Terminale S2
calculatrice autorisé
Page 1 sur 3Physique D.S. n°7
Exercice : Principe de fonctionnement d’un bac à décantation à flux horizontal Polynésie 2004 (20 points) 1. Étude de la chute d’une particule dans un liquide visqueux :
1.1. L’énoncé précise que £F = –f.£v, donc [F] = [f].[v] ainsi [f] = [F].[v]–1. Or D’après la seconde loi de Newton [F] = [m.a] = M.L.T–2, donc [f] = M.L.T–2.(L.T–1)–1 = M.T–1. L’unité est celle d’une masse par unité de temps, soit dans le système international : le kg.s–1 (1,5).
1.2. (1,5).
1.3. Nous étudions une {particule} dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Par conséquent nous pouvons appliquer la seconde loi de Newton : m.£a = £Fext soit :
m.£a = £P + £ + £F = m.£g – 4
3..R3.l.£g – f.£v.
Or £g = g.£k et £v = v.£k car la vitesse est orientée vers le bas.
Ainsi : m.dv
dt.£k = m.g.£k – 4
3..R3.l.g.£k – f.v.£k.
Projetons cette équation sur l’axe Oz : m.dv
dt = m.g – 4
3..R3.l.g – f.v soit dv
dt + f
m.v = g – 4
3..R.l.g
m
dv dt + f
m.v = (1 – 4
3.. R.l
S.4/3..R3).g
dv dt + f
m.v = (1 – l
S).g
dv dt + f
m.v = g.
S – l
S (2).
1.4. Lorsque la vitesse limite est atteinte, l’accélération est nulle donc dv dt = 0, Donc f
m.vl = g.
S – l
S
, d’après l’équation différentielle et par conséquent : vl = S – l
S .m f.g (2).
A.N. : vl = ,. – ,.
,. ,.–
,.–9,8 = 5,3.10–2 m.s–1 soit 5,3 cm.s–1 (1).
1.5. La solution de l’équation différentielle établie à la question 1.3. est de la forme : v(t) = vl.
– e– fm.t .
Lorsque t = t1, v(t1) = 0,99.vl, ainsi : 0,99.vl = vl.(1 – e–f/m.t1) 0,99 = (1 – e–f/m.t1) soit e–f/m.t1 = 1 – 0,99 donc – f
m.t1 = ln 0,01 et finalement : t1 = – m
f.ln 0,01 ou t1 = m
f.ln 100.
A.N. : t1 = 5,0.10–14
3,1.10–12ln 100 = 74 ms (2).
O
z
Particule à t = 0
Particule à l'instant t
£P
£ £F
1.6.
a) Une étude expérimentale a permis d’obtenir le graphe, donné ci-après, représentant les variations de la vitesse de la particule au cours du temps. D’après l’expression théorique de la vitesse, on peut remarquer que 1 = m/f (solution exponentielle), par conséquent en théorie, le temps caractéristique est ici 1 = 5,0.10–14/3,1.10–12 = 16 ms.
Graphiquement, on peut le déterminer en traçant la tangente à l’origine et en cherchant l’abscisse de son intersection avec l’asymptote d’équation v = vl. On trouve environ 16 ms sur le graphique.
On peut également le déterminer graphiquement (plus précis) avec la méthode des 63 % de variations : lorsque v = 0,63.vl, t = 1. On trouve également 16 ms. (1).
b) Entre t = 0 et t = 5.1 soit 516 = 80 ms, il s’agit du régime transitoire (ou initial).
Lorsque t > 80 ms, il s’agit du régime permanent (ou asymptotique) (1).
2. Application : modélisation simple d’un bac à décantation à flux horizontal :
2.1. Si la particule se propage, en ligne droite, à la surface de l’eau, elle doit parcourir une distance L, à la vitesse horizontale vh, en un temps 2. Par conséquent, la vitesse de déplacement étant constante, les trois grandeurs sont liées par la relation L = vh.2. Ainsi 2 = L
vh. A.N. : 2 = 1,0
0,10 = 10 s. La durée pour parcourir la distance L serait de 10 s (1).
2.2. De façon générale, la vitesse s'exprime sous la forme : £v = £vx + £vy + £vz.
= 10
16.10–3 = 625. 2 >> 1. En comparant 2 et 5.1 : = 125(5.1) : On peut donc considérer que la vitesse verticale limite vl est établie quasiment instantanément devant la vitesse de déplacement horizontal des particules. Par conséquent £v = £vx + £vz avec £vx = £vh et £vz £vl, donc £v = £vh + £vl (1).
2.3. Par définition vx(t) = dx
dt = vh (valeur constante), x(t) est donc la primitive de la constante vh : x(t) = vh.t + C1. Avec C1 = x(0) = x0 = 0 ! Même raisonnement pour z(t) !
3.
3.1. t = x vh
, par conséquent : z(x) = vl vh
.x, or vl = S – l
S
.m
f.g donc z(x) = S – l
S
.m.g f.vh
.x Il s’agit d’une fonction linéaire de coefficient directeur = S – l
S
.m.g f.vh (1).
Projection selon Ox Projection selon Oz Accélération ax(t) = 0 (= dvx
dt) az(t) = 0 (= dvz
dt) vitesse vx(t) = vh (= dx
dt) vz(t) = vl (= dz dt)
Position x(t) = vh.t (car x0 = 0) (1) z(t) = vl.t (car z(0) = 0) (1)
v (10–3 m.s–1)
t (ms) 33
16
dérivée dérivée
primitive primitive
3.2. H0 = S – l
S .mC.g f.vh
.L donc mC = S.f.vh
S – l.g.L.H0
A.N. : mC = 1,5.1033,1.10–120,10
(1,5.103 – 1,0.103)9,81,00,54 = 5,1.10–14 kg.
Les particules de masses mC = 5,1.10–14 kg tombe dans le bac de récupération, à la limite, c’est-à-dire à la position où x = L (2).
3.3. Dans quelle zone vont tomber les particules de masses m et de même masse volumique S : – si m < mC : On peut remarquer que z(x) = m
mC
.H
L.x ; si m < mC lorsque x = L, z < H0 : la particule tombera donc après le bac de récupération.
– si m > mC, la particule tombera dans le bas de récupération car pour x = L, z > H0. (1).
Pour le principe physique :
la particule tombe à vitesse constante depuis le début du mouvement, pratiquement.
Horizontalement, elle est entraînée par le courant du liquide à vitesse vl constante.
Quelle que soit leur masse, horizontalement les particules arrivent à une abscisse L au bout de 10 s.
Cependant verticalement elle tombe sous l’effet du poids, mais à vitesse constante en raison de la poussée d’Archimède et des forces de frottements fluides.
Plus la masse de la particule est grande, plus elle descendra vite car vl = S – l
S
.m f.g est proportionnelle à la masse (rappel : lors d’une chute libre la vitesse ne dépend pas de la masse, mais elle en dépend dans le cas d’une chute avec frottements !)
Par conséquent, si la masse m < mC, la particule ne tombera pas verticalement assez vite pour atteindre le bac de récupération lorsqu’elle franchira l’abscisse x = L.
En revanche, si m > mC, la particule tombera suffisamment vite pour arriver dans le bac de récupération avant d’atteindre, l’abscisse x = L, et par conséquent ne sera plus entrainée par le flux horizontal.
Cette méthode peut donc être utilisée pour trier des particules suivants leur masse, si elles possèdent même masse volumique.
