Durée : 4 heures
[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2005 \ Génie électronique, électrotechnique, optique
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Une feuille de papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
EXERCICE1 5 points
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct³
O ;−→ u,→−
v´
d’unité 2 cm.
Γest le cercle de centre O et de rayon 1.
A est le point d’affixea= p3
2 −1 2i.
1. Démontrer que le point A appartient au cercleΓ.
2. Soitrla transformation qui, à tout pointMd’affixez, associe le pointM′d’affixez′=e−iπ3z.
a. Démontrer que l’affixebdu point B image de A parrest égal, à−i.
b. Le point B appartient-il au cercleΓ?
c. Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
3. Donner l’affixecdu point C diamétralement opposé au point A sur le cercleΓ.
4. Soit tla transformation du plan qui, à tout point Md’affixe z, associe le pointM′ d’affixe z′=z+
p3 2 −1
2i.
Démontrer que l’affixeddu point D image de C par la transformationtest égale à i.
5. Tracer le cercleΓet placer les points A, B, C, D dans le repère³ O ;−→
u,→− v´
. 6. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
a. Écrire le nombre complexeasous forme exponentielle.
b. Déterminer la forme algébrique dea6. c. Le point d’affixea6appartient-il àΓ?
EXERCICE2 4 points
Un circuit est composé d’une bobine d’inductanceL, mesurée en farads, d’un condensateur de capacité C, mesurée en henrys, et d’un interrupteur. L’unité de temps est la seconde
L C
u(t) i(t)
Baccalauréat STI Génie électrotechnique, génie optique
On sait que :
C=125·10−6et L=200·10−3.
à l’instantt=0, on ferme l’interrupteur, le circuit est alors parcouru par un courant.
On désigne parq(t) la charge, mesurée en coulombs, du condensateur,i(t), l’intensité, mesurée en ampères, du courant qui parcourt le circuit etu(t) la tension, mesurée en volts, aux bornes de la bobine à l’instantt.
À l’instantt=0, la charge du condensateur, mesurée en coulombs, est 10−3et l’intensité du cou- rant qui parcourt le circuit est nulle. On a donc les conditions initiales suivantes : q(0)=10−3et q′(0)=0.
1. On admet que la charge du condensateur est solution de l’équation différentielle (E) : q′′(t)+ 1
LCq(t)=0.
a. Résoudre l’équation différentielle (E).
b. Démontrer que l’unique solution de l’équation différentielle (E) vérifiant les conditions initiales est la fonctionqdéfinie parq(t)=10−3cos(200t) oùtest un réel positif.
2. Les fonctionsi etudéfinies dans le préambule vérifient pour toutt:i(t)= −q′(t) etu(t)=
−L′(t), oùi′est la dérivée dei.
a. Montrer que, pour toutt,u(t)= −8cos(200t).
b. La tension efficace Ueffaux bornes de la bobine est définie par :
(Ueff)2=100 π
Z100π
0 [u(t)]2dt.
Déterminer la valeur exacte de Ueff
µ
on pourra utiliser la relation cos2a=1+cos 2a 2
¶ .
PROBLÈME 11 points
A. étude d’une fonction auxiliaire
On considère la fonctiongdéfinie sur l’ensemble des réels par g(x)=3
2e2x−5ex.
1. Montrer que :g(x)=ex µ3
2ex−5
¶ . 2. Étudier le signe deg(x) surR.
B. Étude def et tracé de sa courbe représentative Soit la fonctionf définie surRpar
f(x)=3
2e2x−5ex−2x+1.
On noteC sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal³ O ;→−
ı,−→
´
d’unités graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.
Métropole 2 septembre 2005
Baccalauréat STI Génie électrotechnique, génie optique
1. Vérifier que pour tout réelx:
f(x)=ex µ3
2ex−5−2x ex + 1
ex
¶ . En déduire la limite def en+∞.
2. a. Déterminer la limite def en−∞.
b. Montrer que la droiteDd’équationy= −2x+1 est une asymptote à la courbeC au voisi- nage de−∞.
c. Montrer que pour tout réelx,g(x)=f(x)−(−2x+1).
En déduire la position de la courbeC par rapport à la droiteDsurR.
3. a. Calculerf′(x) et vérifier que, pour tout réelx, f′(x)=¡
3ex+1¢ ¡ ex−2¢
. b. Étudier le signe def′(x) et dresser le tableau de variations def.
On précisera la valeur exacte du minimum.
4. a. Résoudre dansRl’équation 3e2x−5ex=0.
b. En déduire qu’il existe un unique point A de la courbeC où la tangenteTest parallèle à la droiteD.
5. a. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’intervalle [1 ; 2].
b. Donner un encadrement deαd’amplitude 10−2. 6. Sur une feuille de papier millimètre, tracerD,T etC. C. Calcul d’aire
On considère le domaine∆du plan compris entre la droiteD, la courbeCf et les droites d’équa- tionsx=0 etx=λoùλest un réel strictement négatif.
On noteA(λ) la mesure, exprimée en unités d’aire, de l’aire de ce domaine.
1. Hachurer sur le graphique le domaine∆.
2. Démontrer que, pout tout réel strictement négatifλ, A(λ)=
µ17 4 +3
4e2λ−5eλ
¶ . 3. Calculer lim
λ→−∞
A(λ).
Métropole 3 septembre 2005
