1. Principe de superposition (théorème d'Helmholtz)

E.C.III - ÉLECTROCINÉTIQUE - RÉSEAUX

1. Principe de superposition (théorème d'Helmholtz)

• Pour un réseau dont les dipôles ont des caractéristiques affines, les équa- tions décrivant le circuit sont linéaires :

!

_j

( )

R_ijI_ij ⁼

!

j^Eij où les coeffi- cients R_ij sont des résistances, où les E_ij sont des forces électromotrices (f.e.m.) et où on somme sur les branches j constituant la maille i.

Pour de tels systèmes dʼéquations (linéaires), les courants et tensions causés par plusieurs générateurs sont les sommes des courants et tensions causés respectivement par chacun des générateurs (vrais ou modélisés).

☞

remarque : ceci suppose toutefois que les f.e.m. ont des valeurs “fixées” ; on ne peut pas généraliser aux dipôles “commandés” (dont la caractéristique dépend des tensions et/ou courants dans le circuit).

• On peut considérer par exemple le calcul du courant I₂, puis de la ten- sion U_AB, dans le montage ci-contre.

• Le courant causé par le générateur E₁ est : I₂

(1) = RE₁

R₁R₂+

(

R₁+R₂

)

^R ; le courant causé par le générateur I_c2 est : I₂

(2) =

R+R₁

( )

^R2I_c2 R₁R₂+

(

R₁+R₂

)

^R.

Le courant total cherché est donc : I₂ = I₂

(1) + I₂

(2) =

RE₁+

(

R+R₁

)

^R2I_c2 R₁R₂+

(

R₁+R₂

)

^{R .}

• Le principe de superposition sʼapplique aussi pour les tensions : U_AB(1) = R₂I₂

(1) = RR₂E₁

R₁R₂+

(

R₁+R₂

)

^{R ;}

U_AB

(2) = R₂.(I₂

(2) - I_c2) = -

RR₁R₂I_c2 R₁R₂+

(

R₁+R₂

)

^{R ;}

donc au total : U_AB = U_AB

(1) + U_AB

(2) = RR₂

E₁!R₁I_c2

R₁R₂+

(

R₁+R₂

)

^R (résultat de la loi de Millmann).

& exercice n° I.

2. Théorème de Thévenin

• Si on ne s'intéresse qu'à l'une des branches, le calcul peut être simplifié.

Dʼaprès la linéarité des équations (caractéristiques affines), toute partie du réseau entre deux nœuds A et B donnés possède une caractéristique affine ; elle peut donc être représentée symboliquement par un générateur de Théve- nin équivalent (théorème de Thévenin).

• Dans l'exemple étudié précédemment, la partie gauche du montage a une f.e.m. correspondant à sa tension “à vide” : E_eq = U_AB

(0) = E₁ R

R+R₁ ^{et une} résistance (générateur “arrêté”) : R_eq = RR₁

R+R₁^.

Il suffit alors d'en déduire le courant cher- ché par la loi de Pouillet :

I₂ =

E_eq+R₂I_c2 R_eq+R₂ ⁼

E₁R+R₂I_c2. R+

(

R₁

)

R₁R₂+

(

R₁+R₂

)

^{R .}

• On peut chercher par cette méthode la condition d'équilibre d'un pont de Wheatstone, en considérant le courant dans la branche DF (I₅ = 0) :

(circuit “à vide”)

La f.e.m. (tension U_DF “à vide”, en l'absence de R₅) peut se calculer par la méthode du pont diviseur de tension :

U_AD = E₀ R₁

R₁+R₂ ^{et UAF = E0} R₃ R₃+R₄ ^; E_eq = U_DF = U_AF - U_AD = E₀ R₂R₃!R₁R₄

R₁+R₂

( ) (

^R3+R₄

)

^.

La résistance équivalente entre D et F (générateur à l'arrêt) est :

R_eq = R₁R₂

R₁+R₂+ R₃R₄ R₃+R₄^.

• Si on cherche surtout “lʼéquilibre du pont”, défini par lʼune ou lʼautre des conditions : I₅ = E_eq

R_eq+R₅ = 0 ou U_DF = R₅I₅ = 0, on obtient : E_eq = 0, donc : R₁R₄ = R₂R₃.

3. Théorème de Norton

• De même, pour un montage dont tous les dipôles ont des caractéristiques affines, toute partie du réseau entre deux nœuds A et B donnés possède aussi une caractéristique affine ; elle peut donc aussi être représentée symbo- liquement par un générateur de Norton équivalent (théorème de Norton).

En particulier, pour lʼassemblage de deux générateurs en parallèle : les cou- rants de court-circuit sʼajoutent et les conductances sʼajoutent.

◊ remarque : d'après lʼéquivalence des représentations de Thévenin et Norton (U = E - R I équivaut à I = I_c - G U avec I_c = E

R ^{et G =} 1

R), le théorème de Norton nʼest quʼune autre façon dʼexprimer le théorème de Thévenin.

• On peut chercher ainsi la condition d'équilibre du pont de Wheatstone envi- sagé précédemment.

Le courant de court-circuit (en court-circuitant R₅) peut se calculer à partir de la loi de Pouillet, et de la méthode du “pont diviseur de courant” :

(circuit “à vide”) I₀ = E₀

R₁₃+R₂₄ avec R₁₃ = R₁R₃

R₁+R₃ ^{et R24 =} R₂R₄ R₂+R₄ ^; I₁ = I₀ R₃

R₁+R₃ ^{et I2 = I0} R₄ R₂+R₄ ^; I_c

eq = I_DF = I₁ - I₂ = E₀. R

(

₂R₃!R₁R₄

)

R₁R₃. R

(

₂+R₄

)

^+R2R₄. R

(

₁+R₃

)

^.

Le calcul de la conductance équivalente (G_eq = 1

R_eq) entre D et F est le même que pour la méthode de Thévenin.

• Si on cherche surtout “lʼéquilibre du pont”, défini par lʼune ou lʼautre des conditions : U_DF =

I_c

eq

G_eq+G₅ ^{= 0 ou I5 = G5UDF} = 0, on obtient : I_c

eq = 0, donc ici encore : R₁R₄ = R₂R₃.

& exercices n° II et III.