Durée : 4 heures
[ Corrigé du baccalauréat STI Polynésie 11 juin 2012 \ Génie électronique, électrotechnique, optique
EXERCICE1 4 points
1.
N
N
N N
R
R N
R
R
N N
R
R N
R
R
N
N N
R
R N
R
R
N N
R
R N
R 2. a. AetCsont des évènements contraires.
b. p(A)= 1
16;p(B)= 1
16 et d’après la question précédentep(C)=1− 1 16=15
16. 3. a. Les valeurs deXsont : 360 ; 390 ; 420 ; 450 ; 480.
b. En utilisant l’arbre on obtient le tableau suivant :
X 360 390 420 450 480
p(X=xi) 161 164 166 164 161
c. On a E(X)=360×161 +390×164 +420×166 +450×164 +480×161 =360+1 560+2 52016 +1 800+480=
6 720
16 =420 (().
EXERCICE2 6 points
1. Calcul du module :|zA|2=¯
¯−2p 3+2i¯
¯2=4×3+4=16=42⇒ |zA| =4.
En factorisant ce module :zA=4 Ã
− p3
2 +i1 2
!
=4¡
cos56π+i sin56π¢
=4e56π. CommezB=zA, on azB=4e−56π.
A et B sont sur le cercle centré en O de rayon 4 ; on place A et B grâce à leurs ordonnées (leurs abscisses étant négatives).
2. a. L’image d’un pointMd’affixezpar la rotation est le pointM′d’affixez′=z×e−π3. Donc zC=zA×e−π3 =4e56π×e−π3 =4e−36π=4eπ2 =4i. C appartient donc à l’axe des ordonnées et a pour ordonnée 4 donc appartient au cercle précédent.
Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique A. P. M. E. P.
b. On a OB = OC = 4.
BA= |zA−zB| = |4i| =4.
Enfin AC= |zC−zA| =¯
¯4i+2p 3−2i¯
¯=¯
¯2p 3+2i¯
¯=4.
OB = OC = AB = AC = 4 : le quadrilatère OCAB est un losange.
Autre méthode : On montre facilement queAOB=COA=60 °, donc les triangles COA et AOB sont des triangles équilatéraux, donc OB = BA = AC = CO, . . . .
3. a. On calcule¯¯zC+2p
3−2i¯¯=¯¯4i+2p
3−2i¯¯:¯¯2p
3+2i¯¯=p
4×3+4=p 16=4.
Donc C appartient à l’ensembleΓ.
b. M∈
G amma⇐⇒ ¯
¯z+2p 3−2i¯
¯=4 ⇐⇒¯
¯z−¡
−2p
3+2i¢¯¯=4⇐⇒ |z−zA| =4 ⇐⇒
AM=4⇐⇒ Mappartient au cercle de centre A et de rayon 4.
c. Voir plus bas 4. a. Voir la figure−−→
CD= −7−→ u
b. L’affixe de D est égale àzD=zC−7=4i−7.
Calculons : AD =¯¯4i−7+2p
3−2i¯¯=¯¯−7+2p
3+2i¯¯=q¡
−7+2p 3¢2
+22= p49+12−28p
3+4=p
65−28p
13≈4, 066=4.
Conclusion : le point D n’appartient pas au cercleΓ.
1 2 3
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−1
−2
−3
−4 1 2 3 4 5
bb b
b
A
B
C
O D
Γ
PROBLÈME 10 points
Partie A : Lecture graphique 1. Il semble que lim
x→0f(x)= +∞.
2. Il semble quef(e)=0, donc e est la seule solution de l’équation.
3. Il semble que :
• si 0<x<e,f(x)>0 ;
• f(e)=0 ;
• six>e,f(x)<0.
Polynésie 2 11 juin 2012
Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique A. P. M. E. P.
4. Il semble quef est décroissante sur ]0 ; 12[ et croissante sur ]12 ; +∞[.
5. Le coefficient directeur de la tangente est égal à4−9
1 = −5 et l’ordonnée à l’origine est égale à 9. Donc l’équation réduite de la tangenteT doit êtrey= −5x+9.
6. Une valeur approchée de l’aire est 5,5 cm2. Partie B : Étude d’une fonction
1. On af(x)=lnx(lnx−5)+4.
Comme lim
x→0lnx= −∞, il résulte que lim
x→0(lnx−5)= −∞et par produit de limites lim
x→0f(x)= +∞.
2. a. On a de façon simpleX2−5X+4=0 ⇐⇒X−5)(X−1)=0 : les solutions sont 1 et 4.
b. On af(x)=0 ⇐⇒(lnx)2−5lnx+4 ⇐⇒ X2−5X+4=0 en posantX=lnx. Les solutions étantX=1 etX=4 on a donc soit lnx=1⇐⇒ x=e, soit lnx=4⇐⇒ x=e4.
L’équationf(x)=0 a deux solutions dansR: e et e4. 3. a. La fonction est dérivable sur ]0 ;+∞[ et sur cet intervalle :
f′(x)=2×lnx×1 x−5×1
x=2lnx−5
x .
Commex>0, le signe def′(x) est celui du numérateur 2lnx−5.
b. Sur ]0 ;+∞[, 2l nx−5=0 ⇐⇒2lnx=5 ⇐⇒lnx=5
2 ⇐⇒ x=e52.³
e52≈12, 18´ c. On a donc :
• si 2l nx−5<0 ⇐⇒ x<e52, alorsf′(x)<0 : la fonctionf est décroissante suri 0 ; e52h
.
• si 2l nx−5>0 ⇐⇒ x>e52, alorsf′(x)>0 : la fonctionf est croissante suri
e52 ;+∞
h . d. On en déduit le tableau de variations suivant :
x 0 e52 +∞
f′(x) − 0 +
f(x) +∞
−2, 25 4. On af(1)=0−0+4=4 etf′(1)=2ln 1−5
1 = −5.
L’équation de la tangenteTest doncy−f(1)=f′(1)(x−1)⇐⇒ y−4= −5(x−1) ⇐⇒
y= −5x+5+4 ⇐⇒ y= −5x+9
On admet queGest une primitive de la fonctiong et queHest une primitive de la fonctionh sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
5. a. Déterminer une primitiveFde la fonctionf sur ]0 ;+∞[.
b. CalculerI= Ze2
e −f(x) dx.
Partie C : Conclusion
1. Parmi les conjectures formulées dans la partie A, indiquer en détaillant les réponses :
— celles qui ont été vérifiées ;
— celles qui sont fausses ;
— celles pour lesquelles on ne peut pas conclure.
On s’appuiera sur les résultats obtenus dans la partie B.
2. On souhaite tracer sur l’écran d’une calculatrice la courbe représentative de la fonction f de manière à visualiser les résultats établis dans la partie B. Proposer un paramétrage de fenêtre de la calculatrice qui permet d’obtenir un tel tracé.
Polynésie 3 11 juin 2012
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123456789101112131415161718192021−1 −1 −2 −3
1
2
3
4
5
6
7
8
910
Annexe (problème) à rendre avec la copie
e TCf
e2 O
A
+
+
+ +
123456789101112131415161718192021−1 −1 −2 −3
1
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