UNE APPROCHE D’OPTIMISATION-BASEE SUR LA SIMULATION POUR LA CONCEPTION D’UN RESEAU DE DISTRIBUTION STOCHASTIQUE MULTI FOURNISSEURS
F. MALIKI, L. BENYOUCEF Z. SARI
Univ. Abou-Bekr Belkaid / INRIA COSTEAM Project, ISGMP Univ. Abou-Bekr Belkaid B. P. N˚ 119 Tlemcen Alg´erie/ Bˆat. A, Ile de Saulcy, Metz 57000 France B. P. N˚ 119 Tlemcen Alg´erie
f.maliki@univ-tlemcen.dz, lyes.benyoucef@loria.fr z.sari@univ-tlemcen.dz
R ´ESUM´E : Dans cet article, nous traitons un probl`eme de conception d’un r´eseau stochastique de distribution o`u les d´ecisions strat´egiques de choix des fournisseurs, de localisation des centres de distribution (DCs) et d’affectation des zones de demande/d´etaillants sont int´egr´ees dans un mˆeme mod`ele d’optimisation non-lin´eaire.
Le r´eseau est compos´e de plusieurs fournisseurs potentiels approvisionnant, dans des d´elais al´eatoires et en utilisant plusieurs connexions avec des modes de transport diff´erents, un ensemble de DCs qui ont pour rˆoles de satisfaire les demandes (en un seul type de produit) provenant des diff´erentes zones de demande/d´etaillants.
Notre probl`eme consiste `a chercher les meilleures localisations des DCs, dont le nombre et les localisations sont inconnues et o`u chaque DC est identifi´e par la zone de sa localisation, ainsi que la meilleure affectation des d´etaillants aux DCs et des DCs aux fournisseurs potentiels avec la meilleure r´epartition des ordres d’approvisionnement sur les diff´erentes connexions de transport. Pour cela, une approche d’optimisation-bas´ee sur la simulation utilisant la relaxation lagrangienne et les algorithmes g´en´etiques multi crit`eres (MOGAs) est propos´ee. Des r´esultas num´eriques sont pr´esent´es et analys´es pour montrer l’efficacit´e de notre approche.
MOTS-CL´ES :chaˆıne logistique, localisation, relaxation lagrangienne, MOGA, simulation.
1 CONTEXTE ET MOTIVATIONS
Dans un contexte ´economique instable, sous la pres- sion de la globalisation, d’une concurrence croissante, nombreuses sont les entreprises qui constatent les lim- ites de l’optimisation seule de leurs syst`emes de pro- duction et cherchent `a explorer de nouvelles sources de comp´etitivit´e `a travers l’optimisation de leurs chaˆınes logistiques et de la relation avec leurs parte- naires. Fournir le produit et/ou le service d´esir´e par le client, rapidement, moins cher et plus performant que celui propos´e par l’entreprise concurrente sur le march´e est de nos jours le souci majeur de chaque entreprise existant dans un march´e local et/ou inter- national. La concurrence dans un futur proche ne sera pas entre diff´erentes entreprises mais entre diff´erentes chaˆınes logistiques (Supply Chains).
Une chaˆıne logistique inclut la transformation et le transport des produits, de la forme de composants et mati`eres premi`eres, passant par diff´erents stades de production, d’assemblage, de stockage et de distribu- tion, jusqu‘`a l’obtention des produits finis. En plus des flux de mati`eres, une chaˆıne logistique compte deux autres flux qui sont les flux d’informations et les flux financiers. Chaque ´etape de transformation ou de distribution des produits peut impliquer des
entr´ees venant de plusieurs fournisseurs et des sor- ties allant vers plusieurs clients interm´ediaires, avec
´egalement des flux d’informations diff´erents.
Les d´ecisions li´ees `a la gestion des chaˆınes logis- tiques sont regroup´ees en trois niveaux d´ecisionnels:
strat´egiques, tactiques et op´erationnelles. La concep- tion d’une chaˆıne logistique, en particulier la locali- sation et le choix des diff´erentes entit´es (fournisseurs, usines, centres de stockage et de distribution) et les diff´erents modes de transports utilis´es (camion, train, bateau, avion), est l’une des d´ecisions strat´egiques que les entreprises cherchent `a optimiser en premier.
Cette optimisation, traditionnellement ax´ee sur les coˆuts, est rendue difficile `a cause de l’introduction de nouveaux crit`eres de d´ecision tels que la satis- faction du client (d´elais de livraison, qualit´e du pro- duit et/ou service,...), et la prise en compte explicite des diff´erents risques (sociaux, environnementaux et
´economiques).
Dans cet article, nous nous int´eressons `a l’utilisation d’une approche hybride combinant simulation et op- timisation pour la r´esolution d’un probl`eme stochas- tique de choix de fournisseurs et localisation de cen- tres de distribution (DCs) lors de la conception des r´eseaux logistiques avec prise en compte des coˆuts in-
dustriels et logistiques ainsi que le niveau de service client. Plus pr´ecis´ement, la complexit´e de notre prob- l`eme est triple:
1. Prise en compte de coˆuts non-lin´eaires dans la fonction objectif (principalement les coˆuts de stockage et de maintien des stocks de s´ecurit´e dans les DCs);
2. Prise en compte des d´elais al´eatoires d’approvisionnement fournisseurs - DCs avec des choix multiples de modes de transport (camion, train, bateau et avion);
3. Prise en compte de la politique de r´epartition des quantit´es `a approvisionner par les DCs localis´es.
Nous serrons en face d’un probl`eme complexe du choix par les DCs des fournisseurs, des connex- ions de transport et de la strat´egie de r´epartition des quantit´es demand´ees.
Le reste de l’article est organis´e comme suit : La section 2 pr´esente quelques travaux d´edi´es aux prob- l`emes de localisation-allocation et de s´election des fournisseurs. La section 3 d´ecrit notre probl´ematique.
La section 4 pr´esente l’approche d’optimisation-bas´ee sur la simulation propos´ee. La section 5 illustre les r´esultats num´eriques obtenus et leurs analyses. La section 6 conclut l’article et pr´esente quelques direc- tions de recherches futures.
2 ETAT DE L’ART´
Dans ce travail de recherche, nous ´etudions un prob- l`eme de prise de d´ecisions vue sur deux axes de recherches compl´ementaire `a savoir la localisation des sites logistiques et le choix des fournisseurs avec r´e- partition des ordres d’approvisionnement. Notons que peu de travaux consid`erent les deux probl`emes simultan´ement.
2.1 Probl`emes de localisation
L’´etat de l’art est tr`es riche de travaux traitants des probl`emes de localisation d´eterministes et stochas- tiques. Le probl`eme de localisation des sites `a deux niveaux constitue la base de plusieurs mod`eles de lo- calisation utilis´es dans la conception des chaˆınes lo- gistiques. En effet, deux types de probl`emes sont consid´er´es respectivement le ”Fixed Charge Facility Location (FCFL)” et le ”Capacitated Fixed Charge Facility Location (CFLP)”. Ces deux probl`emes con- sid`erent des donn´ees d´eterministes et connues et o`u l’objectif est de trouver la meilleure localisation des sites permettant la minimisation des coˆuts de locali- sation et de transport.
Dans la pratique, plusieurs approches ont ´et´e pro- pos´ees pour la r´esolution du probl`eme (FCFL).
Aikens (1985) indique que Spielberg a r´esolu le prob- l`eme en utilisant une m´ethode par simple ´enum´era- tion. Galvao (1993) et Daskin (1995) proposent l’utilisation d’une relaxation lagrangienne pour la r´e- solution du probl`eme. Un algorithme bas´e sur la recherche Tabou pour la r´esolution des probl`emes (FCFL) de taille r´eduite est propos´e dans (Al-Sultan et Al-Fawzan, 1999), une recherche tabou est aussi propos´ee par Michel et Hentenryck (2004).
Pour la r´esolution du probl`eme (CFLP), Sridharan (1993) propose une heuristique bas´ee sur la relax- ation lagrangienne, Gong et al. (1997) utilisent une hybridation d’un algorithme g´en´etique (AG), d’une m´ethode ´evolutionniste et d’une relaxation lagrangi- enne. Arostegui Jr. et al. (2006) comparent les per- formances de la recherche tabou, des AGs et du re- cuit simul´e pour la r´esolution de 3 probl`emes (CFLP).
Plusieurs variantes du probl`eme de localisation sont discut´es dans (ReVelle et al., 2005) et (ReVelle et al., 2008). Les auteurs pr´esentent une revue compl`ete des travaux ant´erieurs proposant des m´ethodes de r´esolu- tion des probl`emes de localisation d´eterministes.
Parall`element, plusieurs auteurs se sont int´eress´es aux probl`emes de localisation stochastique. Aikens (1985) pr´esente une version stochastique du probl`eme (FCFL) o`u il suppose que la demande des clients est al´eatoire. Snyder et Daskin (2004) consid`erent une version stochastique du probl`eme (FCFL) et du prob- l`eme m´edian en assumant des demandes clients et des coˆuts de transport al´eatoires. Ricciardi et al. (2002) proposent une solution au probl`eme de Localisation de DCs interm´ediaires en optimisant le coˆut de trans- port total incluant le coˆut de transport classique (en- tre usine et clients en passant par les DCs) et un coˆut al´eatoire au niveau des DCs.
Louveaux et Thisse (1985) pr´esentent un mod`ele stochastique de localisation de centres de production
`
a deux niveaux. Dans le premier niveau la localisation du centre de production et son niveau de production sont d´etermin´es avant que la demande ne soit connue.
Dans le second niveau et apr`es r´ealisation des cer- taines variables al´eatoires repr´esentant la demande, les d´ecisions de distribution sont prises par le centre de production.
Certains travaux consid`erent des probl`emes de local- isation int´egrant les coˆuts de stockage. Barahona et Jensen (1998) int`egrent les coˆuts de stockage dans un mod`ele de localisation bas´e sur le probl`eme (FCFL) dont l’objectif est de minimiser les coˆuts de locali- sation, les coˆuts de transport et les coˆuts de stock- age. Nozick et Turnquist (1998) expriment le coˆut de stockage comme une fonction lin´eaire du nombre de DCs `a ouvrir. Par cons´equent, ils proposent une m´ethode permettant d’int´egrer le coˆut de stockage dans le coˆut fixe de localisation des DCs et pr´esentent
un mod`ele math´ematique du probl`eme. Les mˆemes auteurs proposent une extension du mod`ele pr´ec´e- dent dans (Nozick et Turnquist, 2001) o`u l’objectif est de maximiser les zones de demandes couvertes.
De mˆeme, Owen et Daskin (1998) pr´esentent un ´etat de l’art riche des probl`emes de localisation stochas- tiques.
Erlebacher et Meller (2000) pr´esentent un mod`ele de localisation int´egrant les coˆuts de stockage. Par hy- poth`eses, les demandes clients sont al´eatoires et les distances entre les centres de production, les DCs et les zones de demandes sont rectilin´eaire. Un mod-
`
ele de programmation non lin´eaire est propos´e o`u on cherche `a trouver le nombre et les localisations opti- males des DCs ainsi que la meilleure affectation des clients aux DCs avec comme objectif de minimiser les coˆuts fixe de localisation, les coˆuts de transport et les coˆuts de stockage. Les auteurs proposent une m´eth- ode heuristique pour approcher la solution optimale du probl`eme connu comme NP-difficile.
Concernant l’int´egration des coˆuts de stockage dans les probl`emes de localisation stochastique, Shen et al.
(2002, 2003) ont ´et´e les premiers `a introduire de fa¸con plus implicite les coˆuts de stockage dans un prob- l`eme de localisation (FCFL). Les auteurs mod´elisent un r´eseau de distribution constitu´e d’un fournisseur unique de capacit´e infinie approvisionnant un ensem- ble de d´etaillants par un seul type de produit, chaque d´etaillant effectue une demande al´eatoire, le probl`eme consiste `a d´eterminer le nombre de DCs `a localiser dans les mˆeme r´egions que les d´etaillants, leur locali- sation ainsi que les d´etaillants qui lui sont affect´es afin de minimiser une fonction coˆut int´egrant le coˆut de localisation des DCs, le coˆut de transport(fournisseur, DC, clients), le coˆut de stockage et le coˆut de main- tient des stocks de s´ecurit´e au niveau des DCs.
Daskin et al. (2002) pr´esentent un mod`ele d’optimisation non lin´eaire repr´esentant le probl`eme, la non lin´earit´e est due `a l’introduction de la poli- tique de la quantit´e ´economique (EOQ) pour g´erer les stocks et du maintient des stocks de s´ecurit´e au niveau des DCs. Pour r´eduire la complexit´e du probl`eme, les auteurs consid`erent que les d´elais d’approvisionnement entre l’unique fournisseur et les diff´erents DCs potentiels sont constants et que le rap- port entre la demande moyenne et sa variance est constant pour tous les clients. Les auteurs pr´esentent un algorithme bas´e sur une approche de relaxation lagrangienne pour r´esoudre le probl`eme.
Dans (Shen et al., 2003), les auteurs pr´esentent un mod`ele non lin´eaire du probl`eme bas´e sur le (FCFL).
Ce mod`ele est transform´e en un mod`ele lin´eaire en utilisant une transformation en un probl`eme de re- couvrement. Pour deux cas particuliers du probl`eme original, ils proposent une m´ethode de g´en´eration de
colonnes. Le premier cas particulier assume que le rapport entre la variance et la demande moyenne est constant pour tous les clients. Tandis que pour le deuxi`eme car particulier, les variances de toutes les demandes clients sont nulles. D’autre part, Shu et al.
(2005) consid`erent le mˆeme probl`eme que celui pro- pos´e dans (Shen et al., 2003) et proposent une m´eth- ode bas´ee sur la g´en´eration de colonnes pour r´esoudre le probl`eme de fa¸con g´en´erale avec une hypoth`ese re- strictive qui impose `a ce que tout DC ouvert dans la mˆeme r´egion du d´etaillant sert la demande de ce d´e- taillant ce qui n’est pas toujours vrai dans la solution optimale.
Tanonkou et al. (2007) traitent un probl`eme de con- ception d’un r´eseau de distribution stochastique o`u les d´ecisions de choix des fournisseurs, de localisa- tion des centres de distribution et d’affectation des zones de demande sont int´egr´ees dans un mˆeme mod-
`ele d’optimisation. Le r´eseau est compos´e de plusieurs fournisseurs approvisionnant, dans des d´elais al´ea- toires, un ensemble de centres de distribution `a lo- caliser qui ont pour rˆoles de satisfaire les deman- des (en un seul type de produit) provenant des dif- f´erentes zones de demande/clients. Par hypoth`ese, chaque fournisseur est connect´e `a chaque DC po- tentiel par une et une seule connexion de transport.
L’objectif est de choisir les meilleurs fournisseurs, les meilleures localisations des centres de distribution, et les meilleures affectations des zones de demande aux centres de distribution dans le but de minimiser une fonction de coˆut non lin´eaire. Pour cela, ils pro- posent une m´ethode bas´ee sur la relaxation lagrangi- enne. Les r´esultats num´eriques obtenus attestent de la validit´e de la m´ethode propos´ee.
Tanonkou et al. (2008) pr´esentent une relax- ation lagrangienne pour la r´esolution d’un probl`eme de localisation stochastique avec demandes clients et d´elai d’approvisionnement (fournisseur-DC) al´ea- toires. Les auteurs traitent le mˆeme probl`eme que celui pr´esent´e dans (Daskin et al., 2002) tout en consid´erant que le d´elai de livraison est al´eatoire et que le rapport entre la demande moyenne et sa vari- ance n’est pas constant pour tous les clients ce qui complique plus le probl`eme. Ils montrent l’efficacit´e de leur m´ethode en l’appliquant sur un exemple de r´eseau de distribution contenant un fournisseur et 10 localisations clients parmi lesquels les DCs sont choisies.
A l’exception des travaux de Tanonkou et al. (2007), dans la majorit´e des travaux recens´es seul le cas mono-fournisseur est abord´e. Evitant par cons´equent l’int´egration des d´ecisions de s´election des four- nisseurs dans des probl`emes de localisation utilisant des mod`eles analytiques.
2.2 Probl`eme de s´election des fournisseurs Lors de la conception de toute chaˆıne logistique, trouver une m´ethode/approche de s´election des four- nisseurs est d’une importance cruciale. Selon De Boer et al. (2001) la s´election des fournisseurs passe par quatre ´etapes : la d´efinition du probl`eme, le choix des crit`eres de s´election des fournisseurs, la pr´e qualifica- tion des fournisseurs et la s´election finale des four- nisseurs. La d´ecision de s´election des fournisseurs est compliqu´ee du fait que plusieurs crit`eres de natures qualitatives et quantitatives doivent ˆetre consid´er´es.
Weber et al. (1991) proposent une classification de 74 articles apparus depuis 1966 en se basant sur les 23 crit`eres de s´election propos´es par (Dickson, 1966).
Les r´esultats de cette analyse montrent que 22 crit`eres sont utilis´es au moins dans un article et que 47 arti- cles discutent au moins deux crit`eres. En plus, les r´esultats montent que le prix net, le d´elai de livrai- son, la qualit´e, la capacit´e de production et le lieu de production sont les crit`eres les plus utilis´es dans ces 74 articles.
Verma et Pullman (1998) d´efinissent une m´ethode qui permet de d´eterminer l’importance des crit`eres de s´election des fournisseurs, les auteurs se limitent `a l’utilisation des crit`eres suivants : coˆut, qualit´e, d´elai de livraison, livraison `a temps et flexibilit´e et une m´ethode probabiliste pour le choix des fournisseurs.
Les auteurs effectuent une ´etude sur 58 entreprises, examinent les r´esultats obtenus et annotent que la qualit´e est le crit`ere le plus important dans la s´elec- tion des fournisseurs et que cette s´election se base fortement sur le coˆut et le d´elai de livraison.
La m´ethode ”Analytical Hierarchy Process (AHP)”
est l’une des m´ethodes les plus utilis´ees pour la s´election des fournisseurs (Ghodsypour et O’Brien, 1998), cette m´ethode consiste `a d´efinir les crit`eres sur lesquels se base le choix des fournisseurs, ces derniers sont structur´es de fa¸con hi´erarchique, la m´ethode AHP proc`ede par comparaison par paire de chaque niveau hi´erarchique pour d´eterminer les poids des crit`eres. L’´etape suivante consiste `a d´eterminer le taux de s´election de chaque fournisseur en prenant en consid´eration la nature de chaque crit`ere (quanti- tative ou qualitative).
Liao et Rittscher (2007) pr´esentent un mod`ele multi objectifs permettant de s´electionner les fournisseurs, de d´eterminer la quantit´e `a livrer par chaque four- nisseur et d’affecter une connexion pour chaque four- nisseur avec pour objectif de minimiser le coˆut logis- tique total, la quantit´e de produits rejet´es `a cause du non respect de la qualit´e produit et le nombre total de produits non livr´es dans les d´elais. Pour la r´esolution du probl`eme, un algorithme g´en´etique est d´evelopp´e et les r´esultats num´eriques obtenus analys´es.
Ding et al. (2003) consid`erent un probl`eme de concep- tion d’une chaˆıne logistique o`u les d´ecisions de locali- sation des DCs et de s´election des fournisseurs doivent ˆetre prisent simultan´ement. Les auteurs utilisent une approche d’optimisation bas´ee sur la simulation per- mettant d’optimiser la structure du r´eseau de distri- bution, les r`egles de pilotage utilis´ees ainsi que les param`etres associ´es. Plus pr´ecis´ement, ils consid-
`erent un r´eseau de distribution contenant K four- nisseurs candidats approvisionnant un ensemble de DCs potentiels en diff´erents types de produits. Par hypoth`ese, plusieurs connexions relient deux sites dif- f´erents en utilisant diff´erents modes de transports. Un cas d’´etude issue de l’industrie textile est pr´esent´e et les r´esultats num´eriques obtenus analys´es.
Pour plus de d´etails sur les travaux de recherche ex- istants sur ce sujet, le lecteur peut consulter les deux r´ef´erences respectivement (Aissaoui et al., 2007) et (Jain et al., 2009). Aissaoui et al. (2007) d´efinis- sent le processus de s´election des fournisseurs en quatre ´etapes : d´efinition du probl`eme, choix des crit`eres, pr´es´election des fournisseurs et la s´election finale des fournisseurs. Jain et al. (2009) pr´esen- tent un ´etat de l’art complet sur le probl`eme de s´election des fournisseurs, et d´ecrivent les diff´erentes
´etapes prises en consid´eration dans le cycle de s´elec- tion des fournisseurs et les diff´erents crit`eres utilis´es pour l’´evaluation des performances des fournisseurs.
De plus, les auteurs recensent les caract´eristiques de ce probl`eme ainsi que les diff´erentes m´ethodes exis- tantes dans la litt´erature permettant de le r´esoudre.
3 NOTRE PROBL´EMATIQUE 3.1 Hypoth´eses
Dans ce travail de recherche, nous consid´erons une chaˆıne logistique compos´ee d’un ensemble de four- nisseurs potentiels connect´es `a un ensemble de d´e- taillants. Chacun des d´etaillants est identifi´e par sa zone de localisation (ville ou r´egion). Chaque zone est une zone potentielle de localisation d’un DC.
Les demandes al´eatoires, en un seul type de produit, g´en´er´ees par les diff´erentes zones de demandes sont satisfaites par les DCs localis´es. Pour la gestion de son stock, chaque DC utilise la politique de la quan- tit´e ´economique (EOQ). De plus, pour garantir un certain niveau de service client, un stock de s´ecu- rit´e est maintenu par chaque DC. Comme extension possible du probl`eme de Tanonkou et al. (2007) et Tanonkou (2007), nous consid´erons le cas o`u plusieurs connexions de transport (liaisons utilisant diff´erents modes de transport) existent entre chaque zone de de- mande et chaque fournisseur potentiel. Les d´elais de transport sont par hypoth`ese al´eatoires. De mˆeme, nous nous limitons au cas o`u seule une connexion re- lie chaque couple de d´etaillants sans prise en compte du d´elai de transport. La figure 1 illustre la structure
de la chaˆıne logistique consid´er´ee.
Figure 1: Structure de la chaˆıne ´etudi´ee Notre probl`eme consiste `a trouver les meilleures local- isations des DCs (chaque DC est identifi´e par la zone de sa localisation) ainsi que la meilleure affectation des zones de demandes/d´etaillants aux DCs et des DCs aux fournisseurs ainsi que la r´epartition des or- dres d’approvisionnement sur les diff´erentes connex- ions de transport reliant les fournisseurs et les DCs.
Pour la r´esolution de ce probl`eme stochastique nous utilisons une approche hybride combinant optimi- sation (bas´ee sur les algorithmes g´en´etiques multi- crit`ere) et la simulation. Dans un premier temps, la r´esolution du probl`eme consiste en la prise de trois types de d´ecisions qui sont : localisation des DCs, affectation des d´etaillants aux DCs et choix des fournisseurs. Ces trois premi`eres d´ecisions sont obtenues en consid´erant l’existence d’une seule et unique connexion entre chaque couple de fournisseur- DC et en utilisant l’algorithme de relaxation Lagrang- ienne d´evelopp´e par (Tanonkou, 2007 et Tanonkou et al., 2007). Cet algorithme permet d’obtenir la struc- ture globale de la chaˆıne logistique dite solution La- grangienne.
Partant de cette solution Lagrangienne et en util- isant un algorithme g´en´etique multicrit`eres NSGA- II hybrid´e avec la simulation, nous cherchons
`
a d´eterminer la meilleure r´epartition des ordres d’approvisionnement sur les diff´erentes connexions.
Dans notre cas, une solution candidate est consti- tu´ee de poids (valeur comprise entre 0 et 1) tel que la somme des poids pour chaque solution est ´egale
`
a 1. Les poids repr´esentent le pourcentage des pro- duits transport´es du fournisseur au DC par connex- ion donn´ee. Ainsi, nous simulons le comportement de la chaˆıne consid´er´e et nous obtenons les indicateurs de performances n´ecessaires (coˆut et d´elai de trans- port du fournisseur au DC). Une ´evaluation globale en terme de fitness est associ´ee `a cette solution can- didate. Ainsi, toutes les solutions propos´ees par le MOGA sont ´evalu´ees de la mˆeme fa¸con et le proces- sus est r´ep´et´e pour toutes les chaˆınes obtenues. Il est important de signale que dans notre cas, la solu- tion Lagrangienne qui pr´esente la structure globale de la chaˆıne n’est rien d’autre qu’un ensemble de sous- chaˆınes car chaque d´etaillant est affect´e `a un et un seul DC, et chaque DC est affect´e `a un et un seul four- nisseur sans contrainte de capacit´e pour ce dernier.
Le MOGA utilis´e `a pour objectif de guider la so-
lution dans un espace de solutions possibles vers une solution proche de l’optimum. Le cycle optimisation-simulation est r´ep´et´e pour un certain nombre d’it´erations fix´e d’avance. La figure 2 donne une vue globale de la structure de l’approche hybride propos´ee.
Figure 2: Structure de l’approche hybride 3.2 Notations et variables de d´ecisisons Les notations suivantes sont utilis´ees pour la formu- lation math´ematique de notre probl`eme :
I ensemble des zones de demandes (d´etaillants) in- dex´es par i.
K ensemble des fournisseurs index´es par k.
DCj centre de distribution localis´e dans la zone de demande j.
µi demande moyenne g´en´er´ee par jour par le d´etail- lant i.
σi2 variance de demande g´en´er´ee par jour par le d´e- taillant i.
fj coˆut fixe de localisation duDCj.
dij coˆut de livraison unitaire du DCj vers le d´etail- lant i.
hj coˆut de stockage annuel (par unit´e de produit) dans leDCj.
Fjkcoˆut fixe de commande (inclus coˆut fixe de trans- port) plac´ee par leDCj aupr`es du fournisseur k.
ajk coˆut unitaire d’approvisionnement (prix d’achat et de transport) duDCj aupr`es du fournisseur k.
ajkl coˆut unitaire d’approvisionnement (prix d’achat et de transport) du DCj aupr`es du fournisseur k `a travers la connexion l.
Ljk d´elai moyen d’approvisionnement en jours du DCj chez le fournisseur k.
Ljkl d´elai moyen d’approvisionnement en jours du DCj chez le fournisseur k `a travers la connexion l.
Λ2jk variance du d´elai d’approvisionnement du DCj
chez le fournisseur k.
Λ2jkl variance du d´elai d’approvisionnement du DCj
chez le fournisseur k `a travers la connexion l.
Θ nombre de jours travaill´es par an.
αtaux de service dans les centres de distribution.
Zα coefficient de s´ecurit´e.
Xj={1 si leDCj est localis´e, 0 sinon}
Yij={1 si le d´etaillant i est servi parDCj, 0 sinon}
Zjk={1 si le fournisseur k est s´electionn´e pour appro- visionner le DCj, 0 sinon}
3.3 Formulation math´ematique
Comme nous l’avons signal´e pr´ec´edemment, nous con- sid´erons dans un premier temps l’existence d’une seule connexion de transport entre les fournisseurs potentiels et les d´etaillants/zones de demandes pour d´efinir les variables de d´ecisionsXj,Yij etZjk. Pour les choix de cette connexion, trois sc´enario sont con- sid´er´es (voir section 5). Ainsi, la formulation math´e- matique du premier probl`eme se pr´esente comme suit :
(M F)J∗= min
X,Y,ZJ(X, Y, Z) AvecJ(X, Y, Z) d´efinie par:
J(X, Y, Z) =X
j∈I
fjXj+X
j∈I
X
i∈I
ΘµidijYij
+X
j∈I
X
i∈I
X
k∈K
ΘµiajkYijZjk+X
j∈I
X
k∈K
s
2hjFjkΘX
i∈I
µiYijZjk
+X
j∈I
X
k∈K
Zαhj
v u u tLjk
X
i∈I
σi2Yij+ Λ2jk X
i∈I
µiYij
!2 Zjk
(1) Sous les contraintes :
X
j∈I
Yij= 1∀i∈I (2)
X
k∈K
Zjk=Xj∀j∈I (3)
Yij ≤Xj∀i, j∈I (4) Xj, Yij, Zjk∈ {0,1}∀i, j∈I∀k (5) La fonction objectif repr´esente la somme des coˆuts de localisation, coˆuts de livraison, coˆuts d’approvisionnement, coˆuts de stockage et de com- mande ainsi que les coˆuts de maintien des stocks de s´ecurit´e. La contrainte (2) exige que chaque d´etail- lant soit servi par un et un seul DC localis´e. La con- trainte (3) assure que chaque DC ouvert est approvi- sionn´e par un et un seul fournisseur. La contrainte (4) assure que si un d´etaillant est servi par un DC, ce dernier est d´ej`a localis´e. La nature binaire des diff´erentes variables de d´ecision est exprim´ee par la contrainte (5).
Le mod`ele pr´esent´e ci-dessous et un mod`ele d’optimisation combinatoire non lin´eaire dont la r´e- solution est tr`es complexe. Notre objectif con- siste `a utiliser une approche de r´esolution bas´ee sur la relaxation lagrangienne propos´ee initialement par Tanonkou (2007). Pour simplifier ce mod`ele, nous utilisons les notations suivantes :
D˜ij= Θµidij,Aijk = Θµiajk,cijk = 2ΘµihjFjk, αijk=Ljkσ2i(Zαhj)2,ejk= (ΛjkZαhj)2 Pour r´esoudre le probl`eme (MF), nous introduisons une nouvelle variable de d´ecision Dj qui indique la demande moyenne au niveau du DCj. Compte tenu des notations pr´ec´edentes et de la nouvelle variable de d´ecisionDj, le probl`eme (MF) peut ˆetre r´e´ecrit de la fa¸con suivante :
X,Y,Z,Dmin J(X, Y, Z, D) =X
j∈I
fjXj+X
j∈I
X
i∈I
D˜ijYij
+X
j∈I
X
i∈I
X
k∈K
AijkYijZjk+X
j∈I
X
k∈K
sX
i∈I
cijkYijZjk
+X
j∈I
X
k∈K
s X
i∈I
αijkYij+ejkDj2Zjk (6) Sous les contraintes :
X
j∈I
Yij = 1∀i∈I (7)
X
k∈K
Zjk= 1∀j∈I (8)
X
i∈I
µiYij ≤Dj∀j ∈I (9) Yij ≤Xj∀i, j∈I (10) Xj, Yij, Zjk∈ {0,1}∀i, j∈I∀k (11)
4 APPROCHE DE R ´ESOLUTION
4.1 Localisation des DCs et choix des four- nisseurs
Pour la r´esolution du probl`eme (MF), nous utilisons une approche bas´ee sur la relaxation lagrangienne qui consiste en (voir Tanonkou, 2007):
1. Relaxer les contraintes (7) et (9) qui rendent le probl`eme difficile `a r´esoudre et introduire les coˆuts de p´enalisation obtenus par la relaxation dans la fonction objectif du probl`eme.
2. Obtenir une borne inf´erieure en r´esolvant le prob- l`eme relax´e pour chaque couple de multiplicateur de Lagrange associ´es aux contraintes (7) et (9).
3. Trouver une solution candidate pour d´eterminer une borne sup´erieure.
4. Maximiser la borne inf´erieure en utilisant la m´ethode de recherche du ”pas d’armijo”.
Nous associons respectivement aux contraintes (7) et (9) les vecteurs des multiplicateurs de lagrange λ =
(λi) ∀i ∈ I et β = (βj) ∀j ∈ J. Nous obtenons le probl`eme relax´e suivant :
L(λ, β) = min
W
X
j∈I
fjXj+X
j∈I
X
i∈I
D˜ij−λi+βjµi
Yij
+X
j∈I
X
i∈I
X
k∈K
AijkYijZjk+X
j∈I
X
k∈K
s X
i∈I
cijkYijZjk
+X
j∈I
X
k∈K
s X
i∈I
αijkYij+ejkD2jZjk+X
i∈I
λi−X
jinI
βjDj
(12) sous les contraintes (8), (10) et (11) avec W = (X, Y, Z, D).
4.2 R´epartition des ordres d’approvisionne- ment
Apr`es avoir d´etermin´e les variables de d´ecision Xj, YijetZjk, nous pr´esentons dans cette section un algo- rithme g´en´etique multi crit`eres permettant de r´epar- tir les ordres d’approvisionnement sur les diff´erentes connexions reliant les fournisseurs s´electionn´es aux DCs localis´es. Plus pr´ecis´ement, notre algorithme d’optimisation est une adaptation de l’algorithme NSGA-II propos´e initialement par Deb et al. (2002).
Cet algorithme est consid´er´e par les praticiens comme l’un des algorithmes les plus performants parmi les diff´erents MOGAs (Deb et al., 2002).
Notre algorithme est utilis´e par le module d’optimisation pour guider la recherche dans un espace de solutions vers la fronti`ere des solutions optimales au sens de pareto. Les principales ´etapes du MOGA impl´ement´e s’appuie sur :
• Une m´ethode de classement des solutions d’une population selon les fronts Pareto.
• Une m´ethode ´elitiste pr´eservant les meilleures so- lutions dans la population future.
• Une m´ethode ”crowd-comparison” pour la s´elec- tion ´elitiste.
• Une proc´edure de r´eparation des solutions infais- ables.
Initialement, nous cr´eons un ensemble de solutions candidates (ensemble de chromosomes) g´en´er´ees al´ea- toirement. Nous utilisons une repr´esentation en nom- bres r´eels tel que chaque g`ene repr´esente le pourcent- age de la quantit´e de produit `a transporter `a travers la connexion correspondante. La valeur d’un g`ene est comprise entre 0 et 1 et la somme des ´el´ements d’un chromosome est ´egale `a 1. Dans le cadre de ce travail et pour une premi`ere tentative, nous consid´erons que
chaque fournisseur potentiel est reli´e par trois con- nexions diff´erentes avec chaque DC potentiel. Aussi, chaque connexion utilise un mode de transport ou un mixage de moyens de transport avec un coˆut et un d´elai de transport correspondant. La figure 3 illustre un exemple d’une chaˆıne candidate avec les connex- ions possibles.
Figure 3: Exemple de trois connexions reliant un four- nisseur `a un DC
Pour cette chaˆıne, la figure 4 montre un exemple de chromosome avec 20% des produits seront transport´es par la premi`ere connexion, 25% par la seconde con- nexion et 55% par la troisi`eme connexion.
Figure 4: Exemple de chromosome
Les diff´erentes ´etapes du MOGA utilis´e se pr´esentent comme suit :
Algorithme
• Etape 1. G´en´erer al´eatoirement une population initiale P de taille N (de N chromosomes).
• Etape 2. Evaluer toutes les solutions dans P par la simulation.
• Etape 3. Calculer les rangs des solutions dans P.
• Etape 4. Mettre `a jour la fronti`ere Pareto avec les nouvelles solutions.
• Etape 5. S´electionner les deux parents en util- isant la ”s´election binaire par tournoi”. Elle con- siste `a tirer aux hasard deux solutions de la popu- lation P puis s´electionner la solution avec le rang le plus ´elev´e.
• Etape 6. G´en´erer deux solutions enfants par le croisement des deux solutions parents avec une probabilit´ePc.
• Etape 7. Ex´ecuter l’op´erateur de mutation avec une probabilit´ePmpour chaque solution enfant.
• Etape 8. Ajouter les deux solutions enfants dans la population suivante G.
• Etape 9. R´ep´eter les ´etapes de 5 `a 8 pour obtenir N solutions enfants dans G.
• Etape 10. G´en´erer la population suivante par la ”s´election ´elitiste” sur P et G.
• Etape 11. R´ep´eter les ´etapes de 4 `a 10 jusqu’`a la satisfaction des conditions d’arrˆet.
Si la somme des ´el´ements d’un chromosome est dif- f´erente de 1, une proc´edure de correction est ex´e- cut´ee apr`es mutation. Le chromosome est modifi´e de telle sorte que la somme des g`enes soit ´egale `a 1.
L’algorithme tourne pour un nombre d’it´erations fix´e d’avance, avant de donner un ensemble de solutions dites optimales au sens de Pareto.
5 EXP ´ERIENCES NUM ´ERIQUES ET ANALYSES
Pour ´evaluer les performances de l’approche hybride propos´ee, nous avons ´etudi´e des instances de dif- f´erentes tailles. Les instances sont obtenues en vari- ant le nombre de d´etaillants qui repr´esente en mˆeme temps le nombre de DCs candidats et nous travaillons avec un nombre fixe de fournisseurs (´egal `a 5 pour nos exp´eriences). Les exp´eriences num´eriques sont effec- tu´ees en utilisant un core 2 duo 1.6 GHZ de 1 GB de RAM. Notons que la relaxation lagrangienne et le MOGA sont impl´ement´es en langage ”VBA” tandis que le module de simulation est r´ealis´e avec le logiciel de simulation ”ARENA” de Rockwell Software. Les param`etres utilis´es sont pr´esent´es comme suit :
• Nombre de d´etaillants (#RL): Nous avons consid´er´e des instances constitu´ees de 10, 20, 30, 40, 60 et 80 d´etaillants et de 5 fournisseurs po- tentiels. Notons que chaque zone ou r´egion con- tenant un d´etaillant est une zone potentielle de s´election de DC.
• Demandes des d´etaillants: Pour chaque d´e- taillant, la moyenne de la demandeµiest g´en´er´ee uniform´ement tel queµi∼U[100,1600].
• D´elais de livraison : Pour chaque DC candi- dat, la moyenne du d´elai de livraison est g´en´er´ee al´eatoirement tel queLjk∼U[10,30].
• L’´ecart type des demandes et des d´elais de livraison : sont g´en´er´es al´eatoirement tel que σi∼U[50,100] et Λj∼U[5,10].
• Coˆuts fixes de localisation (fj), coˆuts de transport (ajk) et coˆuts de livraison (dij): Ces param`etres sont g´en´er´es suivant une loi uni- forme tel quefj ∼U[4500,10000],ajk∼U[2,10]
et dij∼U[1,5].
• Niveau de service α: α= 97.5% pourZα= 1.96 pour tous les probl`emes ´etudi´es.
• Coˆuts de transport et d´elai de livrai- son par une connexion l : Ces valeurs sont g´en´er´ees al´eatoirement suivant des lois uni- formes, notons que ces lois sont modifi´ees suiv- ants les diff´erents moyens de transport utilis´es
(camion, train, bateau, avion). Le tableau 1 r´e- sume le reste des param`etres.
Param`etres Description Valeur
hj Coˆut de stockage annuel par unit´e de produit 25
Fjk Coˆut fixe de commande 50
Θ Nombre de jours travaill´es par an 250
Table 1: Param´etres utilis´es
Trois sc´enarios sont consid´er´es lorsque nous passons de plusieurs connexions `a une seule connexion. Le sc´enario 1 est tel que Ljk = minlLjkl, le sc´enario 2 tel que Ljk =
P
lLjkl
3 et le sc´enario 3 tel que Ljk= maxlLjkl. Pour chaque instance consid´er´ee de notre probl`eme original, nous g´en´erons les param`etres cit´es ci-dessus. Les r´esultats obtenus par la relaxation lagrangienne sont mentionn´es dans le tableau 2.
#RL sc´enario 1
LB UB GAP #DC #S
10 9.283 9.463 1.89% 5 4
20 19.545 20.129 2.89% 8 3 30 30.946 31.712 2.43% 12 4 40 38.712 39.813 2.76% 11 4 60 57.137 57.754 1.06% 19 4 80 79.259 80.069 1.01% 19 4
#RL sc´enario 2
LB UB GAP #DC #S
10 9.670 9.794 1.26% 4 3
20 24.548 24.779 0.09% 7 4 30 36.550 37.365 2.18% 10 5 40 46.683 47.225 1.14% 12 5 60 64.117 66.041 2.91% 18 5 80 81.498 83.283 2.14% 16 5
#RL sc´enario 3
LB UB GAP #DC #S
10 10.236 10.418 1.74% 5 3 20 19.305 19.825 2.62% 8 3 30 28.822 29.221 1.36% 10 3 40 37.020 37.788 2.03% 14 4 60 56.261 57.756 2.58% 13 3 80 74.322 75.909 2.09% 17 3
Table 2: R´esultats obtenus de la relaxation
#DC: Nombre de DCs localis´es.
#S: Nombre de fournisseurs s´election´es .
LB: Borne inf´erieure obtenue de la relaxation lagrang- ienne en million d’unit´e d’argent (ua).
UB: Borne sup´erieure obtenue de la relaxation la- grangienne en million d’unit´e d’argent (ua).
GAP (%): D´efinie par la formule (UB - LB)/UB.
A partir du tableau 2, nous constatons que la valeur du GAP est inf´erieure `a 3% pour tous les instances g´en´er´ees. Nous obtenons la valeur la plus grande du GAP pour le probl`eme RL = 60 sc´enario 2 avec une valeur de 2.91%.
La figure 5 montre l’´evolution du GAP en fonction du nombre d’it´erations dans le cas du sc´enario 2 pour l’instance avec RL = 10. L’algorithme converge apr`es 184 it´erations avec un LB = 9.670 millions ua et un UB = 9.794 millions ua.
Figure 5: GAP vs Nombre d’it´erations (RL=10, sc´e- nario 2)
Le tableau 3 montre la r´epartition des ordres d’approvisionnement sur les diff´erentes connexions de transport des fournisseurs s´electionn´es dans le cas du sc´enario 2 avec RL=10 et #S=3. La solution La- grangienne sugg`ere la localisation de DC2, DC4, DC5 et DC7 et la s´election des fournisseurs 1, 3 et 4 re- spectivement. A titre d’exemple, le DC 2 est affect´e au fournisseur 3, sachant que 48.01% de la quantit´e passe par la premi`ere connexion, 1.54% par la deux- i`eme connexion et 50.45% par la troisi`eme connexion, avec un coˆut de transport total ´egale `a 34737.14 ua et un d´elai de transport moyen ´egale `a 252.32 jours.
DC F Ch1 Ch2 Ch3 Coˆut D´elai
DC2 3 48.01% 1.54% 50.45% 34737.14 252,32 DC4 1 40.81% 53.37% 5.82% 24708.28 255.20 DC5 1 7.00% 24.06% 68.94% 25193.47 250.61 DC7 4 83.16% 11.10% 5.74% 34518.74 255.52
Table 3: Pourcentages des quantit´es transport´ees par connexion pour le probl`eme (RL=10, sc´enario 2)
6 CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES Dans cet article, nous avons propos´e une approche d’optimisation-bas´ee sur la simulation utilisant la re- laxation lagrangienne et les algorithmes g´en´etiques multi crit`eres (MOGAs) pour r´esoudre un probl`eme de conception d’un r´eseau stochastique de distribu- tion o`u les d´ecisions strat´egiques de choix des four- nisseurs, de localisation des centres de distribution et
d’affectation des zones de demande/d´etaillants sont int´egr´ees dans un mˆeme mod`ele d’optimisation non- lin´eaire. L’objectif et de minimiser les coˆuts de lo- calisation, de transport, de stockage et de maintient des stocks de s´ecurit´e `a travers le r´eseau. Des r´esul- tats num´eriques sont pr´esent´es et analys´es montrant l’efficacit´e de l’approche propos´ee.
Ce travail nous a permis de d´egager plusieurs direc- tions de recherche futures. La plus imm´ediate est de consid´erer d’autres politiques de gestion de stock dans les DCs diff´erentes de la politique de la quan- tit´e ´economique utilis´ee dans ce travail. Pour cela, nous envisageons de consid´erer les politiques ”base stock”, (R,Q) ou encore (s, S). De mˆeme, la prise en compte des capacit´es des fournisseurs et des DCs sont indispensable, car elles refl`etent le plus possible la r´ealit´e. Il est aussi possible d’´etendre la probl´e- matique ´etudi´ee au cas multiproduits avec diff´erentes politiques de gestion des stocks (c’est-`a-dire chaque type de produit avec sa propre politique de stockage) avec des capacit´es finies.
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