Bac 2008 Nouvelle Calédonie

(1)

D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php

Terminale S Nouvelle Calédonie, Avril 2008 Sujets de Bac

1

Nouvelle-Calédonie 2008 et Corrigé

Exercice 1 – 5 pts

On considère la fonction f définie sur ]−1 ; 6[ par

( )

⁹

f x 6

= x

− . On définit pour tout entier naturel n la suite (U_n) par

0

( )

1

3

n n

U

U ₊ f U

 = −

 =

 .

1. La courbe représentative de la fonction f est donnée ci-dessous accompagnée de celle de la droite d’équation y = x.

Construire, sur ce graphique les points M₀(U₀ ; 0), M₁(U₁ ; 0), M₂(U₂ ; 0), M₃(U₃ ; 0) et M₄(U₄ ; 0).

Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite (U_n) ? 2a. Démontrer que si x < 3 on a alors 9

6 x<3

− . En déduire que Un < 3 pour tout entier naturel n.

2b. Étudier le sens de variation de la suite (U_n).

2c. Que peut-on déduire des questions 2. a. et 2. b. ? 3. On considère la suite (V_n) définie par 1

n 3

n

V =U

− pour tout entier naturel n.

3a. Démontrer que la suite (V_n) est une suite arithmétique de raison 1

−3. 3b. Déterminer Vn puis Un en fonction de n.

3c. Calculer la limite de la suite (U_n).

- 1 0 1 2 3 4 5 6 7

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6

x y

Exercice 2 (spécialistes) – 5 pts Partie A : Question de cours

Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les puissances ? Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.

Partie B

On note 0, 1, 2, . . . , 9, α ^, β, les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :

12 2

7 12 12 7 11 144 10 12 7 1711

βα = ×β + × + = ×α + × + = en base 10.

(2)

2

1a. Soit N1 le nombre s’écrivant en base 12 : N₁=β α1 ¹². Déterminer l’écriture de N1 en base 10.

1b. Soit N₂ le nombre s’écrivant en base 10 : N₂=1131= ×1 10³+ ×1 10²+ × +3 10 1^. Déterminer l’écriture de N₂ en base 12.

Dans toute la suite un entier naturel N s’écrira de manière générale en base 12 : N =a a_{n n}₋₁...a a_{1 0}¹²^. 2a. Démontrer que N ≡a0

[ ]

3 . En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un nombre écrit en base 12.

2b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N₂ est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10.

3a. Démontrer que ^N ≡âⁿ+âⁿ−¹+ + +^... â¹ â⁰

[ ]

¹¹ . En déduire un critère de divisibilité par 11 d’un nombre écrit en base 12.

3b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10.

4. Un nombre N s’écrit N =x y4 ¹². Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33.

Exercice 2 (non spécialistes) Non Communiqué

Exercice 3 – 5 pts

Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu’à l’âge de trois mois : - pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 10 % n’ont pas survécu, 75 % deviennent rouges et les 15 % restant deviennent gris.

- pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 5 % n’ont pas survécu, 65 % deviennent rouges et les 30 % restant deviennent gris.

Une animalerie achète les alevins, à l’âge de deux mois : 60 % au premier éleveur, 40 % au second.

1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l’animalerie, c’est-à-dire à l’âge de deux mois.

1a. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de 0,92.

1b. Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.

1c. Sachant que le poisson est gris à l’âge de trois mois, quelle est la probabilité qu’il provienne du premier élevage ? 2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 5 alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu’un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à 10⁻² près.

3. L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de trois mois, afin qu’ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne 1 euro si le poisson est rouge, 0,25 euro s’il est gris et perd 0,10 euro s’il ne survit pas.

Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par poisson acheté.

Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique, arrondie au centime.

Exercice 4 – 5 pts L’espace est rapporté à un repère (O i j k; , , )

, orthonormé. Soit t un nombre réel.

On donne le point A(−1 ; 2 ; 3) et la droite D de système d’équations paramétriques :

9 4 6 2 2

x t

y t

z t

= +



= +

 = +



.

Le but de cet exercice est de calculer de deux façons différentes la distance d entre le point A et la droite D.

1a. Donner une équation cartésienne du plan P perpendiculaire à la droite D et passant par A.

1b. Vérifier que le point B(−3 ; 3 ; −4) appartient à la droite D.

1c. Calculer la distance d_B entre le point B et le plan P.

1d. Exprimer la distance d en fonction de d_B et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de d.

2. Soit M un point de la droite D. Exprimer AM² en fonction de t. Retrouver alors la valeur de d.

(3)

3

Nouvelle-Calédonie 2008 Correction

Exercice 1 1.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x y

2a. > On peut raisonner de deux manières : soit directement par inégalités, soit en étudiant les variations de f.

Méthode 1 : Si x < 3, − > −x 3⇒6− >x 3 donc on a 1 1 9 6 x<3⇒6 x<3

− − .

Méthode 2 : f est dérivable sur I = ]− ∞;3[et on a

( )

²

' 9 0

6 f x

x

= >

− donc f est strictement croissante sur I.

Par conséquent, si x < 3 on a f(x) < f(3) et comme f(3) = 3, le résultat est obtenu.

> Démontrons par récurrence que pour tout naturel n, u_n<3. Soit P(n) la proposition « u_n <3 »

* U₀ < 3 par définition donc P(0) est vraie

* supposons que U_n<3 : d’après le résultat ci-dessus on a alors

( )

⁹ ³

n 6

n

f U = U <

− cad U_n₊₁<3. La démonstration par récurrence est donc achevée.

2b. Pour étudier le sens de variation de la suite (U_n), on étudie le signe de u_n₊₁−u_n :

( )

²

2 1

6 9 3 9

6 6 6

n n n

u u u

+ − = − = − + = −

− − − qui est positif puisque U_n < <3 6. La suite est donc croissante.

Remarque : on rappelle que si on a une suite définie par u_n₊₁ = f u( _n) avec f croissante, alors la suite

( )

un est monotone.

elle sera croissante si les deux premiers termes sont rangés dans un ordre croissant : u₀ <u₁. elle sera décroissante si les deux premiers termes sont rangés dans un ordre décroissant : u₀>u₁.

Ce résultat est « hors programme » et ne peut être utilisé tel quel, vous devez donc le redémontrer pour l’utiliser (genre comme ci-dessus ou par récurrence).

2c. La suite est croissante, majorée par 3, donc elle converge vers un réel L inférieur à 3.

La suite semble croissante et elle semble converger vers 3, qui est visiblement le point fixe de f.

(4)

4

3. Remarquons qu’ici, l’énoncé ne cherche par à nous faire utiliser le théorème du point fixe vu en cours. On suit donc la démarche qu’il nous propose…

3a. Pour prouver qu’une suite est arithmétique, on montre que v_n₊₁−v_n ne dépend pas de n.

On a ₁

1

6 6

1 1 1

3 9 9 3 3 3

6 3

n n

n

n n n

n

u u

v u u u

u

+ +

− −

= = = = ×

− − − + −

−

: par conséquent

1

6 6 3

1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 1 3 3 3

n n n

n n

n n n n

u u u

v v

u u u u

+ −  −   − 

− = × − =  − =  = −

− − −   −   : la suite est bien arithmétique de raison

1

−3. 3b. ₀

0

1 1

3 6

v =u = −

− d’où ₀ 1 1 1 2

6 3 6

n

v = +v nr= − − n= − + n et 1 6

3 3

2 1

n

u = +v = − n + .

3c. Avec les théorèmes usuels, on en déduit bien que la suite converge vers 3.

Exercice 2 (spécialistes) Partie A : Question de cours

Les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les puissances sont : si ^a^≡^{a p}^'

[ ]

^et^b^≡^{b p}^'

[ ]

^alors

> ^{a b}^{+ ≡ +}^a^' ^{b p}^'

[ ]

^,

> ^ab^≡^{a b p}^{' '}

[ ]

^et

> ^aⁿ^≡^a^'ⁿ

[ ]

^p pour tout entier naturel n.

Démontrons la propriété de compatibilité avec la multiplication : supposons que ^a^≡^{a p}^'

[ ]

^et ^b^≡^{b p}^'

[ ]

^cad

qu’il existe k et h tels que a=pk+a', b=ph b+ '.

Par conséquent : ^ab ^{p kh}² ^{a ph b pk}^' ^' ^{a b}^{' '} ^{a b}^{' '} ^{p pkh}

(

^{a h b k}^' ^'

)

∈

= + + + = + + +

ℤ

.= d’où le résultat.

Partie B

On note 0, 1, 2, . . . , 9, α ^(=10),β (=11), les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :

12 2

7 12 12 7 11 144 10 12 7 1711

βα = ×β + × + = ×α + × + = en base 10.

1a. On a N₁=β α1 ¹²=12²× + × +11 12 1 10=1606en base 10.

1b. Nous devons faire des divisions successives par 12 : 1131≡ ×12 94 3+ , 94≡ × +12 7 10= × +12 7 α , donc on a N₂ =7 3α ¹²= ×7 12²+ × + = ×α 12 3 7 144 10 12 3+ × + =1131.

2a. Par définition N=12ⁿ⁻¹×a_n+ + × +... 12 a₁ a₀ : passons cette égalité modulo 3, comme 12 est congru à 0 il vient N≡a₀[3].

Ainsi, N écrit en base 12 est divisible par 3 ssi le dernier chiffre de N est divisible par 3.

2b. N₂ se termine par 3 en base 12, il est bien divisible par 3.

En base 10 la somme des chiffres est 6, il est donc divisible par 3, ce qui cohérent (heureusement !).

(5)

5

3a. Par définition N=12ⁿ⁻¹×a_n+ + × +... 12 a₁ a₀ : passons cette égalité modulo 11, comme 12 est congru à 1 il vient N ≡a_n+a_n₋1+ + +... a1 a0

[ ]

11 .

Ainsi N est divisible par 11 (N écrit en base 12) ssi la somme de ses chiffres (en base 12) est divisible par 11.

3b. La somme des chiffres de N₁ en base 12 est β+ + =1 α 11 1 10+ + =22 donc N₁ est divisible par 11.

Rappelons que N₁en base 10 vaut 1606 : comme 1606 = 11 × 146, encore une fois, tout est cohérent…

4. 3 et 11 étant premiers entre eux, N est divisible par 33 ssi il est divisible par 3 et 11.

Un nombre N s’écrit N =x y4 ¹². Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33 donc ssi le dernier chiffre y=3k, et x+ + =4 y 11 'k .

On résout donc : 3 3

4 3 11 ' 11 ' 3 4

y k y k

x k k x k k

= =

 

⇔

 

+ + = = − −

  ; les valeurs possibles de k sont 0, 1, 2, 3 :

k y x k’ N N (b. 10)

0 0 11k’−4 k’=1 soit x=7 740¹² 1056

1 3 11k’−7 k’=1 soit x=4 443 ¹² 627

2 6 11k’−10 k’=1 soit x=1 146¹² 198

3 9 11k’−13 k’=2 soit x=9 949¹² 1353

Exercice 3

Soit E_i l’évènement le poisson vient de l’élevage n° i, S « il survit », G « il est gris », R « il est rouge ».

1. Construisons l’arbre de probabilité associé à la situation

⁼^0.92^.

E1 et comme

( ) ( )

( )

1 1

G

p E G

p E

= p G∩

, on en déduit comme dans les calculs précédents que

( )

1

0.6 0.15

0.429 0.6 0.15 0.4 0.3

pG E = × ≈

× + × .

R G

0.75

0.15 E1

0.6

E2 0.4

0.1 S

R G

0.65

0.3

0.05 S

(6)

6

2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 5 alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu’un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à 10⁻² près.

^0,1

) ( )

^{0, 08}

p X = − = p S = .

On sait alors que le gain moyen sera donné par ^E

( )

X =0,71 1 0, 25 0,21 0,1 0,08× + × − × =0,75 cent. Exercice 4

Heuu… faites un dessin…

1a. Un vecteur directeur de D est

(

4 ; 1 ; 2 : le point M(x,y,z) est dans P ssi

)

1 4

. 0 2 . 1 0 4 2 4 0

3 2

x

AM n y x y z

z +

   

   

= ⇔ −   = ⇔ + + − =

 −   

   

.

1b. Il faut trouver t :

3 9 4 3

3 6 3

4 2 2 3

t t

− = + = −

 

 

= + ⇔ = −

 

− = +  = −

 

; on a la même valeur de t pour les trois lignes donc B est bien sur la droite.

1c. D’après le cours, la formule de la distance est :

2 2 2

4 3 1 3 2 4 4 21

21 4 1 2 21

dB × − + × + × − −

= = =

+ + .

1d. A est sur le plan P, B est sur la droite D orthogonale à P, on utilise le théorème de Pythagore :

( )

²

( )

²

2 2 2_B 2 2 2_B 2 12 7 21 54 21 33 33

AB =d +d ⇔d = AB −d = − + + − − = − = ⇒d₌ .

2. Allons y ! ^AM² ⁼

(

⁹^{+ +}⁴^t ¹

) (

²⁺ ⁶^{+ −}^t ²

) (

²⁺ ^{2 2}^{+ −}^t ³

)

² ⁼^{100 80}⁺ ^t⁺¹⁶^t²⁺¹⁶^{+ + +}⁸^t ^t² ⁴^t²^{− +}⁴^t ¹^{, soit}

( )

2 117 84 212

AM =f t = + t+ t .

f est un trinôme avec a = 21 donc on sait qu’elle atteint son minimum lorsque ^f^'

( )

^t ^{= ⇔}⁰ ⁸⁴⁺⁴²^t^{= ⇔ = −}⁰ ^t ²^.

Ainsi la distance minimale est ^d⁼ ^f

( )

⁻² ⁼ ^{117 168 84}⁻ ⁺ ⁼ ³³^.