Chapitre 8
Probabilités : conditionnement et indépendance
Dans tout le chapitre, on considère une expérience aléatoire et Ω = {e1;e2;. . . en}son univers sur lequel est définit une loi de probabilité P. SoitAet B deux évènements avecP(A)6= 0 etP(B)6= 0.
8.1 Probabilités conditionnelles
Définition 1
On appelle probabilité deB sachantA,notéPA(B)le réel
PA(B) = P(A∩B) P(A)
Exemple :
Le tableau ci-dessous donne la répartition d’une classe de terminale.
Int Ext DP Total
Fille 2 3 11 16
Garçon 1 2 15 18
Total 3 5 26 34
Parmi les élèves de cette classe, on en choisit un au hasard.
On considère les évènements suivantsA: « l’élève choisi est une fille »,B : « l’élève choisi est demi-pensionnaire ».
1. Calculer P(A), P(B). Définir l’événement A∩B puis calculerP(A∩B).
2. On choisit une élève parmi les filles.
Quelle est la probabilité d’obtenir une demi- pensionnaire ?
Propriété 1
SoitAetB deux évènements deΩtels queP(A)6= 0etP(B)6= 0on a
P(A∩B) =PA(B)×P(A) =PB(A)×P(B).
Propriété 2
SoitA,B etC trois évènements deΩavecP(A)6= 0.
(1) SiAet B sont incompatibles (A∩B =∅), alorsPA(B) = 0.
(2) SiC⊂B, alorsPA(C)6PA(B).
(3) PA(B∪C) =PA(B) +PA(C)−PA(B∩C).
(4) PA(B) +PA(B) = 1
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CHAPITRE 8. PROBABILITÉS : CONDITIONNEMENT ET INDÉPENDANCE
Définition 2
Soitkun entier supérieur ou égal à 2.
Dire quekévènementsA1,A2,. . .,Ak forment une partitionde l’universΩsignifie que : (i) Pour touti∈ {1; 2;. . .;k},Ai6=∅.
(ii) A1∪A2∪. . .∪Ak = Ω.
(iii) Pour tout entieri etj tels que16i6k,16j6keti6=jetAi∩Aj =∅.
Remarque : sikévènementsA1, A2, . . .,Ak forment une partition de Ω alorsP(A1) +P(A2) +. . .+P(Ak) = 1.
Théorème 1 (Formule des probabilités totales)
Soitkentier supérieur ou égal à 2 etkévènementsA1,A2,. . .,Ak de probabilités non nulles formant une partition deΩ.
Pour tout évènementB de Ωon a
P(B) =PA1(B)×P(A1) +PA2(B)×P(A2) +. . .+PAk(B)×P(Ak).
Remarque : en particulierAet Aforment une partition de Ω on a doncP(B) =PA(B)×P(A) +PA(B)×P(A).
8.2 Arbre pondéré
SoitAun évènement de probabilité différente de 1 et de 0.
On peut représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
Pour construire un arbre, on utilise les trois proprié- tés suivantes :
• la probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités de ses branches ;
• la somme des probabilités issues d’un même nœud est égale à 1 ;
• la probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent.
Dans le cas particulier d’un arbre à deux branches on a :
• P(A∩B) =PA(B)×P(A) ;
• PA(B) +PA(B) = 1 ;
• P(B) =P(A)×PA(B) +P(A)×PA(B).
P(A) A
PA(B) B
PA(B) B
P(A) A
PA(B) B
PA(B) B
Exemple :
Dans une partie du monde, on estime que 15 % de la population est contaminée par un virusX. La stratégie de dépistage met en place un test. On a observé les résultats suivants :
• quand la personne est contaminée par le virusX, le test est positif dans 99,6 % des cas ;
• quand la personne n’est pas contaminée par ce virus, le test est négatif dans 97,8 % des cas.
On considère les événements suivants :
A:« La personne est contaminée par le virusX » ; B :« La personne a un test positif ».
1. Réaliser un arbre représentant la situation.
2. CalculerP(B) puis calculer la probabilité que le résultat du test soit exact.
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CHAPITRE 8. PROBABILITÉS : CONDITIONNEMENT ET INDÉPENDANCE
8.3 Indépendance de deux événements
Définition 3
Deux évènementsAetB sont indépendants si et seulement siPB(A) =P(A)autrement dit être indépendants signifie que P(A∩B) =P(A)×P(B).
Conséquence :
Si deux événementsA etB sont indépendants, la probabilité deAsachantB ne dépend pas de la probabilité de B.
Remarque :
il ne faut pas confondre indépendance et incompatibilité.
Propriété 3
SoitAetB deux évènements, de probabilité non nulles.
(1) A etB sont indépendants si et seulement siPA(B) =P(B).
(2) A etB sont indépendants si et seulement siPB(A) =P(A).
8.4 Variable aléatoire et indépendance
a. Rappels sur les variables aléatoires
Définition 4
Une variable aléatoireX définie sur l’universΩest une fonction deΩdans R.
On noterax1, x2, . . . , xk avec k6nles valeurs prises parX.
Définition 5
Lorsqu’à chaque valeurxi deX on associe la probabilité de l’évènement(X=xi), notéeP(X=xi), on définit une loi de probabilité sur l’ensemble{x1, x2, . . . , xk}, appelée la loi de probabilité de la variable aléatoireX.
b. Indépendance de deux variables aléatoires
Définition 6
SoitX etY deux variables aléatoires surΩprenant respectivement les valeursx1, x2, . . . , xk ety1, y2, . . . , yp aveck6n etp6n.
Dire quexetY sont indépendantes signifie que pour toutietjtels que16i6ket16j6p, les évènements(X =xi) et(Y =yj)sont indépendants, c’est-à-dire :
pour toutietj tels que 16i6k P((X =xi)∩(Y =yj)) =P(X=xi)×P(Y =yj).
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