A NNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE T OULOUSE
CH. B IOCHE
Sur les lignes asymptotiques de certaines surfaces gauches
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 1resérie, tome 2 (1888), p. A1-A7
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A.I
SUR LES
LIGNES ASYMPTOTIQUES DE CERTAINES SURFACES GAUCHES,
PAR M. CH.
BIOCHE,
Professeur agrégé au Lycée de Douai
1. On
peut
déterminer laposition
d’unpoint
sur une surfaceréglée
par deux coordonnées r et s dont lapremière représente
lesegment
degénéra-
trice
compris
entre lepoint
considéré et lepoint central,
la seconde étant tl’arc de la
ligne
de strictioncompté
àpartir
d’uneorigine
arbitraire et li- mité à cepoint
central.Inéquation
différentielle deslignes asymptotiques
peut
s’obtenir facilement en écrivant que lesplans
osculatcurs de ceslignes
sont
tangents
à la surface. Si l’onappelle
0l’angle
que lagénératrice
en unpoint
fait avec laligne
destriction,
K leparamétre correspondant,
Q lacourbure de la section normale
tangente
à laligne
de striction(ces
troisquantités
étant des fonctions de l’arcs), l’équation
desasymptotiques
estLe coefficient de r2 est nul pour les surfaces à
plan
directeur.On déduit de cette
équation
que, pour les surfaces àplan directeur,
ona, en
appelant
ret r’ deuxsolutions,
Si K est constant, les segments détermines par deux
lignes asymptotiques
sur les
génératrices
sontégaux (1T.
PaulSerret).
Les
lignes asymptotiques
des surfaces àplan
directeur et aparamètre
dedistribution constant,
que j’appellerai,
pourabréger, surfaces (S),
ont unerelation
simple
avec lestrajectoires orthogonales
desgénératrices.
En effet.pour ces
surfaces,
si l’on remarque que, dans ce cas,l’équation (i )
se réduit àtandis que
l’équation
destrajectoires orthogonales
se trouve êtreI)onc,
dans cessurfaces,
lesasymptotiques
sont les des milieux clessegments com.pris
entre laligne
de striction et lestrajectoires orthogo-
uah.s.
2. Cherchons
l’équation générale
des surfaces(S).
Une surface àplan
directeur
peut
sereprésenter
par leséquations
son
paramètre
de distribution est donné parD’autre
part,
si l’onappelle 03C3
l’arc de laprojection
de laligne
de stric-tion sur le
plan
directeuret p
le rayon de courbure de cetteprojection,
on aet, par
suite,
enappelant 0 l’angle
de lagénératrice
avec laligne
de stric-tion,
ou de laligne
de striction avec leplan directeur,
Ce
qui précède
montre quel’équation générale
des surfaces(S)
estet que, en outre, une
surface (S)
estcomplètement
déterminée si l’on donne laprojection
de saligne
de striction sur leplan
directeur. Enparticulier,
si la
projection
est uncercle,
laligne
de striction estune, hélice,
etrécipro-
quement; l’équation
de la surfacepeut
alors s’écrirele
signe
de K donnant le sens de l’enroulement de l’hélice.En
général,
si1 équation tangentiellc
de laprojection
de laligne
de stric-tion est
l’équation
de la surface(S) correspondante
estElle s’obtient en identifiant
Inéquation ( 1 )
avecet [ en
éliminant ~
~ f’, «’,l’ ~ ~ >
entre leséquations
de condition et leséqua-
tions
(i )
et( 2).
;J. Le théorème donné
précédemment
sur leslignes asymptotiques
permet d’obtenirInéquation
de ceslignes
en coordonnéescartésiennes,
car leuréquation peut s’écrire,
enremarquant
que ds cos03B8 =d03C3,
d’autre
part,
on trouve facilementsi l’on écrit
l’équation
d’une surface(S)
en mettant en évidence laligne
de striction
la valeur commune de ces fraclions étant la distance du
point (x,y,z)
aupoint
centralcorrespondant,
pour avoir leséquations
desasymptotiques,
i
l suffit d’égaler
ces fractions ace
qui
donnel’équation générale
desasymptotiques
En
particulier,
il existe des surfaces(S)
dont uneligne asymptotiquc
dusecond
système est rectiligne;
si leséquations
de cette droite sontla surface
correspondante
est’
La
ligne
de striction de cettesurface, qui
est donnée par lcséquations
al pour
projection
sur leplan
directeur unecycloïde.
Lequi
donnecette
cycloïde
a pour rayon 2 K et roule sur la droite x = -m Kh . La
tangente
aux sommets est donc la
projection
de la directricerectiligne.
4. Parmi les surfaces
(S), il
y en aqui
admettent pourtrajectoire oblique
des
génératrices
une deslignes asymptotiques.
Je vais déterminer ces sur-faces. Si l’on pose
les coefficients directeurs de la
tangente
à uneasymptotique peuvent
en
faisant,
pour li = 1 ,si l’on fait rentrer dans la fonction
?(z)
la constantecorrespondant
à laligne asymptotique
considérée. On endéduite
enappelant
m lacotangente
de
l’angle
de cette courbe avec lesgénératrices~
on tire de la
et, par
suite,
enintégrant l’équation qui
lie F et o,On
peut
supposer ~~ et Bnuls,
à condition de choisir convenablement Fort-gine
descoordonnées,
de sorte quel’équation
des surfaces cherchées peut s’écrireLes
équations
desasymptotiques
sont alorspour la
ligne asymptotiquc trajectoirc
C === o.J’ai
supposé
m ~ o; pour m = o on aurait lcs hélicoïdes minima surlesquels
toutes lesasymptotiques
sonttrajectoires orthogonales
desgénératrices.
5. Les surfaces dont la
ligne
de striction estligne asymptotique présen-
tent
quelques analogies
avec les surfaces àplan
directeur. Cesanalogies
pro- viennent de cc fait que, pour cesdernières,
laligne I r
= o estligne
ptotiquc,
tandis que, pour lespremières,
laligne
r = o estligne
asympto-tique.
L’équation
deslignes asymptotiques
de ces surfacespeut
s’écriretandis que, pour les surfaces a
plan directeur,
on aL’équation
(I)peut s’intégrer
facilement : on trouved’où l’on
déduit,
r et r’ étant deuxsolutions,
3
Lorsque
K est constant, K~ sort dusigne
dequadrature;
or, si l’on posen = n’ est une solution de
l’équation
destrajectoires orthogonales,
etest une solution de
l’équation
desasymptotiques.
Pour les surfaces(S),
larelation entre les deux sortes de courbes
s’exprimait
parSi la
ligne
de striction est unecourbe,
leparamètre
de distribution estégal
a la torsion de cette
courbe,
de sorte que, si leparamètre
est constant, laligne
de striction est une courbe à torsion constante.Si la
ligne
de striction est unedroite, 0
est constant, et cos03B8 sort dusigne d’intégration.
Si l’onprend
laligne
de striction pour axe des z, leséqua-
tions d’une
génératrice peuvent
s’écrire~J étant constante
et (
étant une fonction de o.()n a alors pour
équation générale
des surfaces àligne
de striction recti-on trouve facilement pour
expression
duparamètre
de distributionIp
signe
àprendre dépendant
du sens danslequel
tourne la droite en s’élc-Si K = const., on a, en
prenant
lesigne
+, parexemple,
et en choisis-A.7 sant pour
plan
des ZOX celuiqui
contient lagénératrice
passant paron, en coordonnées
semai-polaires
L’équation
deslignes asymptotiques
en coordonnées / et .9 est alorsce
qui donne,
enremarquant
que r sin03B8 = ? et que s est la coordonnée dupied
de lagénératrice,
équation
de laprojection
(Tuneasympto tique
sur leplan
Z ~ oOn obtient ainsi des sortes de
spirales
tournant autour dupôle. pôle
est un