ECE1-B 2015-2016
I. Inversion : présentation par systèmes linéaires
On considère la matrice Asuivante.
A=
−1 4 −2 2 −11 −4
−3 18 11
On va montrer que cette matrice est inversible et calculer son inverse en utilisant la présentation « opérations élémentaires sur systèmes linéaires ».
- 1 x1 + 4 x2 - 2 x3 = 2 x1 - 11 x2 - 4 x3 = - 3 x1 + 18 x2 + 11 x3 =
y1
y2
y3
On réalise alors :
L2 ←L2+ 2L1
L3 ←L3−3L1
- x1 + 4 x2 - 2 x3 = - 3 x2 - 8 x3 = + 6 x2 + 17 x3 =
y1
2 y1 + y2
- 3 y1 + y3
On réalise alors :
L3 ←L3+ 2L2
x1 x2 x3 = x1 x2 x3 = x1 x2 x3 =
y1 y2 y3
y1 y2 y3
y1 y2 y3
On réalise alors :
L2 ←L2+ 8L3
L1 ←L1+ 2L3
x1 x2 x3 = x1 x2 x3 = x1 x2 x3 =
y1 y2 y3
y1 y2 y3 y1 y2 y3
II. Inversion : présentation par calcul matriciel
On considère la matriceA suivante.
A=
−1 4 −2 2 −11 −4
−3 18 11
On va montrer que cette matrice est inversible et calculer son inverse en utilisant la présentation « opérations élémentaires sur matrices ».
-1 4 -2
2 -11 -4
-3 18 11
1 0 0
0 1 0
0 0 1
On réalise alors :
L2 ←L2+ 2L1
L3 ←L3−3L1
-1 4 -2
0 -3 -8
0 6 17
1 0 0
2 1 0
-3 0 1
On réalise alors :
L3 ←L3+ 2L2
On réalise alors :
L2 ←L2+ 8L3
L1 ←L1+ 2L3
1
ECE1-B 2015-2016
On réalise alors :
L1 ←3L1+ 4L2
x1 x2 x3 = x1 x2 x3 = x1 x2 x3 =
y1 y2 y3 y1 y2 y3
y1 y2 y3
On réalise alors :
L1 ← −13L1
L2 ← −13L2
x1 x2 x3 = x1 x2 x3 = x1 x2 x3 =
y1 y2 y3
y1 y2 y3
y1 y2 y3
On en conclut que la matrice A est inversible, d’inverse :
A−1 = 1 3
Mesure de vérification Inverser une matrice demande toute une série de calculs. Ces calculs sont souvent peu compliqués mais leur nombre fait que les erreurs sont fréquentes. Une fois l’inverse obtenu par calcul, il convient donc de vérifier ce résultat (au brouillon !).
A×A−1 =
On réalise alors :
L1 ←3L1+ 4L2
On réalise alors :
L1 ← −13L1
L2 ← −13L2
On en conclut que la matrice Aest inversible, d’inverse :
A−1 = 1 3
Mesure de vérification Inverser une matrice demande toute une série de calculs. Ces calculs sont souvent peu compliqués mais leur nombre fait que les erreurs sont fréquentes. Une fois l’inverse obtenu par calcul, il convient donc de vérifier ce résultat (au brouillon !).
A×A−1 =
2
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II.1. Un autre exemple On considère la matrice B suivante.
B =
−1 −1 −1
1 1 2
−2 −3 −2
On va montrer que cette matrice est inversible et calculer son inverse en utilisant la présentation « opérations élémentaires sur matrices ».
- x1 - x2 - x3 =
x1 + x2 + 2 x3 = -2 x1 - 3 x2 - 2 x3 =
y1
y2
y3
On réalise alors :
- x1 - x2 - x3 =
+ x3 =
- x2 =
y1
y1 + y2
-2 y1 + y3
On réalise alors :
- x1 - x2 - x3 =
- x2 =
+ x3 =
y1
-2 y1 + y3
y1 + y2
On réalise alors :
- x1 - x2 =
- x2 =
+ x3 =
2 y1 + y2
-2 y1 + y3
y1 + y2
II.2. Un autre exemple On considère la matriceB suivante.
B=
−1 −1 −1
1 1 2
−2 −3 −2
On va montrer que cette matrice est inversible et calculer son inverse en utilisant la présentation « opérations élémentaires sur matrices ».
-1 -1 -1
1 1 2
-2 -3 -2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
On réalise alors :
-1 -1 -1
0 0 1
0 -1 0
1 0 0
1 1 0
-2 0 1
On réalise alors :
-1 -1 -1
0 -1 0
0 0 1
1 0 0
-2 0 1
1 1 0
On réalise alors :
-1 -1 0
0 -1 0
0 0 1
2 1 0
-2 0 1
1 1 0
3
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On réalise alors :
- x1
- x2 =
+ x3 =
4 y1 + y2 - y3
-2 y1 + y3
y1 + y2
On réalise alors :
x1 =
+ x2 =
+ x3 =
-4 y1 - y2 + y3
2 y1 - y3
y1 + y2 On en conclut que la matrice B est inversible, d’inverse :
B−1 =
-4 -1 1
2 0 -1
1 1 0
Mesure de vérification (au brouillon !)
B×B−1 =
−1 −1 −1
1 1 2
−2 −3 −2
×
−4 −1 1 2 0 −1
1 1 0
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
On réalise alors :
-1 0 0
0 -1 0
0 0 1
4 1 -1
-2 0 1
1 1 0
On réalise alors :
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-4 -1 1
2 0 -1
1 1 0
On en conclut que la matrice B est inversible, d’inverse :
B−1 =
-4 -1 1
2 0 -1
1 1 0
Mesure de vérification (au brouillon !)
B×B−1 =
−1 −1 −1
1 1 2
−2 −3 −2
×
−4 −1 1 2 0 −1
1 1 0
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
4
