Chapitre 5

5 Rang d’un module libre, modules de type fini sur un anneau principal

Version du 16 novembre 2005

20 A-modules libres de type fini, invariance du rang

20.1 Rang d’un module libre de type fini

SoientA un anneau commutatif etM un A-module de type fini.

Lemme 20.1.1 Si M est un A-module libre, alors toute base deM est for- mée d’un nombre fini d’éléments.

Démonstration.Soientx₁, . . . , x_rdes générateurs, et supposons que(b_i)_i∈I soit une base de M. Chaque x_s s’écrit comme une combinaison linéaire finie desb_i, et donc il existe un sous-ensemble finiJ deI tel quex₁, . . . , x_r soient combinaisons linéaires des b_j, pourj∈J.

Ceci entraîne queI =J est fini. En effet, s’il existaiti∈I \J, alors b_i serait combinaison linéaire des x_s et donc des b_j, pour j ∈ J, contredisant l’indépendance linéaire de {b_i} ∪ {b_j |j∈J}. Ceci prouve le lemme. ¤ Définition 20.1.2 On dit queM est unA-module librede rangns’il est libre et admet une base formée de néléments, c.-à-d., si M ∼=Aⁿ.

Théorème 20.1.3 (Rang d’un module libre de type fini) SoitM 6= 0 un A-module libre de type fini. Il existe un unique entier n ≥ 1 tel que M ∼=Aⁿ. En d’autres termes, si M admet une base formée de n éléments, alors toutebase de M an éléments. Par conséquent, le rang deM est bien défini ; on le note rgM.

125

Si A est intègre, alors rgM égale la dimension du K-espace vectoriel S⁻¹M, où S=A\ {0} etK =S⁻¹A est le corps des fractions de A.

Démonstration.Démontrons d’abord le résultat dans le cas particulier où Aest intègre, qui est plus simple et est suffisant pour l’application au cas où Aest principal.

Supposons que(e₁, . . . , e_n)soit une base deM commeA-module. Comme Mest libre, donc sans torsion, le morphisme naturelM →S⁻¹M est injectif, et l’on peut identifierM à un sous-A-module du K-espace vectorielS⁻¹M. Alors on voit facilement que(e₁, . . . , e_n) est une base de S⁻¹M comme K- espace vectoriel. Doncn= dim_KS⁻¹M, ce qui montre quenest uniquement déterminé.

Dans le cas général, l’idée est exactement la même, mais il faut remplacer le corps des fractions par un quotient A/m, où m est un idéal maximal de A. Un tel idéal existe, d’après le corollaire 11.2.8, et dans ce cas l’anneau quotientk:=A/mest un corps.

Pour démontrer le théorème, on aura besoin du lemme suivant.

Lemme 20.1.4 Soient I un idéal de A et π : A → A/I. Le noyau du morphisme

φ:Aⁿ→(A/I)ⁿ, (a₁, . . . , a_n)7→(π(a₁), . . . , π(a_n))

est le sous-module IAⁿ = {(x₁, . . . , x_n) | x_i ∈ I pour i = 1, . . . , n}. Par conséquent, φinduit un isomorphisme

Aⁿ/IAⁿ→^∼ (A/I)ⁿ.

Démonstration.On voit facilement que IAⁿ est comme indiqué, et c’est le noyau deφ. Commeφest surjectif, le lemme découle du théorème fonda- mental d’isomorphisme (9.2.5).¤

On peut maintenant démontrer le théorème dans le cas général. Suppo- sonsM ∼=Aⁿ. Alors, d’après le théorème 9.6.4,M/mM est isomorphe comme A/m-module, c.-à-d., comme k-espace vectoriel, à Aⁿ/mAⁿ. Or, d’après le lemme précédent, ce dernier est unk-espace vectoriel de dimensionn. Donc n= dim_kM/mM, et ceci montre que nest uniquement déterminé. Le théo- rème est démontré.¤

Remarque 20.1.5 On peut aussi démontrer le théorème précédent en étu- diant l’algèbre extérieure d’unA-module libre. Voir par exemple [BM, §IV.2].

Remarque 20.1.6 Le théorème n’est pas vrai pour les anneaux non com- mutatifs. En effet, soient k un corps,V un k-espace vectoriel de dimension dénombrable (par exempleV =k[X]) et soitRl’anneau des endomorphismes deV. On voit facilement queV ∼=V⊕V, et l’on peut en déduire queR∼=R² commeR-module à gauche.

Pour un anneau non-commutatif, il existe aussi des idéaux bilatères maxi- maux, mais l’anneau quotient n’est pas un corps en général ; c’est ici qu’in- tervient la différence avec le cas commutatif traité dans le théorème.

20.2 Modules d’homomorphismes et module dual

Définition 20.2.1 1) Soient M, N deux A-modules, φ, φ⁰ ∈ Hom_A(M, N) eta∈A. On noteφ+φ⁰, resp.aφ, l’applicationM →N qui à toutm∈M associeφ(m)+φ⁰(m), resp.aφ(m). Alorsφ+φ⁰etaφsont desA-morphismes ; on obtient ainsi une structure de A-module surHom_A(M, N).

2) Dans le cas particulier où N = A, on pose M^∗ = Hom_A(M, A); on l’appelle le module dualde M.

Proposition 20.2.2 Soient M, M⁰, N des A-modules. L’application φ 7→

(φ|_M, φ|_M⁰) est un isomorphisme de A-modules

Hom_A(M⊕M⁰, N)→^∼ Hom_A(M, N)⊕Hom_A(M⁰, N).

En particulier, pour N =A, on obtient (M⊕M⁰)^∗ ∼=M^∗⊕M^0∗.

Démonstration. On voit facilement que φ 7→ (φ|_M, φ|_M⁰) est un mor- phisme de A-modules ; il en est de même de l’application qui à un couple de morphismes ψ:M → N etψ⁰ :M⁰ → N associe le morphisme ψ+ψ⁰ : M⊕M⁰ →N défini par(ψ+ψ⁰)(m+m⁰) =ψ(m)+ψ(m⁰). Il est clair que ces deux applications sont des bijections réciproques. Ceci prouve la proposition.

¤

Remarque 20.2.3 SupposonsAintègre. SiM est unA-module de torsion, alors M^∗ = (0). En effet, soitφ∈M^∗. Pour toutm∈M,φ(m)∈A est un élément de torsion, donc nul puisque A est supposé intègre. Doncφ= 0, ce qui montre que M^∗ = (0).

Par exemple, pour toutn >1, le dual duZ-module Z/nZ est nul. Ceci montre qu’en général on perd de l’information en passant de M à M^∗. Tou- tefois, pour les modules libres on a le résultat suivant.

Proposition 20.2.4 (Dual d’un module libre de rang fini) SoitM un A-module libre de rang n, et soit (e₁, . . . , e_n) une base de M. Pour tout i, notonse^∗_i l’élément de M^∗ défini par e^∗_i(a₁e₁+· · ·+a_ne_n) =a_i.

Alors (e^∗₁, . . . , e^∗_n) est une base de M^∗, appelée la base duale. De plus, le morphisme canoniqueM →M^∗∗ est un isomorphisme.

Démonstration. D’une part, e^∗₁, . . . , e^∗_n sont linéairement indépendants, car sif =a₁e^∗₁+· · ·+a_ne^∗_n= 0, alors 0 =f(e_i) =a_i pour touti. De même, e^∗₁, . . . , e^∗_nengendrentM^∗ carf =f(e₁)e^∗₁+· · ·+f(e_n)e^∗_n, pour toutf ∈M^∗. Il en résulte que(e^∗₁, . . . , e^∗_n) est une base deM^∗.

Notons(e^∗∗₁ , . . . , e^∗∗_n)sa base duale dansM^∗∗. Alors le morphisme naturel M →M^∗∗ envoie chaque e_i sure^∗∗_i , donc est un isomorphisme. ¤

21 Modules de type fini sur un anneau principal

Dans cette section et la suivante, A est un anneau principal. Dans ce cas, on a une compréhension complète desA-modules de type fini grâce à un théorème fondamental de structure.

21.1 Matrices échelonnées

Soientr, n∈N^∗ et soitP ∈M_nr(A)une matrice ànlignes etrcolonnes.

Notons p_ij les coefficients de P etP₁, . . . , P_r ses colonnes. On suppose que chaque colonneP_j est non nulle.

Définition 21.1.1 On définit lalongeur`(P<sub>j</sub>)de la colonneP<sub>j</sub>comme étant le plus grandi∈ {1, . . . , n}tel quep<sub>ij</sub> 6= 0. On dit alors quePest une matrice échelonnéesi l’on a`(P₁)<· · ·< `(P_r).

Par exemple, la matrice suivante, dans M_6,3(Z), est échelonnée :











1 0 3 2 3 0 0 0 2 0 1 0 0 0 1 0 0 4











21.2 Les résultats fondamentaux

Proposition 21.2.1 Soient A principal et M unA-module libre de rang n.

Tout sous-module de M est libre de rangr ≤n.(On convient que le module (0) est libre de rang 0).

Plus précisément, soit (e₁, . . . , e_n) une base de M et soit N un sous- module non nul deM. Il existe une base(v₁, . . . , v_r)deN telle que la matrice exprimant les v_j en fonction des e_i soit échelonnée.

Démonstration.Pouri= 1, . . . , n, soitM_ile sous-module deM engendré par e₁, . . . , e_i et soitN_i :=N∩M_i. On va montrer l’assertion pourN_i, par récurrence sur i. Si i = 0, il n’y a rien à montrer. Supposons i ≥ 1 et l’assertion établie pouri−1.

Soit π_i :M_i → A la i-ème projection et soit J_i =π_i(N_i); c’est un idéal de A. Si J_i = 0, alors N_i égale N_i−1, qui admet une base (v₁, . . . , v_s), où s≤i−1, qui s’exprime de façon échelonnée en fonction dee₁, . . . , e_i−1.

Supposons doncJ_i= (a)6= 0. Alors il existe

x=a₁e₁+· · ·+a_i−1e_i−1+ae_i ∈N ∩M_i,

tel que π_i(x) =a. Comme Aest intègre, Ax∩M_i−1 = (0), puisque lai-ème coordonnée debxest non nulle sib6= 0. On a doncAx∩N_i−1 = (0). D’autre part, on a N_i = N_i−1 +Ax. En effet, soit y ∈ N_i. Alors π_i(y) = aα, avec α∈A, et donc y−αx∈N_i−1. Par conséquent, posant v_s+1 =x on a

N_i =N_i−1⊕Av_s+1,

et(v₁, . . . , v_s+1) est une base deN_i vérifiant les propriétés voulues. ¤ Théorème 21.2.2 (Théorème fondamental de structure pour les mo- dules de type fini sur un anneau principal)

SoitA un anneau principal.

1) Soient n ≥ 1 et N un sous-module non nul du A-module libre Aⁿ. Alors, il existe une base (e₁, . . . , e_n) de Aⁿ, un entier r∈ {1, . . . , n}, et des éléments non nuls a₁, . . . , a_r de A vérifiant a_i |a_i+1 pour i = 1, . . . , r−1, tels que

(a₁e₁, . . . , a_re_r)

soit une base de N. En particulier, r est le rang de N. De plus, les idéaux (a_r)⊆ · · · ⊆(a₁) sont uniquement déterminés par le sous-module N. Enfin, le sous-module de Aⁿ engendré par e₁, . . . , e_r ne dépend que deN, et égale

N⁰ ={x∈Aⁿ| ∃a∈A\ {0} tel que ax∈N}.

2) Soit M un A-module de type fini. Il existe s≥0 et des éléments non nulsa₁, . . . , a_r de A vérifiant a_i |a_i+1 pour i= 1, . . . , r−1, tels que

M_tors =A/(a₁)⊕A/(a₂)⊕ · · · ⊕A/(a_r); (1)

Ann(M_tors) = (a_r); (2)

M ∼=A^s⊕M_tors, et A^s∼=M/M_tors. (3) En particulier, M est libre ssi M est sans torsion. De plus, les idéaux (a_r) ⊆ · · · ⊆ (a₁) sont uniquement déterminés. On les appelle les idéaux (ou facteurs) invariantsdeM.

3) Pour M un A-module de torsion de type fini, la décomposition (1) ci-dessus se raffine comme suit. SoitAnn(M) = (p₁)^m1· · ·(p_n)^mn la décom- position de Ann(M) en produits d’idéaux maximaux. Alors, on a la décom- position primaire

M = Mn

i=1

M(p_i). (4)

et, d’après le point2), chaqueM(p_i) se décompose en un somme directe M(p_i) =

ti

M

s=1

A/(p_i)^ns(pi), (5) où la suite1 ≤n₁(p_i)≤ · · · ≤n_ti(p_i) est uniquement déterminée. En parti- culier,n_ti(p_i) =m_i et AnnM(p_i) = (p^m_i ⁱ).

La démonstration du théorème se fera en trois étapes. On va montrer d’abord l’existence dans les points 1), 2) et 3). On établira ensuite l’unicité des n_s(p_i) dans le point 3) et des idéaux (a_i) dans le point 2), et l’on en déduira l’unicité des(a_i) dans le point 1).

Définition 21.2.3 On dira que la base de M donnée dans le point 1) est adaptéeau sous-module N.

21.3 Existence d’une base adaptée

On va démontrer l’existence d’une base adaptée par récurrence surn. Si n= 1alorsN est un idéal deA, donc est librement engendré par un élément a∈A. De plus,N⁰ =A dans ce cas.

Supposonsn≥2et le théorème démontré pourn−1. Notons(ε₁, . . . , ε_n) la base canonique deM :=Aⁿ et(ε^∗₁, . . . , ε^∗_n) la base duale deM^∗. Comme N est supposé non nul, il existe un indiceitel que ε^∗_i(N)6= 0.

Pour tout f ∈ M^∗, f(N) est un idéal de A. Comme A est noethérien, l’ensemble de ces idéaux f(N), pour f variant dans M^∗, admet un élément maximalf₀(N) = (a), eta6= 0puisqueε_i(N)6= 0. Soitx= (x₁, . . . , x_n)∈N tel que f₀(x) =a. Montrons d’abord le lemme suivant.

Lemme 21.3.1 Pour toutg∈M^∗, a diviseg(x).

Démonstration. Soit d le PGCD de a et g(x). D’après le théorème de Bezout, il existe u, v ∈ A tels que d = ua+vg(x). Posons f = uf₀ +vg.

Alorsd=f(x) appartient à f(N), d’où

f₀(N) = (a)⊆(d)⊆f(N).

D’après le choix de f₀, les deux extrêmes sont égaux, d’où (d) = (a). Donc aest associé àdet divise g(x). Ceci prouve le lemme. ¤

En particulier, a divise chaque x_i =ε_i(x), donc on peut écrire x =ae₁ pour un certain e₁ ∈M, et l’on af₀(e₁) = 1. Par conséquent, on a :

(∗) M =Ae₁⊕Kerf₀ et N =Ax⊕(N ∩Kerf₀).

En effet, commef₀(e₁) = 1, il est clair queAe₁∩Kerf₀ = (0), et a fortiori Kerf₀∩Ax= (0). Soit m∈M arbitraire. Alorsm−f₀(m)e₁ ∈Kerf₀ et il en résulte que

M = Kerf₀⊕Ae₁.

Si n∈ N, il existe b ∈A tel que f₀(n) =ba, et alors n−bx ∈ Kerf₀∩N. Ceci montre queN =Ax⊕(N ∩Kerf₀).

Lemme 21.3.2 On af(N)⊆(a), pour tout f ∈M^∗.

Démonstration. Posons K = Kerf₀; on a M = K ⊕Ae₁. Alors K^∗ s’identifie au sous-module

e^⊥₁ ={g∈M^∗ |g(e₁) = 0}

de M^∗, et l’on aM^∗=K^∗⊕Af₀ (car f₀(e₁) = 1). CommeN = (N ∩K)⊕ Aae₁, pour prouver le lemme il suffit donc de montrer queg(N ∩K)⊆(a) pour tout g∈K^∗.

Soit n ∈ N ∩K et soit d le PGCD de a et g(n). Par Bezout, il existe u, v ∈ A tels que ua+vg(n) = d. Alors, posant f = vg+uf₀, on a d = f(n+x)∈f(N). D’après le choix def₀, ceci entraîne, comme précédemment, que aest associé àddonc diviseg(n). Ceci prouve le lemme. ¤

D’après la proposition 21.2.1, le sous-module Kerf₀ est libre, disons de rang s. Comme M ∼= Kerf₀ ⊕Ae₁, alors n = s+ 1 (car une base de M est obtenue en adjoignant e₁ à une base de Kerf₀). Donc s = n−1. Par hypothèse de récurrence, appliquée au sous-moduleN∩Kerf₀ deKerf₀, on obtient qu’il existe une base (e₂, . . . , e_n) de Kerf₀ et a₂, . . . , a_n ∈ A\ {0}, tels que(a₂e₂, . . . , a_ne_n) soit une base de N ∩Kerf₀ et a_i | a_i+1 pour i = 2, . . . , r−1.

Alors, d’après(∗),(e₁, . . . , e_n)est une base deM et(ae₁, a₂e₂, . . . , a_ne_n) une base de N. Soit (e^∗₁, . . . , e^∗_n) la base duale de M^∗. Alors a₂ appartient à e^∗₂(N) donc est divisible par a, d’après le lemme 21.3.2. Ceci achève la démonstration de l’existence d’une base adaptée.

Maintenant, notons M₁ (resp. M₂) le sous-module de M engendré par e₁, . . . , e_r (resp., pare_r+1, . . . , e_n). On a introduit dans le point 1) du théo- rème fondamental le sous-module

N⁰={x∈Aⁿ| ∃a∈A\ {0} tel que ax∈N}.

D’une part, commea_ie_i ∈N pouri= 1, . . . , r, on a M₁ ⊆N⁰. D’autre part, commeM =M₁⊕M₂, alorsM/M₁ est isomorphe à M₂ et donc libre. Ceci entraîne l’inclusionN⁰ ⊆M₁. En effet, soitx∈N⁰. Il existe a∈A\ {0}tel queax∈N ⊆M₁, donc l’image dexdansM/M₁ est un élement de torsion.

Comme ce module est libre, donc sans torsion, ceci entraînex ∈ M₁. Ceci prouve l’égalité M₁ = N⁰. On a ainsi démontré le point 1) du théorème, à l’exception de l’unicité des idéaux(a₁)⊇ · · · ⊇(a_r).

21.4 Décomposition des modules de type fini

Lemme 21.4.1 Soient B un anneau et M₁, . . . , M_n des B-modules. Pour i= 1, . . . , n, soit N_i un sous-module de M_i et soit π_i :M_i→ M_i/N_i. Alors, le noyau du morphisme

⊕ⁿ_i=1M_i→ ⊕ⁿ_i=1(M_i/N_i), (x₁, . . . , x_n)7→(π₁(x₁), . . . , π_n(x_n)) est le sous-module ⊕ⁿ_i=1N_i. Par conséquent, on a un isomorphisme :

(M₁⊕ · · · ⊕M_n)/(N₁⊕ · · · ⊕N_n)∼= (M₁/N₁)⊕ · · · ⊕(M_n/N_n).

Démonstration.La première assertion est claire, et la seconde en découle, d’après le Théorème fondamental d’isomorphisme 9.2.5.¤

On va maintenant démontrer l’existence des décompositions annoncées dans les points 2) et 3) du théorème fondamental.

Point 2) Soit M un A-module de type fini. Soit {x₁, . . . , x_n} un sys- tème de générateurs de M et soitφ:Aⁿ →M le morphisme de A-modules envoyant tout (b₁, . . . , b_n) surb₁x₁+· · ·+b_nx_n. Alors, φ induit un isomor- phisme

Aⁿ/Kerφ→^∼ M.

D’après le point 1) du théorème, il existe une base (e₁, . . . , e_n) de Aⁿ, un entier r ≤ n, et des éléments non nuls a₁, . . . , a_r de A, vérifiant a_i | a_i+1 pour i= 1, . . . , r−1, tels que

(a₁e₁, a₂e₂, . . . , a_re_r)

soit une base de Kerφ. Alors, d’après le lemme précédent, l’on a (∗) M ∼=Aⁿ/kerφ∼=A/(a₁)⊕ · · · ⊕A/(a_r)⊕A^s,

où s = n −r. Identifions M au terme de droite via ces isomorphismes, et notons alors M⁰ le sous-module A/(a₁)⊕ · · · ⊕A/(a_r). Il est clair que M⁰ ⊆M_tors. De plus, commeM/M⁰ ∼=A^s est sans torsion, on en déduit que M⁰ =M_tors (car sinon toutm ∈M_tors tel que m6∈M⁰ serait un élément de torsion non nul dansM/M⁰). Enfin, il est clair d’après(∗)queAnnM = (a_r).

Ceci prouve le point 2), à l’exception de l’unicité des idéaux (a₁)⊇ · · · ⊇(a_r).

Point 3) Supposons de plus M =M_tors et soit (a) = (p₁)^m1· · ·(p_n)^mn son annulateur. D’après le théorème 19.2.7, on a

M = Mn

i=1

M(p_i),

et chaque M(p_i)est unA-module de type fini, vérifiantAnnM(p_i) = (p^m_i ⁱ).

Fixons un indicei. CommeM(p_i)est de type fini et de torsion, on peut, d’après le point 2), le décomposer en somme directe

M(p_i) =

ti

M

s=1

A/(a_s), avec a_s|a_s+1 pours < t_i.

Or, d’après le lemme 19.2.5, l’annulateur de tout élément non nul de M(p_i) est une puissance de (p_i). Par conséquent, il existe une suite

n₁(p_i)≤ · · · ≤n_ti(p_i),

telle que

M(p_i) =

ti

M

s=1

A/(p_i)^ns(pi).

De plus, on an_ti(p_i) =m_i, car sinon l’annulateur de M(p_i) serait contenu dans(p_i)^mi−1. Ceci prouve l’existence dans le point 3).¤

21.5 Unicité des facteurs invariants

Lemme 21.5.1 Soient Aun anneau intègre etp∈A\ {0}. Pour touti≥0, l’application

A−→Apⁱ/Apⁱ⁺¹, a7→apⁱ+Apⁱ⁺¹ induit un isomorphisme A/(p)∼= (pⁱ)/(pⁱ⁺¹) de A/(p)-modules.

Démonstration. Soient i ≥ 0 et φ le morphisme de A-modules A → (pⁱ)/(pⁱ⁺¹)défini par

φ(a) =apⁱ+Apⁱ⁺¹, ∀a∈A.

Il est clairement surjectif. De plus, comme A est intègre, pⁱ⁺¹ divise apⁱ ssi p divise a. Par conséquent, Kerφ = (p) et φ induit un isomorphisme de A-modules A/(p) ∼= (pⁱ)/(pⁱ⁺¹). C’est aussi un isomorphisme de A/(p)- modules, d’après le corollaire 9.6.5.¤

Théorème 21.5.2 (Unicité des facteurs invariants) Soit A un anneau principal et soit M un A-module de torsion de type fini. Soient a₁, . . . , a_r des éléments non nuls et non inversibles deA vérifiant a_i |a_i+1 pour touti, et tels que

M ∼= Mr

i=1

A/(a_i).

Les idéaux (a₁), . . . ,(a_r) sont déterminés de façon unique par M; on les appelle les idéaux (ou facteurs) invariants deM.

Démonstration. La démonstration se fait en deux étapes. Démontrons d’abord le théorème dans le casp-primaire, c.-à-d., dans le cas oùM =M(p).

Dans ce cas, il existe des entiersn₁ ≤ · · · ≤n_rtels quea_i=pⁿⁱpour touti. Il faut montrer que lesn_i sont déterminés par le moduleM. Pour commencer, observons quen_r =k, où (p^k) est l’annulateur de M. De plus, p^k−1 annule tous les termesA/(pⁿⁱ)pour lesquelsn_i < k. D’autre part,K=A/(p)est un

corps, puisque (p) est un idéal maximal. Donc, d’après le lemme précédent, on obtient que

p^k−1M = M

nii=k

p^k−1A/p^kA,

est un espace vectoriel sur K de dimension #{i | n_i = k}. On obtient de même, pour tout `≤k, que

dim_K

³

p^{`−1</sup>M/p<sup>`}M

´

= #{i|n_i =`}.

Ceci montre que la suite (n_i) est uniquement déterminée par le moduleM. Ceci prouve le théorème dans le cas primaire.

Démontrons maintenant le théorème dans le cas général. Supposons que M ∼=

Mr

i=1

A/(a_i),

avec a_i |a_i+1 pouri= 1, . . . , r−1. D’abord, l’idéal (a_r) égaleAnnM donc est déterminé par M. Écrivons

a_r=p^v₁^1(r)· · ·p^v_n^n(r),

où les p_j sont des éléments irréductibles deux à deux non associés. Alors, la décomposition en composantes primaires de M est

M = Mn

j=1

M(p_j).

D’autre part, comme chaque a_i divise a_i+1, on peut écrire, pour touti≤r, (1) a_i =p^v₁¹⁽ⁱ⁾· · ·p^v_nⁿ⁽ⁱ⁾,

et l’on a pour toutj= 1, . . . , n:

(∗) 0≤v_j(1)≤ · · · ≤v_j(r).

Alors, d’après le théorème chinois, A/(a_i)∼=

Mn

j=1

A/(p^v_j^j(i)),

et donc

(2) M ∼=

Mn

j=1

Mr

i=1

A/(p^v_j^j(i)).

En prenant les composantes primaires dans (2), on obtient, pour tout j = 1, . . . , n:

(∗∗) M(p_j)∼=

Mr

i=1

A/(p^v_j^j(i)).

Or, tenant compte des inégalités(∗), on a vu que la décomposition(∗∗) est unique. Par conséquent, les entiersv_j(i)sont entièrement déterminés parM. De plus, en raison de (∗), ils déterminent les (a_i) par la formule (1). Ceci achève la démonstration de l’unicité des facteurs invariants.¤

On peut maintenant démontrer l’unicité dans le point 1). SoitN un sous- module non nul deM = Aⁿ. On a vu qu’il existe une base (e₁, . . . , e_n) de M, eta₁, . . . , a_r ∈A\ {0}tels que(a₁e₁, . . . , a_re_r) soit une base deN, eta_i divisea_i+1 pouri= 1, . . . , r−1. Il résulte de ce qui précède que les idéaux

(a₁)⊇ · · · ⊇(a_r)

sont les facteurs invariants de M/N, donc sont entièrement par le sous- moduleN. Ceci termine la démonstration du théorème fondamental.¤ Remarque 21.5.3 1) En fait, pour un anneau commutatif A quelconque, on peut montrer que si unA-module M est isomorphe à une somme directe

A/I₁⊕ · · · ⊕A/I_r

où les I_k sont des idéaux propres de A tels que I₁ ⊇ · · · ⊇ I_r, alors les I_k sont uniquement déterminés par le module M. Voir [BAlg], Chap.VII, §4, Proposition 2.

2) On peut aussi montrer que la suite croissante I₁· · ·I_r⊆I₁· · ·I_r−1⊆ · · · ⊆I₁I₂ ⊆I₁

est la suite des idéaux de Fitting du module M, voir [BM, Chap.V, §§

1–3], et le théorème 22.2.3 plus loin. De plus, siI_{`</sub> = (a<sub>`}) pour `= 1, . . . , r et siA est intègre, alors la donnée des idéaux

(a₁),(a₁a₂), . . . ,(a₁· · ·a_r)

permet de retrouver les idéaux(a_`), puisque pour touta, b∈A\ {0}, on a : {x∈A|ax∈(ab)}= (b).

Remarque 21.5.4 Pour l’application du théorème fondamental à l’étude des endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie, on renvoie à l’excellente exposition donnée dans [BM, Chap.5, §5].

22 Autre approche : réduction des matrices sur un anneau principal

22.1 Une conséquence de l’existence de bases adaptées Soientn≥1etN un sous-module non nul deAⁿ. D’après la proposition 21.2.1,N est libre de rangr≤n. Soit(x₁, . . . , x_r) une base arbitraire deN. On peut exprimer les x_j dans la base canonique (ε₁, . . . , ε_n) de Aⁿ sous la forme d’une matrice à r colonnes etnlignes F ∈M_n,r(A).

Pour touts≥1, notonsGL_s(A)le groupe des matricess×sinversibles, à coefficients dans A. Alors, effectuer un changement de base dans N ∼=A^r (resp. dans Aⁿ), revient à multiplier la matrice précédenteF à droite (resp.

à gauche) par une matrice inversibleQ∈GL_r(A) (resp.P ∈GL_n(A)).

L’existence d’une base de Aⁿ adaptée àN est donc équivalente à l’exis- tence de matrices inversibles P ∈GL_n(A) etQ∈GL_r(A) telles que

P F Q=











a₁ · · · 0 · · · 0 ... . .. ... ... 0 · · · a_r · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0 · · · 0









 ,

avec a_i|a_i+1 pouri= 1, . . . , r−1.

On peut démontrer ceci par une approche matricielle directe, pour tout m, n ∈ N^∗ et tout F ∈ M_n,m(A), et ceci fournit une autre démonstration, algorithmique, de l’existence d’une base adaptée.

22.2 Réduction des matrices

Définition 22.2.1 1) On dit queF, F⁰ ∈M_n,m(A) sont équivalentes s’il existe P ∈GL_n(A) etQ∈GL_m(A) telles queF⁰ =P F Q.

2) Pour touti≤min(m, n), on note J_i(F) l’idéal de A engendré par les mineurs i×ideF. On convient queJ₀(F) =A.

3) Lerang deF est le plus grand entierr ≥0tel queJ_r(F)6= 0, c.-à-d., le plus grand entier r tel qu’il existe un mineurr×r deF qui soit nul.

Lemme 22.2.2 1) Soient F ∈M_n,m(A),P ∈M_n(A) et Q∈M_m(A). Pour touti, on a J_i(P F)⊆J_i(F) etJ_i(F Q)⊆J_i(F).

2) Si F etF⁰ sont équivalentes, on a J_i(F) =J_i(F⁰) pour tout i.

Démonstration.1) Toute ligne deP F est combinaison linéaire de lignes deF. D’après les propriétés de multilinéarité des déterminants, on en déduit que tout i-mineur de P F est combinaison linéaire de i-mineurs de F. Ceci montre queJ_i(P F)⊆J_i(F). On obtient de même que J_i(F Q)⊆J_i(F).

2) Supposons F⁰ = P F Q, avec P et Q inversibles. Alors, on a aussi F = P⁻¹F⁰Q⁻¹. D’après le point 1), on obtient les inclusions J_i(F⁰) ⊆ J_i(F)⊆J_i(F⁰), d’où J_i(F) =J_i(F⁰)pour touti. Le lemme est démontré.¤ Théorème 22.2.3 (Réduction des matrices sur A principal)

Soient m, n≥1 et soit F ∈M_n,m(A) non nulle. Il existe a₁, . . . , a_r ∈A, avecr ≥1, vérifiant a_i |a_i+1 pour i < r, etP ∈GL_n(A), Q∈GL_m(A) tels que

P F Q=











a₁ · · · 0 · · · 0 ... . .. ... ... 0 · · · a_r · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0 · · · 0









 .

De plus, les idéaux (a₁), . . . ,(a_r) sont entièrement déterminés par les égali- tés :

J_i(F) = (

(a₁· · ·a_i), pour i= 1, . . . , r;

0, pour i > r.

Ils ne dépendent que de la classe d’équivalence deF, et r est le rang de F. Démonstration.On va montrer qu’on peut construire de telles matricesP etQcomme produits de matrices très simples, de l’un des trois types décrits ci-dessous. Ceci fournit de plus un procédé algorithmique de réduction de la matriceF à une matrice diagonale de la forme ci-dessus.

Type I : les matrices de permutations Soitσ∈S_n, le groupe des permu- tations de{1, . . . , n}. On lui associe la matrice M(σ), définie par

(1) M(σ)(f_j) =f_σ(j),

où(f₁, . . . , f_n)est la base canonique deAⁿ. En d’autres termes,M(σ)est la matrice dont tous les coefficientsa_ij sont nuls sauf les coefficientsa_σ(j),j qui valent1. En utilisant(1), on voit queM(σ)est inversible, d’inverseM(σ⁻¹).

MultiplierF ∈M_n,m(A)à gauche par une matrice de permtutationM(σ) revient à effectuer sur les lignes deF la permutationσ. De même, on voit que multiplier F à droite par une matrice de permutation M⁰(τ) (où τ ∈S_m), revient à effectuer sur les colonnes la permutation τ⁻¹, c.-à-d., mettre la colonne τ(j) à la placej.

Type II : les matricesT_ij(α) etT<sub>k`</sub><sup>0</sup> (β) Pour α, β ∈ A et i 6= j dans {1, . . . , n}, resp. k6=`dans{1, . . . , m}, on pose

T_ij(α) =I_n+αE_ij, resp. T_{k`</sub><sup>0</sup> (β) =I<sub>m</sub>+βE<sub>k`},

où I désigne la matrice identité, etE_ij désigne la matrice élémentaire dont le seul coefficient non nul est celui d’indices (i, j), qui vaut1.

On voit que multiplier F à gauche par T_ij(α) revient à ajouter α fois la ligne j à la ligne i. De même, multiplier F à droite par T<sub>k`</sub><sup>0</sup> (β) revient à ajouter β fois la colonne kà la colonne `.

On est ainsi équipé pour faire des opérations élémentaires sur la matrice F. On aura besoin d’un 3ème type de matrices.

Type III : les matrices de BezoutB_i(a, b) etB_j⁰(a, b)

Soit i ∈ {2, . . . , n} et soient a, b ∈ A\ {0}. Soit d un pgcd de a et b.

Comme A est principal, d est un générateur de l’idéal (a) + (b) et donc (Théorème de Bezout), il existe x, y ∈ A tels que ax+by = d. On note B_i(a, b) la matrice (b_kj)telle que

b₁₁=x, b_1i =y, b_i1=−b

d, b_ii= a d,

b_kk = 1pour k6= 1, i, et b_kj = 0 dans les autres cas. C.-à-d.,B_i(a, b) est de

la forme : 





x 0 y 0 0 1 0 0

−_d^b 0 ^a_d 0 0 0 0 1





.

C’est une matrice inversible, car son déterminant vaut(ax+by)/d= 1. De plus, elle vérifie la propriété suivante : sia(resp.b) est le coefficientf₁₁(resp.

f_i1) de la 1ère colonne deF, alors la 1ère colonne deB_i(a, b)F est identique à celle de F, sauf qu’on a remplacé a par d = pgcd(a, b) et b par 0. (Ceci explique l’introduction des matrices B_i(a, b)).

De même, pourj∈ {2, . . . , m}, on définitB_j⁰(a, b)∈GL_m(A) par b⁰₁₁=x, b⁰_j1=y, b⁰_1j =−b

d, b⁰_jj = a d,

b⁰_kk= 1pourk6= 1, j, etb⁰_kj = 0dans les autres cas. C.-à-d., B_j⁰(a, b) est de

la forme : 





x 0 −_d^b 0

0 1 0 0

y 0 ^a_d 0

0 0 0 1





.

Comme précédemment,B_j⁰(a, b) est de déterminant1, et vérifie la propriété suivante. Si a (resp. b) est le coefficient f₁₁ (resp. f_1j) de la 1ère ligne de F, alors la 1ère ligne de F B_j⁰(a, b) est identique à celle de F, sauf qu’on a remplacéapard=pgcd(a, b) etb par0.

Remarque 22.2.4 Les matricesT_1i(α)etT_1`⁰ (β)sont des cas particuliers de matrices de type III. Toutefois, il est commode de les considérer séparément, cf.ci-dessous.

Maintenant, on va montrer qu’on peut multiplierF à droite ou à gauche par des matrices de l’un des trois types précédents, afin d’arriver de proche en proche à une matrice D de la forme voulue. Il faut encore introduire une notion de “longueur” de la matrice F : un entier ≥ 0 qui va décroître strictement au cours de la procédure, ce qui assurera que l’algorithme se termine en un nombre fini d’étapes et permet bien d’atteindre une matrice diagonale de la forme voulue.

Définition 22.2.5 1) Soita∈A\ {0}. On définit sa longueur`(a)comme le nombre d’éléments irréductibles apparaissant dans sa décomposition en facteurs irréductibles. Ceci est bien défini, puisqueA est principal donc fac- toriel. En particulier, `(a) = 0 ⇔ a est inversible ; et si p est irréductible,

`(p^s) =spour tout s≥1.

2) Soit F ∈ M_n,m(A), non nulle. On définit `(A) comme la plus petite longueur de ses coefficients non nuls.

Fin de la preuve du théorème de réduction des matrices22.2.3. Soit F = (f_ij)∈M_n,m(A), non nulle. Soitf_ij un coefficient non nul de longueur minimale. Quitte à permuter des lignes et des colonnes, on peut supposer (i, j) = (1,1). On effectue alors l’algorithme suivant.

Étape 1) i) Si f₁₁ divise tous les coefficients f_1k et f_k1, pourk≥2, on va à l’étape 2) ci-dessous.

ii) S’il existe k≥2 tel que f₁₁ ne divise pasf_1k, on multiplie F à droite par B_1k⁰ (f₁₁, f_1k). On annule ainsi le coefficient (1, k), tandis que f₁₁ est remplacé par d = pgcd(f₁₁, f_1k), qui est de longueur < `(f₁₁). S’il existe

k⁰ 6= k tel que d ne divise pas f_1k⁰, on repète le processus. On arrive ainsi, en au plus m−1 opérations, à un matrice équivalente

F⁰ =F B⁰,

dont la 1ère ligne est (f₁₁⁰ ,0, . . . ,0), avec`(f<sub>11</sub><sup>0</sup> )< `(f₁₁).

iii) Si f₁₁⁰ divise tous les coefficients de la 1ère colonne de F⁰, on va à l’étape 2) ci-dessous. Sinon, en multipliant F⁰ à gauche par une suite de matrices de Bezout, on obtient une matrice équivalente

F⁰⁰=BF⁰ =BF B⁰,

dont la 1ère colonne est ^t(f₁₁⁰⁰,0, . . . ,0), avec `(f<sub>11</sub><sup>00</sup>) < `(f₁₁⁰ ). En faisant cela, on peut obtenir, à nouveau, des termes non nuls sur la 1ère ligne de F⁰⁰. Mais ce n’est pas gênant, car la longueur du coefficient d’indice (1,1) décroît strictement à chaque opération. Donc, après un nombre fini (≤`(F)) d’opérations de multiplications à droite ou à gauche par des matrices de Bezout, on obtient une matrice équivalente

F₁ =B_r· · ·B₁BF B⁰B₁⁰ · · ·B_s⁰,

dont le coefficient d’indice (1,1), appelons-le d₁, divise tous les coefficients de la 1ère ligne et de la 1ère colonne. On peut alors passer à l’étape 2).

Étape 2) Sous les hypothèses précédentes, on peut soustraire à chaque colonne un multiple de la 1ère, pour obtenir une matrice dont la 1ère ligne est (d₁,0, . . . ,0). On peut ensuite soustraire à chaque ligne un multiple de la 1ère, de façon à obtenir une matrice de la forme suivante :

F₁⁰ =







d₁ 0 · · · 0 0 c₂₂ · · · c_2m

... ... . .. ... 0 c_n2 · · · c_nm





.

Si d₁ divise tous les c_ij, on va à l’étape 3). Sinon, si d₁ ne divise pas un certain c_ij, on forme la matrice équivalente

(I_n+E_1i)F₁⁰ =







d₁ c_i2 · · · c_im 0 c₂₂ · · · c_2m ... ... . .. ... 0 c_n2 · · · c_nm





,

à laquelle on applique l’étape 1). On obtient ainsi une matrice équivalente

F₁⁰⁰=







d⁰₁ 0 · · · 0 0 c⁰₂₂ · · · c⁰_2m

... ... . .. ... 0 c⁰_n2 · · · c⁰_nm





,

où `(d<sup>0</sup><sub>1</sub>) < `(d₁) et où d⁰₁ divise tous les coefficients de la ligne i. Si d⁰₁ ne divise pas tous les coefficients d’une autre ligne, on recommence le processus.

On obtient ainsi, après un nombre fini (≤ min(`(d₁), n−1)) d’aller-retour entre les étapes 1) et 2), une matrice équivalenteF₂ de la forme

F₂=

µa₁ 0 0 B

¶ ,

oùa₁divise chaque coefficient deB ∈M_n−1,m−1(A). On observe alors quea₁ est un générateur de l’idéalJ₁(F₂), qui égale J₁(F) d’après le lemme 22.2.2.

On passe alors à l’étape 3)

Étape 3)Par hypothèse de récurrence (ou d’après l’algorithme appliqué àB), il existe P, Qinversibles telles que

P BQ=











a₂ · · · 0 · · · 0 ... . .. ... ... 0 · · · a_r · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0 · · · 0









 ,

où a_i | a_i+1 pour i = 2, . . . , r−1. D’une part, a₂ est un générateur de J₁(P BQ) = J₁(B), lequel est contenu dans J₁(F₂) = (a₁). Par conséquent, a₁ divisea₂. D’autre part,F₂, et donc F, est semblable à la matrice

F₃ =











a₁ · · · 0 · · · 0 ... . .. ... ... 0 · · · a_r · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0 · · · 0









 .

Ceci achève la démonstration de l’existence dans le théorème 22.2.3. De plus, d’après le lemme 22.2.2, on a pour touts≤min(m, n),J_s(F) =J_s(F₃). Or

ces derniers idéaux se calculent facilement : F₃ est de rang r, et pour s≤r les seuls mineurs s×snon nuls sont les produits

a_i1· · ·a_is, avec i₁<· · ·< i_s.

Commea_i|a_i+1, pouri < r, chacun de ces produits est multiple dea₁· · ·a_s. Ceci prouve que

J_s(F) = (a₁· · ·a_s), ∀s= 1, . . . , r.

Enfin, comme Aest intègre, on voit que(a_i) ={x∈A|xJ_i−1(F)⊆J_i(F)}.

Ceci montre que les idéaux (a_i) sont déterminés par les J_s(F), et donc ne dépendent que de la classe d’équivalence deF. Ceci termine la démonstration du théorème 22.2.3. ¤

Remarque 22.2.6 Lorsque (A, v) est euclidien, on n’a besoin que des ma- trices de type I ou II et l’algorithme se simplifie considérablement, cf.[Ja1],

§3.7, pp. 177-178.

Références citées dans ce chapitre

[BAlg], [BM], [Ja1]