B 133. Dürer a de la classe.
Proposé par Pierre Renfer
Le carré magique du tableau « La Mélancholie » de Dürer est :
En plus d’être magique de somme 34, il possède la propriété suivante :
La somme de deux nombres symétriques par rapport au centre du carré est toujours 17.
Appelons carrés magiques de Dürer ceux qui possèdent cette propriété.
Cette propriété est conservée par les huit isométries du carré et par les six transformations involutives R, S, T, R’, S’, T’ définies ainsi :
S échange les lignes 1 et 4 en conservant globalement les colonnes.
T échange les lignes 2 et 3 en conservant globalement les colonnes.
R échange les lignes 1 et 2 ainsi que les lignes 3 et 4 en conservant globalement les colonnes.
S’ échange les colonnes 1 et 4 en conservant globalement les lignes.
T’ échange les colonnes 2 et 3 en conservant globalement les lignes.
R’ échange les colonnes 1 et 2 ainsi que les colonnes 3 et 4 en conservant globalement les lignes.
Question 1. Montrer que le groupe de transformations G engendré par les huit isométries du carré et les six transformations R, S, T, R’, S’, T’ est d’ordre 128.
Question 2. On fait opérer le groupe G sur l’ensemble E des carrés magiques de Dürer qui contiennent tous les entiers de 1 à 16.
Combien existe-t-il de classes d’équivalence (ou d’orbites) ? Donner un carré représentant pour chaque classe.
Solution proposée par Francis Gaspalou
Q₁ Je cherche les transformations opérant sur tous les carrés magiques associatifs.
J'utilise les transformations IT et A de mon site Magic squares , lesquelles sont les permutations (1324) et (2143) appliquées à la fois sur les lignes et les colonnes. Cela donne avec le groupe octique (8 isoméries du carré) un groupe d’ordre 8*2*2 = 32 qui est le groupe classique opérant sur tous les carrés magiques.
Ensuite, je constate que sur les carrés associatifs, opèrent des transformations particulières comme T = (1324) ou R = (2143) appliquées seulement sur les lignes (ou sur les colonnes). Cela donne en tout un groupe d’ordre 32*2*2 = 128 car les transformations T et R sont d’ordre 2 chacune.
Je n’ai pas besoin ni des transformations T’ ni de R’ – à cause des symétries du carré - ni de S = (4231) et S’ qui résultent des précédentes car S = R*T*R (alors que T*R*T = R).
On peut naturellement remarquer que IT = T*T’ et A = R*R’.
Q₂
Pour répondre à cette question, le nombre de classes d’équivalence est en apparence de 384/128 = 3.
J’ai fait tourner mon programme donnant les 7040 carrés magiques avec des conditions que je peux expliciter et je trouve les 3 carrés suivants:
1
1 14 15 4 12 7 6 9 8 11 10 5 13 2 3 16
2
1 12 15 6 14 7 4 9 8 13 10 3 11 2 5 16
3
1 12 14 7 15 6 4 9 8 13 11 2 10 3 5 16
Le premier carré est le carré de Dürer en position standard , çàd a1=min (a1,a4,d1,d4) et a4<d1.
La transformation pour passer du 1er carré au 2ème est A1 B1 A3 B3
A2 B2 A4 B4 C1 D1 C3 D3 C2 D2 C4 D4
et elle est valable pour tous les carrés associatifs (on peut écrire les conditions de cette transformation). Idem pour la transformation qui fait passer du 2ème au 3ème. Donc les 3 carrés peuvent bien se réduire à un seul essentiellement différent. Il y a finalement une seule classe d’équivalence.
Pour démontrer qu’un groupe ordre 384 opère sur les 384 associatifs, j’ai une démonstration avec l’ « abstract definition » du groupe et le choix de 2 générateurs convenables.
Plus précisément, j’ai démontré que le groupe de 384 est le seul groupe de degré 8 et d’ordre 384 de Josephine Burns.
Reference: Josephine E. BURNS, The Abstract Definitions of Groups of Degree 8, Am. J. Math. 37 (1915), p. 209
L’“abstract definition” du groupe est s14
= s26
= (s1 s2)8 = (s2s1s23
s1)3 = (s1 s2-1
)4 = (s12
s2 s1s2)3 = 1 (1)
Il y a 9 ensembles de 384 carrés avec le même groupe et la même « abstract definition ». Seules les transformations s1 et s2 sont spécifiques de chaque ensemble.
Pour les 384 associatifs, on peut prendre par exemple les générateurs suivants :
s1 = B2 A2 B1 A1 D2 C2 D1 C1 B4 A4 B3 A3 D4 C4 D3 C3
s2 = A2 A1 B2 B1 C2 C1 D2 D1 A4 A3 B4 B3 C4 C3 D4 D3
Pour les 384 pandiagonaux, on peut prendre :
s1 = B2 A2 A1 B1 C2 D2 D1 C1 C3 D3 D4 C4 B3 A3 A4 B4
s2 = A2 A1 B1 B2 D2 D1 C1 C2 D3 D4 C4 C3 A3 A4 B4 B3
J’ai aussi la référence de l’article de 1938 disant pour la première fois que les 384 pandiagonaux forment un groupe :
Barkeley Rosser and R.J. Walker: “On the transformation group for diabolic magic squares of order four”,
(2)Bulletin of the American Mathematical Society 44 (1938) pp. 416-420.
Nota :
(1) Il y a un doute sur ces relations. En 2006, un étudiant de l’Université de Trêves m’a écrit pour me le signaler. En utilisant le logiciel GAP, cet étudiant a trouvé que les relations ci-dessus généraient un groupe d’ordre 31104 = 384*81. Pour obtenir 384, il faut remplacer la dernière relation (s12
s2 s1s2)2 = 1 par (s2
s1s2)2 = 1. Je crois que cet étudiant a raison. J’ai vérifié que pour les 384 pandiagonaux, mes 2 générateurs s1 et s2 vérifient aussi bien la relation (s12s2 s1s2)2 = 1 que la relation (s2 s1s2)2 = 1.
(2) Rosser et Walker utilisent 5 générateurs alors que je n’en utilise que 2.
