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Organisation de l’UE Programme national : M2201 - Culture scientifique et traitement de l’information

1. Mathématiques pour l’informatique (20h) :

▶ vocabulaire de la théorie des ensembles ;

▶ prédicats, calcul des propositions, raisonnement ;

▶ arithmétique.

2. Numérisation et transmission du signal (30h)

IUT1 - M2201a

▶ 8h de cours

1. Logique des propositions (3h) 2. Logique des prédicats (2h) 3. Théorie des ensembles (3h)

▶ 10h de TD

▶ Évaluation :

▶ contrôle continu : un DS (15 min) type QCM + petites questions à la fin de chaque partie.

▶ un partiel final me contacter : benoit.landrieu@univ-grenoble-alpes.fr

Introduction

Un petit jeu ! Question 1

« J’ai un couteau et une fourchette »

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Introduction

Un petit jeu ! Réponse 1

« J’ai un couteau et une fourchette »

Introduction

Un petit jeu ! Question 2

« J’ai un couteau ou une fourchette »

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Introduction

Un petit jeu ! Réponse 2

« J’ai un couteau ou une fourchette »

Introduction

Un petit jeu ! Question 3

« Je n’ai pas de couteau »

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Introduction

Un petit jeu ! Réponse 3

« Je n’ai pas de couteau »

Introduction

Un petit jeu ! Question 4

« Si j’ai un couteau, alors j’ai une fourchette »

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Introduction

Un petit jeu ! Réponse 4

« Si j’ai un couteau, alors j’ai une fourchette »

Introduction

Un petit jeu !

Question 5

1. "Si je n’ai pas de couteau, alors j’ai une fourchette ou je n’ai pas de cuillère."

2. "Si j’ai une cuillère et un couteau, alors j’ai une fourchette."

3. "Je n’ai pas de fourchette."

Que peut-on en déduire ?

"Je n’ai pas de fourchette et je n’ai pas de cuillère mais peut être que j’ai un couteau."

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Introduction

Observations

1. le langage naturel est ambigu

⇒ nécessité de modéliser

2. raisonner sur de nombreux faits est compliqué

⇒ nécessité d’avoir des outils pour la déduction

Syntaxe

Littéraux

Définition 1

Un littéralest un symbole propositionnel ou sa négation.

Soient :

▶ c= "j’ai un couteau"

▶ f = "j’ai une fourchette"

▶ u = "j’ai une cuillère"

▶ v = "j’ai des couverts"

c,f,u,v sont deslittéraux.

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Syntaxe

Connecteurs

Définition 2

Unconnecteurest un symbole parmi l’ensemble des symboles suivants : connecteurs signification exemple

¬ ^non "Je n’ai pas de couteau"

∧ et (Conjonction) "J’ai un couteau et une four- chette"

∨ ou inclusif (Disjonction) "J’ai un couteau ou une four- chette (ou les deux)."

⊕ ou exclusif "J’ai un couteau ou une four- chette, mais pas les deux."

⇒ implication "Si j’ai un couteau, alors j’ai une fourchette"

⇔ équivalence

"J’ai des couverts si et seule- ment si j’ai un couteau ou une fourchette ou une cuillère"

Syntaxe

Formule

Définition 3

Une formuleest un ensemble de littéraux, de parenthèse et de connecteurs.

Les propositions suivantes sont modélisées sous forme de formule:

propositions formule

"Je n’ai pas de couteau." ¬c

"J’ai un couteau et une fourchette." c∧f

"J’ai un couteau ou une fourchette (ou les deux)." c∨f

"J’ai un couteau ou une fourchette, mais pas les

deux." c⊕f

"Si j’ai un couteau, alors j’ai une fourchette." c⇒f

"J’ai des couverts si et seulement si j’ai un

couteau ou une fourchette ou une cuillère." v⇔(_c∨f∨u)

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Syntaxe

Modélisation

Exercice

1. Il est trois heures et j’ai soif.

2. S’il est trois heures alors j’ai soif.

3. Si j’ai soif alors mon verre est vide.

4. Si je n’ai pas soif, alors mon verre n’est pas vide.

▶ t = "Il est trois heures."

▶ s = "J’ai soif."

▶ v = "Mon verre est vide."

1. F1= (t∧s) 2. F2= (t ⇒s) 3. F3= (s⇒v) 4. F4= (¬s⇒ ¬v).

Introduction

Définition 4

Vest la constante qui désigne quelque chose de vrai etFcelle qui désigne quelque chose de faux.

Définition 5

Donner uneinterprétationà uneformuleconsiste à donner une valeur de vérité à tous seslittéraux.

"J’ai un couteau et une fourchette." :P=c∧^f.

Interprétation c f

I1 F F

I2 F V

I3 V V

I4 V F

Remarque

Il y a2ⁿ interprétations possible d’uneformuleavecnlittéraux.

Tables de vérité

Définition 6

Une table de vérité récapitule les valeurs de vérité d’uneformuleselon chacune de ses interprétations possibles.

Table de vérité de P=c∧f :

Interprétation c f P=c∧f

I₁ F F F

I₂ F V F

I₃ V V V

I₄ V F F

Sémantique

Tables de vérité

Connecteurs

¬: non

p ¬p

V F

F V

⊕: ou exclusif :

p q p⊕q

V V F

V F V

F V V

F F F

∧: et

p q p∧q

V V V

V F F

F V F

F F F

⇒: implication p q p⇒q

V V V

V F F

F V V

F F V

∨: ou inclusif p q p∨q

V V V

V F V

F V V

F F F

⇔: équivalence p q p⇔q

V V V

V F F

F V F

F F V

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Implication

source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Implication_(logique)La proposition « p⇒q » (« p implique q ») est logiquement équivalente à

« ¬p∨q » (« non(p) ou q »).

On présente généralement cette propriété comme un théorème qui se démontre en remarquant que les tables de vérités de « p⇒q » et de

« ¬p∨q » sont exactement les mêmes. Certains ouvrages de mathématique utilisent aussi parfois cette propriété comme une définition de «p⇒q ». Il n’est pas rare que des objets mathématiques puissent avoir plusieurs définitions. Mais il y a généralement une définition plus classique ou plus conforme à l’histoire et la chronologie de lapparition de ces objets dans le corpus correspondant, même si d’autres définitions sont parfois plus pratiques à manipuler. L’avantage de définir « p⇒q » = « ¬p∨q » est d’avoir une définition algébrique compacte, que l’on peut donc manipuler plus facilement dans des développements mathématiques qu’une table de vérité. Mais il est quand même préférable et plus conforme à la logique chronologique de définir cet opérateur binaire à partir de sa table de vérité tout comme ses homologues « ¬ » (non), «∨ » (ou), et∧ (et).

Exemples

▶ 2 = 2⇒2×0 = 2×0: (exemple de Vrai ⇒Vrai), cette implication est valide (Vraie) car on a le droit de multiplier les 2 membres par 0

▶ 2²=(−2)²⇒2 =−2 : (exemple de Vrai⇒ Faux ), cette implication est invalide (Fausse) car en prenant la racine on doit écrire +−

▶ 2 = 1⇒2×0 = 1×0: (exemple de Faux ⇒Vrai), cette implication est valide (Vraie) car on a le droit de multiplier les 2 membres par 0

▶ 2 = 1⇒2+1 = 1+1: (exemple de Faux ⇒Faux ), cette implication est valide (Vraie) car on a le droit d’ajouter 1 aux 2 membres

Le connecteur « implique » a donc une propriété qui le différencie d’un

« donc » intuitif : d’après la table de vérité ci-dessus, si une proposition p est fausse, alors elle implique n’importe quelle autre proposition q, vraie ou fausse. Dans les exemples 3 et 4 ci-dessus on voit bien que des

manipulations mathématiques licites (l’opérateur binaire « implique » est vrai, ainsi que la règle de déduction mathématique) conduit d’une

proposition pfausse (2=1) à une propositionq vrai (0=0) ou fausse (3=2).

Sémantique

Tables de vérité

Décomposition

Soient p= "J’ai du pain" et q="Je vais à la boulangerie". Que signifie Q=¬(p∧((p∨q) ⇒q))?

Table de vérité deQ :

p q T1 = (p∨q) T2 = (T1⇒ q) T3= (p∧T2) Q= (¬T3)

F F F V F V

F V V V F V

V V V V V F

V F V F F V

Q⇔ ¬(p∧q) est valide doncQsignifie "Si j’ai du pain alors je ne vais pas à la boulangerie".

Sémantique

Tables de vérité

Exercice

1. "Si je n’ai pas de couteau, alors j’ai une fourchette ou je n’ai pas de cuillère."

2. "Si j’ai une cuillère et un couteau, alors j’ai une fourchette."

3. "Je n’ai pas de fourchette."

Que peut-on en déduire ?

Soient :

▶ c="J’ai un couteau"

▶ f ="J’ai une fourchette"

▶ u="J’ai une cuillère"

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c f u T₁= (¬c⇒(f ∨ ¬u)) T₂= ((u∧c)⇒f) T₃= (¬f)

F F F V V V

F F V F V V

F V F V V F

F V V V V F

V F F V V V

V F V V F V

V V F V V F

V V V V V F

"Je n’ai pas de fourchette et je n’ai pas de cuillère mais peut être que j’ai un couteau."

Sémantique

Propriétés

Définition 7

Une interprétationI de laformule Ptelle que la valeur de vérité dePest VRAI est appelée unmodèle deP. Une interprétation qui n’est pas un modèle est un contre-modèle.

Soit I1 telle queI1(p) =V etI1(q) =F.I1 est un modèle de S1=p∨qmais I1 est un contre modèle de S2=p∧q.

Définition 8

Une formuleest satisfiable ssi elle possède un modèle.

S1 est satisfiable,I1 en est un modèle.

Définition 9

Une formuleest insatisfiable ssi elle ne possède pas de modèle.

S3 =p∧ ¬p est insatisfiable ; il n’existe aucun modèle deS3.

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Sémantique

Propriétés

Définition 10

Une formuleest contingentessi elle possède au moins un modèle et un contre-modèle.

S1 est contingente,I1 en est un modèle et I2 un contre-modèle.

AvecI2 telle queI2(p) =Fet I2(q) =F. Définition 11

Une formuleest validessi toute interprétation est un modèle. On dit aussi que cette formule est unetautologie.

S4 =p∨ ¬p est valide.

Sémantique

Propriétés

Exercice

Ces propositions sont-elles satisfiables, contingentes, insatisfiables ou valides ?

1. p∨q 2. p∨ ¬p 3. p∧ ¬p 4. (p⇒q)⊕q

1. satisfiable, contingente 2. satisfiable, valide 3. insatisfiable

4. satisfiable, contigente

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Équivalence

Définition 12

P≡Q ssi (P⇔Q) est valide.

Exemple 1

(p⇒q)≡(¬q⇒ ¬p)

p q (p⇒q) (¬q⇒ ¬p) (p⇒q)⇔ (¬q⇒ ¬p)

F F V V V

F V V V V

V V V V V

V F F F V

Règles de calcul

Propriété 1

¬est prioritaire sur∧ et ∨qui sont prioritaires sur⇒ et⇔.

▶ Idempotence :

P∧P≡P P∨P≡P

▶ Associativité :

((P∧Q)∧R)≡(P∧(Q∧R))≡P∧Q∧R ((P∨Q)∨R)≡(P∨(Q∨R))≡P∨Q∨R

▶ Commutativité :

(P∧Q)≡(Q∧P) (P∨Q)≡(Q∨P)

Règle de calcul

▶ Distributivité :

P∧(Q∨R))≡(P∧Q)∨(P∧R) P∨(Q∧R))≡(P∨Q)∧(P∨R)

▶ Absorption :

P∨(P∧Q)≡P P∧(P∨Q)≡P

▶ Double négation :

¬¬P≡P

▶ Lois de De Morgan :

¬(P∧Q)≡(¬P∨ ¬Q)

¬(P∨Q)≡(¬P∧ ¬Q)

▶ Implication et équivalence :

(P⇒Q)≡(¬P∨Q) (P⇔Q)≡((P⇒Q)∧(Q⇒P))

Equivalence de formules logiques

Faux p∧F≡F

p∨F≡p

Vrai p∧V≡p

p∨V≡V Contradiction p∧ ¬p≡F Tiers-exclus p∨ ¬p≡V

Formes normales

▶ Système suffisant de connecteurs : ¬, ∧, ∨

▶ Formes normales

▶ Conjonctive (FNC) : conjonction de disjonctions de littéraux (P∨Q)∧(P∨ ¬R)

▶ Disjonctive (FND) : disjonction de conjonctions de littéraux (P∧Q)∨(P∧ ¬R)

▶ Mise sous forme normale

▶ Suppression des connecteurs⇒,⇔

▶ Réduction des négations (doubles négations, lois De Morgan)

▶ Distributivité, commutativité, absorption

▶ Exemple (FNC) :

¬P⇒(Q∧R)

≡ ¬¬P∨(Q∧R)

≡P∨(Q∧R)

≡(P∨Q)∧(P∨R)

Preuves

Méthodes de preuve :

▶ table de vérité

▶ preuve directe

▶ preuve par contraposée

▶ preuve par l’absurde (par contradiction)

▶ . . .

Preuve directe

Définition 13

Pour démontrerP⇒Q, on suppose quePest vrai et on montre queQest vrai.

1. « Si je n’ai pas de couteau, alors j’ai une fourchette ou je n’ai pas de cuillère. » 2. « Si j’ai une cuillère et un couteau, alors j’ai une fourchette. »

3. « Je n’ai pas de fourchette. »

Démonstration.

SoitF= (¬c⇒(f∨ ¬u))∧((u∧c)⇒f)∧(¬f)

¬c⇒(f∨ ¬u))∧((u∧c)⇒f)∧(¬f)

≡¬¬c∨[(f∨ ¬u)]∧[¬(u∧c)∨f]∧ ¬f car(P⇒Q)≡(¬P∨Q)

≡[c∨f∨ ¬u]∧[¬u∨ ¬c∨f]∧ ¬f en vertu des lois d’associativité et de De Morgan

≡[c∨ ¬u]∧[¬u∨ ¬c]∧ ¬f car¬f

≡¬u∧[c∨ ¬c]∧ ¬f en vertu de la loi de distributivité

≡¬u∧ ¬f

Preuve par contraposée

Définition 14

Pour démontrerP⇒Q, on démontre la contraposée¬Q⇒ ¬Ppar preuve directe.

1. « Si je n’ai pas de couteau, alors j’ai une fourchette ou je n’ai pas de cuillère. » 2. « Si j’ai une cuillère et un couteau, alors j’ai une fourchette. »

3. « Je n’ai pas de fourchette. »

Démonstration.

SoitF= (¬c⇒(f∨ ¬u))∧((u∧c)⇒f)∧(¬f).

¬F≡ ¬[(¬c⇒(f∨ ¬u))∧((u∧c)⇒f)∧(¬f)]

≡ ¬(¬c⇒(f∨ ¬u))∨ ¬((u∧c)⇒f)∨ ¬(¬f) car¬(P∧Q∧R)≡ ¬P∨ ¬Q∨ ¬R

≡ ¬(c∨f∨ ¬u)∨ ¬(¬(u∧c)∨f)∨f car(P⇒Q)≡(¬P∨Q)

≡(¬c∧ ¬f∧u)∨ ¬(¬u∨ ¬c∨f)∨f Loi de Morgan et¬¬P≡P

≡(¬c∧ ¬f∧u)∨(u∧c∧ ¬f)∨f Loi de Morgan et¬¬P≡P

Prouvons que¬(¬u∧ ¬f)⇒ ¬F

¬(¬u∧ ¬f)

≡u∨f De Morgan

≡(u∧(c∨ ¬c)∨f c∨ ¬cest valide

≡(u∧c)∨(u∧ ¬c)∨f distributivitéP∧(Q∨R)≡(P∧Q)∨(P∧R)

≡(u∧c∧ ¬f)∨(u∧ ¬c∧ ¬f)∨f

≡(u∧c∧ ¬f)∨(¬c∧ ¬f∧u)∨f commutativité

≡(¬c∧ ¬f∧u)∨(u∧c∧ ¬f)∨f commutativité

≡¬F

Preuve par l’absurde

Définition 15

Pour démontrerP⇒Q, on supposeP⇒Qest faux, donc quePest vrai et Qest faux et on trouve une contradiction.

1. « Si je n’ai pas de couteau, alors j’ai une fourchette ou je n’ai pas de cuillère. »

2. « Si j’ai une cuillère et un couteau, alors j’ai une fourchette. » 3. « Je n’ai pas de fourchette. »

Démonstration.

SoitF= (¬c⇒(f∨ ¬u))∧((u∧c)⇒f)∧(¬f).

Prouvons queF∧ ¬(¬u∧ ¬f)est faux(en effet on a déjà montrer de plusieurs façon queF≡ ¬u∧ ¬f).

[(¬c⇒(f∨ ¬u))∧((u∧c)⇒f)∧(¬f)]∧ ¬[¬u∧ ¬f]

≡. . . déjà fait lors de la preuve directe

≡

≡[¬u∧ ¬f]∧ ¬[¬u∧ ¬f]

contradiction en effet¬P∧Pest insatisfiable (toujours faux)