[ Baccalauréat STI Métropole 15 septembre 2011 \ Génie électronique, électrotechnique et optique
EXERCICE1 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct¡
O,→−u,−→v¢ d’unité graphique 2 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument
π 2.
1. Résoudre dans l’ensembleCl’équation (z−2)¡ z2+2p
2z+4¢
=0.
2. On considère le point A d’affixezA=2.
a. Placer A dans le repère¡
O,→−u,−→v¢ .
b. Déterminer l’affixezBdu point B, image de A par la rotation de centre O et d’angle3π
4 .
c. Construire le point B en laissant les traits de construction apparents.
3. Montrer que l’affixezIdu point I, milieu du segment [AB], est égale à 2−p
2
2 +
p2
2 i, puis placer ce point I.
4. Justifier que la demi-droite [OI) est la bissectrice de l’angleAOB ?
5. Quelles sont les mesures en radians des trois angles du triangle AOI ? Justifier la réponse.
6. Calculer la valeur exacte de cos³π 8
´.
EXERCICE2 5 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est deman- dée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’ôte pas de point.
On notera sur la copie le numéro et la lettre de la question, suivis de la réponse choisie.
Une entreprise reçoit un lot de 200 boîtes de guirlandes électriques de 16 types dif- férents. Les boîtes peuvent contenir 1, 2, 3 ou 4 guirlandes. Les guirlandes peuvent être formées de 8, 10, 12 ou 16 ampoules. Le tableau suivant donne la répartition des boîtes suivant le nombre de guirlandes par boîte et le nombre d’ampoules par guirlande. Par exemple, d’après le tableau ci-dessous, il y a 18 boîtes contenant 3 guirlandes de 10 ampoules.
Nombre d’am- poules par guirlande
Nombre de guirlandes par boîte
1 2 3 4
8 9 13 16 6
10 12 15 18 8
12 13 16 15 9
16 11 11 13 15
1. On tire au hasard une boîte dans le lot. On admet qu’en prenant pour univers l’ensemble des boîtes, on est dans une situation d’équiprobabilité.
a. La probabilité d’avoir une boîte qui contient 3 guirlandes est :
0,19 0,225 0,275 0,31
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b. La probabilité d’avoir une boîte qui contient des guirlandes de 16 am- poules ou une boîte qui contient 2 guirlandes, est :
0,47 0,275 0,525 0,25
c. La probabilité d’avoir une boîte qui contient 2 guirlandes ayant au moins 12 ampoules, est :
0,08 0,135 0,2 0,395
2. On note X la variable aléatoire qui, à chaque boîte tirée, associe le nombre d’ampoules par guirlande contenue dans la boîte.
a. Quelle est la probabilité de l’événement (X= 12) ?
0,275 0,31 0,265 0,19
b. Quelle est l’espérance mathématique de la variable aléatoire X ?
0,915 2,465 11,5 11,59
c. Quelle interprétation peut-on donner de l’espérance mathématique de la variable aléatoire X ?
— le nombre moyen de guirlandes par boîte
— le nombre moyen d’ampoules par guirlande dans une boîte
— le gain moyen que l’on peut espérer sur la vente d’une boîte
— le nombre moyen d’ampoules par boîte.
PROBLÈME 10 points
Soitf la fonction définie surRpar
f(x)=(x+3)e−x etΓsa courbe représentative dans le repère orthogonal¡
O,−→ı,−→¢
d’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses, et 1 cm sur l’axe des ordonnées, donnée en ANNEXE à rendre avec la copie.
Partie A : Étude de la fonctionf
1. Déterminer la limite def en−∞.
2. Déterminer la limite def en+∞et donner une interprétation graphique de cette limite.
3. Soitf′la fonction dérivée def, calculerf′(x) et étudier le signe de f′(x) sur R.
4. Établir le tableau de variation de la fonctionf surR.
5. Montrer que l’équation réduite de la tangenteTà la courbeΓau point d’abs- cisse−1 esty=e(1−x).
Partie B : Étude de la position deTpar rapport à Γ Soitgla fonction définie surRpar
g(x)=(x+3)e−x−e(1−x).
On admet quegest strictement croissante surR.
1. Calculerg(−1).
2. En déduire le signe deg(x), puis la position deT par rapport àΓ.
3. Tracer la droiteTsur l’annexe.
Partie C : Calcul d’aire
Métropole 2 15 septembre 2011
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1. a. Déterminer les réelsaetbpour que la fonctionFdéfinie surRpar F(x)=(ax+b)e−xsoit une primitive de la fonctionf surR. b. En déduire une primitiveGde la fonctiongsurR.
2. a. SoitD le domaine limité par la droiteT, la courbeΓ, les droites d’équa- tions x=0 etx=2, et l’axe des abscisses. Hachurer ce domaine sur le graphique.
b. Calculer, en unités d’aires, la valeur exacte de l’aireA du domaineD.
Donner une valeur approchée deA, à 10−2près, exprimée en cm2.
Métropole 3 15 septembre 2011
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ANNEXE à rendre avec la copie
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
1 2 3
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4 →−
ı
−
→ O
Γ
Métropole 4 15 septembre 2011
