On prendra soin d’établir d’abord les résultats sous forme littérale en fonction des données, avant de passer à l’application numérique éventuelle.

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ELECTRICITE

Tous les résultats doivent être justifiés (de façon complète et concise) et non affirmés.

On prendra soin d’établir d’abord les résultats sous forme littérale en fonction des données, avant de passer à l’application numérique éventuelle.

I. Capacité commutée : simulation d’une résistance

Le principe présenté dans cet exercice a révolutionné la construction des filtres actifs utilisés en électro- cinétique en permettant de faire varier la valeur des résistances avec la période du signal de commande.

On considère le dispositif ci-dessous. Les deux interrupteurs présentent une résistance r lorsqu’ils sont fermés, infinie lorsqu’ils sont ouverts.

Les interrupteurs sont commandés en ouverture/fermeture selon une loi périodique de période T :

— si nT < t <

n +

T , l’interrupteur K

est fermé tandis que K

est ouvert (n est entier relatif).

— si

n +

T < t < (n + 1)T , l’interrupteur K

est ouvert tandis que K

est fermé.

E₁ C E₂

q

K₁ K₂

Le dispositif fonctionne depuis suffisamment longtemps pour que l’évolution de la charge du conden- sateur soit elle aussi périodique de période T . On pose que l’instant t = 0 coïncide avec la fermeture de K

et l’ouverture de K

. On notera Q

la valeur de la charge du condensateur à l’instant t = 0

. On rappelle l’expression de la valeur moyenne d’une fonction g(t) de période T :

< g(t) >= 1 T

Z T 0

g(t)dt

Données : T = 10

r = 100 Ω, C = 10 nF, E

= 5 V et E

= 1 V.

1. a) Etablir l’équation différentielle vérifiée par la charge q du condensateur entre t = 0 et t = T /2 (K

fermé et K

ouvert).

b) Déterminer q(t) en fonction des données et de Q

sur cette première demi-période.

c) Exprimer la charge Q

à la date t =

. On posera a =

.

Quel est l’écart relatif entre Q

et le régime permanent de l’équation différentielle, en pour- centage ?

Dans la suite on approximera Q

à ce régime permanent.

2. a) Donner l’équation différentielle de la charge q du condensateur entre t = T /2 et t = T . b) Déterminer la solution q(t) sur cette deuxième demi-période, en fonction des données.

c) En déduire l’expression de la charge Q

en fonction des données. On pourra faire la même approximation qu’au 1.c).

3. Représenter l’allure du graphe de q(t) sur une période.

4. Etablir l’expression des valeurs moyennes des intensités du courant parcourant le condensateur (< i(t) >), et les deux interrupteurs (< i

(t) > et < i

(t) >).

5. Quelle résistance R faudrait-il placer entre les deux sources de tension pour obtenir le même courant moyen ? Faire l’application numérique.

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II. Circuit RLC série en régime libre

On place un condensateur chargé avec une charge q

en série avec une bobine d’in- ductance L et une résistance r.

1. Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension u

aux bornes du condensateur. Exprimer le facteur de qualité Q et la pulsation propre ω

du circuit.

2. Dans le cas où l’on aurait r = 0, établir l’expression de u

(t) en fonction de la charge initiale q

du condensateur, supposée connue. Exprimer la période propre T

qu’aurait ce régime.

3. On suit l’évolution temporelle de u

(t) à l’aide de l’oscillogramme ci-dessus (échelle horizontale : 1

5 V/carreau). La courbe démarre à l’instant t = 0.

a) Quelle est alors l’inégalité vérifiée par la résistance r ?

b) Quelle est la forme théorique de la solution u

(t) ? Retrouver (en justifiant) l’expression de toutes les constantes apparaissant dans u

(t) en fonction de q

, de la pulsation propre ω

et du facteur de qualité Q.

c) Rappeler la définition du décrément logarithmique δ et établir sa relation avec le facteur de qualité (on supposera que Q est suffisamment grand pour localiser les extrema sur l’enveloppe exponentielle).

4. En utilisant l’oscillogramme de la figure, déterminer la valeur numérique : a) de la pseudo-période T des oscillations (et en précisant votre méthode) ;

b) du décrément logarithmique δ puis du facteur de qualité Q (vérifier a posteriori que l’approxi- mation faite est bien valable) ;

c) de l’écart relatif entre la période propre T

et la pseudo-période T ; d) de la valeur de l’inductance L sachant que la capacité est C = 0, 1 nF ;

e) de la valeur maximale u

de la tension u

et de la valeur initiale de la charge q

que le condensateur avait accumulé au départ.

5. Représenter l’allure du portrait de phase correspondant. On indiquera clairement l’état initial, l’état final, et le sens de parcours de la trajectoire de phase.

6. Etablir l’expression du courant i(t) orienté en convention récepteur par rapport à u

. Approximer cette expression en utilisant le fait que Q 1, donc T

T

.

7. Calculer l’énergie E(t) contenue dans le circuit à l’instant t, toujours sous l’hypothèse Q 1.

8. Comment évolue E(t) ? Expliquer cela à l’aide d’un bilan d’énergie.

9. Calculer la variation relative α d’énergie contenue dans le circuit pendant une pseudo-période : α = E(t)

E(t + T )

E(t)

En déduire une interprétation énergétique du facteur de qualité Q.

On pourra utiliser le fait que e

1 + x si x 1.

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