenu de l'image Basses fréquences

Changements d'intensité "lents" (graduels) Zones homogènes, floues

Hautes fréquences

Changements d'intensité "rapides" (brusques) Contours, zones texturées, bruit

Basses fréquences

Hautes fréquences

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→ analyse possible de ses fréquences spatiales (analyse spectrale)

Outils d'analyse

Série de Fourier

Représentation d'une fonction continue périodique

en somme pondérée de cosinus et sinus ou d'exponentielles complexes Transformée de Fourier

Représentation d'une fonction continue

en une fonction continue dans le domaine fréquentiel Transformation basée sur une intégrale

Transformée de Fourier discrète (ang. DFT) Représentation d'une fonction discrète

en une fonction discrète dans le domaine fréquentiel Approximation de l'intégrale de Fourier

Transformée de Fourier rapide (ang. FFT) Implémentation efficace de la DFT

(7)

Analyse de Fourier (2/3)

Applications

Reconnaissance/classification de motifs/textures

Source : Lee & Chen. A New Method for Coarse Classification of Textures and Class Weight Estimation for Texture Retrieval, Pattern Recognition and Image Analysis, 12(4), 2002

DFT DFT DFT

(8)

Filtrage

Suppression du bruit

de speckle (interférences)

DFT IDFT

Filtrage

DFT IDFT

Filtrage

Filtrage passe-haut (détection de contours)

(9)

Série de Fourier (1/4)

Décomposition d'une fonction périodique

Une fonction s(x) de période T = 1/F peut s'écrire :

Ex. : F =1/2π, a_n=0, b_n=4/nπ, n impair

Source : https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series

(10)

Une fonction s(x) de période T = 1/F peut s'écrire :

Réécriture avec amplitude et phase :

Écriture complexe : où c₀ = a₀/2 et

représente le degré de présence de la fréquence nF dans le signal s.

(11)

Série de Fourier (3/4)

Spectre d'une fonction périodique

Le spectre S(f) d'une fonction périodique s(x) de période T = 1/F est défini par :

où δ est la

distribution de Dirac : Ex. :

Source : wikipedia

δ(x)

x

(12)

Signal triangulaire de période T :

Spectre :

Ex. pour T =1 ⇒ F =1 :

8 6 4 2 0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

s(x)

8 6 4 2 0 2 4 6 8

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

S(f)

(13)

Transformée de Fourier (1/5)

Définitions

Extension des séries de Fourier aux signaux non périodiques Signal non périodique = signal périodique avec T^{→ +∞}

Si T → +∞ alors F^{→ 0}⇒ spectre continu

La transformée de Fourier S(f) d'un signal s(x) continu est définie par :

La transformée de Fourier inverse de S(f) est définie par :

s(x) et S(f) s'obtiennent mutuellement l'une de l'autre (paire de transformées) :

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Remarques

S(f) converge (donc existe) ssi

S(f) représente le degré de présence de la fréquence f dans le signal s(x)^. Seules les fréquences f > 0 ont un sens physique

Module et phase

S(f), à valeurs complexes, est souvent représentée par La transformée inverse s'écrit alors

recombinaison de toutes les composantes fréquentielles de s(x) chaque composante est une exponentielle complexe

Le module A(f)=

|

S(f)

|

ℝ représente l'importance de la composante de fréquence ∈ f pour construire s(x)

L^{a phase}'(f)=arg

(

S(f)

)

[0, 2π[ représente le déphasage (décalage d'origine, en ∈ x=0) nécessaire pour que la composante de fréquence f construise correctement s(x)

(15)

Transformée de Fourier (3/5) Interprétation du module de S(f)

Les basses fréquences correspondent aux variations lentes du signal Dans l'exemple : légère pente négative

Les hautes fréquences correspondent aux variations rapides du signal Dans l'exemple : succession de pics à décroissance exponentielle

hautes fréquences

|f| élevé

hautes fréquences

|f| élevé basses

fréquences

|f| faible

|

S(f)

|

s(x)

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Linéarité : Parité :

si s(x) paire alors S(f) réelle et paire

si s(x) impaire alors S(f) imaginaire et impaire

|

S(f)

|

est toujours paire (donc souvent représentée seulement sur ℝ⁺)

Translation : translater un signal revient à déphaser sa transformée de Fourier Dilatation : une dilatation de l'échelle du signal s(x) conduit à une contraction inverse de l'échelle des fréquences, et réciproquement

Convolution : une convolution dans le domaine du signal s(x) correspond à une multiplication dans le domaine des fréquences, et réciproquement

(17)

Master Informatique – Unité Analyse d'Images et Vision 1 17

Transformée de Fourier (5/5) : transformées usuelles

0.2 0.1 0.0 0.1 0.2

x 1.00

0.75 0.50 0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

s(x)s(x)=cos(2¼Fx) F=10

20 15 10 5 0 5 10 15 20

f 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

S(f)=Re{S(f)}

S(f)=

^1/2 (±(f+F)+±(f−F))

0.2 0.1 0.0 0.1 0.2

x 1.00

0.75 0.50 0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

s(x)s(x)=sin(2¼Fx) F=10

20 15 10 5 0 5 10 15 20

f 0.4

0.2 0.0 0.2 0.4

S(f)=Im{S(f)}

S(f)=

^i/2 (±(f+F)−±(f−F))

4 2 0 2 4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

s(x)

s(x)=u [−a/2,a/2](x) a=2

0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

S(f)=Re{S(f)}

S(f)=a sinc(af )

(18)

Image continue à 1 composante : fonction s : ℝ² → ℝ, (x,y) → s(x,y) ℝ²est appelé plan image

Exemple

(19)

Transformée de Fourier bidimensionnelle (1/6)

Définitions

Soit s(x,y) une image continue telle que :

La transformée de Fourier S(f_x,f_y) de s(x,y) est définie par :

La transformée de Fourier inverse de S(f_x,f_y) est définie par :

(20)

( 2¼ f

_x

x+f

_y

y )

(21)

Transformée de Fourier bidimensionnelle (3/6) : exemples simples

s(x,y)=1+cos(2¼f_x₀x) f_x₀=0.2

S(f_x,f_y)=±(f_x,f_y) +1/2 ±(f_x+f_x₀,f_y) +1/2 ±(f_x−f_x₀,f_y)

S(f_x,f_y) s(x,y)=

u^[−a/2,a/2]£[−b/2,b/2](x,y)

(22)

Rotation d'angle θ dans le domaine spatial rotation de ⇒ θ dans le domaine fréquentiel S(f ,f ) contient une information structurelle sur la direction des fréquences spatiales

(23)

Transformée de Fourier bidimensionnelle (5/6)

Propriétés et interprétation fréquentielle

Moyenne de l'image à f_x=f_y=0 : Symétrie centrale :

|S(f_x,f_y)| représente l'importance des motifs périodiques de l'image s dans la direction du vecteur (0,0)–(f_x,f_y) et de fréquence proportionnelle à sa norme (donc de période pixels)

s(x,y) |S(f_x,f_y)| s(x,y)

Source : P. Maurel

|S(f_x,f_y)|

f_y

f_x

(24)

basses fréquences hautes fréquences

20 log₁₀

(

|S(f_x,f_y)|

)

s(x,y)

Source image :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Cour_de_Marbre

(25)

Échantillonnage spatial (1/3)

Échantillonnage d'une fonction image continue

L'échantillonnage en x et y d'une image continue conserve seulement les valeurs aux points (x,y)=(c¢T_x,l¢T_y) où c,l ℕ et ∈ T_x£T_y taille d'un pixel L'image échantillonnée s_e(x,y) est obtenue par produit de s(x,y) et de la

« brosse » (ensemble d'impulsions) de Dirac associée aux pixels :

s(x,y)

Source : N. Thome

s_e(x,y) Ш(x,y)

(26)

x

s(x)

x

Ш(x)

x

se(x)

�

S(f) F{Ш}(f) Se(f)

�

x T

s(x)

x

Ш(x)

x

se(x)

�

T

S(f) F{Ш}(f) Se(f)

�

La TF du peigne de Dirac 1D de période T est un peigne de Dirac de période 1/T :

Le spectre d'un signal 1D s(x) échantillonné est donc :

Périodisation du spectre perte d'information

⇒

possible de s(x) à s_e(x) Théorème de Nyquist

Pas de perte si s à support fréquentiel borné tel que

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Échantillonnage spatial (3/3) Spectre d'une image échantillonnée

Propriétés de TF 2D : les mêmes qu'en 1D, dont répétition du spectre Le spectre de l'image échantillonnée est le même que celui de l'image continue mais reproduit à intervalles réguliers (spectre « périodisé ») Périodes du spectre : inverses de celles d'échantillonnage (1/T_x et 1/T_y)

Théorème de Nyquist-Shannon (unité : cycle/mètre)

L'image continue projetée sur le capteur d'une caméra numérique ne doit pas comporter de fréquence spatiale au-delà de f_max=1/(2T_x) et 1/(2T_y) Autrement dit, la taille du plus petit motif périodique de l'image doit être supérieure à 2 fois le côté d'un pixel : T_min⩾2T_x et T_min⩾2T_y

Sinon, on observe un repliement de spectre et l'image est dégradée Étude de la TF dans le domaine

(28)

La TF d'une image échantillonnée est continue (avec reproduction aux multiples de (F_e,x , F_e,y)) et son calcul nécessite une infinité d'échantillons Dans un système numérique,

les fréquences doivent être discrétisées échantillons en nombre fini

Transformée de Fourier discrète (ang. DFT)

Image numérique I(c, l) de N_x×N_y pixels Transformée directe

N_x×N_y pixels (spatial) → N_x×N_y coefficients fréquentiels Transformée inverse (IDFT)

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Transformée de Fourier discrète (2/4)

Théorème de Nyquist-Shannon (unité : cycle/pixel)

F_e,x = F_e,y = 1 cycle/pixel ⇒ f_max= 0.5 cycle/pixel

Le plus petit motif périodique dans une image est de T_min=2 pixels

Étude de la DFT dans le domaine fréquentiel [– 0.5, 0.5] × [–0.5, 0.5]

Domaine spatial (pixel) Domaine fréquentiel (cycle/pixel)

00

l

v

Image u

I(c ,l)

N_x£N_y

Transformée (Image spectre) 20 log₁₀(|F(u,v)|)

N_x£N_y

–0.5

0.5 c 0.5

N_y – 1

N_x– 1

(30)

I(c,l) : 1024×1024 pixels, motif cyclique de période 10 pixels

F_e,x=F_e,y=0.3 cycle/pixel 307×307 pixels 20 log₁₀(|F(u,v)|)

f_max=0.1cycle/pixel Shannon : F_e ⩾ 2f_max= 0.2

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Transformée de Fourier discrète (4/4)

Sous-échantillonnage : repliement de spectre et phénomène de moiré

I(c,l) : 622×756 pixels,

motif cyclique de période verticale 6 pixels

F_e,x=F_e,y=0.33 cycle/pixel 205×250 pixels

Source : https://en.wikipedia.org/wiki/Aliasing

(32)

Dans le domaine spatial (plan image), le filtrage se fait par convolution Dans le domaine spectral (plan fréquentiel), il se fait par multiplication (ou masquage)

Image

initiale Plan de

Fourier

Image filtrée convolution

Plan de Fourier

Plan de Fourier filtré

*

multiplication

×

(33)

Applications (2/3)

Filtrage passe-bas Filtrage passe-haut

Image initiale Image spectre Image initiale Image spectre

Image spectre transformée

Image transformée Image transformée

(34)

Principe : agrandissement d'une image I, ex. : N_x × N_y → 2N_x × 2N_y Idée naïve : copie de pixels →

Autre possibilité : zero padding

Comparaison

zero padding

copie de pixels zero padding

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Cours en ligne

Outils et méthodes pour la physique : transformée de Fourier https://femto-physique.fr/omp/transformee-de-fourier.php Cours d’analyse de Fourier, É. Aristidi (Univ. Côte d'Azur) https://www-n.oca.eu/aristidi/Cours/analyse_fourier.pdf

Bases du traitement des images : transformée de Fourier, N. Thome (CNAM) http://webia.lip6.fr/~thomen/Teaching/BIMA/cours/Fourier_1.pdf

Tutoriels et démos

Utiliser et comprendre la FFT avec ImageJ : https://link.infini.fr/8Zdf3KDR ImageMagick v6 Examples–Fourier Transforms

https://legacy.imagemagick.org/Usage/fourier/

http://www.fmwconcepts.com/misc_tests/FFT_tests/index.html Online demo (« Fourifier »)

https://ejectamenta.com/imaging-experiments/fourifier/