E30139. Des mathématiciens un peu timbrés
Trois mathématiciens A, B et C jouent à un jeu. Un arbitre dispose de huit timbres : 4 rouges et 4 verts. Il colle 2 timbres au hasard sur le front de chacun des mathématiciens et garde les deux timbres restants dans sa poche. Chaque mathématicien est incapable de voir les timbres qu'il a sur le front, pas plus qu'il ne connaît les timbres gardés par l'arbitre. En revanche chacun voit les timbres collés sur le front de ses comparses. L'arbitre demande tour à tour à chacun s'il est capable de deviner les timbres qu'il a sur le front. Voici leur réponse dans l'ordre :
A : Non ; B : Non ; C : Non ; A : Non.
Que vont répondre B puis C maintenant ? Solution d’Augustin Genoud
Les trois mathématiciens établissent d’abord les 19 cas possibles de répartition des timbres, comme dans le tableau suivant, sous « Départ ».
Dans les cas 6 et 14, A aurait pu connaître la couleur des timbres collés sur son front. Comme sa réponse est négative, ces deux cas sont éliminés. Les cas possibles restants sont sous « A* ». B et C savent aussi que les cas 6 et 14 sont impossibles car ils ont entendu la réponse de A.
La réponse négative de B nous indique que les cas 4 et 16 sont impossibles. Dans ces deux cas, B aurait pu connaître la couleur des timbres collés sur son front. Il ne reste aux mathématiciens que les cas sous « B* ».
La réponse négative de C nous permet d’éliminer les cas 1, 5, 15 et 19. Les cas possibles restants sont notés sous « C* ».
La nouvelle réponse négative de A nous permet d’éliminer les cas 7, 8, 12 et 13. Les cas possibles restants (2, 3, 9, 10, 11, 17 et 18) se trouvent sous « AA* ».
B peut connaître la couleur des timbres collés sous son front dans chacun des cas restants. La réponse de B est oui. La réponse de B n’aide pas C, lequel répondra donc non.
Départ A* B* C* AA*
A B C A B C A B C A B C A B C
1 RR RR VV RR RR VV RR RR VV
2 RR RV RV RR RV RV RR RV RV RR RV RV RR RV RV 3 RR RV VV RR RV VV RR RV VV RR RV VV RR RV VV 4 RR VV RR RR VV RR
5 RR VV RV RR VV RV RR VV RV 6 RR VV VV
7 RV RR RV RV RR RV RV RR RV RV RR RV 8 RV RR VV RV RR VV RV RR VV RV RR VV
9 RV RV RR RV RV RR RV RV RR RV RV RR RV RV RR 10 RV RV RV RV RV RV RV RV RV RV RV RV RV RV RV 11 RV RV VV RV RV VV RV RV VV RV RV VV RV RV VV 12 RV VV RR RV VV RR RV VV RR RV VV RR
13 RV VV RV RV VV RV RV VV RV RV VV RV 14 VV RR RR
15 VV RR RV VV RR RV VV RR RV
16 VV RR VV VV RR VV
17 VV RV RR VV RV RR VV RV RR VV RV RR VV RV RR 18 VV RV RV VV RV RV VV RV RV VV RV RV VV RV RV 19 VV VV RR VV VV RR VV VV RR
