m i {M i (m i )}º m i ( GO + OMi ) = 0 OG = 1 ρ(m) OM dτ(m) µ v (G) = i v i

DEl'ÉDUCATION ET DE LA FORMATION

MARRAKECH-SAFI

CPA-CRMEF

********************************** *

PHYSIQUE-1

Cours:

MÉCANIQUE 2

MÉCANIQUE DES SYSTEMES

AGRÉGATION DE PHYSIQUE

Option physique

AGP-1

Par :

Abdelfettah HABIB

2016

1 Propriétés d'unsystème matériel 4

1.1 Centrede masseG . . . 4

1.2 Référentielbaryentrique. . . 5

2 Résultante inétique d'unsystème 5 3 Moment inétiqued'un système 6 3.1 Dénition . . . 6

3.2 Moment inétiquepar rapportàun axe

∆

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7}

3.3 Théorème de K÷nigpour lemoment inétique . . . 7

3.4 Appliation . . . 8

4 Énergie inétique 8 4.1 Dénition . . . 8

4.2 Théorème de K÷nigpour l'énergieinétique . . . 8

5 Cinétique d'un système solide 9 5.1 Dénition . . . 9

5.2 Champ desvitesses d'unsolide . . . 10

5.3 Solide en rotationautour d'unaxexe . . . 11

5.3.1 Moment inétique . . . 11

5.3.2 Théorème de Huygens . . . 13

5.3.3 Énergie inétique . . . 14

5.3.4 Appliation . . . 14

1 Ations extérieures et intérieures 15 2 Théorème de la résultante inétique (TRC) 16 2.1 Énone . . . 16

2.2 Appliation . . . 17

3 Théorème du moment inétique (TMC) 17 3.1 Énone du TMC . . . 17

3.2 TMC en G . . . 17

3.3 TMC dansun référentiel nongaliléen . . . 18

3.4 TMC dansleréférentielbaryentrique . . . 18

3.5 Appliations . . . 18

4 Théorème de l'énergie inétique (TEC) 18 4.1 TEC dansun référentiel galiléen . . . 18

4.2 TEC dansun référentiel non galiléen . . . 20

4.3 TEC dansleréférentielbaryentrique

R ^∗

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21}

4.4 TEC pour unsolide . . . 21

5 Énergie méanique d'un système de points matériels 23 5.1 Énergie potentielle . . . 23

5.2 Théorème de l'énergieméanique (TEM) . . . 23

5.3 Conservation del'énergieméanique . . . 23

6.1 Dénition . . . 24

6.2 Cas partiuliers . . . 24

6.3 Exemples . . . 24

6.4 Formulationtorsorielles desloisde laméanique . . . 25

6.4.1 Prinipe fondamental. . . 25

6.4.2 Prinipe de l'ation etdelaréation . . . 26

1 Cinématique 28 1.1 Mouvementsd'unsolide . . . 28

1.2 Mouvementsd'unsolide . . . 28

1.3 Vitesse de glissement . . . 28

1.4 Roulement etpivotement . . . 29

2 Lois de Coulomb 30 2.1 Ation deontat . . . 30

2.2 Propriétés de laforede frottement . . . 30

2.3 Appliation . . . 31

3 Puissane des ations de ontat 31 4 Quelques liaisons entre les solides 32 4.1 Liaison parfaite . . . 32

4.2 Liaison rotule ousphérique . . . 32

4.3 Liaison pivot ou rotoïde . . . 33

Cinétique d'un système de points matériels

1 Propriétés d'un système matériel

1.1 Centre de masse G

a.Dénition

Dans un référentiel

R

^{, onsidérons un système fermé}

Σ

^{de point matériels disrètes}

M _i

^{de masse}

m _i

^:

{M i (m i )}

^.

Leentre de masseG(ou entre d'inertieoubaryentre)dusystème

Σ

^{estdénipar l'équationsuivante:}

P

i

m _i −−→

GM _i = − →

0

⁽¹⁾

siOestun point quelonque, alors :

X

i

m _i ( −−→

GO + −−→

OM _i ) = − → 0

soit:

−−→ OG = _m ¹ P

i

m _i −−→

OM _i

⁽²⁾

où

m = P

i

m i

^{estlamasse totaledusystème.}

LeentredemasseGd'unsystèmeontinu,oùlamasseestestrépartiedemanièreontinuedansunvolume

V

^{,estdonné par :}

−−→ OG = _m ¹ RRR

V

ρ(M ) −−→

OM dτ (M)

⁽³⁾

Leentre d'inertied'unsystèmehomogène setrouve surses élémentsde symétrie(plan, axe).

Exemple :leentre d'inertie d'unetige homogène està sonmilieu.

b-. Exemple

Calulerle entre demasse d'un ne homogène de sommet O, debase ylindrique irulaire de rayon

R

^et

dehauteur

h

^.

Réponse :symétrie

⇒ G ∈ (Oz)

^;

OG = z _G = ^3h ₄

^.

Remarque:ladérivéde l'équation 2donne :

−

→ v (G) = _m ¹ P

i

m i − → v i

⁽⁴⁾

Soitunsystème

Σ

^{,de entred'inertie G,dansun} référentiel

R

^.

Par dénition, le référentiel baryentrique

R ^∗

^{du système}

(relatif au référentiel

R

^{) est le} référentiel en translation par rapport

R

^{etdanslequel G est xe.}

−

→ Ω (R ^∗ /R) = − → 0

−

→ v (G/R ^∗ ) = − → 0

(5)

PSfragreplaements

R

R ^∗

G

P

Remarque1 :toutveteur lié à

R ^∗

^{estxe dans}

R

^.

Remarque2 :La vitessed'entrainment d'unpoint

M i

^{quelonque dans}

R ^∗

^est

− → v e (M i ) = − → v (G/R)

(toutlespointsontlamêmevitessed'entrainementdansleréférentielbaryentriquearilestentranslation).

Exemple :

PSfragreplaements

R R ^∗

C

Leréférentielbaryentrique

R ^∗

^{duereau esten} translationà lavitesse

−

→ v (G/R)

^.

2 Résultante inétique d'un système

Considéronsun systèmede points matériels

Σ{M _i (m _i )}

^dansunréférentiel

R

^,où

− → v _i = − → v (M _i /R)

^{sont les}

vitessesdespoints

M _i

^dans

R

^.

X

Larésultante inétique(ou quantité de mouvement totale)du systèmedans

R

^{est :}

−

→ P = P

i

m _i − → v _i

⁽⁶⁾

⇒

−

→ P = X

i

m _i d −−→

OM _i dt = d

dt X

i

m _i −−→

OM _i

!

= d dt

m −−→

OG

= m − → v (G)

soit:

−

→ P = m − → v (G/R)

⁽⁷⁾

Considérons le système shématisé i-ontre. Les tiges ont la

même longueur

l

^{et des masses} négligeables. Les points maté- riels A,B et C ont la même masse

m

^{.On repère la position du}

systèmepar l'angle

θ

^.

Calulerlarésultante inétique dusystème.

PSfragreplaements A

B

C

θ l l

l

l l l

z

x

Réponse :

−

→ P = −ml θ ˙ sin θ − → e _z

^.

X

Larésultante inétiquedusystèmedans sonréférentiel baryentrique

R ^∗

^est:

−

→ P ^∗ = m − → v (G/R ^∗ ) = − → 0

soit:

−

→ P ^∗ = − →

0

⁽⁸⁾

Remarque:leréférentielbaryentrique

R ^∗

^estun référentielen translation dans

R

^{et danslequel larésul-}

tanteinétique dusystèmeest nulle.

3 Moment inétique d'un système

3.1 Dénition

Lemoment inétique

−

→ L _A

^{,en un point A,du système}

Σ{M _i (m _i )}

^dansunréférentiel

R

^{est :}

−

→ L A = P

i

−−→ AM i ∧ m i − → v i

⁽⁹⁾

où:

−

→ v _i = − → v (M _i /R)

^.

Entre deuxpoint AetBon :

−

→ L B = X

i

−−→ BM i ∧ m i − → v i = X

i

− −→

BA + −−→

AM i

∧ m i − → v i = X

i

−−→ AM i ∧ m i − → v i + −− → BA∧ X

i

m i − → v i

| {z }

−

→ P

= − →

L A + − − → BA ∧ − →

P

d'oùlarelationentreles momentsinétiques en deuxpointA et B:

−

→ L _B = − → L _A + − →

P ∧ − −→

AB

⁽¹⁰⁾

Pour un systèmeontinu,lemoment inétique

−

→ L A

^{est donnéepar :}

−

→ L A = RRR

Σ

−−→ AM ∧ − → v (M/R)dm

⁽¹¹⁾

Lemoment inétique, enA, dansleréférentielbaryentrique

R ^∗

^est:

−

→ L ^∗ _A = P

i

−−→ AM i ∧ m i − → v (M i /R ^∗ )

⁽¹²⁾

Eneet,lemoment inétiquebaryentrique en unpoint Best:

−

→ L ^∗ _B = X

i

−−→ BM _i ∧ m _i − → v ^∗ _i = X

i

− −→

BA + −−→

AM _i

∧ m _i − → v ^∗ _i = X

i

−−→ AM _i ∧ m _i − → v ^∗ _i + X

i

− −→

BA ∧ m _i − → v ^∗ _i

| {z }

−

→ 0

= − → L ^∗ _A

Appliation

Un ereau homogène deentre O, demasse

m

^{et derayon}

a

^{tourne à vitesse angulaire onstante}

ω

^autour

deson axe xe. Caluler son moment inétique enO.

Réponse :

−

→ L _O = m a ² ω − → e _z

^.

3.2 Moment inétique par rapport à un axe

∆

Lemoment inétique

L ∆

^{dusystèmepar rapportà unaxe}

∆

^{estlaprojetiondu}

moment inétique

−

→ L _A

^suretaxe.

L _∆ = − →

L _A . − → u

⁽¹³⁾

où

−

→ u

^{estleveteurunitairedel'axe}

∆

^{etAestunpointquelonquede}

∆

⁽

A ∈ ∆

^).

Cemoment inétiqueestindépendant du hoixdu point A.

PSfragreplaements

∆

−

→ u

A

P

3.3 Théorème de K÷nig pour le moment inétique

Cethéorèmerelie lesmoments inétiques

−

→ L _O

^dans

R

^{etlemoment inétique}baryentrique

−

→ L ^∗

^.

Lemoment inétique, enun pointO, du système

Σ{M _i (m _i )}

^dans

R

^est:

−

→ L _O = X

i

−−→ OM _i ∧ m _i − → v (M _i /R)

= X

i

( −−→

OG + −−→

GM i ) ∧ m i [ − → v (M i /R ^∗ ) + − → v e (M i )]

= X

i

( −−→

OG + −−→

GM _i ) ∧ m _i



  − → v (M _i /R ^∗ )

| {z }

−

→ v ^∗ _i

+ − → v (G)



 

= −−→

OG ∧ − → v (G) X

i

m _i

| {z }

=m

+ X

i

−−→ GM _i ∧ m _i − → v ^∗ _i

| {z }

= − → L ^∗ _G

+ −−→

OG ∧ X

i

m _i − → v ^∗ _i

| {z }

−

→ P ^∗ = − → 0

+ X

i

m _i −−→

GM _i

!

| {z }

= − → 0

∧− → v (G)

d'oùlethéorèmede K÷nigpour lemoment inétique:

−

→ L _O = − →

L ^∗ _G + −−→

OG ∧ m − → v (G/R)

⁽¹⁴⁾

Remarque:si

O ≡ G

^{alors :}

−

→ L _G = − → L ^∗ _G

3.4 Appliation

Deux boules identiques, assimilable à deux points matériels

demasse

m

^{, sontxées auxdeux extrémités d'unebarre AB}

demasse négligeable et de longueur

l

^{. Cette barre, astreinte}

àrester dans leplan

(Ox, Oy)

^{, est artiulée en}

G

^{à unetige}

OG de masse négligeable et de longueur

a

^{. Le mouvement}

est repéré par les angles

θ ₁

^et

θ ₂

^.

1.Calulerlemomentinétique

−

→ L _O

^{dusystèmeenfontion}

de

m

^,

a

^,

l

^,

θ ˙ ₁

^et

θ ˙ ₂

^.

θ 2

θ ₁

x

y

A

B O

Réponse:

−

→ L _O = m(2l ² θ ˙ ₁ + ¹ ₂ a ² θ ˙ ₂ ) − → e _z

4 Énergie inétique

4.1 Dénition

L'énergieinétiquedu système

Σ{M _i (m _i )}

^dansunréférentiel

R

^est:

E _c = P

i 1

2 m _i − → v ² (M _i /R)

⁽¹⁵⁾

Pour un systèmeontinu:

E _c = ¹ ₂ RRR

Σ

−

→ v ² (M/R)dm

⁽¹⁶⁾

4.2 Théorème de K÷nig pour l'énergie inétique

Cethéorèmerelie l'énergieinétique

E _c

^{dusystèmedans un}référentiel

R

^{à l'énergieinétique}

E ^∗ _c

^dans

R ^∗

^.

L'énergieinétiquedu système

Σ{M _i (m _i )}

^dans

R

^est:

E _c = X

i

1

2 m _i − → v ² (M _i /R)

= X

i

1

2 m _i ( − → v ^∗ _i + − → v (G/R))

2

= 1

2 m − → v ² (G/R) + X

i

1 2 m _i − → v ^∗ _i ²

| {z }

E _c ^∗

+ − → v (G/R) X

i

m _i − → v ^∗ _i

| {z }

−

→ 0

L'énergieinétiquedansle référentiel baryentrique

R ^∗

^est:

E _c ^∗ = X

i

1

2 m i − → v ^∗ _i ²

E _c = E _c ^∗ + ¹ ₂ m − → v ² (G/R)

⁽¹⁷⁾

Leterme

1

2 m − → v ² (G/R)

^{représente l'énergieinétiquedu"point matérielG" dans}

R

^.

Appliation

Deux boules identiques, assimilable à deux points matériels

demasse

m

^{, sontxées auxdeux extrémités d'unebarre AB}

demasse négligeable et de longueur

l

^{. Cette barre, astreinte}

àrester dans leplan

(Ox, Oy)

^{, est artiulée en}

G

^{à unetige}

OG de masse négligeable et de longueur

a

^{. Le mouvement}

est repéré par les angles

θ 1

^et

θ 2

^.

1.Calulerl'énergie inétique

E _c

^{dusystème enfontionde}

m

^,

a

^,

l

^,

θ ˙ ₁

^et

θ ˙ ₂

^.

PSfrag replaements

θ 2

θ ₁

x

y

A

B O

Réponses:

Remarque:Parmi les grandeurs d'unsystèmeon trouveaussi:

larésultante dynamique:

−

→ S = P

i m _i − → a _i = m − → a (G)

lemoment dynamiqueen un point A :

−

→ D _A = P

i

−−→ AM _i ∧ m _i − → a _i

5 Cinétique d'un système solide

5.1 Dénition

Unsystèmesolide(S)estorpsindéformable,-à-d,ladistaneentredeux pointsquelonquesAet Bde

eorps reste onstante auours du temps:

S

^{estun solide}

⇒ ∀A, B ∈ S : AB = constante

Ausolide Sonpeutassoierun référentiel

R _s

^{dont l'origineestun point quelonque de S.}

PSfragreplaements

R

R s

R ^∗

C

Leréférentiel

R _s

^{est lié ausolide.}

SoitunsolideSquisedéplaedansunréférentiel

R

^{etonsidéronsdeuxpointAetBdeesolide(xesdans}

R _s

^).

Lavitessedu point Bdansle référentiel

R

^est:

−

→ v (B/R) = d −−→

OB dt / R

= d( −→

OA + −−→

OB ) dt / R

= d −→

OA

dt / R + d − − → AB dt / R

= − → v (A/R) + d − − → AB dt / R

oron sait que:

d − − → AB

dt / R = d − − → AB

dt / R ^s + − →

Ω (R _s /R) ∧ − −→

AB

etpuisque

− −→

AB

^estxedans

R _s

^{,ilvient :}

−

→ v (B/R) = − → v (A/R) + − →

Ω (R _s /R) ∧ − − →

AB

⁽¹⁸⁾

ave :

−

→ Ω (R s /R) = − →

Ω (S/R)

^{est lavitessede rotationde}

R s

^{(donde S) dansle}référentiel

R

^.

Appliation

Unebarre

AB

^{homogène de masse}

m

^{, de longueur}

2b

^{et de entre}

G

^,

milieude

AB

^{, est posée sur le sol horizontal et repose ontre un mur}

vertial. Sa position est déterminée par l'angle

α = ( −→

Ox, −−→

OG)

^{. Les}

ontats en

A

^et

B

^{sontsupposés sans frottements.}

1. Déterminer les omposantes de la vitesse

−

→ v (G)

^{du point}

G

^en

fontionde

α

^{et dela dérivée de}

α

^.

2.En déduire leveteur rotation

−

→ Ω

^{de la tige.} PSfragreplaements

z x

y

A

B G α

−

→ g

Réponses:

1.

−

→ v (G) = −b(Ω + 2 ˙ α) sin(α) − → e _x − bΩ cos(α) − → e _y

2.

−

→ Ω = − α ˙ − → e _z

5.3.1 Moment inétique

Considéronsunsolide Sen rotationautourd'unaxe

∆

^xedans

leréférentield'étude

R

^{.Lemoment inétiqueenunpoint Axe}

del'axe est:

−

→ L _A = Z Z Z

S

−−→ AM ∧ − → v (M )dm

= Z Z Z

S

−−→ AM ∧



  − → v (A)

| {z }

= − → 0

+ − → Ω ∧ −−→

AM



  dm

= Z Z Z

S

−−→ AM ∧ − → Ω ∧ −−→

AM dm

=

Z Z Z

S

AM ² dm − →

Ω − Z Z Z

S

( −−→

AM . − → Ω ) −−→

AM dm

=

Z Z Z

S

AM ² dm − Z Z Z

S

AH ² dm − →

Ω − Z Z Z

S

( −−→

AH. − → Ω ) −−→

HMdm

PSfragreplaements

A

y

R

M H

−

→ Ω

∆

ave H estlaprojetion deM surl'axe

∆

^,d'où:

−

→ L A = − → Ω

Z Z Z

S

HM ² dm − Z Z Z

S

( −−→

AH. − → Ω ) −−→

HMdm

= − →

L _{A k} + − → L _{A ⊥}

ave :

−

→ L _{A k} = − → Ω RRR

S HM ² dm

^{:terme olinéaireau veteur}

− → Ω

−

→ L _{A ⊥} = − RRR

S ( −−→

AH. − → Ω ) −−→

HM dm

^:termeperpendiulaireau veteur

−

→ Ω

Leterme

−

→ L _{A k}

^:

Letermeparallèle à l'axede rotation s'érit :

−

→ L _{A k} = J _∆ − →

Ω

⁽¹⁹⁾

J _∆

^{est lemoment d'inertie (enkg.m}

²

^{) dusolideS par rapportà l'axe}

∆

^{.Ilest dénitpar :}

J _∆ = RRR

S HM ² dm

⁽²⁰⁾

ilne dépend quede larépartition desmassesautour de

∆

^.

Exemplesde momentsd'inertie par rapport à un axe passant par G :

Lemoment inétiquedu solidepar rapportà l'axede rotation

∆

^{est :}

L _∆ = J _∆ Ω

⁽²¹⁾

PSfragreplaements

G

G

G

G

∆ G

∆ G

∆ G

∆ G

R

R

R l l

Tige de longueur

2l

^{, demasse}

m J ∆ G = ¹ ₃ ml ²

Cereauderayon

R

^,demasse

m J ∆ G = mR ²

Disquede rayon

R

^,demasse

m J ∆ G = ¹ ₂ mR ²

Cylindre derayon

R

^,demasse

m J ∆ G = ¹ ₂ mR ²

Leterme

−

→ L _{A ⊥}

^:

Letermeperpendiulaireà l'axede rotation(à

−

→ Ω

^{)est nuldansles assuivants :}

1) Lorsque l'axede rotation

∆

^{estl'axe de symétriedu solideS.}

2) Lorsque lesolideestplan etse déplaedansun planperpendiulaireà

∆

^{en A.}

−

→ L _{A ⊥} = − → 0

esdeuxassont les asles plusrenontrés (programme MP).

Dansesason a alors :

−

→ L _A = J _∆ − →

Ω

⁽²²⁾

ave :

A ∈ ∆

^.

Le moment d'inertie du solide par rapport à un axe

∆

^parallèle

à

∆ _G

^est:

J _∆ = J _{∆ G} + m d ²

ave :

J _{∆ G}

^{:un axepassant par Getparallèle à}

∆

d

^{:ladistane entre lesdeux axes}

∆

^et

∆ G

'estlethéorèmede Huygens.

PSfragreplaements

∆ G

∆

G d

P

Démonstration:

Lethéorème de Koenig s'érit:

−

→ L _A = − →

L ^∗ _G + −→

AG ∧ m − → v (G)

ave A unpoint xede

∆

^et

− → v (G) = − → Ω ∧ −→

AG

Laprojetion surl'axede rotationdonne :

L _∆ = L ^∗ _∆ + m( −→

AG ∧ ( − → Ω ∧ −→

AG)). − → u =

soit:

J _∆ Ω = J _{∆ G} Ω + m(AG ² − AH ² )Ω

ave H estlaprojetion deG surl'axe.

d'où:

J _∆ = J _{∆ G} + md ²

H

PSfragreplaements

∆ _G

∆

G d

A

P

Exemple:

PSfragreplaements

G

∆ ∆ _G

Tigedelongueur

2l

^,demasse

m d = l

Tigedelongueur ,demasse

J ∆ _G = ¹ ₃ ml ²

J _∆ = J _{∆ G} + ml ² = ⁴ ₃ ml ²

L'énergieinétiquedu solideS dansleréférentiel

R

^est:

E _c =

Z Z Z

S

1 2

−

→ v (M ) ² dm

= Z Z Z

S

1 2 ( − →

Ω ∧ −−→

AM ). − → v (M )dm

= Z Z Z

S

1 2 ( −−→

AM ∧ − → v (M)). − → Ω dm

= 1 2

Z Z Z

S

( −−→

AM ∧ − → v (M))dm

| {z }

−

→ L A

. − → Ω

d'oùl'expressionde l'énergieinétiqued'unsolideen rotationautour d'unaxexe

∆

^:

E _c = 1

2

−

→ L _A . − → Ω = 1

2

−

→ L _A . − → e _z Ω = 1

2 L _{A k} Ω = 1

2 (J _∆ Ω)Ω

soit:

E c = ¹ ₂ J ∆ Ω ²

⁽²³⁾

Remarqueimportante:

Dans leréférentiel baryentrique

R ^∗

^{, le solide tourneautour d'un axe xe passant par G(as fréquent), les}

expressionsde

−

→ L ^∗

^et

E ^∗ _c

^sontalorsimmédiates.Ondéduitensuitelesgrandeurs(

L _A

^et

E _c

^)dansleréférentiel

R

^{par les théorèmes de Koenig.}

5.3.4 Appliation

Un disque D

(M, a)

^{en rotation autour d'une tige}

T

(m, l)

^{ellemêmeenrotationautourd'unpointOxe.}

Calulerlemomentinétiqueparrapportàl'axe

Oz

^et

l'énergieinétique

E _c

^{del'ensemble dans le référentiel}

galiléen.

PSfragreplaements

D

(M, R)

T

(m, l)

R

C

θ

O

ϕ

Réponse :

L _Oz = 1

2 M a ² ϕ ˙ + (M + 1 3 m)l ² θ ˙ E _c = 1

6 m l ² θ ˙ ² + 1

2 M l ² θ ˙ ² + 1

4 M a ² ϕ ˙ ²

Dynamique d'un système de points matériels

Ladynamiquedes systèmesmatériels tient ompte de l'eet desations(fores)sur lemouvement.

1 Ations extérieures et intérieures

Pourunsystèmematériel

Σ

^{,lesationsméaniques(fores)misesenjeupeuventêtrelasséesendeuxtypes:}

les ationsextérieures

−

→ F _ext

^{:quisont exerées par} l'extérieursur lesystème.

Les ationintérieures

−

→ F _ext

^{:elles sont exerées partoute partie de}

Σ

^{surles autres parties.}

D'après le prinipe de l'ation et de la réation, la fore (inté-

rieure)exeréepar M

i

^surM

j

^{est opposée àelleexerée M}

j

^sur

M

i

^:

− →

F _ij = − − → F _ij

donlarésultantedesationsintérieures àunsystèmeestnulle:

P

i

−

→ F _int = − →

0

⁽²⁴⁾

etle moment totaleenun point A estaussinulle :

P

i

− →

M _A,int = − →

0

⁽²⁵⁾

+

+

+ +

+ +

+

PSfragreplaements

−

→ F _ij

−

→ F _ji

M

i

M

j

P

Exemple:Considérons unsystèmeonstitué de deuxorps AetB.

Pour lesystème

Σ = {A + B}

^:

les fores extérieures sont :

−

→ P A

^,

−

→ P B

^et

−

→ F S

^.

les fores intérieures sont :

−

→ F _A/B

^et

− → F _B/A

^.

ona :

−

→ F _A/B + − →

F _B/A = − → 0

^.

Pour lesystème

Σ = {A}

^:

les fores :

−

→ P _A

^,

− →

F _B/A

^et

− →

F _S

^{sont des fores}

extérieures.

PSfragreplaements

Sol A

B

−

→ P A

−

→ P B

−

→ F _A/B

−

→ F _B/A

−

→ F S

2.1 Énone

X

Dans un référentiel galiléen

R _g

^{, la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement}

− → P

^d'un

systèmefermé(demasse

m

^{) estégale àlasomme desations}extérieures :

d − → P

dt / R ^g = m − → a (G/R _g ) = P − →

F _ext

⁽²⁶⁾

Remarque : Pour unsystème isolé (

P − →

F _ext = − → 0

^{) :}

− →

P = − →

cte

(onservation de laquantité de mouvement totaled'unsystèmeisolé)

X

Dansunréférentielnon galiléen

R

^{,le TRCs'érit :}

d − → P

dt / R = m − → a (G/R) = P − →

F _ext + − → F _ie + − →

F _ic

⁽²⁷⁾

ave :

−

→ F _ie = X

i

−m _i − → a _e (M _i ) = −m − → a _e (G)

^{:Fored'inertie}d'entraînement.

En eet :

−

→ F _ie = − X

i

m _i − → a _ie (M _i )

= − X

i

m i

d ² −−→

OM _i dt ² /M i ∈ R

= − d ² dt ²

X

i

m _i −−→

OM _i

!

/M i ∈ R

= − d ² dt ²

m −−→

OG

/G ∈ R

= −m − → a _ie (G)

−

→ F _ic = X

i

−m _i − → a _c (M _i ) = −m − → a _c (G)

^{:Fored'inertiede Coriolis.}

En eet :

−

→ F _ic = − X

i

m _i − → a _ic (M _i )

= − X

i

m _i 2 − → Ω ∧ − → v _i

= −2 − →

Ω ∧ X

i

m _i − → v _i

!

= −2 − →

Ω ∧ m − → v (G)

= −m − → a _ic (G)

Remarque :Le TRC s'appelle aussile théorèmedu entrede masse ouenore lethéorème de laquantité

2.2 Appliation

Un prisme de masse

M

^{, dont la setion droite a la forme d'un}

triangle isoèle d'angle

α

^{,peutglisser sans frottement sur le sol}

horizontal. Sur e prisme, peuvent glisser sans frottement deux

ubes

A

^{de masse}

2m

^et

B

^{de masse}

m

^{, reliés par un l inex-}

tensible passant par une petite poulie

P

^{; le l et la poulie ont}

unemassenégligeable etlesdeuxbrinsdelsontenpermanene

parallèlesauxlignesde plus grandepente du prisme.

Calulerl'aélération

a

^{du prisme.}

A B

P

α α

−

→ g

Réponse :

a = _M+3m ^{m sin α} _sin ^cos ₂ ^α _α g

3 Théorème du moment inétique (TMC)

3.1 Énone du TMC

Dans un référentiel galiléen

R _g

^{, la dérivée par rapport au temps, du moment inétique}

− →

L _A

^{d'un système}

fermé,enun pointA xedans

R _g

^{,est égaleau moment enA desations}extérieures.

d − → L A

dt = P − →

M _A,ext

⁽²⁸⁾

Eneet,leTMC appliqué àun point M

i

^dansunréférentielgaliléen est:

d − → L _i,A

dt = − →

M ^ext _i,A + − → M ^int _i,A

oùA estun point xe.

soit:

X

i

d − → L _i,A

dt = X

i

− →

M ^ext _i,A + X

i

− → M ^int _i,A

etpuisque

P

i

− →

M ^int _i,A = − →

0

^{,ilvient :}

d − → L _A

dt = X − → M _A,ext

Remarque1:Pourunsystèmeisolé(

P − →

M _A,ext = − → 0

^):

− →

L _A = − →

cte

^(ilyaonservationdumomentinétique, enun point xe, d'unsystèmeisolé).

Remarque1 : silepoint An'est pasxeon montre que:

d − → L _A

dt + − → v (A) ∧ m − → v (G) = X − → M A,ext

3.2 TMC en G

Dansun référentielgaliléen

R _g

^{,leTMC appliqué enG(entre de massedusystème) s'érit :}

d − → L G = P − →

M

Dansun référentielnon galiléen

R

^{,le TMCen unpoint A xedans}

R

^{s'érit :}

d − → L A

dt = P − →

M _A,ext + − →

M _A,ie + − →

M _A,ic

⁽³⁰⁾

ave :

− →

M _A,ie = − X

i

−−→ AM _i ∧ m _i − → a _e (M _i )

^{:Momentdes foresd'inertie}d'entraînement

− →

M _A,ic = − X

i

−−→ AM _i ∧ m _i − → a _c (M _i )

^{:Moment desfores d'inertiede Coriolis}

3.4 TMC dans le référentiel baryentrique

Dansleréférentielbaryentrique

R ^∗

^{,le TMCappliqué aupoint Gs'érit :}

d − → L ^∗ _G

dt = P − →

M _G,ext

⁽³¹⁾

etteexpression estvalable même si

R ^∗

^{n'est pasgaliléen .}

Eneet,dans

R ^∗

^{,qui esten} translation, ona :

− →

M _G,ie = − P

i

−−→ GM _i ∧ m _i − → a _e (M _i ) = − P

i

−−→ GM _i ∧ m _i − → a _e (G) = − X

i

m _i −−→

GM _i

!

| {z }

= − → 0

∧− → a _e (G) = − → 0

− →

M _G,ic = − →

0

^ar

R ^∗

^esten translation.

3.5 Appliations

Considérons le système méanique shématisé

i-ontre.LelAPestinextensible,supposésans

masse, sans raideur et ne glisse pas sur le y-

linre. Le ressort a une raideur

k

^.

Calulerla période des osillations vertiales du

entreCduylindrehomogène demasse

m

^etde

rayon

R

^{. PSfrag}replaements

A

P O

−

→ g

C

z

Réponse:

T = 2π q 3 m

8 k

4 Théorème de l'énergie inétique (TEC)

4.1 TEC dans un référentiel galiléen

Dansunréférentiel

R _g

^{,l'énergieinétiqued'un systèmedepointsmatériels}

Σ{M _i (m _i )}

^est:

E c = X

i

1

2 m i − → v i 2 = ⇒ dE _c dt = X

i

m i − → a i . − → v i

lePFDappliqué aupoint

M i

^dansleréférentielgaliléen

R g

^est:

m _i − → a _i = − →

f _i,ext + − → f _i,int

don:

dE _c

dt = X − → v _i . − →

f _i,ext + X − → v _i . − → f _i,int

d'oùleTEC pour un systèmequelonque dansunréférentielgaliléen

R _g

^:

dE c

dt = P

P _ext + P

P _int

⁽³²⁾

ave :

X P

P _ext = P

i

− →

f _i,ext . − → v _i

lasommedes puissanesdesations extérieures appliquéessurlesystème

(Σ)

^.

X P

P _int = P

i

− →

f _i,int . − → v _i

lasommedespuissanes desations intérieures à

(Σ)

^.

Enintégrant entre deuxinstants

t 1

^et

t 2

^{il vient :}

E _c2 − E _c1 = P

W _ext (t ₁ , t ₂ ) + P

W _int (t ₁ , t ₂ )

⁽³³⁾

où

P W _int (t ₁ , t ₂ )

^{estlasomme destravauxdesations}intérieures entre lesinstants

t ₁

^et

t ₂

^.

et

P W _ext (t ₁ , t ₂ )

^{est lasommedestravaux desations}extérieures entre lesinstants

t ₁

^et

t ₂

^.

Remarque 1 : Bien que la somme des ations intérieures est nulle, la puissane de es ations n'est pas

nulle àpriori.

Remarque 2: Lapuissane

P _int

^desations intérieures est indépendantedu référentieldanslequel on fait lesaluls. En eet:

•

^{Dans un}référentiel

R(O, x, y, z)

^{, lapuissanedesations} intérieures est:

P _int = X

i

− →

f _i,int . − → v _i

•

^{Dans unautre}référentiel

R ^′ (O ^′ , x ^′ , y ^′ , z ^′ )

^{,elle s'érit :}

P _int ^′ = X

i

− →

f _i,int . − → v ^′ _i

arlaforeest indépendanteduréférentiel.

D'aprèslaloi deompositiondesvitesses, ona :

−

→ v _i = − → v ^′ _i + − → v (O ^′ /R) + − →

Ω _R ′ / R ∧ −−−→

O ^′ M _i

don:

!

or:

X

i

−

→ f _i,int = − →

0 et X

i

−−−→ O ^′ M _i ∧ − →

f _i,int = − → 0

d'où:

P _int = P _int ^′

Appliation :

Unetige homogène

AB

^,deentre

C

^,delongueur

2L

^,demoment

d'inertie

J = ¹ ₃ mL ²

^{par rapportà unaxe}perpendiulaire àlatige et passant par

C

^{, glisse sansfrottement à} l'intérieur d'un demi- erle deentre

O

^{etde rayon}

R = √ ²

3 L

^.

Cedemi-erleest situé dans leplanvertial

(Oxy)

^{d'unréféren-}

tielgaliléen.

1. En appliquant le théorème de l'énergie inétique, déterminer

l'équation diérentielle vériée par l'angle

θ = −→

Ox, −−→

OC

.

PSfragreplaements

O

A C

B θ

x

−

→ g y

Réponse :

θ ¨ + _R ^g sin θ

4.2 TEC dans un référentiel non galiléen

Dansunréférentielnon galiléen

R ^′

^{,l'énergieinétiqued'unsystèmede pointsmatériels}

Σ{M _i (m _i )}

^{est :}

E _c ^′ = X

i

1 2 m _i − → v ^′ _i

= ⇒ dE ^′ _c dt = X

i

(m _i − → a ^′ _i ). − → v ^′ _i

lePFDappliquée au point

M _i

^dans

R ^′

^est:

m _i − → a ^′ _i = − →

f _i,ext + − →

f _i,int + − →

f _ie (M _i ) + − → f _ic (M _i )

d'où:

dE _c ^′ dt = X

P _ext ^′ + X

P _int ^′ + P ie + P ic

ave :

• P

P _ext ^′ = P

i

− →

f _i,ext . − → v ^′ _i

lapuissanedesationsextérieures.

• P

P _int ^′ = P

i

− →

f _i,int . − → v ^′ _i

lapuissane desationsintérieures.

• P _ie = P

i

− →

f _ie (M _i ). − → v ^′ _i

= − P

i

(m _i − → a _ie (M _i ). − → v ^′ _i )

^{lapuissanedesfores} d'entraînement.

• P _ic = P

i

− →

f _ic (M _i ). − → v ^′ _i

= −2 P

i

m _i − →

Ω _R ′ / R ∧ − → v ^′ _i

. − → v ^′ _i = − →

0

^{: la puissane des fores de Coriolis est}

nulle .

d'oùleTEC pour un systèmequelonque dansunréférentielnon galiléen :

dE _c ^′ dt = P

P _ext ^′ + P

P _int ^′ + P _ie

⁽³⁴⁾

4.3 TEC dans le référentiel baryentrique

R ^∗

Considéronsun systèmede points matériels

Σ{M i (m i )}

^dansun référentiel

R

^etsoit

R ^∗

^leréférentielbary- entrique (a priorinon galiléen) par rapportà

R

^.

LeTEC dans

R ^∗

^{s'érit :}

dE ^∗ _c dt = X

P _ext ^∗ + X

P _int ^∗ + P _ie ^∗

ave :

P _ie ^∗ = X

i

h − →

f _ie (M _i ). − → v ^∗ _i i

= − X

i

[m _i − → a ^∗ _ie (M _i ). − → v ^∗ _i ]

or:

−

→ a ^∗ _ie (M _i ) = − → a (G/R) + d − → Ω _R ∗ / R

dt ∧ −−→

GM _i + − →

Ω _R ∗ / R ∧ ( − →

Ω _R ∗ / R ∧ −−→

GM _i )

= − → a _{G/ R} puisque − →

Ω _R ∗ / R = − → 0

d'où:

P _ie ^∗ = −− → a _{G/ R} . X

i

[m _i − → v _i ^∗ ]

= −− → a _{G/ R} . d dt

X

i

h m _i −−→

GM _i i

= − →

0

^{par dénitiondu entred'inertieG}

donlapuissane desfores d'inertiedansleréférentielbaryentrique estnulle:

P _ie ^∗ = 0

⁽³⁵⁾

LeTECdansleréférentielbaryentrique

R ^∗

^{(quin'estpasapriorigaliléen)s'éritommedansun}référentiel galiléen:

dE _c ^∗

dt = P _ext ^∗ + P _int ^∗

⁽³⁶⁾

4.4 TEC pour un solide

a/ Puissane des ations intérieures :

ConsidéronsdeuxpointsM

i

^etM

j

^{d'un solide.La puissane desfores}intérieures

−

→ F _ij

^et

− → F _ji

^est:

P _int = − →

F _ij . − → v _i + − → F _ji . − → v _j

soit:

P _int = − →

F _ij .( − → v _i − − → v _j ) car − →

F _ij = − − → F _ji = F

−−−→ M _i M _j

M _i M _j = cte −−−→

M _i M _j

d'où:

P P _int = 0

⁽³⁷⁾

b/Puissane des ations extérieures :

Soitunefore

−

→ F

^{appliquée enunpointM dusolideetAun point quelonque de e solide.La puissane}

deette foredansune référentiel

R

^est:

P = − →

F . − → v (M )

= − →

F .( − → v (A) + − → Ω ∧ −−→

AM )

= − →

F . − → v (A) + − → F .( − →

Ω ∧ −−→

AM )

= − →

F . − → v (A) + − → Ω .( −−→

AM ∧ − → F ) = − →

F . − → v (A) + − → Ω _{S/ R} . − →

M _A (F )

P P _ext = P − →

F _ext . − → v (A) + P − →

M _A,ext . − →

Ω _{S/ R}

⁽³⁸⁾

Aest unpointquelonque du solide.

/TEC pour un solide :

Pour un solide,leTEC dans unréférentielgaliléen

R g

^{,s'érit alors :}

dE c

dt = P

P _ext

⁽³⁹⁾

X E _c

^{est l'énergieinétiquedusolide dans}

R _g

^.

X P

P _ext

^{est lasommedespuissanes desations}extérieures appliquées surlesolide.

Enintégrant entre deuxinstants

t ₁

^et

t ₂

^{il vient :}

E _c2 − E _c1 = P

W _ext (t ₁ , t ₂ )

⁽⁴⁰⁾

où

P W _ext (t ₁ , t ₂ )

^{est lasommedestravaux desations}extérieures entre lesinstants

t ₁

^et

t ₂

^.

Appliation:

Une tige homogène

AB

^{, de entre}

C

^{, de longueur}

2l

^,

de moment d'inertie

J = ¹ ₃ m l ²

^{par rapport à un axe}

perpendiulaire à la tige et passant par

C

^{, glisse sans}

frottement à l'intérieur d'un demi-erle de entre

O

etde rayon

R = √ ² 3 L

^.

Ce demi-erle est situé dans le plan vertial

(Oxy)

d'unréférentiel galiléen.

1. En appliquant le théorème de l'énergie inétique,

déterminer l'équation diérentielle vériée par l'angle

θ = −→

Ox, −−→

OC

.

PSfragreplaements

O

A

C B

θ

x

−

→ g ^y

Réponse:

θ ¨ + _R ^g sin θ = 0

5.1 Énergie potentielle

Dansun référentiel

R

^,l'énergie potentielle

E _p

^{dont dérive une fore}

− →

F

^{appliquée sur un point matériel}

M

esttelleque:

dE _p = − − →

F . − → v (M/R) dt = −δW ( − →

F )

⁽⁴¹⁾

Onditquelafore

−

→ F

^{est unefore onservative.}

L'énergie potentielle d'un système

Σ{M i (m i )}

^{est la somme des énergies} potentielles de toutes les fores onservatives:

E _p = X

i

E _pi

où

E _pi

^{estl'énergie}potentielle de laforeonservative

f _i

^.

5.2 Théorème de l'énergie méanique (TEM)

L'énergieméanique du système

Σ{M _i (m _i )}

^dans

R

^est:

E _m = E _c + E _p = X

i

1 2 m _i − → v ² _i

+ X

i

E _pi

d'où:

dE _m = dE _c + dE _p

or:

dE _c = X

δW ^c + X

δW ^nc et dE _p = −δW ^c

ave

δW ^c

^et

δW ^nc

^sontrespetivementlestravauxélémentairesdesforesonservativesetnononservatives.

d'oùlethéorèmede l'énergieméanique (TEM) :

dE _m = P

δW ^nc

⁽⁴²⁾

5.3 Conservation de l'énergie méanique

Sitoutes les fores nononseravativesappliquées surunsystèmene travaillent pas, alors :

δW ^nc = 0 = ⇒ E _m = cte

danseas, etlesystème estditonservatif.

L'équation

E _m = E _c + E _p = cte

^{estuneintégrale premièredu mouvement:'est}l'intégrale première de l'énergie.

Remarque :Dans un référentiel non galiléen, il faut tenir ompte des fores d'inertie d'entraînement qui

Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Une barre

AB

homogène de masse

m

^{, de longueur}

2b

^{et de entre}

G

^{, milieu}

de

AB

^{, est posée sur le sol horizontal et repose ontre un mur}

vertial. Sa position est déterminée par l'angle

α = ( −→

Ox, −−→

OG)

^.

Les ontats en

A

^et

B

^{sontsupposés sans} frottements.

1. Érire l'intégrale première de l'énergie en supposant qu'à

l'instantinitial, la barre est immobileave une inlinaison

α ₀

^.

2. Caluler la réation

−

→ R _A

^{, du mur sur la barre, et en déduire}

pour quelle inlinaison

α ₁

^{, la barre quitte le mur. On donne}

le moment d'inertie de la barre par rapport à sa médiatrie

J = ¹ ₃ mb ²

^.

PSfragreplaements

z x

y

A

B G

α

−

→ g

Réponses :

E m = ² ₃ mb ² α ˙ ² + mgb sin α = mgb sin α 0

^;

R A = ³ ₂ mg cos α( ³ ₂ sin α − sin α 0 )

^;

sin α 1 = ² ₃ sin α 0

6 Notion de torseur

6.1 Dénition

Considérons,dansun référentiel

R

^{,unsystèmede point matériels}

Σ{M _i (m _i )}

^{.Àhaquepoint matérielM}

_i

estassoiéunveteur

−

→ Q _i (= − → v _i , − → a _i , − →

F _i , m _i − → v _i , . . . )

^.

Ondénitpour e systèmedeveteur :

larésultante:

−

→ R = P

i

−

→ Q _i

lemomenten unpoint A:

− → M _A = P

i

−−→ AM _i ∧ − → Q _i

lemoment en un autrepoint Best:

− →

M _B = − → M _A + − →

R ∧ −− → AB

Larésultante

−

→ R

^{et lemoment}

− →

M _A

^{sont appelés éléments de rédutionen A dutorseur}

τ = h − → R , − →

M _A i

assoié ausystème

{ − → Q _i }

^.

6.2 Cas partiuliers

si larésultante d'untorseur estnulle(

−

→ R = − →

0

^{), letorseurestappeléun ouple.}

si lemoment,en unpoint, d'untorseur estnul(

− → M _A = − →

0

^{),le torseurestappeléun glisseur.}

6.3 Exemples

X

Torseur inétique

τ _c

^:

•

^{Lesélémentsde rédutionsont:}

− → R = P

i m i − → v i = m − → v (G) = − →

P

^et

− → M A = P

i

−−→ AM i ∧ m i − → v i =

−

→ L _A

•

^{Onmontre que:}

−

→ L _B = − → L _A + − →

P ∧ −− → AB

•

^{Onnoteletorseur inétique:}

τ _c = h − → P , − →

L _A i

X

Torseur dynamique

τ _d

^:

•

^{Lesélémentsde rédutionsont:}

− → R = P

i m _i − → a _i = m − → a (G) = − →

S

^et

− → M _A = P

i

−−→ AM _i ∧ m _i − → a _i =

−

→ D _A

•

^{Onmontre que:}

−

→ D _B = − → D _A + − →

S ∧ −− → AB

•

^{Onnoteletorseur dynamique:}

τ _d = h − → S , − →

D _A i

Remarque:il estfailede montrer qu'en unpoint xeA ona :

−

→ D _A = ^{d − → L} _dt ^A

^.

X

Torseur des ations méaniques (fores)

τ _f

^:

•

^{Leséléments derédution sont :}

− → R = P

i

−

→ F _i

^et

− → M _A = P

i

−−→ AM _i ∧ − → F _i

•

^{Onmontre quepour une fore}

− →

F

^{appliquée en unpoint M,on a :}

− →

M _B = − → M _A + − →

F ∧ − −→

AB

•

^{Onnoteletorseur desfores :}

τ _f =

"

X

i

−

→ F i , − → M A ( − →

F i )

#

X

Torseur des vitesses d'un solide(inématique)

τ v

^:

Pour deuxpointsd'unsolideon a :

−

→ v _A = − → v _B + − → Ω ∧ −− →

BA

d'où letorseurinématique d'unsolide:

τ _v = h − →

Ω , − → v _A i

6.4 Formulation torsorielles des lois de la méanique

6.4.1 Prinipe fondamental

Dansunréférentielgaliléen

R _g

^{,letorseurdynamique}

τ _d

^{d'unsystèmefermé estégalau torseurdesations}

méaniquesextérieures

τ _f,ext

^:

h − → S , − →

D _A i

=

"

X

i

−

→ F _i,ext , − → M _A ( − →

F _i,ext )

#

d'oùleTRC:

m − → a (G) = X

i

−

→ F _i,ext

−

→