EQUATIONS DE LA

EQUATIONS DE LA

DYNAMIQUE DU VEHICULE RIGIDE

Pierre Duysinx Université de Liège Année Académique 2010-2011

Références bibliographiques

„ M. Géradin. « Mécanique du Vol», 1984, Université de Liège

„ M. Géradin et A. Cardona. Flexible Multibody Systems. John Wiley &

Sons. 2001.

„ B. W. McCormick. Aerodynamics, Aeronautics and Flight Mechanics.

2nd edition. John Wiley & Sons. 1995.

„ J.C.J. Nihoul. Mécanique Rationnelle. Riga. 1985.

„ P. Germain. Mécanique. Tome I. Ecole Polytechnique de Paris. Ellipses 1986.

Systèmes d’axes du véhicule rigide

Système d’axes oxyz du véhicule selon la SAE (Gillespie, fig. 1.4)

Y Z X O

Système inertiel OXYZ

Systèmes d’axes du véhicule rigide

„ Système terrestre inertiel (fixe)

„ X direction de déplacement de référence ou initiale

„ Y Voyage vers la droite

„ Z selon la verticale (vers le bas)

„ Système d’axes du véhicule (Convention SAE):

„ x selon la direction d’avance et le plan de symétrie du véhicule

„ y selon la direction latérale et à droite du conducteur

„ z selon la verticale (vers le bas)

„ o, origine au centre de masse

Degrés de liberté du corps rigide

„ Localisation du corps rigide connue si la position de 3 points non colinéaires est connue

„ Coordonnées de trois points = 3*3 = coordonnées

„ Corps rigide: 3 contraintes de distance

„ Nombre de degrés de liberté du corps rigide dans l’espace = 6

„ 3 ddl de translation

„ 3 ddl de rotation

A

B

C

Rotation de corps rigide

„ La rotation de corps rigide est caractérisée par une transformation affine de coordonnées avant et après rotation

x

y z

x’

z’ y’

x

= R x

Rotation de corps rigide

„ En effet soit la représentation d’un vecteur dans les deux repères

„ On peut écrire alors r⁰_x=~i⁰¢~r

=~i⁰¢~ir_x + ~i⁰¢~j r_y + ~i⁰¢~kr_z

r 0

y = ~j 0 ¢ ~r

= ~j 0 ¢ ~i r x + ~j 0 ¢ ~j r y + ~j 0 ¢ ~k r z

r ⁰_z = ~k ⁰ ¢ ~r

= ~k ⁰ ¢ ~i r x + ~k ⁰ ¢ ~j r y + ~k ⁰ ¢ ~k r z

~

r=rx~i + ry~j +rz~k

=r⁰_x~i⁰ + r_y⁰~j⁰ +r_z⁰~k⁰

Rotation de corps rigide

„ Ce qui peut se mettre sous forme matricielle

„ avec

„ C’est l’expression de la matrice opérateur de rotation en termes des cosinus directeursdes vecteurs i,j,k dans la base i’,j’,k’.

R = 2 64

cos(~i⁰;~i) cos(~i⁰;~j) cos(~i⁰;~k) cos(~j⁰;~i) cos(~j⁰;~j) cos(~j⁰;~k) cos(~k⁰;~i) cos(~k⁰;~j) cos(~k⁰;~k)

3 75 r⁰ = Rr

Propriétés de l’opérateur de rotation

„ PROPRIETE D’ORTHONORMALITE

En effet, exprimons la relation inverse

il vient r = R^¡1 r⁰

R

= R

^R

^{R = I}

rx=(~i¢~i⁰)rx + (~i¢~j⁰)ry + (~i¢~k⁰)rz

ry=(~j¢~i⁰)rx + (~j¢~j⁰)ry + (~j¢~k⁰)rz

rz=(~k¢~i⁰)rx + (~k¢~j⁰)ry + (~k¢~k⁰)rz

R^¡1 = 2 64

cos(~i;~i⁰) cos(~i;~j⁰) cos(~i;~k⁰) cos(~j;~i⁰) cos(~j;~j⁰) cos(~j;~k⁰) cos(~k;~i⁰) cos(~k;~j⁰) cos(~k;~k⁰)

3 75

Propriétés de l’opérateur de rotation

„ PROPRIETE D’ORTHONORMALITE

En effet, le déterminant vaut

„ PROPRIETE DE CONSERVATION DES LONGUEURS ET DES ANGLES

Découlent de l’orthonormalité det(R)=+1

det(R)=(~c1^~c2) ¢ ~c3 =(~i^~j) ¢ ~k=1

Composition des rotations

„ Rotations entre repère 0 et 1 et repère 1 et 2

„ Il vient

„ Rotation globale

x

y

z

x

y

z

y

z

x

x

= R

x

x

= R

x

x2 = R2 x1 = R2 (R1 x0)= (R2 R1)x0

x

= R x

a v e c R = R

R

Caractère non commutatif des rotations

„ Le produit matriciel étant non commutatif, il en est de même de la composition des rotations

„ Exemple: succession de deux rotations selon les axes z et Y

R1 R2 6= R2 R1

R1 = R(z;90^±) R2 = R(y;90^±)

Représentation de l’opérateur de rotation

„ Matrice de rotation: dimensions 3 x 3 = 9 termes

„ Seulement 3 sont indépendants à cause des relations d’orthonormalité

„ Il existe 3 paramètres permettant de représenter l’opérateur de rotation de manière univoque

„ Exemples: Angles d’Euler, Paramètres d’Euler…

R = [r1 r2 r3] r^T_i rj = ±ij (i;j = 1;2;3)

R^T R = I

±_ij =

(1 si i=j 0 autrement:

R = R(®1;®2;®3)

Les angles de Bryant

„ Les angles de Bryant ou angles nautiques constituent une variante des angles d’Euler particulièrement indiquée pour la description des mouvements des véhicules (avions, bateaux, automobiles)

„ Le changement de repère entre le système inertiel et le système du véhicule est décomposé en 3 rotations élémentaires:

„ Rotation d’angle ψautour de z

„ Rotation d’angle θautour de y₁

„ Rotation d’angle φautour de x₂

„ Rotation globale:

„ R = R₃(x₂,φ) R₂(y₁,θ) R₁(z,ψ)

x₀

y0

Z =Z0 1

x1

y =y1 2

ψ θ

θ x =X₂ Z2

ψ

Z φ φ

ψ. y

φ.

θ.

Les angles de Bryant

x

y

y

x

z

ψ

2 4x1

y1

z1

3 5 = A

2 4x0

y0

z0

3 5

A = 2 4

cosà sinà 0

¡sinà cosà 0

0 0 1

3 5

A^¡1 = A^T

„Rotation de lacet d’angle ψautour de z

Les angles de Bryant

x

y

x

z

θ

z =z

2 4

x2

y2

z2

3 5 = B

2 4

x1

y1

z1

3 5

B = 2 4

cosµ 0 ¡sinµ

0 1 0

sinµ 0 cosµ 3

5 = B^¡T

„Rotation de tangage d’angle θautour de y₁

Les angles de Bryant

x =x

y

y =y

z

φ

z =z

2 4x3

y3

z3

3 5 = C

2 4x2

y2

z2

3 5

C = 2 4

1 0 0

0 cosÁ sinÁ 0 ¡sinÁ cosÁ 3

5 = C^¡T

„Rotation de roulis d’angle φautour de x₂

Les angles de Bryant

„ Rotation globale

r = R r

R = C B A

c = cos ; s = sin

R = 2

4 cµcà cµsà ¡sµ

s_µs_Ác_ác_Ásà s_Ás_µs_à ¡c_Ác_à s_Ác_µ cÁsµcÃ+sÁsà cÁsµsà ¡sÁcà cÁcµ

3 5 x0

y0

Z =Z0 1

x1

y =y1 2

ψ θ

θ x =X2

Z2

ψ

Z φ φ

ψ. y

φ.

θ.

Rotations infinitésimales

„ Rotations infinitésimales:

„ On peut écrire

„ Attention !

dR = 2 4

1 dà ¡dµ

¡dà 1 dÁ dµ ¡dÁ 1

3 5

dRdR^T 6= I (dÃ;dµ;dÁ) sindµ'dµ cosdµ'1 dµ²¿1 dµdÿ1

Expression des vitesses dans le repère dynamique

„ Position et vitesse de translation dans le repère dynamique:

„ Vitesse de rotation en terme des dérivées des angles nautiques

! = 2 4 p q r 3 5 = CB

2 4 0 0 Ã_ 3 5 + C

2 4 0 µ_ 0 3 5 +

2 4 Á_ 0 0 3 5 r=R r0 v =

0

@u v w

1

A = Rr_0

~

! = Ã_~1_z0 + µ_~1_y1 + Á_~1_x2

x0

y0

Z =Z0 1

x1

y =y1 2

ψ θ

θ x =X2

Z2

ψ

Z φ φ

ψ. y

φ. θ.

Expression des vitesses dans le repère dynamique

„ Vitesse de rotation en termes des dérivées des angles nautiques

et inversement:

2 4p

q r 3 5 =

2 4

Á_¡Ã_ sinµ µ_cosÃ+Ã_ sinÁcosµ

¡µ_ sinÁ+Ã_ cosÁ sinµ 3 5

2 4 Á_ µ_ Ã_ 3 5 =

2 4

1 tanµsinÁ tanµcosÁ 0 cosÁ ¡sinÁ 0 sinÁ=cosµ cosÁ=cosµ

3 5 2 4 p q r 3 5

Expression des vitesses dans le repère dynamique

„ Vitesse dans le repère dynamique

Dériver la relation entre les positions dans le repère dynamique et le repère absolu

Il vient avec

Analogue de la formule de Poisson

r = R r

v = Rr_0 = r_ ¡ R_R^Tr

= r_ + [!]r

[!] = ¡R_R^T = RR_^T = 2 4

0 ¡r q r 0 ¡p

¡q p 0 3 5

~v=~r_+~!^~r

Expression des vitesses dans le repère dynamique

DÉMONSTRATION

„ Relation d’orthogonalité

„ Donne

„ La matrice est antisymétrique :

„ Toujours de la forme

RR^T =I R_R^T +RR_^T =0

¡R_R^T =RR_^T =(R_R)^T M = R_R^T

M = 2

4 0 ¡m12 m13

m12 0 ¡m23

¡m13 m23 0 3 5

Expression des vitesses dans le repère dynamique

„ Toute matrice antisymétrique peut être associée à un vecteur (sa partie vectorielle)

„ La matrice antisymétrique associée à un vecteur permet d’écrire le produit vectoriel en écriture matricielle

M = 2 4

0 ¡mz my

mz 0 ¡mx

¡my mx 0 3

5 = [m] et m=vect(M)

m=[m_xm_ym_z]^T

~

m^~a = [m]a

Expression des vitesses dans le repère dynamique

„ Pour la matrice en question, il existe un vecteur ω associé:

„ Ce qui démontre l’équivalence des deux expressions [!] = ¡R_R^T = RR_^T =

2

40 ¡r q r 0 ¡p

¡q p 0 3 5

¡R_R^T r = [!]r = ~!^~r

¡R_R^T

Equation du mouvement d’un système fermé

Repère inertiel

z

y x

rc

r

r’

z’

y’

x’

t

f

traction de surface

force de volume Repère corps

Définition du centre de masse Décomposition des positions et vitesses en passant par le centre de masse

~r = ~rc + r~⁰ d~r

dt = ~vc + dr~⁰ dt

Z

V

½~r⁰dV = 0

Equation du mouvement d’un système fermé

„ Equilibre en translation

„ Equilibre en rotation

„ Décomposer les vecteurs positions et vitesses en passant par le centre de gravité « c » permet de simplifier les équations

Z

V

f~dV + Z

S

~tdS = d dt

Z

V

½d~r dtdV

Z

V

~r^f~dV + Z

S

~r^~tdS = d dt

Z

V

~r^ ½d~r dt dV

Equation du mouvement d’un système fermé

„ Equations en translation:

„ Quantité de mouvement du système

„ Résultante des forces extérieures

„ Masse totale

F~ = d~p dt

F~ = Z

V

f~dV + Z

S

~tdS

m = Z

½dV

~ p =

Z

V

½d~r

dt dV = m~vc

Equation du mouvement d’un système fermé

„ Equations en rotation:

„ On définit d’abord le moment des forces extérieures autour de c:

„ L’équilibre autour de « o » donne

„ La quantité de mouvement angulaire T~ =

Z

V

~r⁰^f~dV + Z

S

r~⁰^~tdS

Z

V

(~rc+~r⁰)^f~dV + Z

S

(~rc+r~⁰)^~tdS = ~rc^F~+T~

d dt

Z

V

(~rc+~r⁰)^½(d~rc

dt +d~r⁰

dt)dV = ~rc^d dt(md~rc

dt)+d dt

Z

V

r~⁰^½d~r⁰ dtdV

Equation du mouvement d’un système fermé

„ Quantité de mouvement angulaire:

Equation du mouvement d’un système fermé

„ Equations en rotation:

„ Le moment des forces extérieures autour de c:

„ La quantité de mouvement angulaire autour de c:

T~ = d~h dt

~h = Z

V

~r⁰^½d~r⁰ dt dV T~ =

Z

V

~r⁰^f~dV + Z

S

r~⁰^~tdS

Equation du mouvement d’un système fermé

„ Remarques:

„ Hypothèse d’indéformabilité pas encore introduite

„ Hypothèse de masse constante (système fermé):

„ Pour une voiture

„ Pour un avion

„ Pour une fusée (Saturn V) dm

dt '0

dm

dt=m=3:10^¡5=sec,

dm

dt=m=4:610^¡3=sec

dm

dt=m=10(l=100km)¤0:8kg=l¤120km=h=1000kg=2:610^¡6=s

Equations du mouvement de la voiture rigide

„ Dérivée de la vitesse et de la quantité de mouvement angulaire dans le repère dynamique de la voiture

ω

vc

y, v, q z, w, r

x, u, p

Equations du mouvement de la voiture rigide

„ Les équations d’équilibre deviennent

„ ou explicitement

„ L = moment de roulis, M = moment de tangage et N moment de lacet

F = m(v_c+[!]vc) T = h_c+[!]hc

8<

:

L = h_x+qhx¡rhy

M = h_y+rhx¡phz

N = h_z+phy¡qhx

8<

:

Fx = m(u_+qw¡rv) Fy = m(v_+ru¡pw) Fz = m(w_+pv¡qu)

Equations du mouvement de la voiture rigide

„ L’hypothèse d’indéformabilité conduit à écrire:

„ Le centre de masse étant pris comme origine, la quantité de mouvement angulaire devient:

r_⁰=0 ) d

dtr⁰=[!]r⁰

~ h =

Z

V

½ ~r 0 ^ ( ~! ^ r~ 0 ) dV

= Z

V

½ [ ~! r ^{0 2} ¡ ~r ⁰ ( ~! : r~ ⁰ ) ] d V

Equations du mouvement de la voiture rigide

„ Sous forme matricielle, la quantité de mouvement s’écrit:

„ Avec le tenseur d’inertie du véhicule dans ses axes propres h = (

Z

V

[r⁰²I¡r⁰r^0T]½dV)!

J_x⁰_x = Z

V

½(y⁰²+z⁰²)dV J_y⁰_y =

Z

V

½(x⁰²+z⁰²)dV J_z⁰_z =

Z

V

½(x⁰²+y⁰²)dV

J_x⁰_y = Z

V

½x⁰y⁰dV J_y⁰_z =

Z

V

½y⁰z⁰dV J_x⁰_z =

Z

V

½x⁰z⁰dV

Equations du mouvement de la voiture rigide

„ En définitive

„ Avec

„ Pour un véhicule automobile:

„ Plan de symétrie autour de y’=0: J’_xy=0 et J’_yz=0

„ Le terme J’_xzreste faible et peut souvent être négligé

h = J⁰!

J⁰ = 2 4

J_x⁰_x ¡J_x⁰_y ¡J_x⁰_z

¡J_x⁰_y J_y⁰_y ¡J_y⁰_z

¡J_x⁰_z ¡J_y⁰_z J_z⁰_z 3 5

Expression des forces extérieures

„ Il est courant de séparer:

„ Les forces de gravité

„ Les autres forces extérieures (forces aérodynamiques, de propulsion, résistance au roulement) (X,Y,Z)

„ Exprimons les forces de gravité

„ dans le repère inertiel

„ dans le repère dynamique:

F_0g = 2 4 0

0 mg

3 5

Fg = R(Á;µ;Ã)F0g = 2

4 ¡mgsinµ mgcosµsinÁ mgcosµcosÁ 3 5

Equations du mouvement

„ Equations d’équilibre

„ Variables d’état: 8 inconnues

„ Relations cinématiques additionnelles x = [uvwpqrµÁ]^T

½ Á_ = p+qtanµsinÁ+rtanµcosÁ µ_ = qcosÁ¡rsinÁ

8<

:

L = J_xx⁰ p_¡J_xz⁰ r_+(J_{z z}⁰ ¡J_{y y}⁰ )qr¡J_xz⁰ pq M = J_{y y}⁰ q_+(J_xx⁰ ¡J_zz⁰ )rp¡J_xz⁰ (p²¡r²) N = J_{z z}⁰ r_¡Jxzp_+(J_{y y}⁰ ¡J_xx⁰ )pq+J_xz⁰ qr 8<

:

X¡mgsinµ = m(u_+qw¡rv) Y +mgcosµ sinÁ = m(v_+ru¡pw) Z+mgcosµcosÁ = m(w_+pv¡qu)

Mouvement stationnaire

„ Régime établi

„ Equations du mouvement

u_ =v_ =w_ =p_=q_=r_=0

8<

:

X¡mg sinµ = m(qw¡rv) Y +mg cosµ sinÁ = m(ru¡pw) Z+mgcosµ cosÁ = m(pv¡qu) 8<

:

L = (J_z⁰_z¡J_y⁰_y)qr¡J_x⁰_zpq M = (J_x⁰_x¡J_z⁰_z)rp¡J_x⁰_z(p²¡r²) N = (J_y⁰_y¡J_x⁰_x)pq+J_x⁰_zqr

Mouvement rectiligne en régime

„ Hypothèses:

„ Equations du mouvement

„ Si pas de roulis (φ=0):

u=V v=w=0 p=q=r=0

8<

:

X¡mg sinµ = 0 Y +mg cosµ sinÁ = 0 Z+mgcosµ cosÁ = 0

8<

:

L = 0 M = 0 N = 0

8<

:

X=P

Fx = mg sinµ Z=P

Fz = ¡mgcosµ M =P

My = 0

Mouvement circulaire

„ Mouvement circulaire de rayon R à la vitesse V

„ Le vecteur rotation dans le repère d’inertie

„ Le vecteur rotation dans le repère du véhicule

~

!=Ã_~1z₀ =V R~1z₀

8<

:

p = ¡Ã_ sinµ q = Ã_ sinÁ cosµ r = Ã_ cosÁ sinµ

Mouvement circulaire

„ Pas de pompage, mais éventuellement dérapage (on utilise le terme de dérive) sur la trajectoire.

„ Notion d’angle de dériveβ:

„ Si angle de roulis et d’assiette nul (φ=θ=0) u=V cos¯ et v=V sin¯ V =p

u²+v² v=u=tan¯ w=0

p=q=0 r=Ã_ =V=R

Mouvement circulaire

„ Equations du mouvement

„ Pour une dérive nulle 8<

:

X = ¡mrv=¡mV²=R sin¯ Y = mru=mV²=Rcos¯ Z+mg = 0

8<

:

L = 0

M = J_x⁰_zr²=J_x⁰_z(V=R)² N = 0

8

<

: Y = P

F y = m V ² = R Z = P

Fz = ¡ m g L = P

Mx = 0

Dynamique longitudinale

„ Relaxer la contrainte du/dt=0 dans le mouvement stationnaire en ligne droite, il vient

„ Soit encore si on a un roulis nul φ=0:

8<

:

X¡mg sinµ = mu_ Y +mg cosµ sinÁ = 0 Z+mgcosµ cosÁ = 0

8<

:

L = 0 M = 0 N = 0

8<

:

X=P

Fx¡mg sinµ = mu_ Z=P

Fz = ¡mgcosµ

M=PMy = 0

Dynamique latérale transitoire

„ Utilité: étude du régime transitoire du véhicule en virage, lors de manœuvres, des réponses à commandes et des

perturbations latérales.

„ Hypothèses:

„ pas de pompage et de tangage: w=0 et θ=0, q=0

„ pas de roulis φ=0, p=0

„ Il vient:

¡

!V =[uv0]^T ¡!! =[00r]^T

Dynamique latérale transitoire

„ Les équations du mouvement s’écrivent:

„ Les autres équations donnent les « réactions » des mouvements bloqués

Y=X

Fy = m(v_+ru) N=X

Mz = Jzzr_

Fx = ¡mrv F_z = 0

L = Jxxr_ M = Jxzr²