PanaMaths
[1 - 2]Janvier 2007
Calculer :
( )( )
1
1
1 2
n
k=
k k + k +
∑
Analyse
On commence par décomposer
(
11)(
2)
k k+ k+ en une somme d’inverses …
Résolution
On a :
(
11)(
2)
A B1 C2k k k = k +k +k
+ + + +
Où A, B et C sont trois réels à déterminer.
On peut par exemple procéder par identification à partir de :
( )( ) ( ) ( )
( )( )
2 3 2 2
1
1 2 1 2
A B C k A B C k A
k k k k k k
+ + + + + +
+ + = + +
On est alors conduit à résoudre le système :
0
3 2 0
2 1
A B C
A B C
A + + =
⎧⎪ + + =
⎨⎪ =
⎩
On obtient facilement : 1
A=2, B= −1 et 1 C=2. On a donc :
(
11)(
2)
1/ 2 11 1/ 22 1 12 21 12k k k k k k k k k
− ⎛ ⎞
= + + = ⎜ − + ⎟
+ + + + ⎝ + + ⎠
PanaMaths
[2 - 2]Janvier 2007
La somme se récrit alors :
( )( )
1 1
1 1 1
1 2
1 2 3
3
1 1 1 2 1
1 2 2 1 2
1 1 1 1
2 2 1 2
1 1 1 1
2 2
1 1 1
2 1 2
n n
k k
n n n
k k k
n n n
k k k
n
k
k k k k k k
k k k
k k k
k
= =
= = =
+ +
= = =
=
⎛ ⎞
= ⎜ − + ⎟
+ + ⎝ + + ⎠
⎛ ⎞
= ⎜⎝ − + + + ⎟⎠
⎛ ⎞
= ⎜⎝ − + ⎟⎠
= + +
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑
3
1 1 1
2 2 2
2 1
n
n k= k
− × − × −
+
∑
3
1 1 1
1 2
n
n n k= k
+ + +
+ +
∑
1 1 1 1 1 1
1 2 2
2 2 2 1 1 2
1 1 2
n n n
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⎜⎝ + − × − × + + + + + ⎟⎠
= 1
2 1 + −
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
2
1 1
1 2
1 2 2 2 2 1
1
2 2 1 2
3
4 1 2
3
4 1 2
n n
n n n n
n n
n n
n n
n n
n n
⎛ − + ⎞
⎜ + + ⎟
⎝ ⎠
+ + − + + +
= + +
= +
+ +
= +
+ +
Résultat final
( )( ) ( )
( )( )
1
1 3
1 2 4 1 2
n
k
n n
k k k n n
=
= +
+ + + +
