Contribution à l'analyse des structures qualitatives des modèles économiques

Thesis

Reference

Contribution à l'analyse des structures qualitatives des modèles économiques

RITSCHARD, Gilbert

Abstract

Les méthodes d'analyse de modèles économiques étudiées et développées dans cet essai relèvent de l'économie qualitative. Elles visent une meilleure évaluation des hypothèses constituantes d'un modèle et de leurs implications. Plus spécifiquement, l'essentiel du travail porte sur l'analyse des hypothèses de forme, dites purement qualitatives, que traduit le signe des dérivées partielles des relations du modèle.

RITSCHARD, Gilbert. Contribution à l'analyse des structures qualitatives des modèles économiques . Thèse de doctorat : Univ. Genève, 1979, no. SES 273

DOI : 10.13097/archive-ouverte/unige:2597

Available at:

http://archive-ouverte.unige.ch/unige:2597

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I

Université de Genève Faculté des sciences économiques et sociales Collection des tk84ses

Editions Peter Lang, Berne

Gilbert Ritschard

Csntributian à l'analyse des structures qualitatives des

mod6les economiques

Contribution E I'analyse des structures

qualitatives des mod&Ies 4conornlques

Contribution (a 15aanalyse des structures qualitatives des modèles économiques

Thése présentée à la Faculté des sciences économiques et sociales de l'université de Genève

pour l'obtention du grade de Docteur es sciences économiques et sociales mention économétrie et statistique

Membres du jury de thèse M. André Dramais

professeur, Université libre de Bruxelles

M. Emilio Fontela

professeur, Genève directeur de thèse

M. Edouard Rossier

chef de travaux. Genève

M. Jean-Pierre Schellhorn

professeur, Genève président du jury

Collection des thèses de la Faculté des sciences économiques et sociales Thèse no 273

PETER LANG

Berne . FrancfortlM. Las Vegas

La Faculté des sciences économiques et sociales, sur préavis du jury, a autorisé l'impression de la présente thèse,

sans entendre, par 18, émettre aucune opinion sur les propositions qui s'y trouvent énoncées et qui n'engagent que

la responsabilité de leur auteur.

Genève, le 29 juin 1979

Le doyen:

Paul Guichonnet

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Ktschard, Gilbert

Contribution B l'analyse des structures qualitatives des modèles économiques / par Gilbert Ritschard.

-

Berne, Francfort/M. [Frankfurt/M.], Las Vegas : Lang, 1980.

(Collection des thèses de la Faculté des Sciences

Economiques et Sociales / Université de Genève ; No. 273) ISBN 3-261-04750-X

Impression d'après le manuscrit de l'auteur OEditions Peter Lang SA, Berne 1980

Successeur des Editions Herbert Lang & Cie SA, Berne

Tous droit réservés.

Réimpression ou reproduction interdite par n'importe quel procédé, notamment par microfilm, xérographie, microfiche, microcarte, offset, etc.

Impression: fotokop wilhelm weihert KG, Darmstadt (RFA)

AVANT-PROPOS

Les méthodes d'analyse de modèles économiques étudiées et développées dans cet essai relèvent de l'économie qualitative. Elles visent une meilleure évaluation des hypothèses constituantes d'un mo- dèle et de leurs implications. Plus spécifiquement, l'essentiel du travail porte sur l'analyse des hypothèses de forme, dites purement qualitatives, que traduit le signe des dérivées partielles des rela- tions du modèle.

A l'origine, notre ambition était de développer une procédure globale d'analyse qui, en reconsidérant les étapes successives de la spécification d'un modèle, se serait proposée de déterminer les implications du renforcement progressif des hypothèses considérées.

L'importance des recherches nécessaires au développement d'instruments efficaces pour le traitement des hypothèses dites qualitatives s'est cependant avérée telle, que nous avons choisi de nous limiter aux pro- blèmes afférents à ces hypothèses qualitatives.

La plupart des études sur l'analyse qualitative que nous propose la littérature visent, dans une optique essentiellement théorique, à déterminer les conditions particulières sous lesquelles des résultats significatifs peuvent être déduits des hypothèses qualitatives('). Elles ne proposent donc pas de véritables instruments d'analyse. Les travaux de P.A. Samuelson, qui établit les fondements du calcul qualitatif (2), et les développements de ce calcul qualitatif proposés ultérieurement par K. J. anc cas ter (3) sont, à notre connaissance, les seules tentatives

(1) On peut citer à cet égard la mise en évidence de formes standards par Lancaster K.J. (19621, (1964) et Gorman W.M. (1964), ainsi que les étu- des fondées sur la théorie des cycles (cf. notamment Basset L., Maybee J., Quirk J. (19681)qui ont été développées en relation avec l'analyse de la stabilité des positions d'équilibre. On trouvera une présentation sous forme de synthèse de ces travaux dans Allingham M.G., Morishima M.

(1973). Voir également Ritschard G.. Royer D. (1975).

(2) Cf. Samuelson P.A. (19471, pp. 23-29.

( 3 ) Cf. Lancaster K. J. (1965) et (1966).

d'élaboration d'instruments pour l'analyse systématique des hypothèses qualitatives. La présente recherche, qui fait suite à un travail de di- plôme présenté en 1975(l), reprend alors cette problématique du calcul qualitatif en tentant de lui donner un véritable caractère opératoire.

Il convient encore de souligner que notre travail s'ins- crit dans le cadre de recherches actuellement poursuivies au Département d'économétrie de l'université de Genève et portant précisément sur les aspects de la formalisation en science économique qui, en amont de la quantification, sont le propre de l'économie qualitative. Cette ligne de recherche, aujourd'hui dirigée par E. Rossier, s'est développée sous l'impulsion du fondateur du Département, le regretté Professeur L. Solari, auquel nous aimerions ici rendre hommage.

Non seulement le Professeur L. Solari nous a initié à l'économétrie et nous a transmis son goilt pour l'approche formalisée, mais il a également su éveiller en nous notre intér8t pour les problèmes relevant de l'économie qualitative. En particulier, il a su nous faire prendre conscience du r61e essentiel du raisonnement qualitatif qui, par rapport aux démarches quantitatives, apparaît comme une démarche néces- saire pour pouvoir véritablement évaluer les implications de la quantifi- cation. Nous garderons un souvenir impérissable de son enseignement.

Nous tenons également ici à remercier tous ceux qui nous ont aidé dans la réalisation de ce travail.

Nous pensons en particulier au Professeur E. Fontela, di- recteur du Département d'économétrie, qui a accepté de diriger notre thèse, malgré le sujet peu conventionnel que nous avons choisi. Nous lui sommes reconnaissant de sa disponibilite? et de ses encouragements.

(1) Cf. Ritschard G., Royer D. (1975).

Les suggestions et conseils compétents de E. Rossier, chef de travaux, ont été pour nous un apport des plus précieux. Nous n'aurions pu mener à bien cette recherche si nous n'avions trouvé en lui, ainsi qu' en nos amis M. Gilli et D. Royer, des interlocuteurs toujours intéressés par l'évolution de notre travail. Leur collaboration scientifique et leur profonde amitié nous ont été indispensables pour surmonter les difficultés qui ont pu se présenter. Qu'ils trouvent ici l'expression la plus sincère de notre gratitude.

Nos remerciements vont également au Professeur J.P. Schellhorn de l'Université de Genève et au Professeur A. Dramais de l'Université libre de Bruxelles, pour l'intérêt et le temps précieux qu'ils ont bien voulu con- sacrer à notre travail.

Enfin, nous ne saurions oublier notre épouse Christiane dans ce témoignage de reconnaissance. Nous lui devons notamment la dactylographie de ce texte qu'elle axassurnée en collaboration avec Madame M. Richard, secré- taire, que nous aimerions également remercier ici.

G. R.

mai 1979

TABLE DES MATIERES

Chapitre 1

-

CADRE CONCEPTUEL ET PRESENTATION DU PLAN DE THESE 1.1 Modèle et analyse des structures

1.2 Analyse des modèles économiques et hypothèses de cohérence 1.3 Le plan de thèse

Chapitre 2

-

NECESSITE DE L'ANALYSE PREALABLE DES STRUCTURES CAUSALES 2.1 Définitions et géngralités

2.2 Structures causales singulières

2.3 Séparabilité, zéros qualitatifs et relations de causalité 2.4 Analyse des interdépendances et structures de résolution Chapitre 3

-

DE LA DEFINITION DES STRUCTURES QUALITATIVES

AU CALCUL QUALITATIF

3.1 Statique comparative et hypothèses qualitatives 3.2 Généralités sur les systèmes qualitatifs 3.3 Une procédure récursive de calcul qualitatif Chapitre 4

-

L'ANALYSE DES STRüCTURES QUALITATIVES

4.1 Systèmes qualitatifs équivalents

4.1.1 Lignes redondantes d'une matrice qualitative 4.1.2 Eléments annulables

4.2 Liaisons qualitatives et agrégation qualitative

4.3 Une procédure pour la mise en évidence des liaisons qualitatives 4.4 Intérêt et recherche des zéros possibles

Chapitre 5

-

ANALYSE QUALITATIVE ET HYPOTHESES COMPLEMENTAIRES 129 5.1 Contrainte sur le signe du déterminant

1

^{ah/ay @}

1

5.2 Autres restrictions et graphe qualitatif 5.2.1 Relations qualitatives supplémentaires 5.2.2 Hypothèses sur le graphe qualitatif associé 5.3 Hypothèses d'effets directs dominants et schémas de

résolution qualitative

Annexe 1

-

Eléments de la théorie des graphes

Chapitre 6

-

APPLICATION A L'ETUDE DES PROPRIETES QUALITATIVES

DU MODELE DESMOS III 162

6.1 Présentation du modèle 163

6.2 Caractéristiques de la structure causale de Desmos III 168 6.2.1 Configuration causale des modèles nationaux 169 6.2.2 Configuration causale du modèle complet 177 6.3 La structure qualitative de Desmos III ; analyse du modèle

pour le Luxembourg 183

6.3.1 Le sous-modèle récursif pour le Luxembourg 183 6.3.2 Analyse d'un modèle élargi, interdépendant pour le Luxembourg 187 6.4 Analyse de la structure qualitative des modèles nationaux

principaux

6.4.1 Implications des seules hypothèses purement qualitatives 204 6.4.2 Recours à un schéma de résolution qualitative 208 6.4.3 Sens des impacts après la première itération

6.4.4 Sens des impacts après la seconde itération 6.4.5 Sens des impacts après la troisième itération 6.4.6 Conclusions

6.5 Considérations sur le fonctionnement qualitatif du modèle complet 245 Annexe 1

-

Les variables du modèle Desmos III 250 Annexe 2 - Les relations du modèle Desmos III 257 Annexe 3

-

Extraits de résultats fournis par le programme ANAS 266

REMARQUES TERMINALES BIBLIOGRAPHIE

"Pourquoi ne pas e x p l o r e r c e s hypothèses pour mieux en comprendre l a p o r t é e ; pourquoi ne pas en a p p r é c i e r l a f o r c e pour en s a i s i r l ' i m p a c t c o n c r e t ? "

Luigi S o l a r i (1977)

Chapitre 1

-

CADRE CONCEPTUEL ET PRESENTATION DU PLAN DE THESE

S'agissant de définir le cadre conceptuel de notre recherche nous commen- çons ce chapitre introductif par quelques considérations d'ordre général sur l'analyse des structures de modèles économiques. Nous présentons ensuite cer- tains aspects de la "cohérence'' des modèles qui nous semblent jouer un r61e important dans le type d'analyse envisagé. Finalement nous donnons un bref aperçu des problèmes abordés dans cette thèse.

1.1 Modèle et analyse des structures

Notre propos est ici de préciser dans quelle optique nous envisageons l'analyse des structures. En ce qui concerne l'objet de cette analyse, parfois appelée analyse structuraZe, on note qu'il découle directement de la définition que l'on donne au mot structure. Pour notre part nous visons plus particulière- ment l'étude de la structure de modèles économiques. Ainsi, avant de pouvoir définir l'optique considérée, il convient de discuter brièvement au préalable les notions de "modèle*' et de "str~cture"(~). Prfciser ces notions nous con- duira alors à délimiter déjà en partie le cadre de réflexion retenu dans ce travail.

De manière générale, un modèle peut être considéré comme un ensemble de propositions et d'hypothèses relatives aux forces ou,aux lois qui régissent un phénomène. Nous réservons cependant icile terme modèle a une représentation formelle de ces propositions et hypothèses.

(1) Pour la présentation de ces notions nous nous sommes largement inspirés de Solari L. (1977), chap. 1. Voir également sur ce sujet Bonnafous A.

(19731, Dagum C.,Dagum E.B. (1975), Deleau EI.,Malgrange P. (1978), Guillaume M. (1971), Rossier E. (1975 b), Shields R.W.,Pearson J.B. (1976).

S'agissant de donner une image formalisée, donc abstraite, d'une réalité économique, on est amené à considérer celle-ci comme étant constituée : d'un ensemble de faits internes (endogènes) à la réalité étudiée. d'un ensemble de faits externes (exogènes) déterminés indépendamment du phénomène considéré, mais agissant sur celui-ci, ainsi que d'un ensemble de mécanismes liant les faits internes entre eux et aux faits externes. On peut ainsi formuler mathé- matiquement les hypothèses émises quant à une certaine réalité et nous appelle- rons dès lors modèle un système de n relations :

traduisant les liens existant entre un vecteur y e m n de variables endogènes caractérisant les faits internes et un vecteur z EX? de variables exogènes m caractérisant des faits externes.

On remarque en particulier pour ce qui est des relations h, que leur r61e n'est pas uniquement de déterminer, à partir des variables prédéterminées z, le niveau des variables endogènes y. Il leur appartient en effet également de représenter les hypothèses faites quant aux mécanismes qui régissent le phéno- mène à l'étude. En ce sens les relations du système (1.1) sont dites

structureZZes et on les distingue alors notamment des relations de la forme réduite :

forme que l'on obtient en résolvant analytiquement, lorsque cela est possible le système (1.1) par rapport à y. La forme réduite n'étant en fait qu'une présentation condensée du modèle (1.11, il est bien évident que ses relations ne permetteront pas, en général, de rendre compte avec le même détail de l'ensemble des hypothèses qu'explicitent les relations structurelles.

Mentionnons encore que les diverses relations qui forment un modèle du type (1.1) peuvent &tre classées, du point de vue économique, selon justement la nature des hypothèses ou lois qu'elles traduisent. Ainsi on retient généra- lement la distinction(') entre relations de définition, relations techniques, relations institutionnelles et relations de comportement.

Eu égard à la complexité du réel, un modèle ne peut en donner qu'une image approximative fondée sur des hypothèses largement simplificatrices.

Notons que l'isolement d'un phénomène qui se traduit par le partage entre faits internes et faits externes constitue déjà une première opération de simplifica- tion. Malgré son caractère approximatif, le modèle fournit néanmoins une cer- taine connaissance du phénomène représenté. Cette explication sera pour une grande part fonction de la classe de conclusions que l'on a en vue, d'où l'aspect orienté des modèles.

Du point de vue de l'étude scientifique de réalités économiques, qu'il s'agisse de préciser ou de fonder les connaissances que l'on peut en avoir ou qu'il s'agisse d'en tirer des enseignements pour la prévision ou l'action, le modèle apparaft comme un éléipent fort important. Il constitue en effet une description concise des énonces de base à partir desquels sont déduites, par le raisonnement et l'expêrimentation, des conclusions quant à la réalité.

En ce qui concerne la spécification des relations qui constituent le modèle (1.1), il convient de souligner qu'elle relève d'une démarche qui procède par approximations successives. Ainsi, les connaissances a priori que l'on a d'un phénomène ne permettent en gênéral de spécifier que partiellement les relations (1.1) et conduisent à définir un niodele comme une classe de structures. Il s'agira alors de compléter cette première formulation du modèle, en recourant entre autres aux méthodes de l'induction statistique, pour attein- dre une spécification plus fine du modèle. A la limite, on définira une

structure particulière du modèle, c'est-à-dire qu'on précisera l'ensemble

(1) Cf Solari L. (1977), chap 1

.

de ses caractéristiques fonctionnelles (forme analytique des relations h, valeur numérique des paramètres, etc.) et éventuellement stochastiques (lois de probabilité des variables aléatoires). Notons que si un renforcement suc- cessif des hypothèses conduit à une représentation plus détaillée phéno- mène à l'étude, cette représentation tend par contre à être plus fragile quant à sa fidélité.

La détermination d'une structure particulière ne constitue pas

forcément une étape finale du processus de spécification. D'une part, il se peut que le type de conclusions que l'on vise ne nécessite pas la spécification complète des relations qui définissent le modèle. On peut penser, par exemple, à l'économie qualitative qui traite les relations dans leur formalisation géné- rale en considérant le modèle comme une classe de structures. D'autre part, la confrontation des implications d'une certaine formulation du modèle avec les faits et la théorie peut remettre en cause des hypothèses constituantes du modèle et conduire alors à des modifications de caractéristiques structurales.

Par exemple, si lors de l'estimation, qui constitue déjà une déduction expéri- mentale, on obtient pour un paramètre un signe contraire à celui que nous dicte la théorie, on peut être amené à réviser la spécification de la relation cor- respondante('). L'aspect largement provisoire des connaissances relatives à un phénomène économique, dû pour une grande part au caractère mouvant de la réalité, se traduit également au niveau du modèle par des reformulations suc- cessives d'hypothèses.

Venons-en à 1'anaZyse des structures qui se propose, à partir de

l'examen des caractéristiques structurales d'un modèle d'en préciser le contenu, d'en dégager les caractéristi&es intrinsèques, ainsi que les idées et hypothè- ses qu'il traduit. De manière générale, l'analyse de la structure d'un modèle doit conduire à une meilleure compréhension ou maftrise intellectuelle de celui-ci, elle doit fournir les éléments qui permettront de juger de ses (1) Une mise en cause de la théorie n'est évidemment pas à exclure.

Voir notamment à ce sujet Walliser B. (1977) p. 152

.

qualités et faiblesses, de sa conformité à la théorie et aux faits, de son aptitude à remplir le r61e qui lui est assigné : prévision, décision, etc.

La nécessité de l'analyse des structures de modèles économiques n'est évidemment plus à démontrer('). Elle va de pair avec la nécessité de bien saisir le fonctionnement du modèle pour être en mesure d'apprécier, à la lumière des hypothèses postulées, les conclusions qui en découlent.

Concernant les propriétés d'un modèle qui peuvent être mises en évidence par une analyse de sa structure, on relève qu'elles sont, quant à leur nature, fort diverses. Ainsi en témoignent, par exemple. les nombreuses méthodes d'analyse que l'on rencontre dans la littérature") : analyse des interdépen- dances, analyses de sensibilité, analyse spectrale, etc., qui fournissent toutes une certaine explication du fonctionnement du modèle.

Il n'est pas dans notre intention de traiter de toutes les formes que peut revêtir l'analyse structurale. Notre intérêt ira plus particulièrement vers les démarches qui visent à préciser le r61e attribué dans le modèle aux différentes hypothèses qui le sous-tendent. Dans cette voie on peut songer notamment à décomposer l'ensemble des caractéristiques structurales de sorte à pouvoir étudier l'apport de certaines catégories spécifiques d'hypothèses. Quant aux catégories retenues elles correspondront par exemple à des niveaux différents de spécifications. De plus elles devraient être telles que leur analyse puisse être envisagée de manière systématique et efficace. Cette dernière condition est évidemment indispensable pour garantir une portée opératoire à l'approche proposée.

On comprend sans peine qu'il est exclu, du moins par des procédés opérationnels, de déterminer le r61e exact de chaque hypothèse qui a conduit à

(1) Cf. par exemple Deleau M.,Malgrange P. (1974) et (1978).

(2) On trouvera dans Deleau M.,Malgrange P. (1975) une présentation sous forme de synthèse des méthodes auxquelles on a le plus couramment re- cours en économie.

la formulation des relations h d'un modèle. Dès lors, l'étude des conclusions qui découlent de sous-ensembles de caractéristiques structurales se justifie pleinement dans la mesure justement où elle se prête mieux à la systématisation.

Parmi les catégories d'hypothèses qui nous semblent pouvoir être analysées de manière relativement efficace, on mentionnera par exemple celles qui corres- pondent aux caractéristiques que l'on définit en spécifiant :

a) la présence ou l'absence des variables dans chacune des

relations du modèle (1.11, ou de manière équivalente le contenu en éléments nuls et non-nuls de la matrice

b) les signes positifs ou négatifs des éléments non-nuls de cette matrice ;

c) des intervalles de variation pour ces éléments non-nuls.

Remarquons qu'à chacun des points ci-dessus correspond une classe de structures qui relève d'un niveau de spécification différent. Par l'analyse de ces classes on devrait alors être à même de mieux comprendre les implications du renforce- ment d'hypothèses que traduit le passage d'un niveau de spécification à

1

'

autre.

,-- C'est précisément vers l'analyse des classes de structures qui corres- pondent aux points a), b) et c) que nous axerons nos recherches, l'essentiel de notre étude ayant trait, plus particulièrement, à l'analyse des structures qualitatives définies par les caractéristiques b). Ces aspects particuliers de l'analyse des structures, nous les aborderons cependant dans le cadre de l'ap- proche envisagée ci-dessus. Ainsi nous les considérerons notamment comme des éléments d'un processus global d'analyse qui viserait à préciser, pour chaque

propriété ou conclusion d'un modèle, les hypothèses minimales dont elle découle.

Plus précisément nous songeons à un processus qui, en reconsidérant les étapes successives de la spécification d'un modèle, mette en évidence les conclusions propres aux classes de structures définies à chaque étape.

Pour notre étude nous retiendrons dès lors comme guide le principe du ren- forcement successif des hypothèses et, tout en nous situant en amont de la quan- tification, nous adopterons une démarche qui, de l'économie qualitative, devrait mener à l'économie quantitative (1)

.

Nous nous concentrerons en premier lieu sur l'analyse des hypothèses pure- ment qualitatives que définissent les caractéristiques a) et b)

.

Nous envisa- gerons ensuite de compléter ces hypothèses en imposant des restrictions qui dans certains cas seront de nature quantitative. Les méthodes d'analyse que nous présentons relèvent cependant de l'économie qualitative dans la mesure OU elles consistent en des opérations de déduction logique et visent à dégager les conclusions théoriques d'un modèle.

Ceci ne signifie toutefois nullement que les méthodes de l'économie quan- titative n'ont pas place dans notre processus global d'analyse des structures.

Bien au contraire les méthodes faisant appel à l'expérimentation devraient s'avérer précieuses, si ce n'est indispensables, pour l'analyse notamment de classes de structures définies par des caractéristiques du type c). A partir d'un échantillon de structures d'une telle classe on devrait en effet, en re- courrant à des méthodes de simulation par exemple, pouvoir dégager des conclu- sions propres à toute la classe.

(1) Notons qu'il s'agit là d'une démarche chère à notre maltre, le Professeur L. Solari. Voir par exemple son dernier livre (1977), écrit en collaboration avec E . Rossier, et qui s'intitule précisément : ''De l'économie qualitative à l'économie quantitative

".

1.2 Analyse des modèles économiques et hypothèses de cohérence

Les propositions et hypothèses que traduit formellement un modèle doivent, pour que celui-ci ait un sens, correspondre à une même vision de la réalité.

Cela suppose notamment que ces propositions et hypothèses soient compatibles les unes avec les autres. De mBme leur conjonction ne saurait être envisagée que si elle relève de cette même vision, de sorte que le corps d'hypothèses constitué par le modèle forme un tout cohérent, en soi, et avec la théorie dont il s'inspire.

Dès lors, qu'il s'agisse d'élaborer ou d'analyser un modèle, il conviendra de s'assurer dans la mesure du possible de sa cohérence. Notamment il sera légi- time d'exiger d'un modèle h(y,z) = O qu'il satisfasse certaines conditions né- cessaires de cohérence telles que l'existence, l'unicité et la stabilité de la solution y par exemple.

Du point de vue de l'analyse des structures en général, et de l'analyse des structures qualitatives en particulier, ces conditions ou hypothèses s'avèrent importantes sur deux plans :

i) D'une part elles constituent t'un des o b j e c t i f s de Z'anaZyse à qui il ap- partient précisément d'établir la compatibilité entre les caractéristiques structurales étudiées et les conditions de cohérence que devrait satisfaire le modèle.

ii) D'autre part leur prise en compte offre une possibtité toute natureZZe de renforcer,sans grande perte de généralité, t e s hypothèses amtysées. sou- vent, comme nous le verrons en particulier pour l'analyse des structures qualitatives"), des résultats significatifs ne pourront même Stre obtenus que si l'on envisage un tel renforcement des hypothèses.

De manière plus formelle lorsqu'on se propose d'analyser les caractéris- tiques communes d'une classe S de str~ctures'~) il s'agira, en ce qui concerne

(1) Voir infra chapitre 5 ainsi que l'application présentée au chapitre 6.

(2) S sera par exemple la classe des structures ayant la mëme structure causale ou la mSme structure qualitative.

le premier point, de vérifier que l'on a :

s n c #

PI ,

où C désigne, parmi toutes les structures envisageables a priori pour le modèle, l'ensemble de celles qui satisfont aux conditions considérées de cohérence.

Quant au renforcement d'hypothèses envisagé en ii) il conduira prati- quement à limiter l'analyse aux structures de S n C

.

L'ensemble des conditions de cohérence qu'il convient d'imposer est évidemment propre à chaque modèle. 11 dépend en particulier de la nature du modèle, de son fondement théorique et du but qui lui est assigné. Il serait dès lors utopique de vouloir présenter ici de manière exhaustive les diverses conditions que l'on peut rencontrer. Nous nous contentons donc, ci-après, d'en rappeler certaines qui nous paraissent être les plus générales quant à leur intérêt et à leur portée (1)

.

Quel que soit le modèle que l'on considère il convient notamment de s'as- surer qu'il fournit une et une seule représentation du phénomène à l'étude.

Pour un modèle du type (1.1) ceci suppose en particulier que les variables en- dogènes y soient définies de manière unique à partir des variables exogènes z, tout au moins dans le domaine de définition Z des variables z. Cette propriété dite d'unicité globale se traduit formellement par :

D'après le théorème des fonctions implicites(2) on sait que la non nullité du jacobien

lah - ^I

en un point (y ^{O O} ,z ) de l'ensemble X des solutions de h(y,zl=O

ay*

I

(1) Pour l'essentiel les conditions présentées sont celles qui sont mentionnées dans Rossier E. (1975 b)

.

( 2 ) Ce théorème n'est valable que pour des fonctions implicites continûment dérivables. cf. par exemple Nikaido H. (1968) ou Chilov G. (1975)

.

assure l'existence d'un voisinage ouvert VOCX de ce point et d'une fonction

' vectorielle unique f telle que, pour tout point (y,z) de V0 :

Si f est unique dans VO alors y est défini de manière unique à partir de z dans ce voisinage. Ainsi, pour z0 donné, il y a unicitg zoca~e") de la solution si :

Notons que lorsque la condition (2.3) est vérifiée pour tout point (y,z) appartenant à X. c'est-à-dire, lorsqu'il est possible d'expliciter la forme réduite du modèle, on a évidemment l'unicité locale sur tout l'ensemble X ainsi que l'unicité globale. De manière générale cependant, si(') l'unicité globale implique l'unicité locale en tout point, la réciproque n'est pas vraie.

Dès lors la condition (2.4), même étendue à tout z appartenant à Z ne sera pas suffisante pour l'unicité globale.

Remarquons d'autre part qu'il peut y avoir unicité locale et m&me globale

O O

en un point (y ,z ) où la condition (2.4) n'est pas ~atisfaite'~). On peut à cet égard énoncer la condition nécessaire suivante (4) :

O O

(1) C'est-à-dire dans un voisinage ouvert Y de y

.

Théorème 1 :

(2) comme le souligne notamment Gale et Nikaldo (1965).

O O

Il y a unicité locale en un point (y ,z ) E X pour lequel

O O = O, seuzement si tout voisinage

1 3 1

^{(y.2) = (y ,z 1}

ouvert

P

de Y contient au m i n s un point y* tel que

O # o.

'(yrz) =(y*,z

(3) Dans le cas scalaire, par exemple, on a l'unicité globale pour

3 ah

h(y,z) = y -z = 0, même si, en z = O, on a - =

_a~

O

.

(4) Cf. Ritschard G. (1977).

On en déduit immédiatement la condition nécessaire pour l'unicité globale :

Corollaire 1 :

'

I

Il y a unicité globale seulement s i le déterminant n'est pas identiquement nul pour tout z € Z

,

d'où il vient notamment que le nombre de relations h doit être égal au nombre de variables endogsnes y présentes dans ces relations.

Outre l'unicité un autre concept important de cohérence est la s t a b i l i t é dynamique. En effet quel que soit le type d'explication envisagée, statique, cinématique ou dynamique"), un modGle exprime en général des relations d'équi- libre entre les variables retenues. S'agissant précisément de justifier cette notion d'équilibre on admet alors l'existence à chaque époque t d'un système dynamique sous-jacent dont le vecteur yt

,

défini par les relations structu- relles h(yt,a) = O

,

est un équilibre stationnaire (2). On postule le plus souvent un processus dynamique de la forme :

Ce processus admet, pour 6 - + a

,

un équilibre stationnaire y si et seulement si

ah t

les valeurs propres de la matrice

-

sont toutes à partie réelle négative.

Comme le déterminant d'une matrice est égal au produits de ses valeurs propres ayt on en déduit notamment la condition nécessaire bien connue (3) :

Une autre condition nécessaire que l'on rencontre parfois est :

(1) Pour la distinction entre explication statique, cinématique et dynamique, voir par exemple Rossier E. (1975 a)

.

(2) Cf. Samuelson P.A. (1947).

(3) Voir par exemple Gandolfo G. (1971) p. 268.

Concernant le processus dynamique (2.5) on notera que l'on peut le consi- dérer comme une approximation linéaire au voisinage du point d'équilibre y

t ' du système dynamique :

La stabilité envisagée n'aura dans ce cas qu'un caractère local.

D'autre part on peut imaginer en lieu et place du processus continu (2.8) (1)

-

un processus dynamique discret

.

tel qu'en position d'équilibre on ait :

Une approximation linéaire de (2.9) autour du point d'équilibre y conduit à :

t

a

=

P

YT

-

^Yt

ay;

( Y ~ - ~ - Y ~ ) T E l'l (2.11) D'après (2.10) on peut poser :

et les conditions") que doit satisfaire la matrice pour que (2.10) admette ayt

une solution d'équilibre stable se transcrivent alors aisément en termes de la matrice

-,

ah

.

On montre alors en particuliers que les conditions de stabilité discrète implique celles de la stabilité ~ontinue'~), ayt si bien que les conditions

(1) Cf. Ritschard G.,Royer D. (1975) pp. 10-13. On notera en particuliers qu'un tel processus discret semble mieux adapté pour expliquer l'évolution de flux.

(2) Cf. notammment Gandolfo G. (1971) pp. 131-134.

(3) Cf. Ritschard G.,Royer D. (1975) pp. 12-13 Où l'on montre également que les deux types de stabilité impliquent les mêmes conditions au niveau de la ma- trice ah/ay; lorsque les valeurs propres de cette dernière sont toutes réelles.

(2.6) et (2.7) apparaissent également comme nécessaires pour la stabilité discrète.

Finalement il convient encore de souligner, pour ce qui est des conditions générales de cohérence, que les relations h(y,z) = O d'un modèle représentent souvent en économie les conditions du premier ordre d'unproblème d'optimum (1)

.

En désignant par f(y,z) la fonction critère à maximiser (ou minimiser) on aura par exemple :

Les relations h(y,z) = O devront dans ce cas satisfaire les conditions du ,second ordre qui portent sur la matrice :

Celles-ci impliqueront en particulier que le déterminant

1 b 1

est du signe de (-1)", ou de (-1) n+l

,

selon que l'on maximise ou minimise la fonction f par rap- port à y

.

^*

_u

^\* _{b L pco L i 4} :

9

f

S'agissant d'imposer les conditions de cohérence que l'on a énoncées à un modèle donné h(y,z) = O il conviendra de procéder avec circonspection. En effet, ces conditions. qui ont généralement trait à la matrice

-,

ah

,

supposent

ay

une correspondance biunivoque, ou couplage(2), entre les relations h et les va- riables endogènes y

.

Ce couplage résultera par exemple du processus dynamique sous-jacent (2.5) que l'on postulera. De même les conditions envisagées sont définies pour un sens donné des relations : h.(y,z) = O ou -h.(y,z) = O

.

Or, dans sa formulation mathématique, un système h(y,z) = O est équiva- lent, quant à la solution y à tout système qui résulte de :

(1) Quant au rôle et à la portée des problèmes d'optimum en sciences écono- miques on pourra notamment se référer à Solari L. (1977) chap. 6

.

(2) Pour la notion de couplage voir notamment Gilli M. (1979) paragraphes 2.1 et 3.2

.

Voir également Roy B. (1969) pp. 384 et suivantes.

-

la permutation de deux ou plusieurs relations h i '

-

la multiplication d'une ou plusieurs relations par -1

.

Ainsi deux systèmes h et h* tels que :

où Pl et P sont des matrices binaires et leur somme Pl

+

P2 = P une matrice 2

de permutation(1), sont équivalents. On a évidemment :

Connaissant la relation (2.12) qui existe entre deux systèmes h et h*

on peut aisément traduire les conditions qu'il s'agit d'imposer à la matrice

-

^ah

_,

en termes de conditions sur y ^ah*

.

Par exemple, si le système h* est ob-

ay' ay

tenu en permutant deux relations du système h, la condition (2.6) peut s'écrire :

Lors de l'analyse d'un modèle h(y,z) = O il conviendra de s'assurer que ah ont bien trait à cette matrice et non pas les conditions que l'on impose à

- _{a ~ '}

à une matrice :

-

ah* = ah

ay1 (pl

-

p21

a ; ~

Plus généralement on peut se demander si pour assurer la cohIrence d'un modèle h(y,z) = O il ne suffit pas d'imposer les conditions de cohérence à un système h* quelconque du type (2.12)

.

Par exemple peut on admettre qu'un

(1) On appelle matrice binaire une matrice dont les composantes sont des "1"

et des "0"

.

Une matrice de permutation est une matrice binaire dont chaque ligne et chaque colonne a un et un seul élément non nul. On trouvera une brève discussion des propriétés des matrices de permutation infra au paragraphe 2.1

.

modèle h(y,z) = O jouit d'une propriété de stabilité lorsque y est solution du processus dynamique :

* ae

⁼

^-

ah*

YI

^(~(e)

^-

^Y)

Une réponse affirmative à cette interrogation conduirait naturellement à restreindre la portée opératoire de certaines hypothèses de cohérence que l'on peut formuler quant à un modèle h(y,z) = O

.

Ainsi notamment l'hypothèse de stabilité ne nous permettrait plus, comme le suggère la condition (2.6)

,

de déterminer le signe du déterminant

A cet égard on notera cependant que la spécification du processus dy- namique, ou du problème d'optimum, sous-jacent à un modèle donné, doit contri- buer à préciser le fondement théorique de celui-ci. Il ne peut pas alors re- lever de l'arbitraire. Pratiquement il apparaPt toutefois que dans la présen- tation des modèles il n'est que rarement fait mention des processus sous-jacents dont ils découlent''). S'agissant d'analyser un modèle sur la base d'une telle présentation ce sont ainsi des informations précieuses qui feront défaut. Lors- que le modèle est quantifié, c'est-à-dire lorsqu'une structure particulière est donnée, on peut. en admettant la cohérence du modèle, compenser partiel- lement ce manque d'information en généralisant certaines propriétés de cette structure particulière. Par exemple on pourra ainsi préciser le signe du déter- minant

( a;,

ah

/ ^.

Il n'en reste pas moins souhaitable que, dans la présentation des modèles, les auteurs précisent à défaut du processus sous-jacent au moins le couplage choisi, c'est-à-dire quelle relation "explique" quelle variable. De m b e le sens") dans lequel les relations doivent gtre considérées devrait être indiqué.

(1) Cette omission peut être volontaire, dans le but par exemple d'alléger la présentation du modèle.

(2) hi(yIz) OU -hi(yVz)

.

~énéralement(~), si y j est la variable qua "explique" la relation h ce sens sera tel que :

Ainsi lorsqu'une relation est formulée sous forme explicite :

où

' Y

est le vecteur y dont on a supprimé la composante y

,

on retiendra j

la forme :

La connaissance du couplage et du sens des relations permet naturellement de dé£ inir de manière univoque la matrice (pl

-

pz) de (2.12)

.

Pour conclure cette discussion sur la cohérence des modèles économiques, il nous reste à souligner que des hypothèses plus spécifiques à chaque type de modèle pourront et devront également être prises en compte. Notamment, pour rester dans un cadre théorique donné, on sera amené parfois à imposer des con- traintes sur les composantes de la matrice

-,

ah

.

On admet par exemple souvent

ay

que la propension marginale à dépenser doit être inférieure à l'unité. Des contraintes sur la matrice des multiplicateurs :

peuvent également ëtre envisagées. Notamment on pourra imposer à deux ou plu- sieurs multiplicateurs d'être de même signe.

(1) Dans le but notamment d'assurer la condition nécessaire (2.7)

.

1.3 Le plan de thèse

L'orientation générale de notre recherche a été exposée au paragraphe 1.1.

Il nous reste à en préciser le contenu, c'est-à-dire à donner le plan de notre thèse en présentant notamment les problèmes spécifiques qui y seront étudiés.

Soulignons tout d'abord que l'essentiel de notre étude aura trait à l'analyse des structures qualitatives que l'on définit en spécifiant, pour un modèle du type (1.1), le contenu en signes de la matrice des dérivées :

ah 'ah

l l ~ : ~ l l .

En ce qui concerne la structuration du plan il convient de rappeler que nous avons adopté le principe du renforcement successif des hypothèses.

Ainsi le chapitre 2 traite de concepts qui, tout en étant d'un intérêt particulier pour l'analyse des structures qualitatives, se fondent sur la seule connaissance des éléments nuls de la matrice (3.1).

En se référant au théorème 1 du parapraphe 1.2, ou plus particulièrement à son corollaire, on s'intéresse en premier lieu à la compatibilité du contenu en élé-

avec la réguzdté de cette matrice et donc avec la cohérence du modèle.

On discute ensuite les notions plus classiques de séparabiZité et de rezations de eausazité dans les modèles économiques. L'intérêt de ces notions pour la suite de l'étude réside notamment dans le fait qu'elles permettent de mettre en évidence les composantes identiquement nulles de la matrice des multiplicateurs

& .

Finalement on présente encore quelques réflexions sur la mise en évidence d'une structure de résolution récursive en tant que moyen dfanaZyse des interdépen- dances.

Le chapitre 3 introduit l'analyse des structures qualitatives et en présente les fondements.

Dans une première section on précise en quoi consistent les hypothèses que nous appelons q ~ l i t a t i d e s . On y souligne le r6le important qu'elles jouent, conjointement avec les hypothèses de cohérence, dans les problèmes de statique comparative. Finalement on montre comment l'analyse des structures qualitatives se ramène à l'étude de systèmes linéaires de la forme :

pour lesquels seul le contenu en signes de la matrice H

(=II

^{~:-bll )} est connu.

On donne alors un premier aperçu sur la manière de traiter de tels systèmes qualitatifs. Pour le cas où la matrice A correspond à 7 , ah certaines conditions

a~

minimales de cohérence que doit satisfaire le contenu en signes de A sont tout d'abord énoncées. Elles se fondent essentiellement sur la condition nécessaire de stabilité dynamique (2.6). Quant au reste, l'étude de systèmes qualitatifs vise essentiellement à préciser le contenu du vecteur solution X à partir de l'information relative à A et b. A cet égard on présente les fondements du

calcul q u a l i t a t i f qui se propose de déterminer l'ensemble des solutions qualitati- ves, llensemhle des contenus en signes pour x qui Sont compatibles avec le contenu de A et b. Parmi les méthodes de calcul existantes, le principe d'élimination de Samuelson apparaît comme le plus apte à être utilisé de manil- re systématique. Sa portée opératoire reste toutefois très limitées.

Un dernier point est alors réservé au développement d'une procédure récursive de calcul qualitatif. Les perfectionnements qui sont ainsi apportés au principe de Samuelson donnent alors au calcul qualitatif un véritable caractère opéra- tionnel.

Au chapitre 4 sont abordés les problèmes de l'analyse proprement dite des structures qualitatives. On présente notamment les principaux concepts qui s'y rattachent. Des instruments d'analyse sont également proposés sous forme d'algorithmes efficaces.

En premier lieu on traite de l'équivalence entre structures quazitatives. Il s'agit de l'équivalence quant aux implications, au niveau de la matrice des multiplicateurs

g, ^,

que suppose le contenu en signes de la natrice (3.1)

.

On souligne ensuite tout l'intérêt que présente la notion de Ziaisons quali- tatives entre variables. La connaissance de ces liaisons permet en particulier de procéder à ce que nous appelerons l'agrégation quazitative. C'est ainsi la possibilité de construire une maquette d'un système qualitatif qui sera pré- sentée.

Un algorithme pour la mise en évidence des liaisons qualitatives fait l'objet du point suivant.

Finalement on s'intéresse au rôle et à la détermination des composantes du vecteur x de (3.2) pour lesquelles une valeur nulle est incompatible avec le contenu en signes de A et b

.

Le chapitre 5 est consacré aux méthodes de l'analyse qualitative qui per- mettent de tenir compte d'hypothèses complémentaires. L'examen des seules hypo- thèses purement qualitatives ne saurait en effet conduire à des résultats signi- ficatifs pour de gros modèles.

Dans une première partie on verra comment imposer des conditions sur le signe du déterminant de la matrice

-,

ah

.

Ce type de contrainte s'avère particulière-

ay

ment utile dans la mesure où il permet de limiter l'analyse aux structures qui satisfont à la condition nécessaire de stabilité (2.6)

.

D'autres types de restrictions sont ensuite envisagées. On traite notamment de contraintes que l'on peut imposer sous forme de relations qualitatives sup- plémentaires. Des liaisons qualitatives par exemple pourront ainsi être impo- sées. On introduit également le concept de graphe qualitatif. Celui-ci sera une aide précieuse pour la mise en évidence de restrictions efficaces quant à leur apport dans le cadre d'une analyse qualitative.

Enfin on montre, par analogie avec les procédures itératives de résolution nu- mérique, comment et sous quelles conditions une telle démarche itérative peut être envisagée pour l'analyse des structures qualitatives.

Une application des concepts et méthodes d'analyse développés dans cette thèse fait l'objet du chapitre 6 où l'on procède à l'analyse qualitative du modèle Desmos III pour le marchd commun (1)

.

Cette illustration comprend notamment : une analyse de la structure causale du modèle complet, une analyse détaillée de la structure qualitative des sous- modèles nationaux (plus de 40 relations chacun), ainsi que des considérations sur le fonctionnement qualitatif du modèle complet.

(1) Le modèle analysé est décrit dans Dramais A. (1975)

.

Chapitre 2

-

NECESSITE DE L'ANALYSE PREALABLE DES STRUCTURES CAUSALES

Se fondant sur la présence ou l'absence des variables dans chacune des relations d'un modèle h(y,z) = O

,

les problèmes qui relèvent de l'analyse des structures causales sont issus pour l'essentiel de la notion de séparabilité.

Toutefois, suivant en cela la logique du renforcement successif d'hypothèses que nous nous sommes fixés, nous ne discuterons qu'en second lieu la notion de séparabilité et les concepts qui s'y rattachent tels que relation de causalité et configuration causale. Il convient en effet, avant de pousser plus avant tout effort d'analyse structurale de vérifier certaines conditions élémentaires de cohérence que doit satisfaire un modèle, l'égalité entre le nombre de varia- bles endogènes et le nombre de relations par exemple. Nous traiterons donc de ces conditions élémentaires de cohérence avant d'aborder les concepts de causa- lité proprement dit. Finalement nous présenterons encore brièvement quelques considérations sur l'analyse des interdépendances.

2.1 Définitions et généralités

La spécification de la présence, ou de l'absence des varaibles exogènes

Zi

,

i=l,

...,

m et endogènes yj

,

^j=l,

...,

n dans chacune des relations d'un modèle :

définit sa structure causaze. L'absence d'une variable zi

,

respectivement y

a h

i

ah. i '

dans une relation h se traduit par une dérivée

,

respectivemente, iden-

j azi YL

tiquement nulle. La connaissance du contenu en éléments nuls de la matrice :

suffit donc pour caractériser entièrement la structure causale du modèle (1.1)

.

Ainsi, s'agissant de représenter une structure causale on aura parfois recours

à des matrices binaires B =

II

^b.

. I l

définies telles que : 13

Notons que l'analyse des relations de causalités'l) nécessite comme seule information le contenu en éléments nuls de la matrice

-,

ah seulement et se fonde

ay donc sur une définition plus générale de la structure causale.

, ..

Dans un système du type (1.1) l'ordre retenu pour les variables, ainsi que pour les relations, est totalement arbitraire et ne joue donc aucun rôle quant à la représentation d'un phénomène que peut fournir un modèle(2). L'ordre des variables et des relations ne constitue donc nullement une caractéristique stru- cturale. Dès lors toute modification qui se traduit au niveau de la matrice des dérivées (1.2) par de simples permutations de lignes ou de colonnes conduit à une structure équivalente, pour autant, bien entendu, que les permutations cor- respondantes aient été effectuées entre les composantes des vecteurs h, z et y

.

De telles modifications pourront donc être envisagées sans aucune perte de gé- néralité.

Formellement, en désignant par p une permutation des indices {1,2,.

. .

^{,n) (3)}

des lignes d'une matrice A de dimensions n x m , on procède à la permutation p des lignes de la matrice A en prémultipliant la matrice A par la matrice de permutation P ' de dimensions n x n :

A* = P'A r (1-3)

où P =

Il

^e

II ,

i=l,.

. .

^,n

,

^e étant le vecteur unitaire dont la p -&ne com-

pi pi i

(1) Voir ci-après paragraphe 2.3

.

(2) Notons que le couplage ne saurait être affecté par l'ordre des variables et des relations.

(3) Toute suite ordonnée des indices f 1,.

. .

,n) constitue une permutation.

posante est égale à "1" et est la seule composante non nulle. On notera en particulier que chaque ligne et chaque colonne d'une matrice de permutation P compte un et un seul élément non nul. D'autre part on vérifie aisément que : P'P = 1

.

Par le produit (1.3), la p.-ème ligne de la matrice A devient la i-ème ligne de la matrice A*

.

De manière tout à fait analogue une permutation

a

des colonnes de la ma- trice A s'obtient en postmultipliant la matrice A par la matrice de permuta- t i o n ~ = Ile

11

i=ï,...,m, :

' i

La a.-ème colonne de la matrice A devient alors la i-ème de la matrice A**

.

On vérifie alors que tout système linéaire :

est équivalent au système :

où : M = P'AQ

,

v = Q'x

,

d = P'b P et Q étant des matrices de permutations.

Une matrice A carrée sera dite décomposabZe s'il existe des matrices de permutations P et Q telles que la matrice M = P'AQ puisse être partition- née comme suit :

où Mll et MZ2 sont des sous-matrices carrées d'ordre non nul.

Nous dirons d'une variable, ou d'une fonction, qu'elle est qualitativement n u l l e si et seulement si elle n'admet pas d'autres valeurs que le zéro. Une somme par exemple est qualitativement nulle si et seulement si tous ses termes le sont. Un produit est qualitativement nul si et seulement si un au moins de ses termes l'est. On retiendra la notation :

Une matrice A carrée d'ordre n sera dite qualitativement singulière (Q-singulière), si elle est singulière et que sa singularité est indépendante de la valeur numérique des composantes a non nulles. En d'autres termes une

i j

matrice A est Q-singulière si son déterminant, noté

1

^A

1 ,

est qualitativement nul. soit formellement :

I A I

^{Z O o} A est Q-singulière

.

^(1.6)

On désignera par O une matrice nulle de-dimensions _k r x s avec r+s = k

.

On vérifie notamment que la sous-matrice M de (1.4) est une matrice nulle On 12

lorsque M est d'ordre n

.

Une soue-matrice nulle O de A (Ok= A) (l) sera dite maximale lorsque A k

ne contient pas de sous-matrices O

.

Pour une matrice A de dimensions r x s k+l

écrite sous la forme :

A =

II

A . ~

j

^{A . ~}

II ^,

^{avec A} - 2 ^{= O} k

A est une sous-matrice nulle maximale s i e t seulement s i A ne contient

.2 .1

pas de sous-matrice nulle O ce que traduit l'équivalence :

r+lr

(1) Si A est une matrice on désignera également par A l'ensemble de ses compo- santes {aij ; i=l.. .n, j=l.. .m}

.

Ceci permet alors d'utiliser les notations ensemblistes entre matrices. Par exemple, si A et B sont deux sous-matrices d'une même matrice, A n B désignera la sous-matrice formée par les compo- santes communes de A et B

.

Cette propriété découle du fait que si l'on adjoint m colonnes de zéros à une matrice nulle Oc, on obtient une matrice OR+m. Il s'agit alors, pour obtenir une matrice O à partir de Ae2 soit de lui adjoindre une colonne de zeros

k+l

soit d'adjoindre h

+

¹

,

h

<

^r

,

colonnes de zéros à une sous-matrice Ok-h qui résulede la suppression de h lignes de Ae2

.

AS1 doit alors nécessairement contenir une sous-matrice nulle de dimensions (r-h) x (h+l), donc Or+l, pour que A contienne une sous-matrice Ok+l. Soit schématiquement :

k-r

La suffisance s'établit en remarquant que quelle que soit la sous-matrice Or+l C Aal, de r-h lignes, AS2 contient la sous-matrice Ok-h de r-h lignes qu'il s'agit de lui adjoindre pour obtenir une matrice nulle O k+l '

De manière tout à fait analogue on peut montrer que AS2 est la seule sous- matrice nulle O de A, s'l: e t seulement s i ,

Ami

ne contient pas de sous-matrice

k -

nulle Or ('), soit formellement :

Si l'on désigne par A la sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème ligne Ci j)

et la j-ème colonne d'une matrice A, il découle en particulier de (1.8) et (1.9) que si A(ij) et A(cj)

,

ⁱ # fi, contiennent chacune une sous-matrice nulle Ok et que A ne contient pas de sous-matrice nulle Ok+l, alors la sous-matrice

(1) On obtient en effet une matrice nulle Ok différente de A si l'on adjoint .2

h(>O) colonnes de zéros à une sous-matrice O obtenue en supprimant h k-h

lignes de A -2'

(A n A . ) qui résulte de la suppression de la j-&me colonne et des i-ème ij 111

et R-ème lignes de A contient une sous-matrice nulle Ok, soit formellement :

On appellera rang q u a l i t a t i f (Q-rang) d'une matrice A et l'on notera r (A), le rang maximal que peut avoir une matrice ayant la même structure cau-

Q

sale que A. Formellement :

r (A) = max r(B) t (1. il)

Q

BEC^

où r(B) est le rang de la matrice B et C désigne la classe des matrices ayant A

la même structure causale que A. Le Q-rang d'une matrice A correspond donc à l'ordre de la plus grande sous-matrice carrée non Q-singulière que contient A.

On appellera matrice de permutation associde à A et l'on notera PA, une matrice de permutation dont chaque composante p non nulle correspond à une

i j

composante a non nulle. Une matrice de permutation maximale associée à A , i j

notée P maxA

,

est une matrice de permutation associée à la plus grande sous- matrice non Q-singulière de A.

2.2 Structures causales singulières

Comme nous l'avons souligné au point 1.2, un modèle h(y,z) = O se doit de satisfaire certaines conditions de cohérence. Qu'il s'agisse d'assurer l'u- nicité de la solution y d'un modèle du type (1.11, la stabilité d'un modèle dynamique sous-jacent, oa encore d'assurer l'existence d'une solution à un problème d'optimum dont le modèle (1.1) reprssenterait les conditions du pre- mier ordre, on exigera notamment la non-singularité de la matrice 7. ah Nous

ay référant à cette condition nécessaire nous nous proposons dans ce paragraphe de préciser les résultats quant à la régularité de la matrice 7 ah que peut

ay fournir l'analyse de sa structure causale.

Etant donné qu'une structure causale définit une classe de structures, son analyse devrait, pour que le modèle ne soit pas incohérant, permettre d'affirmer l'existence d'une structure au moins de la classe pour laquelle la matrice 7 ah est réguli6re. Pratiquement, il s'agira alors de vérifier si la

a~

matrice

-

^ah n'est pas Q-singulière. Dans ce but nous mettons ci-après en évi- ayl

dence des conditions quant à sa structure causale que doit satisfaire une ma- trice A pour être Q-singulière.

(1).

En termes descomposantes de la matrice A le déterminant IAl s'écrit

.

06 P est l'ensemble des n! permutations p de% indices (1,2,.

. .

,nt des colonnes de la matrice A, p. désigne la i-ème composante de la permutation p, etq(p) est le nombre d'inversions de la permutation p, c'est-à-dire le nombre de cou- ples (i,j) tels que i < ^j et pi > pj

.

Au vu de (2.1) le déterminant

I A I

est qualitativement nul si e t sailetnent si tous les produits qui se trouvent sous le signe somme sont nuls, c'est-à- dire si et seulement si :

Notons que dans chacun des produits de (2.21, intervient un et un seul élément de chaque ligne et de chaque colonne de la matrice A. Chaque produit est ainsi, au signe près, le déterminant d'une matrice ayant la structure causale d'une matrice de permutation. On peut alors énoncer de manière équivalente à (2.2) qu'une matrice A est Q-singulière si et seulement si on ne peut pas associer à la matrice A une matrice de permutation, notée PA,-(telle qurà chaque com- posante pij non nulle de P corresponde une composante a non nulle de A).

A i j

(1) Voir par exemple Schneider, Barker '(1972) p. 187

.

Formellement :

Il convient également de rappeler l'énoncé de Gorman ()' : une matrice A d'ordre n est Q-singulière si et seulement si une sous-matrice nulle O peut

n+l être mise en évidence par des permutations indépendantes des lignes et des co- lonnes de A. Formellement :

ce qui revient à dire que la matrice A est Q-singulière si et seulement si elle peut s'écrire, par des permutations indépendantes de ses lignes et de ses co- lonnes sous la forme d'une matrice partitionnée à r :

r n-r

où A et AZ2 sont carrées, A12 est une matrice nulle O

,

et All contient une colonne d'éléments tous nuls. On a évidemment les cas,particuliers suivants :

i) lorsque

,

A contient une cozonne d'éléments tous nuls, ii) lorsque

& ,

A contient une Zigne d'éléments tous nuls.

La suffisance de (2.4) s'établit en remarquant que si la sous-matrice A12 est nulle, on a :

IAI

=

I A ~ ~ I

^{IAZ2I r}

et que si All contient une colonne nulle le déterminant

IA 1

est qualitati- 11

vement nul.

(1) Voir Gorman (19641, annexe b, où cette propriété est énoncée sans toute- fois être démontrée rigoureusement.

Tenant compte de (2.3), montrer la nécessité de (2.4) équivaut à vérifier qu'il existe au moins une matrice de permutation PA lorsque la matrice A d'ordre n ne contient pas de sous-matrice O formellement :

ni1

'

Cette condition-étant évidente pour des matrices d'ordre 1 et 2, on peut la démontrer par récurrence. En retenant l'hypothèse :

H : la condition (2.6) est vraie pour des matrices d'ordre k < n

,

il s'agit alors de montrer que (2.6) est également vraie pour des matrices, d'or- dre n.

Soit une matrice A d'ordre n contenant exactement une sous-matrice nulle On+l de dimensions r xs. Cette matrice A peut donc ëtre écrite sous la forme donnée en (2.5)

.

^{En posant :}

où b est la colonne d'éléments nuls de All, il vient que la seule matrice nulle

c

A est

11

^b

:

A12

11

et on a alors d'après (1.9) :

$ O s C A 2 2

,

$ o r C B

Comme s < n et r < n on en déduit en se référant à l'hypothèse Ho :

où B. est la sous-matrice carrée d'ordre r-1 obtenue en supprimant la i-ème ligne de B.

En posant non nulle une composante au moins de la sous-matrice

Il

^b

: Ais II ,

on obtient une matrice qui ne contient pas de matrice O Sans perte de n+l'

généralité on peut considérer que cette composante est b ).(' Dès lors il vient en tenant compte de (2.7) que l'on peut associer à All la matrice de permutation :

et il existe alors la matrice :

On a ainsi montré que la condition (2.6) est vraie pour des matrices d'ordre n, elle l'est alors aussi pour des matrices d'ordre quelconque, ce qui prouve la nécessité de (2.4)

.

Le théorème suivant résume les conditions établies :

Comme d'autre part on a vu qu'une matrice carrée A d'ordre n n'est décomposable que si elle contient une sous-matrice nulle O

,

une première implication du théorème 1 est donnée par le corollaire suivant :

Théorème 1 :

Corollaire 1 Une matrice indécomposable n'est pas Q-singulière.

:

l

une matrice carrée A d'ordre n est Q-singulière si e t s s u h n e n t si l'une des deux conditions suivantes est vérifiée :

i) on ne peut pas lui associer une matrice de permutation P A ' ii) elle contient une matrice nulle - O

n+l '

Concernant la matrice inverse A -1

,

lorsquielle existe, on établit, en (2)

.

tenant compte de la relation

.

(1) b =

Il

^bi

II

^i=1,2,.

_{. .} . .

^,r

.

(2) On désigne par a'' les composantes de A -1 et par A la sous-matrice obte- nue en suprimant la i-ème ligne et la j-ème coïonn$iJkie A.

le corollaire suivant pour une matrice A d'ordre n :

l

^-1

Corollaire 2 : La nullité d'une composante ai' de A peut être déduite de la connaissance des éléments nuls de A s i e t seulement s i la sous-

1

^{matrice A} contient une matrice nulle O :

(ji)

1

^{et donc} seulement s i la matrice A est décomposable.

On a également en tant que corollaire du théorème 1 le résultat bien connu :

En effet, pour une même partition de A et A-' :

Corollaire 3 :

où A A ~ A" ~ ,et A * ~ sont carrées on a :

L'inverse A -1 d'une matrice décomposable selon une partition donnée est décomposable selon cette même partition.

Dès lors si A est une sous-matrice nulle O l'est également.

12 n'

S'agissant de conclure quant à la Q-singularité d'une matrice A , on re- cherchera soit une matrice de permutation maximale P associée à A , soit

ma-

une sous-matrice nulle maximale de A . Si p est l'ordre de PmaxA, on a évidem- ment :

de même si la sous-matrice nulle maximale de A est O

k o n a :