J142 ‒ Progressions sur un damier
Problème proposé par Raymond Bloch
Solution proposée par Florian Quillot
On note les cases du damier avec une lettre et un numéro avec la case dans le coin inférieur gauche notée A1 ( les cases à droite de celle-ci portent les lettres qui suivent B,C,D ... et les cases situées plus haut portent un numéro plus grand 2,3,4 ...)
On note aussi les raisons des différentes progressions arithmétiques de la même manière ainsi la raison de la progression arithmétique de la 8ème colonne sera notée RH et celle de la 1ère ligne sera notée R1 ...
Intéréssons nous à la case H1. Le nombre correspondant à cette case vaut à la fois 9+6*RH et 50+5R1. On en déduit que 5 divise 9+6*RH et donc que RH=1 (mod 5).
Il semble donc naturel d'essayer de compléter le tableau en commencant par RH=1. On obtient ainsi la valeur de la case numéro H1 : H1=15.
On connait C1 et H1, on peut donc calculer R1 : R1=(C1-H1)/(n+1) (avec n représentant le nombres de cases séparant C1 et R1). On obtient donc R1=(50-15)/5=7.
On peut donc remplir la case A1: A1=C1+2*R1=50+2*7=64.
De même, on connait G4 et H4, on peu donc calculer R4 : R4=(G4-H4) R4=139-12=127.
On peut donc compléter la case A4 : A4=H4+7*R4=12+7*127=901.
Trouver (en moins de trois minutes chronomètre en main) l'entier de la case (?) du coin supérieur du damier ci-contre de sorte que les entiers qui y figurent forment des progressions arithmétiques dans chaque ligne et dans chaque colonne.
On connait maintenant les valeurs des cases A4 et A1, calculons RA afin de déterminer la valeur de A8 : RA=(A4-A1)/(n+1) (avec n le nombre de cases séparant A4 et A1). RA=901-64/3=279.
On détermine ainsi la valeur de A8 : A8=A1+7*RA=64+7*279=2017.
On peut vérifier notre résultat en complétant la colonne H1;H8 puis la ligne A8;G8, le résultat semble convenir et l'on a donc pas à tester d'autres valeurs de R1.
On a donc trouvé la valeur de la case (?) du damier en moins de trois minutes, sa valeur étant 2017.
