D307 – Patron de périmètre minimum pour un cube
Solution
On s’aperçoit assez vite que les deux faces avec lesquelles une optimisation est à rechercher sont les deux faces hachurées en jaune et situées sur les côtés du patron du cube déplié.
Y a-t-il un chemin qui part de C, permet d’accéder aux points A et B pour revenir en D et est plus court que la ligne brisée CBAD de longueur 30 cm ?
Oui, si l’on songe aux diagonales AC et BD de longueur 20 2 28,284...cm et on obtient le patron suivant :
La longueur des bords du patron à coller est de 2*10 + 16*5 2 = 20(1+4 2 ) = 133,137…
cm <140 cm.
Il y a un progrès mais est-ce optimal ?
Non il faut faire une analyse plus fine à l’intérieur du carré ABCD
Soit le réseau constitué par les cinq segments AE,BF,CF,DE et EF. On désigne par x la distance DH avec H projection de E sur CD. On prend par convention CD=1.La longueur L
des cinq segments est égale à 4 x21/412xdont le minimum est atteint quand dL/dx=04x/ x21/420x1/2 3L1 3
Il apparaît que si AE,BF,CF et DE font des angles de 60° avec AB et CD, L prend la valeur 1 3=2,73205… qui se révèle inférieure à 2 2 =2,8284…
D’où un nouveau découpage dont la longueur totale des bords à coller s’établit à:
) 3
60(12/ =129,282…cm
La configuration que l’on donne comporte une symétrie complète dans l’ordonnancement des grandes (G) et petites (p) languettes en haut et en bas. On peut envisager un décalage avec en haut pGpG et en bas GpGp
