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Yves Detandt
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P. G. D
Bruxelles, Aoˆut 2007.
Acknowledgments
Je voudrais tout d’abord remercier le Professeur G´erard Degrez. Ses capacit´es didactiques et ses conseils judicieux ont jalonn´e mon parcours tout au long de cette th`ese. A la fin de quatre ann´ees de th`ese, je conserve un bon nombre de formules griffonn´ees le plus souvent sur une serviette `a l’heure du repas. Ce sont ces quelques formules et les tr`es nombreuses discussions que nous avons eues qui m’ont guid´e dans mes recherches. Je le remercie aussi pour la confiance dont il m’a fait part tout au long de ces 4 ann´ees, me confiant tour `a tour des projets situ´es bien loin de l’a´eroacoustique, mais qui m’ont assur´e une th`ese aussi diverse que passionante.
Je tiens aussi `a remercier tout particuli`erement le Professeur Daniele Carati pour ses conseils avis´es. Au d´ebut de cette th`ese, mes connaissances sur le logiciel libre
´etaient proches du z´ero absolu, mais ses encouragements accompagn´es de ceux de G´erard m’ont amen´e `a prendre une part de plus en plus grande dans la gestion et la conception du parc informatique commun de nos deux services. Le nom d’Anic n’aura certainement plus la mˆeme signifcation pour moi apr`es ces 4 ans, mˆeme si, loi de Murfy oblige, les op´erations se d´eroulaient toujours au moment o`u j’avais le moins de temps `a y consacrer. Je crois avoir beaucoup appris sur le plan personnel et tiens `a remercier Daniele et G´erard pour leur confiance dans ce domaine.
Je voudrais aussi exprimer ma plus profonde gratitude envers David Vanden Abeele. Ton exp´erience en programmation scientifique et ton goˆut pour de ”belles solutions” num´eriques ont ´et´e un exemple tout au long de ces 4 ans. Je garde aussi des souvenirs d’interminables corrections d’articles, mais toujours impressionn´e par la cons´equente am´elioration du papier.
Je remercie ´egalement le Professeur Jean-Louis Migeot. Sa passion et l’int´erˆet pour l’acoustique qu’il a fait naˆıtre lors de son cours ne sont sans doute pas ´etrangers
`a mon choix de sujet de th`ese. Je le remercie aussi, ainsi que toute l’´equipe de Free Field Technologies, avec un attention sp´eciale pour St´ephane Caro et Gr´egory Lie- lens, pour leur disponibilit´e, leur ´ecoute et leur gentillesse lors des nombreux contacts que j’ai eu l’occasion d’entretenir pendant ces 4 ans.
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J’exprime aussi toute ma reconnaissance vis `a vis de Christophe Schram. Ton manuscrit de th`ese a ´et´e `a la fois une introduction et un fil conducteur me guidant
`a travers les raisonnements parfois compliqu´es des analogies a´eroacoustiques. Tes connaissances et les discussions sur le bruit de jet m’ont aussi beaucoup aid´e pour obtenir une solution num´erique similaire aux exp´eriences.
Je remercie le Professeur G. Winckelmans et le Professeur H. Deconinck pour avoir accept´e de participer au jury de cette th`ese.
Une th`ese est aussi une formidable exp´erience humaine et professionnelle. Je re- mercie Patrick, Pietro, Michel, Franc¸ois, Christophe, Dries, Frank, Didier, Olivier et Pierre-Alexis pour ces temps de midi et moments que nous avons partag´es ensemble.
Ces discussions anodines m’ont souvent permis d’aborder les questions sous un autre angle, me rapprochant ainsi sans aucun doute de la solution.
Dans le cadre de cette th`ese j’ai aussi eu le plaisir d’accompagner Axelle Vir´e, David Vangeenberghe, Isma¨el Yabda, Zakarias Djoudi et Pierre Gousseau. Leur m´emoire a ´et´e l’occasion d’un ´echange de points de vue tr`es int´eressant et qui a conduit `a pas mal d’am´eliorations du code.
Je remercie Shirley Wayne pour sa disponibilit´e et son efficacit´e `a r´esoudre les nombreux soucis administratifs.
Je n’oublie pas non plus l’´equipe technique ; Dany, Guy, Claude, Rapha¨el, Pascal et Yves qui ont toujours ´et´e de la partie depuis la construction du ”poulailler” pour ordinateurs jusqu’aux ”casseroles `a moules” sur lesquelles les ´etudiants de Thermo
´etudieront bientˆot les propri´et´es des cycles frigo.
Enfin, et ce ne sont pas des moindres, j’adresse mes plus vifs remerciements `a ma famille et mes parents en particulier pour leur soutien. A la fin de cette th`ese et de mes
´etudes, je mesure l’importance de leurs encouragements. Je garde le mot de la fin `a l’attention de mon ´epouse, Marie-Astrid. Je n’oublierai jamais ta compr´ehension pour ces longs week-ends de travail, mais aussi pour ta pr´esence `a mes cˆot´es depuis plus de 7 ans. Tu as ´et´e de toutes les d´ecisions et ton sourire est certainement le meilleur des rem`edes pour oublier les tracas et probl`emes dont j’ai l’art de m’entourer.
Cette th`ese a ´et´e support´ee financi`erement par le Fonds pour la formation `a la Recherche dans l’Industrie et dans l’Agriculture (FRIA). Les simulations ont ´et´e r´ealis´ees sur le cluster Anic4 financ´e par plusieurs fonds et contrats de recherche (http ://anic4.ulb.ac.be).
Contents
1 Introduction 1
1.1 Context . . . 1
1.2 Aeroacoustic simulations . . . 2
1.2.1 Direct approach . . . 2
1.2.2 Hybrid approach . . . 2
1.3 Flow simulations . . . 3
1.4 Turbulence . . . 4
1.5 Acoustic simulations . . . 4
2 3D Flow solver 7 2.1 Incompressible Navier-Stokes equations . . . 8
2.1.1 Conservation laws . . . 10
2.1.2 Weak forms . . . 11
2.2 Discretized equations . . . 12
2.2.1 Finite element method . . . 12
2.2.2 Spectral expansion . . . 14
2.2.3 Convective Terms . . . 16
2.2.4 Matrix form . . . 21
2.2.5 Time discretization . . . 24
2.2.6 Conclusion . . . 29
2.3 Boundary conditions . . . 30
2.3.1 Inlet boundary . . . 31
2.3.2 Outlet boundary . . . 32
2.3.3 Wall . . . 33
2.3.4 Axis boundary . . . 34
2.4 Stabilization . . . 37
2.4.1 Pressure oscillations . . . 37
2.4.2 Convective oscillations . . . 40
2.5 Conclusion . . . 44
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iv CONTENTS
3 Flow test cases 47
3.1 Computed quantities . . . 47
3.1.1 Force - Torque . . . 48
3.1.2 Kinetic energy . . . 50
3.1.3 Enstrophy . . . 50
3.1.4 Angular momentum . . . 51
3.2 Flow past a sphere at moderate Reynolds numbers . . . 51
3.2.1 Stokes flow . . . 51
3.2.2 Steady axisymmetric flow . . . 52
3.2.3 Unsteady non-axisymmetric flows . . . 55
3.3 Taylor-Couette flow . . . 65
3.3.1 Axisymmetric Taylor-Couette . . . 67
3.3.2 Turbulent Taylor-Couette . . . 69
3.4 Conclusion . . . 73
4 Turbulence modeling 75 4.1 Turbulent concepts . . . 75
4.2 LES modeling . . . 77
4.2.1 Eddy viscosity . . . 82
4.2.2 Dynamic procedure . . . 86
4.2.3 Variational multiscale approach . . . 88
4.3 Conclusion . . . 90
5 Aeroacoustics 93 5.1 Acoustic equations . . . 97
5.2 Analogies . . . 100
5.2.1 Lighthill analogy . . . 101
5.2.2 Vortex sound . . . 102
5.3 Acoustic solutions . . . 103
5.3.1 Integral methods . . . 104
5.3.2 Variational solution . . . 109
5.4 Conclusion . . . 113
6 Aeroacoustic simulations 115 6.1 Introduction . . . 115
6.2 Cylinder . . . 116
6.2.1 Hydrodynamic simulation . . . 116
6.2.2 Noise extraction . . . 119
6.2.3 Acoustic solution . . . 121
6.2.4 Conclusion . . . 124
6.3 Jet noise . . . 126
6.3.1 Re=5000 . . . 128
CONTENTS v 6.3.2 Re=14000 . . . 142 6.4 Conclusion . . . 163
7 Conclusions 165
A Finite element integrals 179
B Derivation of regularity conditions on the axis 181
C Stokes solution past a sphere 185
D Computation of force and torque 189
E Dispersive character of different schemes 193
F Damping of noise sources 199
