• Aucun résultat trouvé

kkk ++ ∑ 112

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "kkk ++ ∑ 112"

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

PanaMaths

[1 - 2]

Janvier 2007

Calculer :

( )( )

1

1

1 2

n

k=

k k + k +

Analyse

On commence par décomposer

(

11

)(

2

)

k k+ k+ en une somme d’inverses …

Résolution

On a :

(

11

)(

2

)

A B1 C2

k k k = k +k +k

+ + + +

Où A, B et C sont trois réels à déterminer.

On peut par exemple procéder par identification à partir de :

( )( ) ( ) ( )

( )( )

2 3 2 2

1

1 2 1 2

A B C k A B C k A

k k k k k k

+ + + + + +

+ + = + +

On est alors conduit à résoudre le système :

0

3 2 0

2 1

A B C

A B C

A + + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ =

On obtient facilement : 1

A=2, B= −1 et 1 C=2. On a donc :

(

11

)(

2

)

1/ 2 11 1/ 22 1 12 21 12

k k k k k k k k k

− ⎛ ⎞

= + + = ⎜ − + ⎟

+ + + + ⎝ + + ⎠

(2)

PanaMaths

[2 - 2]

Janvier 2007

La somme se récrit alors :

( )( )

1 1

1 1 1

1 2

1 2 3

3

1 1 1 2 1

1 2 2 1 2

1 1 1 1

2 2 1 2

1 1 1 1

2 2

1 1 1

2 1 2

n n

k k

n n n

k k k

n n n

k k k

n

k

k k k k k k

k k k

k k k

k

= =

= = =

+ +

= = =

=

⎛ ⎞

= ⎜ − + ⎟

+ + ⎝ + + ⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − + + + ⎟⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − + ⎟⎠

= + +

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

3

1 1 1

2 2 2

2 1

n

n k= k

− × − × −

+

3

1 1 1

1 2

n

n n k= k

+ + +

+ +

1 1 1 1 1 1

1 2 2

2 2 2 1 1 2

1 1 2

n n n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + − × − × + + + + + ⎟⎠

= 1

2 1 + −

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

2

1 1

1 2

1 2 2 2 2 1

1

2 2 1 2

3

4 1 2

3

4 1 2

n n

n n n n

n n

n n

n n

n n

n n

⎛ − + ⎞

⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

+ + − + + +

= + +

= +

+ +

= +

+ +

Résultat final

( )( ) ( )

( )( )

1

1 3

1 2 4 1 2

n

k

n n

k k k n n

=

= +

+ + + +

Références

Documents relatifs

is reasonably

Plus près de nous, à 400 kilomètres de la Terre, l’astronaute français Thomas Pesquet, à bord de l’ISS (mission Proxima), a su nous passionner pour l’exploration spatiale et

Tous les chiffres de cette division exacte ont disparu et ont été remplacés par un point, sauf un 8 qui apparaît dans le quotient.. Les deux derniers chiffres de e proviennent aussi

[r]

966 442 actions de la Société Ecomiam de façon indirecte via la Holding patrimoniale contrôlée par la famille SAUVAGET - ASG - Agroalimentaire Sauvaget Groupe dont Monsieur

Red Accent Studios est un studio de production de jeux vidéo basé à Shanghai et San Francisco, spécialisé dans le développement de propriétés intellectuelles originales

Au cinéma, quand on voit une voiture avancer, les pneus tournent souvent à l'enversb. Après quelques calculs, le mystère

Située au bord du golf de Giens, à Hyères, sur la route des comptoirs entre Nice et Marseille, Olbia (« la Bienheureuse », en grec) est évoquée par Strabon (Ier siècle avant