Sommes de Variables Aléatoires

Sommes de Variables Aléatoires

I) OPERATIONS SUR LES VARIABLES ALEATOIRES

EXEMPLE

Rappels : deux épreuves successives sont dites indépendantes lorsque le déroulement de l’une n’a aucune influence sur le déroulement de l’autre.

On lance deux pièces de monnaie sur lesquelles sont inscrites 0 et 1. L’une est équilibrée, et l’autre est telle que la probabilité que 0 sorte est 0,4.

Soit 𝑋 et 𝑌 les variables aléatoires qui, au lancer d’une pièce, associent le numéro inscrit sur la face supérieure de la pièce. A chaque lancer, on peut associer la somme des numéros inscrits sur les pièces : on définit ainsi une nouvelle variable aléatoire 𝑍 appelée « somme de 𝑋 +Y », et que l’on note 𝑍 = 𝑋 + 𝑌.

• L’évènement {𝑍 = 0} est l’évènement {𝑋 = 0 𝑒𝑡 𝑌 = 0}.

• Les évènements {𝑋 = 0} et {𝑌 = 0} sont indépendants car les deux épreuves (les lancers des deux dés) le sont.

D’où : 𝑝(𝑍 = 0) = 𝑝(𝑋 = 0) × 𝑝(𝑌 = 0) = 0,5 × 0,4 = 0,2.

• L’évènement {𝑍 = 1} est la réunion des deux évènements incompatibles {𝑋 = 0 𝑒𝑡 𝑌 = 1} et {𝑋 = 1 𝑒𝑡 𝑌 = 0}. Ainsi 𝑝(𝑍 = 1) = 𝑝(𝑋 = 0 𝑒𝑡 𝑌 = 1) + 𝑝(𝑋 = 1 𝑒𝑡 𝑌 = 0) et on obtient 𝑝(𝑍 = 1) = 0,5 × 0,4 + 0,5 × 0,6 = 0,5.

• On peut aussi définir la variable aléatoire 𝑇 = 2𝑋, produit de 𝑋 par le réel 2, qui prend pour valeurs 0 et 2, avec 𝑝(𝑇 = 0) = 𝑝(𝑋 = 0) = 0,5 et 𝑝(𝑇 = 2) = 𝑝(𝑋 = 1) = 0,5.

• Les variables 𝑋 et 𝑌 de l’exemple précédent sont dites indépendantes, car elles sont associées à des épreuves indépendantes.

𝑋 et 𝑌 sont des variables aléatoires définies sur des univers finis : Ω = {𝑒

; 𝑒

; … ; 𝑒

} et

Ω

= {𝑒

; 𝑒

; … ; 𝑒

} qui associent à chaque issue 𝑒

(respectivement 𝑒′

) le réel 𝑥

(respectivement 𝑦

).

• La variable aléatoire 𝑍 = 𝑎𝑋 est la variable aléatoire qui associe à chaque issue 𝑒_𝑖

le nombre réel 𝑎 × 𝑥

, avec 𝑝(𝑍 = 𝑎 𝑥

) = 𝑝(𝑋 = 𝑥

).

• La somme des variables aléatoires 𝑋 et 𝑌 est la variable aléatoire 𝑆 = 𝑋 + 𝑌 qui, aux issues 𝑒_𝑖

et 𝑒′

associe 𝑥

+ 𝑦

, où 𝑝(𝑆 = 𝑠

) est la somme de toutes les probabilités

𝑝(𝑋 = 𝑥

𝑒𝑡 𝑌 = 𝑦

) telles que 𝑥

+ 𝑦

= 𝑠

.

S

Deux variables aléatoires sont INDEPENDANTES si, quelles que soient les valeurs 𝑥_𝑖 et 𝑦_𝑗, 𝑝(𝑋 = 𝑥_𝑖 𝑒𝑡 𝑌 = 𝑦_𝑗) = 𝑝(𝑋 = 𝑥𝑖) × 𝑝(𝑌 = 𝑦_𝑗).

PROPRIETES S

EXEMPLE

On choisit un fût de cidre dans le stock d’un producteur.

A chaque fût, les variables aléatoires 𝐴 et 𝐵 associent respectivement la masse en kg de cidre contenue dans le fût, d’espérance 𝐸(𝐴) = 200, et la masse en kg de bois du fût lui-même d’espérance 𝐸(𝐵) = 65.

Alors l’espérance de la variable aléatoire 𝑋 = 𝐴 + 𝐵, qui à un fût associe sa masse totale en kg, a pour espérance : 𝐸(𝑋) = 𝐸(𝐴) + 𝐸(𝐵) = 265.

EXEMPLE

Dans l’exemple des deux pièces, on a : 𝐸(𝑋) = 0,5 et 𝐸(𝑌) = 0,6.

On a aussi : 𝑉(𝑋) = 0,25 et 𝑉(𝑌) = 0,24.

Puisque 𝑋 et 𝑌 sont indépendantes : 𝑉(𝑋 + 𝑌) = 0,25 + 0,24 = 0,49.

EXERCICES

1) Une urne contient trois jetons rouges marqués "0" et deux jetons bleus marqués "1". On tire au hasard deux jetons de l’urne.

Soit 𝑋 la variable aléatoire qui, au premier tirage, associe le numéro du jeton tiré, et 𝑌 la variable aléatoire qui, au second tirage, associe le numéro du jeton tiré.

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire 𝑍 = 𝑋 + 𝑌 si le tirage du second jeton :

• se fait avec remise. • se fait sans remise.

• Soit 𝑋 une variable aléatoire, et 𝑎 un réel. Alors on a :

𝐸(𝑎𝑋) = 𝑎𝐸(𝑋) ; 𝑉(𝑎𝑋) = 𝑎

𝑉(𝑋) ; 𝜎(𝑋) = |𝑎|𝜎(𝑋).

• Soient 𝑋 et 𝑌 deux variables aléatoires. Alors 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌).

NB : Les deux propriétés concernant l’espérance traduisent le fait que celle-ci est LINEAIRE

.

S

• Soient 𝑋 et 𝑌 deux variables aléatoires indépendantes.

Alors 𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌).

NB : Pour 𝑎 et 𝑏 réels :

𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏𝐸(𝑌) 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏 𝑉(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎

𝑉(𝑋)

S

2) Soit 𝑋 une variable aléatoire telle que 𝐸(𝑋) = 10 et 𝑉(𝑋) = 4. Soit 𝑌 une autre variable aléatoire telle que 𝐸(𝑌) = 0 et 𝑉(𝑌) = 1.

Calculer l’espérance et la variance des variables aléatoires suivantes :

• 𝑍 = 2𝑋 − 15 • 𝑇 = 𝑋 + 𝑌 • 𝑈 = −5𝑌

3) On considère le jeu consistant à lancer 20 fois un dé. A chaque lancer, on gagne 6 € si on obtient « 5 » ou « 6 » et 3 € sinon.

La participation au jeu est de 70 €.

a) Quel gain peut-on espérer ? b) Quelle est la variance du gain ?

4) Une entreprise fabrique des machines. Soit 𝑋 la variable aléatoire qui, pour un mois choisi au hasard, associe le nombre de machines vendues pendant cette période. Une étude statistique permet d’établir la loi de probabilité de 𝑋.

a) Calculer l’espérance de 𝑋.

b) La vente d’une machine rapporte 5 000 €. On note 𝑌 la variable aléatoire qui, à un mois tiré au hasard, associe le résultat en euros de l’atelier. Déterminer l’espérance de 𝑌, puis l’interpréter.

c) Le résultat mensuel, en euros, du second atelier de l’entreprise définit une variable aléatoire 𝑇 d’espérance 20 000.

Quelle est l’espérance du résultat mensuel de l’entreprise ?

II) ÉCHANTILLON DE TAILLE 𝒏 ^D’UNE LOI DE PROBABILITE

EXEMPLE

Soit 𝑋 la variable aléatoire qui, à chaque paquet de chips issue d’une chaine de production, associe sa masse en grammes. On note 𝑋_𝑖 la variable aléatoire qui, à chaque lot de 3 paquets de chips, associe la masse du i-ème paquet. Les variables 𝑋₁, 𝑋₂, 𝑋₃

sont indépendantes et suivent la même loi que 𝑋, donc (𝑋

Soit 𝑋 une variable aléatoire définie sur l’ensemble Ω des issues d’une expérience aléatoire. Un

échantillon de taille 𝑛 de la loi de 𝑋 est une liste (𝑋

, 𝑋

, … , 𝑋

) de variables aléatoires indépendantes et identiques suivant cette loi.

DEFINITION S

EXEMPLE

Dans l’exemple précédent, la variable aléatoire somme 𝑆₃ définie par 𝑆₃ = 𝑋₁+ 𝑋₂+ 𝑋₃ associe à chaque lot sa masse en grammes.

La variable aléatoire moyenne 𝑀₃=𝑋1+ 𝑋2+ 𝑋3

3 associe à chaque lot de 3 paquets la masse moyenne d^′un paquet.

EXEMPLE

Pour l’exemple des chips : 𝐸(𝑀3) = 𝐸(𝑋) et 𝑉(𝑀₃) =¹

3 𝑉(𝑋).

REMARQUE

𝑉(𝑀_𝑛) =1 𝑛 𝑉(𝑋)

Cette égalité montre que la variance diminue quand la taille de l’échantillon augmente.

• La variable aléatoire somme d’un échantillon de taille 𝑛 de la loi de 𝑋 est la variable aléatoire définie

sur l’ensemble des échantillons de taille 𝑛 par 𝑆

= 𝑋

+ 𝑋

+ ⋯ + 𝑋

.

• La variable aléatoire moyenne est la variable aléatoire définie par

𝑀

= 1

𝑛 𝑆

.

S

• Soit 𝑆_𝑛 la variable aléatoire somme d’un échantillon de taille 𝑛 de la variable aléatoire 𝑋, alors 𝐸(𝑆_𝑛) = 𝑛𝐸(𝑋), 𝑉(𝑆_𝑛) = 𝑛 𝑉(𝑋) 𝑒𝑡 𝜎(𝑆_𝑛) = √𝑛𝜎(𝑋) PROPRIETES

• Soit 𝑀_𝑛 la variable aléatoire moyenne d’un échantillon de taille 𝑛 de la variable aléatoire 𝑋, alors

𝐸(𝑀_𝑛) = 𝐸(𝑋), 𝑉(𝑀_𝑛) =1

𝑛 𝑉(𝑋) 𝑒𝑡 𝜎(𝑀_𝑛) =𝜎(𝑋)

√𝑛 PROPRIETES

• Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝.

Alors 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝, 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) 𝑒𝑡 𝜎(𝑋) = √𝑛𝑝(1 − 𝑝).

PROPRIETES

EXERCICES

1) On étudie la marche aléatoire d’une particule se déplaçant sur les points d’abscisses entières d’un axe gradué d’origine 𝑂. La particule est à l’origine au temps 0 et se déplace à chaque unité de temps d’une unité sur la droite avec la probabilité ¹

2 ou d’une unité vers la gauche avec la probabilité ¹ 2.

On suppose les déplacements de la particule indépendants les uns des autres. Pour tout entier naturel 𝑘, on note 𝑋_𝑘 la variable aléatoire qui vaut 1 si le 𝑘 − 𝑖è𝑚𝑒 déplacement a lieu vers la droite et qui vaut

−1 dans le cas contraire.

Pour tout entier naturel 𝑛 non nul, on note 𝑆_𝑛 l’abscisse de la particule à l’instant 𝑛.

a) Donner pour tout entier naturel 𝑘 non nul, l’espérance et la variance de 𝑋_𝑘.

b) Pour tout entier naturel 𝑛 non nul, exprimer 𝑆_𝑛 en fonction de certaines des variables 𝑋_𝑘. c) En déduire l’espérance et la variance de 𝑆_𝑛.

2) Une étude statistique a été réalisée sur le temps d’attente, en secondes, subi par la clientèle avant d’être prise en communication avec un standardiste. La variable aléatoire 𝑇, qui associe à tout client son temps d’attente, a pour espérance 18 et pour écart-type 7. On estime que la probabilité qu’un client ait une attente de plus de 20 secondes est égale à 0,4.

a) Au cours d’une même semaine, un même client passe cinq appels, indépendants les uns des autres. On note 𝑋 la variable aléatoire exprimant le nombre de fois, où, au cours de ces cinq appels, le temps d’attente est supérieur à 20 secondes. Déterminer l’espérance et l’écart-type de 𝑋.

b) Dans le but de diminuer le temps d’attente, on effectue une enquête sur un échantillon de 100 clients. Soit 𝑌 la variable aléatoire mesurant le temps d’attente moyen exprimé en secondes pour un échantillon de 100 clients. Déterminer l’espérance et l’écart-type de 𝑌.