20 D.S. de mathématiques n : Probabilités1 S

D.S. de mathématiques n

º4

: Probabilités 1

^ère

S

Mercredi 1er février 2012, 55 minutes, Calculatrices autorisées Ce sujet est à rendre avec la copie.

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20

Sujet de Bac S - Pondichéry (13 avril 2011) - 5 points - Commun à tous les candidats

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

1) Le joueur lance une fléchette.

On note p₀ la probabilité d’obtenir 0 point.

On note

p

₃ la probabilité d’obtenir 3 points.

On note p₅ la probabilité d’obtenir 5 points.

On a donc

p

₀

 p

₃

 p

₅

=1

. Sachant que

p

₅

= 1

2 p

₃ et

p

₅

= 1

3 p

₀ déterminer les valeurs de p₀, p₃ et p₅.

2) Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.

On note G₂ l’événement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».

On note

G

₃ l’événement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».

On note P l’événement : « le joueur perd la partie ».

On note p(A) la probabilité d’un événement A.

a) Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que

p G

₂

= 5

36

. On admettra dans la suite que

p (G

₃

)= 7

36

^. b) En déduire p(P).

3) Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu’il gagne au moins une partie ?

4) Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.

Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S’il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S’il perd, il ne reçoit rien.

On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : –2, 1 et 3.

a) Donner la loi de probabilité de X.

b) Déterminer l’espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?

c) Déterminer à la calculatrice l’écart type de X. Donner le résultat sans justification ; arrondir au centime d'euro. [Cette question ne figurait pas dans le sujet de bac]

5) Le forain du stand voisin propose le même jeu mais avec une mise et des gains différents : Les sommes à gagner sont le double (10 € au lieu de 5 si le joueur gagne en deux lancers et 6 € au lieu de 3 si le joueur gagne en trois lancers) mais par contre la mise est de 5 € au lieu de 2 €.

1 /

2, ,5

/4

/ 1, 5 / 2, 5

/ 1, 5 / 2, 5

On note Y la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique du joueur. Exprimer Y en fonction de X et en déduire l'espérance et l'écart type de la variable aléatoire Y. [Cette question ne figurait pas dans le sujet de bac]

2

CORRIGÉ du D.S. de mathématiques nº4 : Probabilités 1^ère S

1. On a

p

₀

 p

₃

 p

₅

= 1

avec

p

₃

= 2 p

₅

et p

₃

=3 p

₅

d'où 3 p

₅

+ 2 p

₅

+ p

₅

=1 d'où 6× p

₅

=1 . On obtient que p

₅

= 1

6 , p

₀

= 1

2 et p

₃

= 1 3 .

Remarque : Les probabilités sont proportionnelles à l'aire des secteurs donc aux angles au centre : deux angles de

90

^∘ qui forment à eux deux un angle de

180

^∘, un angle de

60

^∘ et un angle de

120

^∘.

Cela permet de vérifier ses calculs.

2. a

On obtient un total d'au moins 8 points en deux lancers à la 6^ème, 8^ème et 9^ème branche, d'où

P G

₂

= 1

3 × 1 6  1

6 × 1 3  1

6 × 1 6 = 1

18  1 18  1

36 = 5 36

^.

2. b- Nous avons

p  P  p G

₂

 p G

₃

=1

et on admet (c.f. énoncé) que

p G

₃

= 7

36

^d'où

p  P=1 – p G

₂

 – p G

₃

=1 – 5 36 – 7

36 = 24 36 = 2

3

^.

3- L’événement contraire de « gagner au moins une partie » est « ne gagner aucune partie » et, sur l'arbre ci-dessous qui indique si on a gagné ou perdu chaque partie, on lit que la probabilité de perdre six parties de suite est

(

²3

)

^6.

P ( gagner au moins une partie )=1 – P (ne gagner aucune partie)=1 – ( ^{3 2} )

⁶

^{= 665 729 .}

4. a- Les valeurs possibles de X sont –2, 1 et 3. Il nous faut connaître les probabilités que X prennent chacune de ces valeurs.

P(X=–2)=P(perdre)=2 3 P(X=1)=P(G₃)= 7

36 et P(X=3)=P(G₂)= 5 35

Loi de probabilité de X :

x_i –2 1 3

pX=x_i

2 3

7 36

5 36

4. b- E(X)=–2×2

3+1×7

36+3× 5

36=–13

18≈–0,72 €. Un joueur perd en moyenne sur un grand nombre de parties 0,72 € par partie. E(X) est négative donc le jeu est ici défavorable au joueur. (Le jeu serait favorable au joueur si E(X) était positive.)

4. c-V(X)=2

3×

(

^−2+1318

)

^{2+367 ×}

(

¹⁺¹³¹⁸

)

^{2+365 ×}

(

³⁺¹³¹⁸

)

²≈3,59 et

  X =  ^{V  X ≈1,89}

^€. Ces paramètres mesurent les écarts des xi autour de leur moyenne E(X).

5. Y=sommes touchées avec nouvelles règles – mise=2×(sommes touchées avec anciennes règles)−mise = 2×(X+2)−5=2X−1

Y=2X−1 est de la forme Y=m X+ p donc E(Y)=m E(X)+p et σ (Y)=

∣

m

∣

σ (X)d'où E(Y)=2E(X)−1=2×

(

^–1318

)

^−1=–229 ≈−2,44 € et σ (Y)≈

∣

2

∣

×1,89=2 ×1,89=3,78 €.