Su alcuni criteri di oscillazione per le equazioni differenziali lineari del secondo ordine

R ^ENDICONTI

del

S ^EMINARIO M ^ATEMATICO

della

U NIVERSITÀ DI P ^ADOVA

A ^NNA M ^ARIA B ^RESQUAR

Su alcuni criteri di oscillazione per le equazioni differenziali lineari del secondo ordine

Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 63 (1980), p. 185-198

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equazioni

differenziali lineari del secondo ordine.

A.NNA MARIA

BRESQUAR (*)

SUMaiARY - Sufficient conditions for oscillation of the

equation (r(t)y’)’

⁺

1. - Introduzione.

Si consideri

l’equazione

l’equazione (1)

^è oscillante

(1) ;

^{se invece}

l’equazione (1)

^non è oscillante.

(*) Indirizzo dell’A.: Istituto di Matematica

Applicata

dell’Università, Padova.

Lavoro

eseguito

nell’ambito dell’attività del G.N.A.F.A.

(1) ^In questo lavoro, per comodità di studio, considero solo l’oscillazione

su una semiretta.

Per ottenere criteri di oscillazione

(o

^{di non}

oscillazione)

^{nel caso}

in cui uno solo

degli integrali

diverga

è spesso utile ^{usare una} trasformazione di Kummer

Naturalmente si _suppone

(2)

di modo che il

problema

di sapere ^se

l’equazione (1)

è oscillante o no

si

trasporta

nello stesso

problema

per

l’equazione

trasformata

dove

Può

accadere,

^come

già puntualizzò Leighton [6],

^che

quando

^{uno solo}

degli integrali (4)

^è

divergente

ⁱ

corrispondenti integrali

^per

l’equa-

zione

(6)

siano entrambi

convergenti

^{o entrambi}

divergenti,

^{da cui}

l’utilità della trasformazione di Kummer.

Scegliendo,

^come è sempre

possibile,

(2) In alcuni testi si _{trova g~} E

01[a,

-~-- 00), ^il che è evidentemente una

svista.

con

l’ipotesi

l’equazione

trasformata diventa

dove

Di modo che la condizione

costituisce un criterio di oscillazione

(3)

per

l’equazione (1).

Essa si

può

^scrivere

utilmente,

tornando alla

variabile t,

In

questo

^{ordine di idee} variando la scelta della

funzione

il Willett

[13]

ha scritto alcuni interessanti criteri.

Il criterio V a pag. 272 di

[13]

è sfortunatamente errato. Esso cor-

risponde

^{al caso}

ed alla scelta

(3)

Il criterio è invertibile nel senso che: se

l’equazione

(1) è oscillante esiste una

funzione

&#x3E; 0, y ^E

C2[a,

⁺ oo) ^{tale che le}

(7’), (9)

siano verifi- cate, vedi Moore [8], p. ^126.

dove si ponga

Ponendo ancora

questa

^scelta

porterebbe,

^secondo

l’Autore,

al criterio:

l’equazione (1)

è oscillante se esiste un intero non

negativo n

^{tale che}

condizione

corrispondente

^alla verifica della

(10) (4).

Sfortunatamente la

(7’)

^{non è}

verificata,

^essendo

dove si è

posto

^{= u.}

Oltre la

dimostrazione,

è il criterio stesso che non

sussiste,

^come

dimostra il

controesempio

^del

paragrafo

^2.

Segue

^nel

paragrafo

^{3 una}

proposta

di sostituzione del criterio V di

Willett,

^{ottenuta mediante una scelta}

opportuna

^di

y(t).

^Inoltre

nel

paragrafo

^{4 viene}

proposto

^un altro criterio di oscillazione di

tipo

diverso dal

precedente,

^{ma ad esso}

collegato.

(4)

In realtà la (10) darebbe la condizione

per la

quale

^la (12) è condizione solo sufficient.

2. -

Controesempio.

L’equazione

con definita da

(11"),

^non è oscillante mentre il

corrispondente integrale (12)

^è

divergente.

Infatti la

(13)

^ammette la soluzione _y ⁼ Mentre si ha

e la condizione

(12)

^diviene

3. -

Proposta

^{di un criterio} sostitutivo.

Supposto

^come in Willett

[13]

criterio V

(pag. 272)

scegliamo

Si ha

allora, posto R(t) _

u,

mentre la

(10)

^diviene

La

(15),

ricordando che è soluzione

dell’equazione + +

⁼

0,

fornisce per la

(1)

^il

seguente

^{criterio :}

l’equazione (1)

è oscillante se esiste un intero n non

negativo

tale che

ESEMPIO. Si consideri

l’equazione

che con la condizione scritta _{per k*} è oscillante ed ammette le soluzioni

Il criterio

(16)

^è

applicabile

^{se si}

sceglie

n &#x3E;p, ^non è

applicabile

^{se si}

considera n

c p -1.

Si ha infatti dalle

(14)

e la

(16)

per n = p fornisce

mentre per n

= ~ -1

^fornisce

Scelto

-~-- h con h = 1, 2, ...

^la

(16)

^diviene

con A costante

opportuna

^{e su una}

opportuna

^semiretta.

Invece per n

= p -1- h

^con

h = 1, 2, ...

^la

(16)

^diviene

con A costante

opportuna

^{e su una}

opportuna

^semiretta.

Ci si

può

chiedere il motivo della scelta

(14’)

^di

y(t).

^Lo

spirito

del criterio V del Willett

[13]

^era che per n ⁼

0 y(t)

fosse di ordine

~.R(t)~l2

^{e desse in}

^questo

^{caso un} criterio di oscillazione per la

(1) analogo

^a

quello

fornito dal criterio II del Willett

[13]

per n ^{= 0} nel caso

Come

già

detto tale scelta di

y(t)

^{non è}

possibile perchè

^{non soddisfa}

la

(7’);

^si

può

^invece

scegliere 1p(t)

⁼⁼

~.1~(t)~-~~2

^come si ottiene dalla

(14’)

per n ^{= 0.}

Il criterio II del Willett è il

seguente; posto

l’equazione (1)

è oscillante se esiste ^un intero non

negativo

^{tale che}

Esso per n = ⁰ fornisce il criterio

Effettivamente la

(16)

per n - ⁰ fornisce

analoga

^alla

(19).

..

Tutto ciò in accordo con il lavoro di Moore

[8]

che contiene im-

plicitamente

^{nel teorema 7}

quanto

^sarebbe sufhciente per stabilire i criteri

(19)

^e

(20), corrispondenti

alle trasformazioni di Kummer da lui citate

Ovviamente la funzione

y(t)

^{data da}

(14’)

^non è l’unica che coincide

con

[_R(t)]-112

per n ⁼

O,

^ma tale funzione ha il

vantaggio

^{di rendere}

semplicissimo

il calcolo della

(10)

^{e di avere} ordine di infinitesimo decrescente al crescere di ~~.

Questo

ultimo fatto dovrebbe in

generale

rendere

migliore

^{il criterio}

(16)

^{al crescere di n. Ad}

esempio

^{la scelta}

1p(t)

⁼

.L~ 1~2 (.R(t))

^{dà un} criterio che

peggiora

^{al crescere di n.}

Infatti,

~eliminati i termini ad

integrale convergente,

^{si riduce a}

4. - Secondo criterio di oscillazione.

Nel

paragrafo

^{3 abbiamo} visto che

l’equazione (1)

^è oscillante se

è verificata la

(16)

^{cioè se esiste un intero non}

negativo n

^{tale che}

Nel caso che

questo integrale

converga nel ^senso di

Cauchy-Lebesgue,

ferme restando le altre

ipotesi

^su

r(t)

^e

q(t),

^{vale il}

seguente

^{criterio :}

l’equazione (1)

è oscillante se esiste un intero non

negativo n

tale che

con

~; &#x3E; 4,

per t &#x3E; to &#x3E; an+x ^{con O}

(6).

Si noti che

questa

^ultima

condizione,

^{che è stata}

aggiunta

^per

semplicità, può

sempre ^essere verificata per

ogni n purchè

^{si molti-}

plichi l’equazione (1)

per ^una costante

opportuna,

oppure è certa- mente verificabile

dall’equazione (1)

per n abbastanza

grande.

Preliminare alla dimostrazione del criterio è il

seguente

^teorema

dovuto a Taam.

TEOREMA

(Taam).

Considerate le due

equazioni

differenziali

con

C1[a, + oo),

qj E

C[a, + oo), (j =1, 2 ),

esistano nel senso di

Cauchy-Lebesgue gli integrali

Supposto

^che

se la

( 22’ )

^{non è}

oscillante,

^{non lo è nemmeno la}

(22).

Si utilizzerà per la dimostrazione del criterio

(21)

^il

seguente

^co-

rollario al teorema di Taam.

(5)

Precisamente nel caso n ⁼ 0 si suppone ⁼ 0; ^nei casi n ⁼

= 1, 2, 3, ^{... si} _suppone ^{anche = 0.}

COROLLARIO. Considerate le due

equazioni

con 1

esistano nel senso di

Cauchy-Lebesgue gli

^e

valga

^la

disuguaglianza

^t

allora,

^{se la}

(24) oscilla,

oscilla anche la

(24’).

Infatti il cambio di variabile

riduce

questo

enunciato al

precedente

^{nel caso}

particolare ri(u)

⁼

=

r2(u)

^{= 1}

(g).

DIMOSTRAZIONE DEL CRITERIO.

a)

^{Caso n = 0. Si tratta} di dimostrare che la condizione

con k &#x3E;

1,

t &#x3E; to &#x3E; a1, log R(a1) ^{= O} assicura l’oscillazione

dell’equa-

zione

(1).

Eseguo

il solito cambiamento di variabili:

(6) Questo corollario rientra nel teorema 10 a pag. ¹⁶ di

[2].

In virtù

dell’ipotesi

⁼

0,

^{si ha T =}

log R(t)

^e

l’equazione (1)

si muta nella

(8)

^con

di modo che la

(25), posto u

⁼

log .R(s), equivale

^a

con k

&#x3E; ~,

^T &#x3E;

log R(to)

&#x3E;

log

^{= 0.}

D’altra

parte

^la

(26),

vedi in sostanza Taam

[9],

costituisce un

criterio di oscillazione per la

(8)

da cui la conclusione.

b )

^{Casi n =}

1, 2, 3,

^{.... Fissato un} valore di n, si esegua il cambiamento di variabile

L’ipotesi

^{O fornisce 7: =}

1,,(R(t»

^e

l’equazione (1)

^{si muta}

nella

(8)

^con fornita da

(8’).

^{Calcolo ora}

l’espressione

Utilizzando i calcoli fatti per ottenere la

(16)

^{si ha}

Di modo che la

(21), posto u

⁼

equivale

^a

con

~&#x3E; ,

^{e tutto si riduce a dimo-}

strare che la

(27)

^{è una} condizione sufficiente _per l’oscillazione del-

l’equazione (8)

A tale scopo si considerino infatti le due

equazioni

La sostituzione

y(r)

⁼

z-’12 x(,r)

^{muta la}

(28) nell’equazione

e la

( 28’ ) nell’equazione

che è notoriamente oscillante

per k &#x3E; ~ . L’applicazione

del corollario del teorema di Taam alle

(28)

^e

(28’),

^resa

possibile

^dalla

(27),

^con-

duce alla conclusione.

ESEMPIO. Si vede subito che il criterio

(21)

^è

applicabile all’equa-

zione

(17)

per n

= p -1.

5. -

Osservazioni.

La condizione

(27)

che assicura l’oscillazione

dell’equazione d2zfdr2

^{= 0}

migliora

un risultato di

Wray [15]

che ha ottenuto come condizione di oscil- lazione la

doppia disuguaglianza

supposta

valida per

qualche u &#x3E; 0, e

&#x3E; 0.

Egli

inoltre ha ottenuto il risultato che la condizione

con

,u &#x3E; 0,

assicura la non oscillazione

dell’equazione (8).

Si noti che mentre la condizione

(26)

^di oscillazione per

l’equazione (8)

rientra nel criterio di oscillazione di Hartman

ciò non è vero per la condizione di oscillazione

(27).

^Infatti

l’equazione

verifica la

(27),

^{ma non la}

(29).

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Manoscritto

pervenuto

ⁱⁿ redazione il 2 ottobre 1979.