Recherche des points multiples à l'infini dans les courbes algébriques

N

P ^AINVIN

Recherche des points multiples à l’infini dans les courbes algébriques

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 3 (1864), p. 145-156

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RECHERCHE DES POINTS MULTIPLES 4 L'INFINI DANS LES COURBES ALGÉBRIQUES;

PAR M. PA1NVIN.

Remarques préliminaires.

I. — 1. COORDONNÉES HOMOGÈNES. — Soit un point M du plan rapporté aux axes O x et Ojr : nous représente-

rons les longueurs MP et MQ par - et -» et nous dirons z z

que (x,y,z) sont les coordonnées homogènes du point M.

Pour un point donné, les quantités x, y, z sont indéter- minées, les rapports seuls sont connus. On passera aux applications numériques en attribuant à z une valeur particulière, en faisant, par exemple, z = i.

Une équation homogène en .r, y, s, telle que

représente une courbe parfaitement déterminée, puisque cette équation ne renferme en définitive que les rap- ports -> -•x r

r z z

Signification géométrique. — Soient deux axes rec-

Ann. dû Mathémat., 2e série, t. III. (Avril 1864.) IO

( '46)

tangulaires Ox etOy dans le plan; faisons la perspective

FlG. 2 .

de la courbe située dans le plan xOy, en prenant pour sommet de la perspective un point S situé sur la perpen- diculaire OS au plan xOy, et en supposant que le plan sur lequel on fait la perspective passe par le point O.

Soient OA, OB, AB les intersections du plan de per- spective par les plans SO^, SO;r et par un plan passant par S et parallèle à xOy.

Soient encore A, B, C les angles respectifs du plan OAB avec les plans SOj-, SO;r, xOy. Si M est un point du plan xOy et que MP et MQ soient ses distances aux axes Oy et Ox] si M' est la perspective de ce point sur le plan OAB, et que M'P', M' Q', M'R' soient ses distances respectives aux droites OA, OB, AB, distances que nous désignerons par X, Y, Z, de sorte que

X ^ M ' P ' , Y = M'Q', Z = M'R', on trouve, sans difficulté, les relations suivantes

)—h

sinC * Z ' Y sinC

// représentant la hauteur OS.

Mais r , yy z étant les coordonnées homogènes du point

( ' 4 7 )

M, on a par conséquent

f , sin_A X__ X z — 'sinC " Z Z '

( l ) j jr sinJB Y _ Y

f z ~ 'sinC ' Z ~~p Z'

On obtient des relations semblables en prenant des axes obliques \ mais, pour l'objet que nous avons en vue, le cas où nous nous sommes placé est suffisant.

Ceci posé, soit l'équation d'une courbe dans le plan xOy

(2) f(x,y,

cette équation deviendra, par la substitution (1), (3)

Mais on peut disposer des constantes qui entrent dans X et fjt, et cela d'une infinité de manières, de façon que X et [L soient égaux à l'unité-, l'équation de la courbe de- viendra alors

(4) / ( X , Y^fZ ) = o.

Nous voyons donc, en comparant les équations (2) et (4), que l'équation (2) peut être interprétée de deux manières différentes.

On peut regarder x, y⁹ z comme les coordonnées homogènes d'un point du plan xOy, et l'équation (2) représente une courbe C située dans ce plan.

On peut aussi regarder x. y, z comme les distances d'un point du plan OAB (satisfaisant aux conditions in- diquées) aux trois droites OB, OA et AB, et l'équation (2) représente la perspective C; de la courbe C sur le plan OAB.

10.

( ' 4 8 )

La courbe C est aussi la perspective, sur le plan xOy, de la courbe C',

2. DROITE A L'INFINI. — Soit Péquation d'une droite

ou, en coordonnées homogènes, (5) Aar-f-Bj-f-C2 = o.

Les distances à l'origine des points où cette droite ren-

contre les axes de coordonnées sont

A' B'

Si l'on suppose que A et B tendent vers zéro, C étant différent de zéro, la droite AB s'éloigne à l'infini dans le plan; nous lui donnons alors le nom de droite à l'infini;

dans ces hypothèses, l'équation (5) devient C z = o ou z = o;

on doit donc regarder z = o comme Véquation de la droite à l'infini.

Si A et B tendent vers zéro et que leur rapport reste indéterminé, la droite à l'infini aura une direction in- déterminée \ ainsi l'équation

représente, en général, une droite à l'infini de direction indéterminée.

( '49)

Si À et B tendent vers zéro et que leur rapport reste fixe, la droite s'éloigne à l'infini en restant parallèle à une direction déterminée.

Signification géométrique. — Considérons la perspec- tive sur le plan xOy de la courbe C' située dans le plan AOB : la droite AB sera projetée à l'infini. Les relations (i) nous montrent encore qu'à un point situé sur la droite AB, pour lequel Z = o, correspond un point pour lequel - et - sont infinis, ce qui conduit à

puisque x et y sont arbitraires.

Ainsi nous voyons encore que les projections des diffé- rents points de la droite, lesquelles projections sont à l'infini, satisfont à la relation

cette équation nous donne donc la droite à l'infini ou, en perspective, la droite AB.

Les particularités de la courbe C, qui se trouveront sur la ligne à l'infini, se reproduiront en perspective sur la ligne AB, et inversement, les particularités que la courbe C' présentera sur la ligne AB se trouveront projetées sur la ligne à l'infini, lorsqu'on fera la perspective de C' sur le plan xOy. Ce rapprochement me paraît plus que suffisant pour enlever à la conception de la droite à Fin- fini le vague qu'elle semble présenter au premier abord.

3. IMAGINAIRES. — II s'agit toujours d'imaginaires de la forme (a-\-b \j—i). Nous appellerons point imagi- naire un point dont les coordonnées sont imaginaires;

droite imaginaire, une droite dont les coefficients sont

( i 5 o )

imaginaires, etc. Il ne faut attacher aucune idée de re- présentation géométrique à ces points, droites, e t c , ima- ginaires 5 c'est une conception purement analytique, mais absolument indispensable si l'on veut abréger les énoncés et formuler des théorèmes généraux. Et, lorsqu'il s'agit des particularités d'une courbe, cette conception est d'au- tant plus nécessaire, que les points ou les droites ont une égale influence sur les modifications de la courbe, que ces points ou ces droites soient réels ou imaginaires.

Ainsi, un point multiple a toujours la même influence sur la classe de la courbe, qu'il corresponde à des branches réelles ou à des branches imaginaires ; une tangente mul- tiple, qu'elle soit réelle ou qu'elle soit imaginaire, a tou- jours la même influence sur l'ordre de la courbe. Les points, droites, etc., imaginaires sont donc des concep- tions purement analytiques, auxquelles il ne faut jamais vouloir donner une représentation géométrique, mais sans lesquelles la Géométrie n'aurait pas de théorèmes généraux 5 sans lesquelles il serait impossible de rattacher à des idées générales la raison des variétés de classes que présentent les courbes de même ordre, et inversement, etc.

Dans cette étude, je ne ferai aucune différence pour les énoncés entre les points réels et imaginaires.

4. POINTS CIRCULAIRES A L'INFINI. — Soit une circon- férence quelconque

— 2 ax -+- 2 by -+- c = o, ou, en coordonnées homogènes,

,x7 -+- y2 -+- 2 axz -+- 2 byz -h cz2 = o ;

les intersections de cette circonférence avec la droite à l'infini sont données par les deux équations (indépen- dantes de a, h) c)

ces deux points imaginaires appartiennent à toutes les circonférences situées dans le plan : on les a appelés points circulaires à l'infini; je ne discute pas l'expres- sion. On peut dire aussi qu'ils sont les intersections d'un cercle de rayon nul avec la droite à l'infini.

Les circonférences sont donc des courbes du second ordre ayant toutes deux points communs. Cette simple remarque suffit pour montrer l'importance des deux points imaginaires

sans parler du rôle qu'ils jouent dans l'étude générale des foyers.

5. POINTS MULTIPLES.—Je définirai comme il suit les points multiples. Un point multiple d'ordre p est un point tel, qu'une ligne quelconque passant par ce point y rencontre la courbe en p points coïncidents, et, par suite, ne rencontre plus la courbe qu'en (n—p) autres points différents, si n est de l'ordre de la courbe.

Par un point multiple d'ordre p passent p branches (réelles ou imaginaires) de la courbej les p tangentes proprement dites à ces branches au point multiple seront les droites qui, passant par ce point, y rencontrent la branche de courbe en (p-f-i) points] dans ce cas, les tangentes proprement dites auront un contact du pre- mier ordre. Il pourra arriver que le contact de ces tan- gentes soit d'un ordre plus élevé, et cela aura lieu, si le nombre des points de rencontre est supérieur à (/? -f~ i)- II.— Abordons maintenant l'étude des points multiples à l'infini. Je mettrai l'équation de la courbe sous la forme

( 0 <p» (•*>y) •+•-?n-t ( * , y) •+• z2?*-* (•**> J ) - H - - - * - z > o = o ,

( i 5 a )

<fi représentant une fonction homogene et de degré i des variables x ety.

Les points où la courbe est rencontrée par la droite à l'infini (z = o) seront donnés par les équations

Soit

(3) f» (*, r ) = (r — «*) (7 — *•*)••• (r—a—i *)>

nous avons ainsi n points situés sur la droite à l'infini et déterminés par les n droites que fournit la seconde des équations (2)5 nous appellerons directions asjmptotiques les n droites passant par l'origine, et données par l'é- quation

( 3 bis) <?n(x,y) = (y — aa:)(y--ala:)...(y-- *„_, x) = o.

§ I^er, — Points simples à Vinfini,

III• — Considérons un des points à l'infini, par exemple le point

il

'

(y — ax = o,

et supposons que ce soit un point simple, c'est-à-dire que les fonctions

n'admettent pas le diviseur [y— ax)^ nous en verrons plus loin la raison. (Il ne faut pas oublier que cette hy- pothèse subsiste dans toute l'étendue du § Ier.)

Cherchons la tangente au point I, c'est-à-dire Y asymp- tote correspondant à ce point. Dans ce but, prenons une droite quelconque passant par le point I

(4) y — axz=\zy

( i53 )

et exprimons que cette droite rencontre la courbe en deux points confondus avec le point I ; c'est-à-dire que nous déterminerons A par la condition que le premier membre de l'équation (i) est divisible par zt.

Substituant dans l'équation (i) la valeur de y fournie par l'équation (4) et développant par la formule de Tay- lor, nous trouvons

«) U*

les accents désignent ici les dérivées des fonctions <p, par rapport à la variable y dans lesquelles on a remplacé x par i et ƒ par a.

Or <pⁿ(i?#) ^{e s t} nul5 le premier membre de l'équa- tion (5) sera donc divisible par s% c'est-à-dire la droite (4) sera asymptote, si nous prenons pour 1 la valeur

(6) ?„-,(!, a)

Ainsi les asymptotes sont parallèles aux directions asymp- totiques; mais il peut arriver que l'asymptote se trouve transportée à l'infini, toujours parallèlement à la direc- tion asymptotique correspondante.

IV. — Discussion de la valeur de / .

alors X = o, c'est-à-dire que l'asymptote coïncide avec la droite (y— ax = o) ; dans ce cas, l'équation de la courbe

( «54 ) se présente sous la forme

les Ui désignant, comme les <fh des fonctions homogènes de x et y.

alors X = oo , c'est-à-dire que l'asymptote se trouve trans- portée à l'infini parallèlement à la direction asympto- tique correspondante, car l'équation (4) donne z = o;

dans ce cas, l'équation de la courbe a la forme [y — ax)2 «„_2 -f- z<pn_, -f- z2 cp«_2 •+-. . . = o.

La parabole nous offre un exemple de ce cas particulier.

Si les deux termes de la valeur de X étaient nuls à la fois, on aurait un point double; nous n'avons pas à nous en occuper pour le moment. Mais il nous reste à faire plusieurs remarques importantes.

V. — Remarques.

\ . Il peut arriver que pour la valeur particulière a et la valeur correspondante A, le coefficient de z* [équa- tion (5)] s'annule; le point à l'infini serait alors un point d'inflexion, et la droite (4) serait la tangente d'in- flexion. Ce n'est pas en effet un point double, car une droite quelconque passant par le point I ne rencontre pas la courbe en deux points coïncidents, puisqu'on sup- pose que (p'n ( i , a) et Qn_! ( i , f l ) ne sont pas nuls à la fois.

Le contact de l'asymptote serait d'un ordre plus élevé, si les valeurs de a et 1 annulaient les coefficients de £2, z3, zk,.., (nous nous supposons toujours dans le cas d'un point simple).

2. Lorsque l'équation de la courbe se présente sous la

forme

(7 ) (X — aJr)P un-p 4~ Z?«-i 4 - Z2 flpn-J + . . . = O,

yⁿ-i n'admettant pas le facteur (y — ax), la droite à l'infini a un contact du (p — i)^lème ordre au point à l'infini

y — ax = o.

En effet⁵ si de l'équation (4) nous tirons la valeur de y pour la substituer dans l'équation (7), il vient (8) \?&un_p{a*, ax-h U) 4- s*—1 <?„_, (r, a)

Nous voyons d'abord que le point I n'est pas un point multiple-, car une droite quelconque, passant par ce point, n'y rencontre la courbe qu'en un seul point, puisque <pⁿ_, (1, a) n'est pas nul d'après notre hypo- thèse.

En second lieu, la droite (4) ne peut être tangente, c'est-à-dire que le terme en z [équation (8)] ne peut disparaître à moins que X ne soit infini ; donc l'asymptote se trouve transportée à l'infini parallèlement à la direc- tion asymptotique y — ax = o.

Enfin, cette droite à l'infini a avec la courbe, au point I, un coutact du (p—jyeme ordre} car si, dans Péqua- tion (7), on fait z = o, on trouve

cette droite rencontre donc la courbe en p points confon- dus avec le point I. On peut encore constater plus facile- ment ces propriétés en posant

et en remplaçant z par cette valeur dans l'équation (7).

En particulier, si l'équation de la courbe est de la forme [y — axYuⁿ_^z H-z?«-i 4-z⁷<j>,^t_² 4- z³?„_, -f-. . . = 0,

( i56 )

le point à l'infini (z = o, ^ — ax = o) sera un point d'inflexion ayant pour tangente la droite à l'infini.

Si l'équation de la courbe est de la forme, par exemple,

. . . = o,

<pn_i ne contenant aucun des facteurs binômes qui entrent au carré dans <fn (x, y), la droite à l'infini sera une tan- gente triple.

3. Lorsque les coefficients angulaires de deux directions asymptotiques sont ± sj—i, l'équation a la forme

. = o,

et la courbe passe par les deux points circulaires à l'in- fini.

4. Le mode de recherche qui vient d'être exposé est complètement indépendant de la forme particulière (jr — ax) que j'ai choisie pour définir la direction asymptotique. Lorsque la direction asymptotique est Taxe des x ou l'axe desj^, la droite passant par le point cor- respondant à l'infini aura pour équation

y — \z = o ou x — \z=zo,

et le calcul indiqué dans le n° III devient alors beaucoup plus simple.

(La suite prochainement,)