UTBM - MT12 - le 6 F´evrier 2006
M´edian
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (Questions de cours) - 6 points
i) Soient E et F, 2 espaces vectoriels sur C avec dimCE = 2 et dimCF = 3. Peut- on trouver une application lin´eaire injective de E dans F qui ne soit pas surjective ? Justifier.
ii) Peut-on trouver une famille F = {f1, f2, f3} de R3 telle que {f1, f2}, {f2, f3} et {f1, f3} soient toutes les trois libres et F soit li´ee ? Justifier.
iii) Soit F = vect{
1 0 0
,
0 1 0
,
1 2 3
} et G = vect{
0 0 1
,
1 2 0
,
1 2 4
},
sous-espaces vectoriels de R3. Quelle est la dimension de F ∩G? Justifier.
iv) D´eterminer,sans calculs fastidieux pour ne pas perdre de temps, `a quelles condi- tions sur m∈R
det
m2+ 1 1 m2 m2+ 2 1 m2+ 1 m2+m−1 m2−3 m+ 2
= 0.
Exercice 2 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE) Soient les vecteurs de R3 :
u=
a a−1
a
, v=
a 1−a
a
.
1. A quelle condition n´ecessaire et suffisante sur a ∈ R, les vecteurs u, v sont-ils ind´ependants ?
2. Dans le cas o`u u et v sont ind´ependants, trouver un vecteur w ∈ R3 telle que la famille β ={u, v, w} soit une base de R3.
3. Quelles sont les coordonn´ees de X =
3.a a−1
3.a
dans β?
TOURNER LA PAGE S.V.P.
1
Exercice 3 (8 points) (NOUVELLE FEUILLE) Soit C ={c1 =
1 0 0
, c2 =
1 0 0
, c3 =
0 0 1
} la base canonique de R3 Soit l’application lin´eaire donn´ee dans C par
f : R3 −→ R3
x y z
7→ A.
x y z
avec A=
1 1 0 0 2 0
−2 2 3
.
1) Soit B={b1 =
1 0 1
, b2 =
1 1 0
, b3 =
0 0 1
}, une la base de R3. Donner les coordonn´ees dans B des vecteurs f(b1), f(b2), f(b3).
2) En d´eduire la matrice D=Mf,B de f relativement `a la base B.
3) SoitP la matrice de M3(R)la matrice de passage de la base canonique `a la base B.
P est la matrice telle que
∀V ∈R3, coordC(V) =P.coordB(V).
Montrer que P est inversible et d´eterminer son inverse.
4) V´erifier que A=P.D.P−1.
5) Calculer D2, D3 et trouver une expression de Dn pour n ∈ N∗ en fonction de n (justifier).
6) En d´eduire une expression en fonction de n de An.
(on commencera par exprimer An en fonction de P, D et n, puis on remplacera)
2
