Usando Redes Aleatorias na Analise de Mobilidade

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Submitted on 25 May 2012

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Usando Redes Aleatorias na Analise de Mobilidade

Pedro O.S. Vaz de Melo, Aline Carneiro Viana, Marco Fiore, Katia

Jaffrès-Runser, Frédéric Le Mouël, Antonio A. F. Loureiro

To cite this version:

Pedro O.S. Vaz de Melo, Aline Carneiro Viana, Marco Fiore, Katia Jaffrès-Runser, Frédéric Le Mouël,

et al.. Usando Redes Aleatorias na Analise de Mobilidade. 30th Brazilian Symposium on Computer

Networks and Distributed Systems (SBRC), Apr 2012, Ouro Preto, Brazil. �hal-00701422�

Usando Redes Aleat´orias na An´alise de Mobilidade

Pedro O.S. Vaz de Melo

1,2

, Aline C. Viana

2

, Marco Fiore

2,3

, Katia Jaffr`es-Runser

4

,

Fr´ed´eric Le Mou¨el

3

_{, Antonio A.F. Loureiro}

1

1

_{Universidade Federal de Minas Gerais, Brasil}

2

_{INRIA, Franc¸a}

3

_{INSA Lyon, Franc¸a}

4

_{University of Toulouse, Franc¸a}

{olmo,loureiro}@dcc.ufmg.br

aline.viana@inria.fr

{marco.fiore,frederic.le-mouel}@insa-lyon.fr

kjr@n7.fr

Abstract. The constant advancement of information systems has allowed more

data to be generated and stored from the most diverse situations. It is

fascinat-ing that, behind these records, we see the reflection of the environment itself,

since every record represents a decision made by some entity. In this work,

we modeled real-world scenarios of mobility from using temporal complex

net-works. The analysis assumes that these systems are composed of entities able

to interact in a rational manner, reflecting their interests and activity dynamic.

In this direction, we propose a technique for analyzing mobility scenarios from

random graphs. This technique examines how the real system would evolve if

the agents’ decisions were random, and from there, you can check, for example,

which edges are random and which are derived from social relationships, such

as friendship or professional.

Resumo. O avanc¸o constante de sistemas de informac¸˜ao tem permitido que

mais dados sejam gerados e armazenados a partir das mais diversas situac¸˜oes.

´

E fascinante que, por tr´as de cada registro, seja poss´ıvel ver o reflexo do

am-biente em si, ou seja, alguma decis˜ao tomada por alguma entidade. Neste

tra-balho, s˜ao estudados cen´arios reais de mobilidade a partir de uma

modela-gem usando redes complexas temporais. A an´alise parte do pressuposto que

esses sistemas s˜ao compostos de entidades capazes de interagir entre si de uma

maneira racional, refletindo seus interesses e dinˆamica de atividade. Nessa

direc¸˜ao, ´e proposta uma t´ecnica para analisar cen´arios de mobilidade a partir

de grafos aleat´orios. Essa t´ecnica verifica como o sistema real evoluiria caso as

decis˜oes dos seus agentes fossem aleat´orias e, a partir dela, pode-se verificar,

por exemplo, quais arestas s˜ao aleat´orias e quais s˜ao provenientes de relac¸˜oes

sociais, tais como relac¸˜oes de amizade ou profissionais.

1. Introduc¸˜ao

Trabalhos recentes sobre redes m´oveis sem fio tˆem analisado dados de mobilidade

de indiv´ıduos a partir de medic¸˜oes reais em cidades, como t´axis em S˜ao

Fran-cisco (EUA), ou grandes campus universit´arios, tais como USC, MIT, Dartmouth e

UF. Em [Thakur et al. 2010], os autores observaram distribuic¸˜oes de similaridade das

populac¸˜oes de usu´arios m´oveis dessas bases de dados e verificaram que os atuais

mo-delos de mobilidade falham em capturar o comportamento dos indiv´ıduos de forma

pre-cisa. Numerosos protocolos baseados em aspectos sociais da mobilidade tamb´em tˆem

lidado com o problema de previs˜ao de futuros contatos em redes intermitentes. Essas

obras s˜ao baseadas no fato de que o comportamento humano tende a ter um padr˜ao

espac¸o-temporal, repetindo locais e hor´arios do dia e mostrando algum grau de

regu-laridade [Gonzalez et al. 2008]. Assim, pode-se avaliar, por exemplo, o potencial dos

n´os da rede para atuarem como disseminadores ou roteadores de mensagens a partir de

m´etricas de redes complexas, tal como a centralidade [E. M. Daly and M. Haahr 2009,

Barbera et al. 2011, Kochem Vendramin et al. 2011].

O foco deste trabalho ´e estudar cen´arios reais de mobilidade a partir de uma

mo-delagem usando redes complexas temporais. A an´alise parte do pressuposto que esses

sis-temas s˜ao compostos de entidades capazes de interagir entre si de uma maneira racional,

refletindo seus interesses e dinˆamica de atividade. Chamamos esses sistemas de

Re-des Complexas baseadas em Decis˜ao (RCBDs), essas entidaRe-des de n´os (ou agentes)

e as interac¸˜oes entre os n´os, de arestas. A principal caracter´ıstica de uma RCBD ´e

que ela evolui de acordo com as decis˜oes tomadas pelos agentes desses sistemas, as

quais s˜ao guiadas principalmente por suas motivac¸˜oes pessoais [Backstrom et al. 2006a,

Kumar et al. 2006, Leskovec et al. 2008, Mislove et al. 2007]. Al´em disso, RCBDs s˜ao

caracterizadas por terem um grande n´umero de v´ertices e arestas que apresentam um

padr˜ao como, por exemplo, comunidades ou v´ertices altamente conectados, chamados

hubs

[Albert et al. 1999]. Enquanto em uma rede simples, com no m´aximo centenas de

n´os, o olho humano ´e um instrumento de poder consider´avel, em uma rede complexa,

esta abordagem ´e in´util. Assim, para estudar, analisar e caracterizar as redes complexas,

m´etodos estat´ısticos e algoritmos eficientes s˜ao necess´arios.

Este trabalho prop˜oe uma t´ecnica para analisar cen´arios de mobilidade a partir

de grafos aleat´orios. Resumidamente essa t´ecnica verifica como o sistema real evoluiria

caso as decis˜oes dos seus agentes fossem aleat´orias. Mais especificamente, usa-se um

algoritmo que, a partir de uma rede real, constr´oi uma vers˜ao aleat´oria contendo o mesmo

n´umero de n´os, arestas e distribuic¸˜ao emp´ırica do grau dos n´os. Esse algoritmo ´e

es-tendido para grafos temporais e, a partir dele, pode-se verificar, por exemplo, quais

arestas s˜ao aleat´orias e quais s˜ao provenientes de relac¸˜oes sociais, tais como relac¸˜oes

de amizade ou profissionais. Essa classificac¸˜ao pode ser usada em diferentes aplicac¸˜oes.

Por exemplo, o administrador de uma empresa de dispositivos m´oveis pode usar este

m´etodo para detectar as relac¸˜oes sociais de seus clientes e, portanto, usar esse

conhe-cimento para disseminar dados entre os clientes sem a utilizac¸˜ao da infraestrutura da

rede [Daly and Haahr 2007, Hossmann et al. 2009, Katsaros et al. 2010]. Ao saber como

classificar um encontro como aleat´orio ou social, reduz-se o grau m´aximo de um n´o a um

n´umero vi´avel e escal´avel, reduzindo o espac¸o de armazenamento.

Este trabalho est´a organizado da seguinte maneira. As sec¸˜ao 2 descreve os

traba-lhos relacionados. A sec¸˜ao 3 apresenta como ´e feita a modelagem de cen´arios de

mobili-dade em redes complexas temporais e tamb´em como se constr´oi a rede aleat´oria

corres-pondente. A sec¸˜ao 4 discute trˆes poss´ıveis aplicac¸˜oes para a modelagem proposta neste

trabalho: classificac¸˜ao de relacionamentos, predic¸˜ao de futuros encontros e disseminac¸˜ao

de dados. Finalmente, a sec¸˜ao 5 apresentada as conclus˜oes e trabalhos futuros.

2. Trabalhos Relacionados

A an´alise dos aspectos sociais de sistemas complexos ´e fundamental para a compreens˜ao

das motivac¸˜oes por tr´as das ac¸˜oes de suas entidades. Ao revelar as raz˜oes por tr´as das

decis˜oes, ´e poss´ıvel separar os eventos aleat´orios daqueles movidos por relac¸˜oes

soci-ais. Em [Crandall et al. 2008], por exemplo, foi mostrado que a ocorrˆencia de arestas

na rede est´a relacionada com as semelhanc¸as entre os n´os. Em outro exemplo

interes-sante, [Backstrom et al. 2006b] mostra que a probabilidade de um indiv´ıduo a entrar em

uma comunidade ´e influenciada n˜ao s´o pelo n´umero de amigos que ele tem na

comu-nidade, mas principalmente pela forma como os amigos est˜ao conectados entre si.

Os

lac¸os

sociais

entre

os

usu´arios

tˆem

sido

amplamente

ex-plorado

em

redes

m´oveis

oportunistas

de

modo

a

favorecer

os

servic¸os

de

rede.

Os

problemas

considerados

v˜ao

desde

o

encam-inhamento

de

mensagens

multi-hop

[Hui et al. 2008,

Mtibaa et al. 2010,

Mary Schurgot and Cristina Comaniciu and Katia Jaffr`es-Runser 2012]

e

multicast-ing

, a seguranc¸a da rede [Conti et al. 2010]. Em [Hui et al. 2008, Mtibaa et al. 2010],

por exemplo, os autores utilizam m´etricas sociais derivadas de comunicac¸˜oes entre

os usu´arios para melhorar a eficiˆencia das decis˜oes de encaminhamento oportunistas

e limitando, simultaneamente, a sobrecarga da comunicac¸˜ao.

Todas as obras acima

tentar explorar a regularidade e os repetidos padr˜oes espac¸o-temporais esperado no

comportamento humano e tendem a ignorar as ligac¸˜oes aleat´orias ou n˜ao-sociais entre os

usu´arios m´oveis. Em vez disso, focamos na an´alise simultˆanea das relac¸˜oes aleat´orias e

social entre os indiv´ıduos.

At´e o alcance do nosso conhecimento, [Miklas et al. 2007] e [Zyba et al. 2011]

s˜ao

os

trabalhos

mais

estreitamente

relacionados

com

o

apresentado

aqui.

[Zyba et al. 2011] distingue usu´arios sociais e itinerantes de acordo com seu

com-portamento de mobilidade: regularidade ou durac¸˜ao das visitas em uma determinada

´area. [Miklas et al. 2007] classifica as arestas entre amigos e desconhecidos, sendo que

encontros frequentes entre pares de n´os caracterizam interac¸˜oes de amizade. Os autores

definiram empiricamente que indiv´ıduos que se encontraram 10 dias ou mais dos 101

dias s˜ao amigos, outros s˜ao estranhos. Neste trabalho usamos redes aleat´orias para definir

o limite que separa relac¸˜oes sociais de aleat´orias.

3. Modelagem

3.1. Fundamentos

Dentre as principais caracter´ısticas verificadas em redes sociais reais, destaca-se

a presenc¸a de comunidades, que s˜ao grupos de indiv´ıduos fortemente

conecta-dos entre si porque compartilham os mesmos interesses ou dinˆamicas de

ativi-dades [Backstrom et al. 2006a, Kumar et al. 2006]. A formac¸˜ao dessas comuniativi-dades s´o ´e

poss´ıvel porque a criac¸˜ao das arestas reflete as decis˜oes sociais dos indiv´ıduos, que

geral-mente s˜ao regulares e tendem a se repetir. Por outro lado, em uma rede aleat´oria as arestas

s˜ao criadas independentemente dos atributos de cada n´o, ou seja, um n´o i tem a mesma

probabilidade p de se conectar a qualquer outro n´o j da rede.

Assim, uma m´etrica interessante para diferenciar uma rede aleat´oria de uma rede

social ´e o coeficiente de aglomerac¸˜ao da rede. O coeficiente de aglomerac¸˜ao cc

i

de um n´o

i caracteriza a densidade de conex˜oes pr´oximas a i. Mais especificamente, ele mede

a probabilidade de dois vizinhos do n´o i serem conectados entre si [Newman 2003].

Ele ´e calculado dividindo o n´umero total de arestas que existe entre os vizinhos do n´o

i pelo n´umero de arestas poss´ıvel entre eles. O coeficiente de agrupamento da rede

´e a m´edia cc

i

,

∀i ∈ V .

Por causa da existˆencia de comunidades, as redes sociais

tˆem um coeficiente de aglomerac¸˜ao alto, enquanto uma rede aleat´oria tem um

coefi-ciente de aglomerac¸˜ao baixo, uma vez que as arestas s˜ao uniformemente distribu´ıdas na

rede [Watts and Strogatz 1998]. No restante deste trabalho, esse conceito ´e usado para

diferenciar redes aleat´orias de redes sociais.

3.2. Redes Complexas baseadas em Decis˜ao

A principal caracter´ıstica das RCBDs ´e que as interac¸˜oes entre as suas entidades s˜ao,

geralmente, consequˆencia de decis˜oes semi-racionais. Escreve-se “normalmente” e

de-cis˜oes “semi-racionais” porque qualquer sistema est´a sujeito a eventos aleat´orios e

es-colhas irracionais. No entanto, uma vez que a maioria das interac¸˜oes ainda decorrem

de decis˜oes conscientes feitas por suas entidades, a evoluc¸˜ao de RCBDs ´e

significativa-mente diferente da evoluc¸˜ao de redes aleat´orias como, por exemplo, redes de Erd¨os and

R´enyi [Erd¨os and R´enyi 1960]. Assim, enquanto em uma RCBD as arestas s˜ao geradas

a partir de decis˜oes semi-racionais, que tendem a ser regulares e a se repetir, em uma

rede aleat´oria as arestas s˜ao geradas independentemente dos atributos dos n´os, ou seja, a

probabilidade de dois n´os se conectarem ´e constante.

Considere, por exemplo, uma rede de pessoas e suas rotinas de mobilidade. Uma

interac¸˜ao entre duas pessoas ocorre se elas se encontram. Se Silva e Moreira trabalham

no mesmo escrit´orio e suas horas de trabalho s˜ao de 8:00 `as 18:00, pode-se prever

facil-mente que uma interac¸˜ao entre Silva e Moreira ir´a ocorrer em torno de 8:00 durante os

dias da semana. Entretanto, se o propriet´ario da empresa decide alterar o hor´ario de

tra-balho para de 12:00 `as 20:00, ent˜ao ´e quase certo que essa interac¸˜ao tamb´em se mover´a

diariamente para 12:00. Tudo isso ´e baseado no fato de que acreditamos fortemente que

tanto Silva quanto Moreira decidir˜ao ir ao trabalho todos os dias pontualmente, j´a que

este ´e, provavelmente, a decis˜ao racional para se tomar.

Por outro lado, a maioria dos cen´arios est´a sujeita a eventos aleat´orios que podem

desviar o comportamento esperado dos agentes. No exemplo anterior, Silva pode esquecer

da mudanc¸a de hor´ario da empresa e chegar ao trabalho no mesmo hor´ario como antes,

ou seja, `as 8:00. Al´em disso, ele poderia ficar preso no trˆansito e se atrasar. O fato ´e que,

apesar de decis˜oes racionais serem regulares, as decis˜oes aleat´orias podem muitas vezes

ocorrer tamb´em.

Formalmente, um agente pode executar uma decis˜ao social D

s

ou uma decis˜ao

aleat´oria D

a

. Ele tem uma probabilidade p

s

da execuc¸˜ao de uma decis˜ao social D

s

e

uma probabilidade p

r

= 1 − p

s

da execuc¸˜ao de uma decis˜ao aleat´oria D

a

. Intuitivamente,

quando p

s

$ p

r

, a rede normalmente evolui para uma rede social bem estruturada, com

a presenc¸a de todas as caracter´ısticas comuns de uma rede social vistas na sec¸˜ao 2, tais

como a presenc¸a de comunidades e hubs. Por outro lado, quando p

r

$ p

s

, a rede

nor-malmente desenvolve caracter´ısticas de uma rede aleat´oria, como as redes de Erd¨os e

R´enyi [Erd¨os and R´enyi 1960].

Este trabalho analisa trˆes conjuntos de dados p´ublicos de mobilidade. O

con-junto de dados da Universidade de Dartmouth [Henderson et al. 2004] (rede

Dart-mouth), que cont´em registros de mobilidade de mais de mil pessoas dentro do

cam-pus de Dartmouth, durante mais de oito semanas. O conjunto de dados do camcam-pus da

USC [jen Hsu and Helmy 2005] (rede USC), que tamb´em cont´em registros de

mobili-dade em um cen´ario de campus universit´ario, com mais de quatro mil indiv´ıduos durante

mais de oito semanas. Finalmente, o conjunto de dados de mobilidade de t´axis em S˜ao

Francisco (EUA) [Rojas et al. 2005] (rede T´axi), que cont´em registros da mobilidade de

551 t´axis dentro da cidade, durante quatro semanas. Em todos os casos analisamos as

ocorrˆencias de contato entre dois indiv´ıduos, onde para cada evento ´e registrado o inicio

e a durac¸˜ao do contato, todos na precis˜ao de segundos. Nos registros de Dartmouth e

USC, dois indiv´ıduos est˜ao em contato se eles est˜ao usando o mesmo ponto de acesso

sem fio(wireless access point) para se conectar `a rede do campus. Nos registros de t´axi,

dois indiv´ıduos est˜ao em contato se a distˆancia for inferior a 250 metros, que ´e o alcance

m´aximo de uma rede padr˜ao IEEE

802.11 [Piorkowski et al. 2009]. Mais detalhes dos

conjuntos de dados que utilizamos neste trabalho s˜ao descritos na tabela 3.2.

Conjunto de Dados

Referˆencia

Local

Tamanho

N ´umero de Agentes

Dartmouth

[Henderson et al. 2004]

Campus universit´ario

700MB

1156

USC

[jen Hsu and Helmy 2005]

Campus universit´ario

160MB

4558

Taxi

[Rojas et al. 2005]

Cidade

161MB

551

Table 1. Conjunto de dados usados neste trabalho.

3.3. Grafo de Mobilidade

Neste trabalho, um cen´ario de mobilidade ´e modelado a partir de um grafo G

t

(V

t

, E

t

),

em que o conjunto de v´ertices V

t

cont´em os indiv´ıduos que est˜ao nos registros da base

de dados antes do tempo t e o conjunto de arestas E

t

representa todos os encontros que

aconteceram antes do tempo t. Assim, esse grafo evolui ao longo do tempo e considera

tanto os encontros rotineiros quanto os encontros aleat´orios entre dois indiv´ıduos. A

figura 1 mostra retratos dessas redes em um dado intervalo de tempo. Observe como ´e

dif´ıcil comparar as redes usando somente a visualizac¸˜ao.

459 498 623 589 671 212 213 272 798 554 841 717 389 270 935 218 719 720 408 298 721 295 346 299 684 874 1018 296 683 463 571 458 742 462 630 1031 588 736 724 460 461 464 390 403 214 222 273 1012 1117 1111 625 225 910 762 759 743 594 646 763 364 406 274 271 642 409 898 595 413 722 472 410 216 756 73 411 331 276 414 419 664 520 494 365 468 327 372 264 266 574 368 1140 40 542 506 505 691 261 243 1019 259 696 634 976 927 709 620 729 873 525 499 226 846 491 760 1122 621 820 619 516 356 228 398 1121 807 519 533 147 145 90 91 92 60 593 1097 603 553 733 628 208 1080 148 392 443 395 551 694 93 182 1103 1089 399 402 275 878 1011 219 221 401 223 562 824 224 220 95 58 51 26 906 454 635 452 442 352 405 451 363 530 325 329 330 351 448 353 465 761 567 366 767 707 404 693 652 453 350 564 407 421 321 566 780 538 348 344 669 565 466 388 345 885 52 56 433 146 339 436 1030 753 867 473 1106 397 475 778 139 836 645 842 641 385 391 438 301 183 394 833 994 209 89 59 54 563 633 57 541 556 1137 393 521 387 569 1099 786 27 480 108 210 483 432 107 25 300 552 990 386 94 501 757 544 53 181 113 251 703 17 718 570 1051 24 422 384 1119 434 610 97 98 1084 338 417 725 755 420 416 332 354 792 322 415 714 253 983 607 418 524 1085 1136 700 437 929 471 359 349 227 252 412 1102 936 1020 478 815 255 559 250 75 76 1144 470 612 45 682 14 211 245 469 668 248 697 558 555 539 883 528 666 246 572 244 587 673 217 74 308 978 744 477 170 247 648 307 1139 240 233 1077 1132 984 1079 1037 890 784 706 134 1049 1044 972 998 968 997 1057 1008 973 949 1128 893 881 698 632 613 194 174 754 197 617 192 193 1126 199 63 1093 980 989 1092 1053 933 962 963 904 100 1101 191 198 1060 62 817 749 195 654 663 61 667 176 49 47 1024 1039 1023 1041 1043 1112 832 818 986 203 309 120 202 172 802 839 631 48 772 10 808 104 522 606 796 810 827 811 537 376 546 102 109 781 1067 930 728 72 912 860 69 866 144 455 7 143 456 337 937 954 941 921 801 1016 1052 788 819 1109 864 969 1094 747 800 995 901 215 971 1064 879 312 1133 911 905 1134 799 160 692 779 923 942 985 880 917 1061 987 909 914 925 946 876 887 230 1046 965 953 957 1070 1054 1091 1090 695 624 130 886 907 1108 1069 1129 1071 979 1006 1050 1032 849 764 582 903 888 1015 961 869 78 531 858 532 902 116 622 848 1038 1058 1042 1074 899 863 875 889 1025 1096 605 891 1027 1073 967 872 1026 897 592 1086 136 1098 1075 1048 1059 992 993 951 926 882 812 585 579 644 805 583 581 138 573 302 782 679 293 189 188 545 789 497 314 440 870 484 28 106 711 847 659 726 495 602 599 105 55 486 732 335 804 1000 439 441 292 184 1004 826 101 166 249 305 787 1095 966 727 731 591 511 256 167 16 23 396 1062 96 575 435 615 474 207 481 638 751 400 716 313 119 675 741 549 319 317 304 242 1047 1056 1124 837 626 232 79 794 918 939 996 590 932 838 131 828 865 1081 795 944 752 814 956 1029 1055 1040 1034 1009 938 896 734 660 449 77 311 168 231 959 601 1123 1063 947 132 135 71 457 831 677 662 1068 977 931 1013 970 861 862 908 535 241 280 1065 735 892 900 934 955 269 974 158 686 845 825 1114 190 608 702 1028 234 920 450 924 1100 649 597 821 1105 964 284 586 550 279 68 1066 1113 424 1045 114 46 518 361 793 681 916 982 238 112 103 277 1135 665 857 816 557 2 254 636 467 527 851 303 67 165 257 482 710 806 922 1104 1017 111 180 1143 737 514 87 658 1125 140 738 200 178 84 50 13 187 141 110 500 526 320 37 31 1107 1001 196 175 121 758 1110 676 1002 853 173 33 34 1118 627 653 1115 1141 643 766 177 561 797 529 122 118 80 126 124 179 1120 81 64 713 576 29 128 127 988 640 129 32 650 803 86 750 85 699 740 503 723 560 1021 548 82 35 8 204 685 769 765 485 670 730 513 88 83 9 11 958 201 877 315 316 12 30 614 310 123 36 504 496 479 125 791 294 770 206 507 336 1130 748 185 15 186 577 629 809 476 639 205 318 142 306 374 534 429 773 783 377 281 950 829 578 840 164 844 1033 161 163 913 1036 1035 945 1116 1014 715 1078 162 580 133 704 871 159 855 948 919 952 169 768 854 999 689 991 428 975 382 383 380 584 1003 1087 672 1007 137 852 291 894 509 1082 708 367 70 536 512 604 775 362 357 283 278 117 598 289 358 423 510 355 637 609 150 154 600 286 746 489 674 66 22 655 235 237 341 99 739 156 618 149 611 19 285 493 488 777 1131 771 490 155 6 785 430 1083 236 157 20 1076 239 360 21 5 1 830 835 823 822 884 378 379 381 540 680 282 688 1142 1072 508 515 523 745 895 1005 288 517 960 65 426 1138 678 705 1088 981 267 0 444 4 834 843 868 856 712 427 425 375 373 370 369 543 1127 262 263 43 940 41 268 260 44 258 3 568 813 229 647 928 850 265 39 38 502 943 446 447 333 334 371 690 687 492 776 774 431 790 297 661 701 323 343 326 324 651 340 342 328 487 596 171 656 347 1010 616 915 445 287 859 153 547 152 151 115 290 657 18 1022 42

(a) Dartmouth, 1 semana

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752 496 2618 3274 2649 1730 2987 2837 517 484 1 1337 2548 2155 1529 3160 2766 2520 1350 378 111 4 3017 3127 1108 755 579 696 2789 1239 3172 3163 891 1496 1413 2608 1157 1916 1043 815 606 745 487 1089 2566 1203 2032 1649 1922 2464 511 85 1567 1465 3002 2406 1389 932 138 67 2271 2108 1588 123 1385 2291 2080 2481 75 321 1422 2505 2394 1838 2490 3026 952 778 374 2412 737 3308 1582 1235 1543 744 271 2527 2652 2752 2085 1532 2109 499 529 1467 2228 1805 2405 2345 3131 1173 128 60 1053 1612 844 2822 1873 463 1501 331 332 1478 1166 2794 1405 1018 1442 33 35 37 3291 1305 857 875 53 31 3320 1395 2843 1463 347 1836 1277 1291 2879 1273 2656 909 587 837 114 236 1019 1643 2894 878 65 762 2750 127 2921 1663 2948 2989 1288 922 859 472 281 1174 1164 1971 918 2870 1328 2973 883 759 307 829 942 1323 1133 548 1935 1274 1749 597 728 2212 1866 2288 2141 938 661 614 379 352 3029 2426 2498 921 2979 1796 2776 1633 881 581 3169 841 1650 2190 1332 3292 621 479 520 290 1392 1809 1615 995 526 3187 946 1620 3210 103 2914 2487 2265 2120 1732 2807 3133 2088 308 1719 1810 1741 3075 1449 3162 1760 2905 2676 2044 1832 1607 828 817 419 2637 3161 1715 2777 3171 1824 1772 1234 1710 1888 1683 3071 3149 2686 1513 1542 2104 1902 1693 1727 1016 930 577 2495 2603 3318 1561 955 3077 1883 1978 1875 2281 1261 348 113 145 928 1230 3050 493 181 1631 2614 2560 3061 1375 1156 1397 1514 1592 1376 1418 2022 266 2007 3289 1143 2719 2557 2727 700 905 3201 662 2103 3204 1598 1403 2699 2651 733 1534 1221 1687 1874 2387 1724 2957 2529 2091 1712 221 1360 861 625 354 210 2262 1510 2167 1790 941 1051 1827 3119 1657 2090 2340 1111 287 1623 3155 2578 2642 2990 2595 2299 2324 1325 1318 1315 570 1931 2593 2118 2404 1417 1253 854 760 593 299 342 2373 2499 2810 1073 2555 1060 360 357 298 2647 2322 1275 680 992 1629 407 295 98 2950 2717 2544 2758 2541 2688 2524 2331 2488 2553 2097 2335 990 2106 2451 2615 1638 1228 1308 2454 2482 2755 2428 2891 2514 3270 2565 1415 800 2666 1423 2620 2612 2508 1624 1645 1282 1303 648 2493 2568 3231 2472 2653 2579 3019 1294 1356 1259 634 1374 3049 1380 2440 2729 679 1887 580 890 2057 756 1999 824 1611 0 1590 485 1170 2248 2588 2549 2663 1064 274 1312 1572 1506 1524 2661 1026 836 445 314 108 1802 2282 1407 64 1758 40 11 3215 2101 1003 1210 1616 66 1314 2082 1880 2443 865 610 2475 1366 2159 1438 917 1319 569 2008 1503 2163 1077 1519 3205 3009 1149 303 1091 1284 1777 1459 501 327 523 6 908 1555 1347 1036 185 901 929 1589 1717 1349 2667 42 1826 3116 2857 2848 2841 1006 843 2186 1762 3126 1533 125 1099 1378 831 2748 2025 1281 70 1653 2880 2866 1921

(b) USC, 1 semana

274 371 236 511 35 482 323 539 347 543 120 98 19 16 13 227 216 189 355 439 44 53 81 191 524 175 122 99 205 512 497 125 299 386 538 341 479 535 194 93 29 276 315 364 414 506 370 475 468 314 416 288 332 343 459 457 397 178 239 328 181 445 173 504 478 228 513 258 54 26 27 211 238 310 349 193 137 78 15 3 161 231 221 284 281 133 50 17 9 183 73 384 271 233 58 222 454 37 23 412 518 514 392 452 337 292 241 79 46 30 403 393 435 369 297 242 199 203 88 404 458 361 492 313 223 208 201 49 12 63 249 85 473 449 407 423 363 408 446 474 428 252 184 141 4 499 266 356 280 505 444 165 151 74 406 383 157 286 42 182 20 531 542 429 263 158 196 325 267 365 421 526 304 420 336 508 160 146 31 11 275 489 334 72 527 59 298 226 76 498 247 354 401 324 278 206 138 75 77 66 25 188 424 348 516 316 493 174 131 64 34 301 388 210 360 385 186 123 82 65 121 486 270 187 139 434 395 517 117 476 491 285 330 214 179 38 24 212 507 198 305 481 277 311 494 145 153 389 115 219 467 269 372 366 381 312 456 245 113 83 91 326 220 197 261 112 338 295 95 86 60 373 471 519 279 377 549 487 352 62 319 243 440 455 213 180 218 171 132 447 480 36 2 207 402 118 260 501 378 462 307 240 333 89 318 309 537 170 126 427 142 396 541 41 14 190 71 209 460 391 107 148 39 164 451 308 450 411 94 431 342 256 172 200 143 106 6 485 147 490 101 124 287 159 425 488 464 244 410 47 399 466 327 70 135 119 109 345 90 152 351 430 84 443 306 442 136 437 375 114 111 1 426 232 272 215 217 110 87 472 250 293 368 346 530 32 69 533 144 264 441 57 28 7 5 225 128 166 470 251 154 130 51 21 546 398 273 532 67 545 100 540 45 10 350 163 382 415 259 510 167 387 61 22 495 149 134 544 436 254 68 463 419 339 422 320 469 52 322 296 290 405 379 357 80 43 359 358 417 302 374 432 55 262 204 331 230 484 418 155 105 33 8 394 521 509 380 255 168 496 224 550 522 335 548 536 515 525 551 234 483 503 257 340 321 529 185 48

(c) Taxi, 100 minutos

Figure 1. Retratos das redes em um dado intervalo de tempo.

O peso w

t

(i, j) de uma aresta (i, j) ´e modelado como a persistˆencia dessa aresta

desde o tempo inicial

1 at´e o tempo corrente t [Hidalgo and Rodriguez-Sickert 2008].

Nos conjuntos de dados de Dartmouth e da USC, um intervalo de tempo ´e o per´ıodo de

24 horas. No conjunto de dados dos t´axis, um intervalo de tempo ´e de quatro horas. Por

exemplo, no conjunto de dados de Dartmouth, considerando que os n´os i e j se reuniram

em 15 dias dos ´ultimos 30 dias, ent˜ao a persistˆencia da aresta w

30days

(i, j) = 0.5, ou seja,

em

50% dos ´ultimos 30 dias, os n´os i e j se encontraram. A grande vantagem de modelar

o peso da aresta como a persistˆencia em vez de, por exemplo, a durac¸˜ao agregada do

contato ´e que, com a persistˆencia, ´e poss´ıvel detectar relac¸˜oes regulares e de rotina entre

dois indiv´ıduos.

O primeiro passo para analisar os padr˜oes de mobilidade do grafo G

t

(V

t

, E

t

) ´e

construir a vers˜ao aleat´oria G

R

_t

(V

t

, E

t

R

) do mesmo. Essa vers˜ao aleat´oria deve conter as

mesmas caracter´ısticas topol´ogicas do grafo real, ou seja, o mesmo n´umero de n´os, arestas

e distribuic¸˜ao emp´ırica do grau. Dessa maneira, a ´unica diferenc¸a entre G

t

e G

R

t

est´a nas

conex˜oes entre os n´os. Enquanto em G

t

os n´os se conectam “semi-racionalmente”, em

G

R

t

a conex˜ao ´e feita de forma puramente aleat´oria. Isso permite verificar com exatid˜ao a

extens˜ao da aleatoriedade na mobilidade dos indiv´ıduos nos cen´arios analisados.

3.4. Gerac¸˜ao do Grafo Aleat´orio

Para construir G

R

, ´e proposto o uso de um algoritmo de urna t˜ao comum na gerac¸˜ao de

estruturas aleat´orias [Johnson and Kotz 1977]. O primeiro passo do algoritmo ´e colocar

na urna, para cada n´o n

i

, d

i

“bolas” marcadas com o identificador i do n´o, sendo d

i

o

grau do n´o n

i

. Depois disso, retira-se aleatoriamente da urna duas bolas b

i

e b

j

que est˜ao

marcadas com os identificadores i e j dos n´os n

i

e n

j

. Se i %= j e n˜ao h´a uma aresta

(i, j) em G

R

_{, ent˜ao os n´os n}

i

e n

j

s˜ao conectados em G

R

. Esse passo ´e repetido at´e que

(i) a urna esteja vazia ou que (ii) n˜ao seja mais poss´ıvel conectar os n´os que est˜ao na

urna. Quando n˜ao ´e mais poss´ıvel conectar os n´os que est˜ao na urna, h´a uma diferenc¸a

!

≈

0.001% entre o n´umero de arestas de G e de G

_R

, o que consideramos insignificante.

Uma an´alise mais detalhada sobre ! deixamos como trabalho futuro. Todo o procedimento

de gerac¸˜ao de grafos aleat´orios ´e descrito no Algoritmo 1.

Algorithm 1 : Gerando um Grafo Aleat´orio G

R

a partir de G

1:

2:

procedimento G

ERA

G

RAFO

A

LEATORIO

(G)

3:

para todos n´os

n

i

∈

G fac¸a

4:

para

j = 1 → d

i

fac¸a

5:

urna.adiciona(

j)

6:

fim para

7:

fim para

8:

tentativa

←

0;

9:

enquanto !urna.vazia() e tentativa

< 1000 fac¸a

10:

i ← urna.removeAleatorio();

11:

j ← urna.removeAleatorio();

12:

se

i $= j and !G.aresta(i,j) ent˜ao

13:

G

R

.conecta(i,j);

14:

tentativa

←

0;

15:

sen˜ao

16:

urna.adiciona(

i);

17:

urna.adiciona(

j);

18:

tentativa

← tentativa

+1;

19:

fim se

20:

fim enquanto

21:

!

←urna.tamanho()

/2 × G.numArestas()

22:

fim procedimento

A partir desse algoritmo pode-se gerar um grafo aleat´orio G

R

a partir de

qual-quer grafo G. No entanto, neste trabalho s˜ao analisados grafos temporais do tipo G

t

que

evoluem `a medida que encontros entre indiv´ıduos ocorrem. Como nenhuma aresta ´e

re-movida de G

t

e novos encontros s˜ao sempre agregados, ent˜ao

|E

t+1

| > |E

t

|. Assim,

para construir um grafo aleat´orio temporal G

R

_t

, decompomos G

t

em t grafos de eventos

G

1

,

G

2

, ...,

G

t

, em que cada grafo de evento

G

t

cont´em somente os eventos que ocorreram

entre os tempos t −

1 e t. Assim, G

t

= {G

1

∪

G

2

∪ ... ∪

G

t

}.

Para gerar o grafo temporal aleat´orio G

R

_t

com as devidas persistˆencias aleat´orias

nas arestas, executa-se o Algoritmo 1 em cada grafo de evento

G

t

, criando assim o

corres-pondente grafo aleat´orio de evento

G

R

t

. Assim, o grafo G

R

t

nada mais ´e que a uni˜ao dos

grafos aleat´orios de eventos , G

R

_t

= {G

R

1

∪G

2

R

∪...∪G

t

R

}. O peso, ou persistˆencia, aleat´orio

de uma aresta

(i, j) ∈ E

R

t

´e calculado dividindo o n´umero de vezes que

(i, j) apareceu nos

grafos aleat´orios de eventos

G

1

,

G

2

, ...,

G

t

por t. A comparac¸˜ao da persistˆencia real dos

en-contros com a persistˆencia aleat´oria permite, por exemplo, verificar a probabilidade de um

encontro entre dois n´os i e j ocorrer x vezes aleatoriamente em um determinado cen´ario

de mobilidade.

4. Aplicac¸˜oes

4.1. Classificac¸˜ao

Atrav´es da comparac¸˜ao de G

t

com G

R

t

´e poss´ıvel quantificar a probabilidade de uma

de-terminada persistˆencia de uma aresta w(i, j) ser consequˆencia da aleatoriedade de eventos

ou de uma relac¸˜ao social real. Como os conjuntos de dados de Dartmouth e USC tˆem oito

semanas de registros de mobilidade, usaremos as primeiras sete semanas (base de treino)

para classificar as arestas e a ´ultima semana (base de teste) para verificar a eficiˆencia da

classificac¸˜ao. Na base de t´axis, que cont´em quatro semanas de dados, ´e mantida a mesma

base de testes de uma semana, ficando trˆes semanas para a base de treino. No final da base

de treino, h´a

175722 arestas na rede de Dartmouth, 1287992 arestas na rede USC rede e

142332 arestas da rede T´axi.

A figura 2 mostra a distribuic¸˜ao cumulativa complementar da persistˆencia das

arestas tanto para a rede real G

t

quanto para a sua correspondente aleat´oria G

R

t

, em que

t varia at´e o fim da base de treino. Pode-se observar na figura 2-a que, para o conjunto

de dados Dartmouth, as probabilidades de ter valores elevados de persistˆencia ´e ordens de

magnitude menor para a rede aleat´oria em comparac¸˜ao com a rede real. De fato, enquanto

para a rede de Dartmouth a persistˆencia das arestas ´e quase uniformemente distribu´ıda,

para a sua rede aleat´oria correspondente n˜ao existem arestas com persistˆencia superior a

0, 4. Por outro lado, observa-se na figura 2-b que, para o conjunto de dados USC h´a uma

diferenc¸a significativa apenas para altos valores. Isso indica que no cen´ario USC a

mo-bilidade ´e superior `a do cen´ario Dartmouth, favorecendo constantes encontros aleat´orios.

Finalmente, para o conjunto de dados T´axi, as distribuic¸˜oes de persistˆencia das arestas s˜ao

praticamente as mesmas. Nesse cen´ario, uma vez que a mobilidade ´e significativamente

alta, mesmo aleatoriamente pode-se ter uma persistˆencia de

100%.

Como mencionado na Sec¸˜ao 3.1, o coeficiente de agrupamento de uma rede ´e

uma m´etrica interessante para verificar o qu˜ao social ou aleat´oria ´e a rede. Portanto,

a figura 3 mostra o comportamento do coeficiente de agrupamento para as trˆes redes

analisadas G

t

e seus correspondentes aleat´orios G

R

t

ao longo do tempo. A figura 3-a

indica que, para o conjunto de dados Dartmouth, nos primeiros dias o coeficiente de

aglomerac¸˜ao de G e G

R

´e diferente em ordens de magnitude. No entanto, ao longo

0

0.5

1

10

−6

10

−4

10

−2

10

0

Persistence

P(X

>

Pe

rs

is

te

n

c

e

)

real

random

(a) Dartmouth

0

0.5

1

10

−6

10

−4

10

−2

10

0

Persistence

P(X

>

Pe

rs

is

te

n

c

e

)

real

random

(b) USC

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

−6

10

−4

10

−2

10

0

Persistence

P(X

>

Pe

rs

is

te

n

c

e

)

real

random

(c) Taxi

Figure 2. Distribuic¸ ˜ao da persist ˆencia de aresta (peso da aresta) para as tr ˆes redes

anal-isadas Gs e suas correspondentes aleat ´orias G

R

s.

do tempo os seus valores se tornam mais pr´oximos, j´a que mais encontros aleat´orios

ocorrem. Por outro lado, como vemos na figura 3-b, os coeficientes de aglomerac¸˜ao

de G e G

R

para o conjunto de dados USC s˜ao quase constantes ao longo do tempo. No

entanto, a diferenc¸a entre eles n˜ao ´e t˜ao significativa quanto na rede Dartmouth, possuindo

a mesma ordem de magnitude. Finalmente, os coeficientes de agrupamento das redes de

t´axi s˜ao praticamente os mesmos, como observa-se na figura 3-c. Isso, juntamente com

o resultado mostrado na figura 2-c, indica que G e G

R

s˜ao muito semelhantes para o

conjunto de dados T´axi, ou seja, nesse caso p

r

$ p

s

. Isso faz sentido j´a que as decis˜oes

tomadas pelos t´axis dependem da decis˜ao do indiv´ıduo que ´e levado por eles e, uma vez

que t´axis coletam indiv´ıduos ao acaso na rua, p

r

$ p

s

. Por isso, a partir de agora s´o ser˜ao

analisados os conjuntos de dados de Dartmouth e USC.

0

10

20

30

40

0

0.2

0.4

0.6

0.8

time (days)

C

lu

s

te

ri

n

g

C

o

e

ffi

c

ie

n

t

real

random

(a) Dartmouth

0

10

20

30

40

0

0.2

0.4

0.6

0.8

time (days)

C

lu

s

te

ri

n

g

C

o

e

ffi

c

ie

n

t

real

random

(b) USC

0

50

100

150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

time (10 min)

C

lu

s

te

ri

n

g

C

o

e

ffi

c

ie

n

t

real

random

(c) Taxi

Figure 3. Evoluc¸ ˜ao do coeficiente de aglomerac¸ ˜ao das tr ˆes redes analisadas Gs e suas

correspondentes aleat ´orias G

R

s.

Para as redes n˜ao-aleat´orias, ou seja, Dartmouth e USC, pode-se usar as

informac¸˜oes observadas na figura 2 para quantificar a probabilidade p

w

de existir uma

aresta com persistˆencia superior a w e que seja consequˆencia de encontros aleat´orios.

Com isso, pode-se definir um limite T

w

para a persistˆencia de uma aresta

(i, j) de modo

que, se w(i, j) < T

w

, ent˜ao essa aresta ´e classificada como aleat´oria, caso contr´ario, como

social

. Ao observar os valores de

(x, y) da curva aleat´oria na figura 2, pode-se definir um

valor de T

w

que torna a probabilidade p

w

de erroneamente classificar uma aresta aleat´oria

como social suficientemente pequena e aceit´avel para uma determinada aplicac¸˜ao. Por

exemplo, se definirmos T

w

= 0, 4 para a rede de Dartmouth, ent˜ao a probabilidade de

er-roneamente classificar uma aresta aleat´oria como social ´e ≈

0. ´E importante ressaltar que

esse m´etodo ´e capaz de estimar a taxa de erros do tipo falso positivo para a classificac¸˜ao