Bilan et prospectives 2019 du département Décision & Optimisation du LAAS-CNRS

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Submitted on 24 Sep 2019

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Optimisation du LAAS-CNRS

Dimitri Peaucelle, Marie-José Huguet, Yannick Pencolé, Christian Artigues, Emmanuel Hébrard, Didier Henrion, Laurent Houssin, Sophie Tarbouriech,

Louise Travé-Massuyès, Luca Zaccarian, et al.

To cite this version:

Dimitri Peaucelle, Marie-José Huguet, Yannick Pencolé, Christian Artigues, Emmanuel Hébrard, et

al.. Bilan et prospectives 2019 du département Décision & Optimisation du LAAS-CNRS. Rapport

LAAS n° 19270. 2019. �hal-02295816�

Bilan et prospectives 2019

du d´epartement D´ecision & Optimisation du LAAS-CNRS

D. Peaucelle, M.J. Huguet, Y. Pencol´ e,

C. Artigues, E. H´ ebrard, D. Henrion, L. Houssin, S. Tarbouriech, L. Trav´ e-Massuy` es, L. Zaccarian,

C. Albea-Sanchez, L. Baudouin, E. Chanthery, F. Gouaisbaut, E. Le Corronc, C. Louembet, S. Ngueveu, I. Queinnec, P. Ribot, A. Seuret, C. Briand, M. Combacau, B. Dahhou, P. Esquirol, S. Fergani, D. Fournier-Prunaret, G. Garcia, C. Jauberthie, M. Joldes, M. Korda, J.B. Lasserre, F. Le Gall, M.V. Le Lann,

P. Lopez, V. Magron, V. Mahout, J. Moncel, G. Roux, M. Siala, A. Subias, A. Tanwani

Ce document rassemble les contributions fournies par le d´ epartement D´ ecision et optimisation pour la produc- tion du rapport de bilan et prospectives du LAAS-CNRS en vue de son ´ evaluation ` a vague en 2019.

R´ esum´ e de l’activit´ e du d´ epartement

Le d´ epartement m` ene des activit´ es de recherche th´ eoriques et m´ ethodologiques pour la conception de lois math´ ematiques et de techniques algorithmiques servant ` a la commande et ` a la d´ ecision. Les trois ´ equipes com- posant le d´ epartement couvrent une vari´ et´ e de champs disciplinaires de l’automatique et de l’informatique. Elles partagent certaines particularit´ es comme : ˆ etre centr´ ees sur des classes de mod` eles repr´ esentant des r´ ealit´ es phy- siques, fonctionnelles ou organisationnelles que l’on souhaite piloter ; proposer des outils th´ eoriques pour l’analyse des propri´ et´ es et performances atteignables ou atteintes ; adosser ces r´ esultats ` a des m´ ethodes de conception de lois de commandes, de diagnostic ou d’optimisation ; illustrer les r´ esultats sur des exemples d’applications fournis par des partenaires ext´ erieurs qui dans l’´ echange alimentent les ´ equipes en probl´ ematiques nouvelles.

Mots-cl´ es (issus des sections du Comit´ e national de la recherche scientifique)

S6 Intelligence artificielle : Repr´ esentation des connaissances, formalisation des raisonnements ; Acquisition des connaissances, apprentissage ; Syst` emes multi-agents

S6 Calcul arithm´ etique et formel, codage et cryptologie : Arithm´ etique des ordinateurs, calcul formel, calcul certifi´ e S6 Aide ` a la d´ ecision et recherche op´ erationnelle : Optimisation, programmation math´ ematique, satisfaction de contraintes ; D´ ecision, choix social, th´ eorie algorithmique des jeux ; Ordonnancement, syst` emes de production, lo- gistique

S6 Algorithmique, combinatoire : algorithmique des graphes, th´ eorie des graphes

S7 Automatique : mod´ elisation, analyse, observation, identification, commande, optimisation, pr´ ediction, diag- nostic, surveillance, supervision, sˆ uret´ e de fonctionnement ; syst` emes dynamiques continus, discrets, hybrides, en r´ eseau, cyber-physiques, multi-agents

S41 Th´ eorie du contrˆ ole et optimisation

Table des mati` eres

1 Pr´ esentation globale 5

1.1 Objectifs / positionnement du d´ epartement . . . . 5

1.1.1 DO - D´ ecision et Optimisation . . . . 5

1.1.2 DISCO - DIagnostic, Supervision et COnduite . . . . 6

1.1.3 ROC - Recherche Op´ erationnelle, Optimisation Combinatoire et Contraintes . . . . 7

1.1.4 MAC - M´ ethodes et Algorithmes en Commande . . . . 8

1.2 Vie du d´ epartement . . . . 10

1.3 Faits marquants inter-´ equipes / inter-d´ epartements . . . . 11

2 Th´ ematiques scientifiques 13 2.1 Certificats . . . . 13

2.2 Hi´ erarchies . . . . 16

2.3 Gestion des incertitudes . . . . 18

2.4 M´ ethodes Computationnelles . . . . 20

2.5 Codes et applications . . . . 24

3 Prospectives 27 3.1 Reconduction du d´ epartement . . . . 27

3.2 D´ ecision, optimisation et apprentissage . . . . 29

3.3 Syst` emes h´ et´ erog` enes hybrides . . . . 31

3.4 D´ emonstrateurs . . . . 32

4 Annexe 33 4.1 Production de connaissances . . . . 33

4.1.1 Articles scientifiques . . . . 33

4.1.2 Produits et outils informatiques . . . . 33

4.1.3 D´ eveloppements instrumentaux et m´ ethodologiques . . . . 34

4.1.4 Activit´ es ´ editoriales . . . . 34

4.1.5 Activit´ es d’´ evaluation . . . . 35

4.1.6 Contrats de recherche financ´ es par des institutions publiques ou caritatives . . . . 38

4.1.7 Post-doctorants et chercheurs seniors accueillis . . . . 40

4.1.8 Indices de reconnaissance . . . . 41

3

4.2 Int´ egration avec l’environnement . . . . 46

4.2.1 Brevets, licences et d´ eclarations d’invention . . . . 46

4.2.2 Activit´ es d’expertise scientifique . . . . 47

4.3 Formation par la recherche . . . . 49

4.3.1 Produits des activit´ es p´ edagogiques et didactiques . . . . 49

4.3.2 Formation . . . . 51

Chapitre 1

Pr´ esentation globale

1.1 Objectifs / positionnement du d´ epartement

1.1.1 DO - D´ ecision et Optimisation Pr´ esentation du d´ epartement

Les membres du d´ epartement s’inscrivent dans une d´ emarche scientifique commune tout en ´ etant dans des champs disciplinaires distincts de l’automatique et de l’informatique. Nos activit´ es supposent qu’il y a une certaine r´ ealit´ e qui soit physique, logicielle ou organisationnelle, pour laquelle nos m´ ethodes visent ` a produire des outils de commande ou de d´ ecision. Cependant, le vocabulaire n’est pas toujours compris par tous avec le mˆ eme sens, et certains concepts centraux pour certains ne le sont pas pour d’autres. La notion de “syst` eme” est ainsi commune aux chercheurs et enseignants-chercheurs relevant de l’automatique (section 07) mais pas ou peu pour ceux relevant de l’intelligence artificielle et de la recherche op´ erationnelle (section 06).

Dans la suite de cette pr´ esentation du d´ epartement, nous exposons les activit´ es de chacune des trois ´ equipes qui le constituent de fa¸ con ` a pr´ eciser les disciplines couvertes et leurs sp´ ecificit´ es au regard du contexte national et international. Nous faisons le choix de pr´ esenter dans l’ordre les ´ equipes DISCO, ROC puis MAC.

DISCO, dont la focale principale est le diagnostic, se positionne dans le cadre du raisonnement abductif qui, ` a base de mod` eles sur les syst` emes et de mesures, vise ` a d´ eduire des connaissances sur les proc´ ed´ es, et en particulier sur les fautes et les d´ efauts.

ROC, dont la focale principale est l’optimisation combinatoire se positionne dans le cadre du raisonnement d´ eductif qui, supposant un mod` ele id´ eal des contraintes, produit des ensembles de d´ ecisions coh´ erentes ` a r´ ealiser permettant de minimiser/maximiser une fonction objectif.

MAC, dont la focale principale est la commande en boucle ferm´ ee, vise la conception de lois utilisant les mesures pour produire en temps r´ eel des commandes, actions ` a r´ ealiser sur les syst` emes.

A noter que le principe de la boucle ferm´ ee se retrouve ´ egalement dans les activit´ es de DISCO dans le cas de re-planification d’exp´ eriences pour affiner les diagnostics, ou encore dans celles de l’´ equipe ROC dans le cadre de la mise ` a jour des d´ ecisions pour tenir compte d’erreurs dues aux al´ eas et incertitudes. On retrouve dans cet ´ enonc´ e la propri´ et´ e intrins` eque de robustesse de la boucle ferm´ ee quand elle est convenablement con¸ cue.

Dans la section 2 de ce chapitre d´ edi´ ee au d´ epartement, nous avons fait le choix de pr´ esenter des points forts et communs aux trois ´ equipes sous un angle m´ ethodologique. Nous pr´ esentons cinq “th´ ematiques” qui ` a nos yeux illustrent la d´ emarche scientifique que nous avons en commun. Ces cinq th´ ematiques sont intitul´ ees

5

certificats, hi´ erarchies, gestion des incertitudes, m´ ethodes computationnelles et codes et applications.

Elles d´ ecrivent un continuum allant des r´ esultats th´ eoriques jusqu’aux produits sous forme de codes informatiques.

La plupart des contributions scientifiques de DO ´ emargent ` a plus d’une de ces cinq th´ ematiques. Nous visons en effet ` a associer syst´ ematiquement des outils algorithmiques ou num´ eriques efficaces pour les probl` emes abord´ es dans leur grande g´ en´ eralit´ e. Et inversement, les r´ esultats th´ eoriques sont formul´ es de telle sorte que des outils, principalement d’optimisation, puissent y ˆ etre associ´ es. La th´ eorie est envisag´ ee dans la mesure o` u elle conduit ` a des solutions pratiques pour des applications issues de collaborations avec des partenaires, industriels ou autres.

1.1.2 DISCO - DIagnostic, Supervision et COnduite

L’objectif de l’´ equipe DISCO est de d´ evelopper une recherche m´ ethodologique ` a large spectre dans le domaine du diagnostic. Cette ´ equipe dont les comp´ etences scientifiques sont aux fronti` eres de l’automatique et l’intelligence artificielle a pour objet d’´ etude un raisonnement de type abductif qui est appliqu´ e ` a une large vari´ et´ e de classes de syst` emes (syst` emes statiques, syst` emes dynamiques : de nature discr` ete, continue ou hybride). Le principe fondamental d’un processus de diagnostic est de confronter l’observation incertaine ou non d’un syst` eme r´ eel (mesures bruit´ ees, alarmes, messages, tests) ` a la connaissance disponible de ce syst` eme (mod` eles incertains ou non) en vue d’´ etablir un ´ etat de sant´ e. Cette recherche est motiv´ ee par le fait que le diagnostic est crucial en vue d’am´ eliorer, entre autres, la sˆ uret´ e, la r´ esilience et la maintenabilit´ e des syst` emes. Les activit´ es de DISCO pour mener cette recherche peuvent se d´ ecliner en trois types :

1. l’´ etude formelle de propri´ et´ es relatives au diagnostic (diagnosticabilit´ e, identifiabilit´ e,...) dans les syst` emes dynamiques (discrets, continus, hybrides) ;

2. le d´ eveloppement de m´ ethodes et d’algorithmes de diagnostic (diagnostiqueurs) sur les classes de syst` emes

´ etudi´ es avec la production de logiciels et de d´ emonstrateurs ;

3. l’´ etude d’applications particuli` eres en partenariat notamment avec des industriels (a´ eronautique, agricul- ture, automobile, m´ edecine, spatial).

L’´ equipe DISCO contribue ` a toute la chaˆıne du processus de diagnostic. L’une des premi` eres probl´ ematiques est l’acquisition des mod` eles pour le diagnostic. Cette probl´ ematique est abord´ ee en d´ evelopant des m´ ethodes de type apprentissage automatique. DISCO d´ eveloppe en particulier des m´ ethodes de classification statique qui permettent d’extraire des indicateurs (normal, anormal, sain, malade, etc) sur des syst` emes de type populations d’individus soit par des techniques exploitant de la logique floue [4] soit par des techniques ` a base de r´ eseaux de neurones. Une m´ ethode de classification dynamique offre quant ` a elle, la possibilit´ e d’apprendre des ´ etats de comportement dynamiques et de d´ etecter des changements entre ces ´ etats en d´ etectant ´ egalement des ´ etats nouveaux [104]. DISCO contribue ´ egalement ` a l’apprentissage automatique de mod` eles temporels (type chroniques) en exploitant des techniques de fouilles de donn´ ees temporelles sur des logs de syst` emes afin de d´ ecouvrir des classes de fonctionnements temporellement discriminables [132].

Que les mod` eles soient obtenus par apprentissage automatique ou par expertise, le d´ eveloppement d’une m´ ethode de diagnostic efficace et performante n´ ecessite des analyses du mod` ele du syst` eme au pr´ ealable. La performance d’une m´ ethode de diagnostic repose non seulement sur la qualit´ e des mod` eles mais ´ egalement sur la capacit´ e de mesures et sur la structure du syst` eme. Sur la p´ eriode, DISCO a propos´ e des m´ ethodes pour la v´ erification de la diagnosticabilit´ e de syst` emes (discret [30], continu, hybride) par la mise en ´ evidence ou non de paires critiques (certificats) dont la non-existence garantit qu’il sera toujours possible en temps fini de fournir un diagnostic unique (m´ ethodes par model-checking, par transformations en probl` eme d’identifiabilit´ e). Des travaux sur l’analyse de sensibilit´ e dans les syst` emes continus proposent ´ egalement de d´ efinir des conditions exp´ erimentales qui garantissent la sensibilisation aux d´ efauts [48]. Des analyses structurelles de tels syst` emes ont ´ egalement ´ et´ e propos´ ees afin de d´ efinir au pr´ ealable des tests de diagnostic pertinents, de s´ electionner des capteurs discriminants ou de d´ ecentraliser les algorithmes de diagnostic [133].

La synth` ese de diagnostiqueurs (algorithmes de diagnostic) repose sur l’existence d’un mod` ele, d’un flot d’obser- vations et d’un niveau d’objectif fonction de la connaissance issue du mod` ele. L’objectif de base est l’estimation d’´ etats du syst` eme. L’une des difficult´ es de cette estimation est la gestion des diff´ erentes sources d’incertitudes.

Des contributions exploitent notamment le calcul ensembliste (intervalles, ellipso¨ıdes, zonotopes) pour le suivi

d’´ etats sur les syst` emes continus [49, 134, 120] et hybrides (atteignabilit´ e) [15] et int` egrent ´ egalement des sources

d’incertitudes statistiques (filtre de Kalman par intervalles [121]). Le deuxi` eme niveau d’objectif est la localisa-

1.1. OBJECTIFS / POSITIONNEMENT DU D ´ EPARTEMENT 7 tion de d´ efauts dans le syst` eme. De telles techniques de localisation ont ´ et´ e propos´ ees au cours de la p´ eriode : strat´ egie pour la localisation dans des circuits logiques [90], exploitation de la th´ eorie de la r´ esiduation de l’alg` ebre (max, +) sur des syst` emes ` a ´ ev´ enements discrets temporis´ es. Le troisi` eme niveau d’objectif est l’identification de d´ efauts (mod` ele de faute disponible). Ce probl` eme de diagnostic est quant ` a lui abord´ e sur tous les types de syst` emes : diagnostic par model-checking sur des r´ eseaux de Petri (model-checking), observateurs non-lin´ eaires [31]

et exploitation d’expression de redondances analytiques sur des syst` emes continus/hybrides [5], prise en compte d’incertitudes born´ ees et mixtes [49], m´ ethodes distribu´ ees de diagnostic. Enfin, des travaux sur la synth` ese de plans et de commandes prenant en compte des d´ efauts (commande tol´ erante aux fautes) ou servant ` a raffiner un diagnostic (diagnostic actif) ont ´ et´ e d´ evelopp´ es au cours de la p´ eriode.

Le dernier pan des probl´ ematiques ´ etudi´ ees par DISCO concerne l’int´ egration des m´ ethodes de diagnostic avec des m´ ethodes de pronostic de vieillissement en vue d’am´ eliorer la maintenance pr´ evisionnelle des syst` emes.

L’objectif est de fournir un diagnostic de d´ egradation (stress courant) qui alimente un mod` ele de vieillissement des ´ equipements de syst` emes en vue de d´ eterminer la dur´ ee de vie r´ esiduelle du syst` eme. Afin d’´ etudier cette int´ egration, une mod´ elisation des pr´ erequis d’un bon mod` ele de vieillissement a ´ et´ e propos´ ee. Un cadre formel reposant sur des R´ eseaux de Petri Hybrides Particulaires int´ egrant diagnostic et pronostic a ´ et´ e d´ evelopp´ e et mis en œuvre [6]. Une autre technique de couplage diagnostic/pronostic s’appuie sur du calcul ensembliste [105].

1.1.3 ROC - Recherche Op´ erationnelle, Optimisation Combinatoire et Contraintes

Les travaux men´ es dans l’´ equipe ROC se focalisent principalement sur la r´ esolution de probl` emes d’optimisation combinatoire. Parmi les probl` emes combinatoires acad´ emiques ´ etudi´ es, une attention particuli` ere est port´ ee aux probl` emes d’ordonnancement sous contraintes de ressources, aux probl` emes de tourn´ ees de v´ ehicules, aux probl` emes de codes identifiants dans les graphes ou de jeux combinatoires. Une sp´ ecificit´ e de l’´ equipe ROC est de combiner des approches venant des domaines de la Recherche Op´ erationnelle et de l’Intelligence Artificielle, plus particuli` erement de la programmation lin´ eaire en nombres entiers ou mixtes (PLNE) de la programmation par contraintes (PPC) et de la satisfiabilit´ e (SAT). Les th´ ematiques de recherche de l’´ equipe ROC visent :

— ` a d´ eterminer des propri´ et´ es structurelles de diff´ erentes familles de probl` emes combinatoires fondamen- taux. Pour cela l’´ equipe propose des r´ esultats originaux de complexit´ e et de complexit´ e param´ etr´ ee, des

´ etudes d’approximabilit´ e [64, 16, 17, 18, 2, 92, 166], d’identification de classes traitables ou de caract´ erisation de noyaux d’un probl` eme pour la propagation [136, 125, 113, 114, 115, 93], des nouvelles formulations, com- pactes ou ´ etendues, ou de nouvelles in´ egalit´ es valides en PLNE [34, 19, 158], des approximations ` a garantie pour des probl` emes continus non convexes par des PLNE [51] la caract´ erisation de codes identifiants dans des graphes ou l’´ etablissement de propri´ et´ es pour des jeux combinatoires [163, 164].

— ` a concevoir et ` a ´ evaluer de nouvelles approches de r´ esolution g´ en´ eriques pour faire face ` a l’explosion combinatoire des espaces de solution explor´ es. L’´ equipe propose d’une part de nouvelles m´ ethodes de type Branch-and-Bound, Branch-and-Cut, de d´ ecomposition (G´ en´ eration de Colonnes, Branch-and-Price, Ben- ders) [35, 36, 137, 157] ou des nouveaux algorithmes de propagation de contraintes globales [8, 8, 116, 94].

Elle propose d’autre part de nouvelles m´ ethodes hybrides combinant g´ en´ eration de colonnes et g´ en´ eration de coupes, Branch-and-Bound et programmation par contraintes [19, 35, 195] ou combinant programma- tion par contraintes avec des techniques d’apprentissage de clauses [106, 95, 138, 139] L’´ equipe d´ eveloppe

´ egalement des mod` eles d’optimisation pour des probl` emes sp´ ecifiques [65, 107, 108] ou des m´ ethodes de type programmation dynamique, heuristique, matheuristique ou m´ etaheuristique [39, 9, 126, 153].

Les propri´ et´ es, mod` eles et m´ ethodes propos´ es concernent en premier lieu les probl` emes d’optimisation combi- natoire dans leur version d´ eterministe et centralis´ ee. Dans une volont´ e d’extension des r´ esultats propos´ es, l’´ equipe consid` ere ´ egalement diff´ erents contextes d’optimisation :

Optimisation multi-agent : dans ce contexte la connaissance du probl` eme et/ou la prise de d´ ecision sont

suppos´ ees distribu´ ees entre diff´ erents agents. Les travaux de l’´ equipe ROC se sont int´ eress´ es, d’une part ` a la

caract´ erisation de solutions stables au sens de l’´ equilibre de Nash et efficaces par rapport ` a une fonction objectif

via des mod` eles de PLNE [10, 96]. D’autre part, les travaux men´ es (en collaboration avec l’´ equipe TSF du LAAS)

ont permis de d´ evelopper des m´ ethodes hybrides int´ egrant du calcul distribu´ e s´ ecuris´ e (calcul multi-parti s´ ecuris´ e)

et des techniques classiques d’optimisation pour des applications de covoiturage [21].

Optimisation multi-objectif : que ce soit dans un contexte mono ou multi-agent, l’´ equipe ROC s’int´ eresse ` a la r´ esolution de probl` emes combinatoires pour lesquels plusieurs objectifs doivent ˆ etre optimis´ es simultan´ ement.

En s’appuyant sur le concept de dominance de Pareto, l’´ equipe ROC d´ eveloppe des m´ ethodes multi-objectif (G´ en´ eration de Colonnes, Branch-and-Price, M´ etaheuristiques) visant ` a caract´ eriser de mani` ere exacte ou ap- proch´ ees l’ensemble du front de Pareto [9, 137].

Optimisation sous incertitudes : les param` etres d’un probl` eme d’optimisation peuvent ˆ etre sujets ` a des incer- titudes de tout ordre. Les probl` emes d’ordonnancement sous incertitudes ont ´ et´ e plus particuli` erement ´ etudi´ es dans l’´ equipe en consid´ erant diff´ erents mod` eles d’incertitudes (intervalles, liste de sc´ enarios ou incertitudes poly´ edrales) et ont conduit ` a des contributions en optimisation robuste [52]. L’´ equipe ROC a ´ egalement men´ e des travaux sur la gestion des incertitudes dans un contexte dynamique en proposant des m´ ethodes flexibles de r´ esolution [97] ou des m´ ethodes permettant de restaurer des solutions r´ ealisables [64].

L’´ equipe cherche ` a confronter ses contributions au monde r´ eel via des applications ` a divers secteurs. En compl´ ement des applications traditionnelles de l’´ equipe ROC dans le domaine de la production de biens ou de services ou dans celui des transports et mobilit´ e, de nombreux travaux m´ ethodologiques ou collaborations partena- riales ont concern´ e les domaines de l’´ energie, du spatial ainsi que la robotique sur des probl` emes d’apprentissage.

Optimisation et gestion de l’´ energie : l’´ equipe a men´ e des travaux pour la maximisation de l’autonomie de v´ ehicules hybrides int´ egrant plusieurs sources d’´ energie et des ´ el´ ements de stockage [199] ; la gestion de ressources

´

energ´ etiques complexes [196] ; l’ordonnancement d’ateliers ou la planification de tourn´ ees avec optimisation de la consommation ´ energ´ etique des v´ ehicules d’approvisionnement [193] ; la planification de tˆ aches de calcul avec optimisation de l’utilisation de sources multiples de production d’´ energie et de stockage (en liaison avec l’axe Energie du LAAS) [19].

Optimisation pour le spatial : l’´ equipe s’est int´ eress´ ee ` a la r´ esolution de probl` emes d’allocation de fr´ equences pour des satellites de t´ el´ ecommunication multifaisceaux [117] ; de planification d’exp´ erimentations pour des mis- sions d’exploration avec des ressources de capacit´ e limit´ ee ou pour des satellites agiles d’observation [8, 9] ; de plani- fication de vidage d’images de satellites d’observation int´ egrant des incertitudes sur le volume des donn´ ees [97] ; de dimensionnement de syst` emes satellitaires d’observation dans un contexte de communications optiques engendrant des incertitudes sur la visibilit´ e des stations sol [126] ; de commande optimale pour le guidage ou le rendez-vous spatial [65].

Optimisation pour l’Apprentissage : dans le contexte de la vision par ordinateur et en collaboration avec l’´ equipe RAP du LAAS, l’´ equipe ROC a d´ evelopp´ e des travaux pour la d´ etection et de la r´ e-identification de personnes. L’originalit´ e des travaux est de proposer des m´ ethodes d’optimisation combinatoire combin´ ees ` a des m´ ethodes d’apprentissage afin de minimiser les coˆ uts de traitement de la classification en compl´ ement de la qualit´ e d’apprentissage ou d’int´ egrer des contraintes sur les trajets effectu´ es par les individus ` a identifier [140, 188].

1.1.4 MAC - M´ ethodes et Algorithmes en Commande

L’´ equipe MAC effectue des recherche principalement en Automatique des syst` emes dynamiques en interaction forte avec les math´ ematiques appliqu´ ees, notamment en optimisation. L’objectif principal est la synth` ese de lois de commande et il s’appuie sur des r´ esultats d’analyse qui, pour une loi de commande donn´ ee, permettent de caract´ eriser les performances de la boucle ferm´ ee. L’´ equipe MAC aborde ces ceux questions d’un point de vue fon- damental, c’est ` a dire sans se focaliser a priori sur des syst` emes particuliers. Ceci n’empˆ eche nullement les membres de l’´ equipe de s’int´ eresser ` a des applications d’autant que les r´ esultats produits par l’´ equipe se veulent constructifs.

La d´ emarche vise ` a produire des r´ esultats th´ eoriques adoss´ es ` a des m´ ethodes num´ eriques, principalement issues de l’optimisation, que l’on souhaite les plus efficaces, robustes et pr´ ecis possible.

Dans la suite nous d´ etaillons les activit´ es de MAC par le prisme de quatre ´ el´ ements cl´ es : les classes de syst` emes

´

etudi´ es, les classes de lois de commande, les objectifs de commande et les m´ ethodes propos´ ees pour r´ epondre

aux probl` emes ainsi pos´ es. Ce dernier volet est pr´ esent´ e succinctement car repris avec plus de d´ etails dans la

section suivante d´ edi´ ee ` a la pr´ esentation th´ ematique du d´ epartement.

1.1. OBJECTIFS / POSITIONNEMENT DU D ´ EPARTEMENT 9 Syst` emes S’il arrive aux membres de l’´ equipe MAC de produire des r´ esultats th´ eoriques pour les syst` emes non- lin´ eaires g´ en´ eraux [142], ils s’int´ eressent la plupart du temps, dans le but d’obtenir des m´ ethodes constructives,

`

a des classes de syst` emes particuliers, le plus souvent lin´ eaires avec des complications. Les sources de ces complications sont diverses. Elles peuvent ˆ etre dues ` a la physique des proc´ ed´ es ´ etudi´ es : non-lin´ earit´ es sp´ ecifiques par exemple pour ´ etudier l’attitude de corps dans l’espace [208] [127] ; non-lin´ earit´ es de type saturations [22] [167], backlash [53], etc. dues aux limitations physiques des ´ etats ou des entr´ ees ; actionnement ` a commutation dans le cas de convertisseurs ´ electriques [109] ; ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles pour les dynamiques de fluides ou de structures flexibles [179] [81] [54], syst` emes positifs dans le cas de r´ eseaux d’agents de faible complexit´ e [45]. Elles peuvent venir du processus de mod´ elisation math´ ematique tel que conduisant ` a des ´ equations polynomiales [46], ` a des repr´ esentations par mesures d’occupation [98], ` a des ´ equations alg´ ebro-diff´ erentielles [110] [178], des mod` eles hybrides en temps continu et discret [24]. Elles prennent leur source ´ egalement dans l’in´ evitable m´ econnaissance dans les param` etres des syst` emes conduisant ` a des mod` eles avec incertitudes du type born´ ee-en-norme [82] [209], ou polytopiques [84]. Ces incertitudes qui portent traditionnellement sur les param` etres des mod` eles s’appliquent

´

egalement de fa¸con similaire aux performances entr´ ees/sorties ou encore au lien entre conditions initiales (inconnues dans un domaine) et conditions finales [178]. A noter ´ egalement l’´ evolution ces derni` eres ann´ ees de repr´ esentations d´ eterministes des incertitudes ` a une prise en compte d’aspects probabilistes, ´ evolution d´ etaill´ ee dans la section 2.3. Finalement, les complications viennent ´ egalement de la mod´ elisation des ´ echanges d’information au sein des syst` emes cyber-physiques, ` a savoir des retards [55] [72], la quantification des donn´ ees en espace [170] [213] et en temps [83] [22].

Lois de commande L’activit´ e de MAC vise principalement la synth` ese de lois de commande en boucle ferm´ ee et leur ´ etude. Pour autant, certaines activit´ es concernent ´ egalement la synth` ese de lois de type boucle ouverte telles que des observateurs [66] [213] et estimateurs [99] d’une part, et la synth` ese de commandes optimales [205] d’autre part. Ces r´ esultats sont souvent avec des vis´ ees de commande en boucle ferm´ ee telles que dans le cadre d’une combinaison entre retour d’´ etat et observateurs [40] ou dans une mise ` a jour r´ ep´ et´ ee de la commande optimale comme en commande pr´ edictive [143] [202]. Les lois de commande h´ eritent tr` es souvent des caract´ eristiques des syst` emes consid´ er´ es : commande EDP pour les syst` emes EDP [144], anti-windup avec le mod` ele de saturation pour les syst` emes ` a entr´ ees satur´ ees [78] [78], etc. Cependant nous ´ etudions ´ egalement avec int´ erˆ et deux orientations : des commandes plus simples que le mod` ele du syst` eme mais plus ais´ ement r´ ealisables (retours de sortie statique [69]

[145], commandes EDO pour des syst` emes EDP [54], commandes d´ ecentralis´ ees pour des syst` emes multi-agents [128], commandes ` a valeurs dans un ensemble fini [146] [213]) ; les commandes plus complexes que les mod` eles du syst` eme mais permettant d’am´ eliorer les performances (commandes hybrides pour am´ eliorer les transitoires [147] [24], commandes adaptatives pour une am´ elioration de la robustesse [207], commandes ´ ev´ enementielles pour r´ eduire la quantit´ e d’actionnement [111] [213]).

Propri´ et´ es et objectifs Pour l’ensemble des syst` emes en boucle ouverte ou en boucle ferm´ ee, MAC s’int´ eresse

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a prouver l’existence de solutions (probl` emes bien pos´ es), les propri´ et´ es asymptotiques (stabilit´ e, consensus, syn- chronisation), ainsi que les propri´ et´ es sur les transitoires (performances). Les questions de bien pos´ e se retrouvent en particulier dans les ´ etudes sur les syst` emes descripteurs (´ equations alg´ ebro-diff´ erentielles) pour lesquelles il im- porte d’analyser les effets de modes impulsifs [110], dans les ´ etudes sur les syst` emes ` a commutations pour lesquels les d´ eriv´ ees de l’´ etat n’ont pas de d´ efinition univoque et sont d´ efinies par des inclusions diff´ erentielles [142], dans les ´ etudes sur les syst` emes hybrides avec en particulier les ´ eventuels ph´ enom` enes de type Zeno [173], ou encore dans les ´ etudes des syst` emes d´ ecrits par des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles pour lesquels la recherche et l’exis- tence de solutions d´ ependent des conditions aux bords [179]. Les propri´ et´ es asymptotiques sont traditionnellement la stabilit´ e asymptotique des points d’´ equilibres, mais aussi la convergence ` a des domaines invariants (stabilit´ e pratique) dans le cadre de syst` emes et commandes non-lin´ eaires [109] [207], et se formulent comme des probl` emes de consensus [100] ou de synchronisation [210] [210] dans le cadre des syst` emes multi-agents. Les performances des transitoires sont traditionnellement en termes de temps de convergence et de types de convergences (oscillations [78], d´ epassements), en termes de performances entr´ ees/sorties du type stabilit´ e entr´ ee-´ etat (ISS) [129], normes induites [207] et extensions de celles-ci, mais ´ egalement en termes de commande optimale [80] [101], ou de son probl` eme inverse [162] [37].

M´ ethodologie Chacune des complications impliqu´ ee dans la mod´ elisation des proc´ ed´ es ou dans leur syst` eme

de commande prise individuellement est un champ de recherche en soi. Une des caract´ eristiques de l’´ equipe MAC

est de procurer des m´ ethodologies aux fondements communs pour ces diverses complications, m´ ethodologies empruntant fortement ` a l’optimisation convexe, en programmation semi-d´ efinie en particulier. De ce fait, il est envisageable d’aborder l’´ etude des syst` emes complexes o` u, par leur nombre (syst` emes multi-agents par exemple) ou bien par leur diversit´ e (satur´ es et incertains, hybrides et ` a retards, etc.), les complications se combinent et s’entrelacent. Le nombre de publications conjointes entre les membres de MAC, chacun plus expert de certaines complications, illustre ce travail pour r´ esoudre, au moins partiellement, la complexit´ e inh´ erente aux applications r´ eelles. Ces m´ ethodologies communes sont plus pr´ ecis´ ement d´ etaill´ ees dans la section 2, ` a savoir : la recherche de certificats prouvant les propri´ et´ es des syst` emes, mais aussi prouvant des propri´ et´ es des m´ ethodes num´ eriques ; des hi´ erarchies de relaxations qui ne se limitent pas uniquement aux hi´ erarchies Moment-SOS [148] ; la prise en compte d’incertitudes ` a tous les niveaux du processus, de la mod´ elisation au calcul de solutions ; la proposition d’algo- rithmes originaux tant en termes de nouvelles lois de commande qu’en termes d’outils de calcul des param` etres de ces lois ; la production de codes informatiques servant ` a la validation des concepts et allant jusqu’` a l’application de ceux-ci sur des applications concr` etes.

1.2 Vie du d´ epartement

Conseils scientifiques L’´ equipe de recherche est l’unit´ e de travail op´ erationnelle du laboratoire. De ce fait la vie scientifique du d´ epartement est principalement celle de chacune des ´ equipes DISCO, MAC et ROC avec une gestion des budgets par les responsables d’´ equipe, des s´ eminaires d’´ equipe, etc. Chaque ´ equipe r´ eunit un conseil scientifique ` a un rythme d’une fois par mois environ auquel est convi´ e l’ensemble des membres, doctorants y compris. Le d´ epartement a pour rˆ ole de coordonner les r´ eponses aux sollicitations ext´ erieures des trois ´ equipes et de transmettre les informations entre la direction du laboratoire et les ´ equipes. Cela se fait au travers de r´ eunions r´ eguli` eres entres les responsables d’´ equipe dans le cadre du bureau du d´ epartement (environ deux fois par mois) et ` a l’occasion du conseil scientifique du d´ epartement qui comprend au 1er janvier 2019 les membres suivants (en plus des responsables d’´ equipe) : Pauline Ribot, Louise Trav´ e-Massuy` es pour DISCO, Lucie Baudouin, Christophe Louembet pour MAC, Christian Artigues, Emmanuel H´ ebrard pour ROC. Le conseil scientifique est parfois ´ elargi

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a l’ensemble des permanents du d´ epartement comme ce fut r´ eguli` erement le cas dans le cadre de la pr´ eparation de ce rapport.

S´ eminaires Le nombre de s´ eminaires organis´ es par les ´ equipes du d´ epartement est ´ evalu´ e entre 25 et 30 par an, et sont en grande majorit´ e ` a l’occasion de visites de coll` egues de l’´ etranger et de laboratoires fran¸ cais. En compl´ ement de cela, le d´ epartement m` ene une politique d’animation scientifique transverse caract´ eris´ ee par des invitations et des s´ eminaires financ´ es par le budget du d´ epartement. Au total sur la p´ eriode ce sont 20 intervenants ext´ erieurs qui ont donn´ e des expos´ es sur des th´ ematiques jug´ ees comme interdisciplinaires, leur s´ ejour ´ etait financ´ e par la dotation attribu´ ee au d´ epartement pour son animation scientifique. Christophe Louembet assurait l’organisation de ces s´ eminaires de 2014 ` a fin 2016. Cette responsabilit´ e a ´ et´ e reprise par Carine Jauberthie. Les s´ eminaires sont d´ ecid´ es coll´ egialement ` a l’occasion de conseils scientifiques du d´ epartement.

Responsabilit´ es Cette derni` ere p´ eriode quinquennale a ´ et´ e marqu´ ee par des renouvellements de responsabilit´ e des ´ equipes et de direction du d´ epartement. Yannick Pencol´ e est devenu responsable de DISCO en janvier 2016 en remplacement de Louise Trav´ e-Massuy` es. Denis Arzelier a transmis la responsabilit´ e de MAC au 1er janvier 2015 ` a Didier Henrion, auquel Dimitri Peaucelle a succ´ ed´ e au premier janvier 2018. Marie-Jos´ e Huguet a pris la rel` eve de Christian Artigues pour la responsabilit´ e de ROC au premier janvier 2018. Le d´ epartement, anciennement ”th` eme DO”, ´ etait dirig´ e par Denis Arzelier en 2014. La direction a ´ et´ e reprise de fa¸ con int´ erimaire par Didier Henrion quand le th` eme est devenu d´ epartement DO fin 2015, puis par Isabelle Queinnec en avril 2016 et finalement par Dimitri Peaucelle en d´ ecembre 2018. Ces changements sont guid´ es par le souhait d’un renouvellement r´ egulier des responsabilit´ es (remise en cause des pratiques, partage des charges administratives), mais aussi parfois du fait de difficult´ es de coordination au sein des ´ equipes ou du d´ epartement.

Effectifs Les effectifs du d´ epartement ont ´ evolu´ e avec 8 entrants et 9 d´ eparts.

— Arriv´ ee de jeunes chercheurs : Soheib Fergani (´ equipe DISCO, concours Maitre de Conf´ erences UPS, 2016),

Aneel Tanwani (´ equipe MAC, concours CNRS, 2016), Mohamed Siala (´ equipe ROC, concours Maitre de

1.3. FAITS MARQUANTS INTER- ´ EQUIPES / INTER-D ´ EPARTEMENTS 11 Conf´ erences INSA, 2018), Milan Korda (´ equipe MAC, concours CNRS 2018), Victor Magron (´ equipe MAC, mobilit´ e CNRS, 2019) ;

— Nouvelles coop´ erations durables sous forme de chercheurs affili´ es : Alain Hait (´ equipe ROC, Professeur ISAE- SupA´ ero, 2015), Aude Rondepierre (´ equipe ROC, Maitre de Conf´ erences INSA, 2017), Fabien Delmond (´ equipe DISCO, Agr´ eg´ e de Physique au Lyc´ ee Bellevue, 2015) ;

— Fin d’affiliation : F´ elix Mora-Camino (´ equipe DISCO, professeur ENAC, 2015), Alain Th´ eron (´ equipe MAC, enseignant au Lyc´ ee Pierre de Fermat, 2015) ; Jos´ e Aguilar Martin (´ equipe DISCO, DR CNRS, fin d’´ em´ eritat en 2015), Bernard Pradin (´ equipe MAC, professeur INSA, fin d’´ em´ eritat en 2015) ;

— Mobilit´ es internes au LAAS : Andre¨ı Doncescu (de l’´ equipe DISCO ` a l’´ equipe MH2F, 2015), Denis Arzelier (de l’´ equipe MAC ` a l’´ equipe ROC, 2016) ;

— D´ eparts : Colette Merc´ e (´ equipe ROC, Professeur INSA, retrait´ ee en 2015) ; Jean-Louis Calvet (´ equipe MAC, professeur UPS, retrait´ e en 2015), Nicolas Jozefowiez (´ equipe ROC, recrut´ e sur un poste de Professeur ` a l’Universit´ e de Lorraine, 2017), Dani` ele Fournier-Prunaret (´ equipe MAC, Professeur INSA, retrait´ ee en 2019).

A ces ´ evolutions d’effectif s’ajoutent la venue de 11 chercheurs pour des mobilit´ es de plus de 4 mois dans le d´ epartement (voir Annexe).

Stages La vie scientifique du d´ epartement se d´ ecline ´ egalement par l’accueil de stagiaires (129 stagiaires accueillis sur la p´ eriode), principalement de niveau Master 2. A noter que le d´ epartement a de plus une politique de financement de stages sur ses dotations pour le ressourcement. Ces stages sont inter-´ equipes (pas n´ ecessairement au sein du d´ epartement) et leur financement est d´ ecid´ e par le conseil scientifique de d´ epartement. Cette politique a ´ et´ e mise en place en 2016 et a permis le financement de 7 stages, 4 entre DISCO et MAC, 2 entre DISCO et ROC, 1 entre ROC et RAP (d´ epartement Robotique).

1.3 Faits marquants inter-´ equipes / inter-d´ epartements

20th IFAC World Congress - 9-14 July 2017 L’organisation de ce congr` es mondial a occup´ e une grande part des membres du d´ epartement sur l’ann´ ee 2016-2017 et pour certains depuis 2009 (voir organisation de colloques dans l’annexe). La r´ eussite de cet ´ ev´ enement qui a rassembl´ e plus de 3000 participants est une r´ eussite collective marquante. Le bilan est disponible sur le site www.ifac2017.org.

Workshops conjoints LAAS-IMT Le d´ epartement DO est ` a l’origine, pour le LAAS, des s´ eminaires annuels o` u des coll` egues math´ ematiciens de l’Institut de Math´ ematiques de Toulouse (IMT) pr´ esentent conjointement avec des membres du LAAS. L’objectif est d’´ echanger sur des th´ ematiques communes. Le s´ eminaire de 2016 ´ etait organis´ e par Didier Henrion (LAAS) et Serban Belinschi (IMT), au LAAS. Le s´ eminaire de 2017 ´ etait organis´ e par Didier Henrion et Gersende Fort (IMT), ` a l’IMT. Le s´ eminaire de 2018 ´ etait organis´ e par Didier Henrion et Aude Rondepierre (IMT), au LAAS.

En compl´ ement, le d´ epartement DO a ´ egalement ´ et´ e impliqu´ e en 2018 dans des ´ ev´ enements du Labex CIMI : Master Class in Hybrid Methods for Combinatorial/Mixed Optimization, organis´ e par Christian Artigues en juin 2018 et en septembre 2018 ; une ´ ecole d’´ et´ e de Contrˆ ole Optimal Num´ erique, organis´ ee par Didier Henrion. Ces diff´ erentes actions se concr´ etisent en 2019 par le projet de renouvellement du Labex CIMI2 qui outre l’IMT et l’IRIT inclut pour ce renouvellement le LAAS et, entre autres, les aspects contrˆ ole et optimisation du d´ epartement DO.

Workshops DO Outre les workshops LAAS-IMT, le d´ epartement DO organise ´ egalement des s´ eminaires sur des th´ ematiques couvrant les int´ erˆ ets de plusieurs ´ equipes. Ces s´ eminaires sont l’occasion de faire venir des coll` egues de France (7 intervenants sur la p´ eriode), ou de l’´ etranger (13 sur la p´ eriode) avec l’objectif de nouer de nouveaux contacts. L’organisation des s´ eminaires est confi´ ee ` a Carine Jauberthie. Le programme est disponible sur la page d´ edi´ ee du d´ epartement.

LIA MIRC Louise Trav´ e-Massuy` es est porteuse d’un projet de laboratoire international associ´ e avec la Co-

lombie intitul´ e Micro-Grid International Research Center, MIRC pour Microgrids International Research Center.

Il concerne le domaine scientifique des micro-r´ eseaux ` a fort taux d’´ energie renouvelable et est focalis´ e sur plu- sieurs aspects de leur conception, en lien avec les sp´ ecificit´ es propres ` a la France et ` a la Colombie. Ce projet de LIA implique des coll` egues des trois ´ equipes du d´ epartement DO mais ´ egalement les ´ equipes ISGE et SARA du LAAS, quatre ´ equipes au LAPLACE ainsi que cinq universit´ es en Colombie (U des Andes (Bogot´ a) ; U Pontificale Javeriana (Bogot´ a) ; U d’Ibagu´ e (Ibague) ; U de Nari˜ no (Nari˜ no) ; U de Rosario (Rosario). Au total ce sont 31 chercheurs et enseignants-chercheurs des domaines du G´ enie ´ Electrique et de l’Automatique qui sont impliqu´ es ainsi que 4 chercheurs du domaine des SHS pour les aspects ´ economiques et impacts sociaux. Ce LIA devait ˆ etre officiellement lanc´ e cet ´ et´ e 2019, mais il est finalement annul´ e pour des raisons inconnues dans sa derni` ere ´ etape de validation par les autorit´ es comp´ etentes.

Responsabilit´ es La p´ eriode 2014-2019 se caract´ erise par une importante activit´ e d’administration/animation de la recherche pour les membres du d´ epartement. Sans que ce soit une politique d´ elib´ er´ ee, cela marque un engagement au service des communaut´ es de recherche, engagement largement partag´ e au sein du d´ epartement.

On note ainsi des prises de responsabilit´ e au sein du LAAS (organisation des “Research & Technology days”,

participation active aux axes ´ Energie et Espace, conseil de laboratoire, conseil des doctorants, fˆ ete de la science,

Commission enseignement-recherche), sur le site Toulousain (montage du projet de Labex CIMI2, s´ eminaires

LAAS-IMT, montage du LIA MIRC avec le LAPLACE), en France (Direction du GdR MACS, du GdR RO,

membres ´ elus au Comit´ e national de la recherche scientifique, membres du CNU) mais ´ egalement ` a un niveau

international (GdRI DELSYS, engagement dans l’ACP (Association for constraint programming), implication ` a

l’IEEE y compris au Board of Governors, participation au travail international de l’IFAC au sein de task forces et

des comit´ es techniques...). Le d´ etail de ces nombreuses implications est donn´ e dans l’annexe.

Chapitre 2

Th´ ematiques scientifiques

2.1 Certificats

D´ efinition

Dans les processus de prise de d´ ecision et d’optimisation, l’objectif principal r´ eside dans la capacit´ e ` a garantir des propri´ et´ es (stabilit´ e, performance, robustesse, s´ ecurit´ e, tol´ erance, convergence d’algorithme, borne minimis´ ee sur les erreurs de calculs, ...) qui sont difficiles, voire impossible ` a satisfaire directement ou analytiquement.

La d´ emarche scientifique dans le p´ erim` etre du d´ epartement DO consiste ` a d´ evelopper des moyens indirects qui vont permettre de garantir la propri´ et´ e souhait´ ee ou au moins un avatar de celle-ci suffisamment repr´ esentatif.

Ces moyens peuvent se regrouper sous la terminologie ”certificat” : outil math´ ematique ou algorithmique pour garantir une propri´ et´ e ou une borne sur une propri´ et´ e.

Dans ce qui suit nous proposons une articulation des diff´ erents travaux men´ es par DO suivant les propri´ et´ es ` a certifier : certificats de solutions (existence/caract´ erisation) ; certificats de propri´ et´ es asymptotiques (stabilit´ e et autres) ; certificats de satisfaction de contraintes ; certificats de complexit´ e.

Existence/caract´ erisation de solutions

Plusieurs contributions de DO peuvent se d´ ecliner dans le contexte de l’existence et de la caract´ erisation de solutions en termes de diagnosticabilit´ e fonctionnelle.

Diagnosticabilit´ e fonctionnelle et liens avec l’identifiabilit´ e Contrairement ` a la d´ efinition classique, la diagnosticabilit´ e fonctionnelle exploite les propri´ et´ es temporelles des relations de redondance analytiques li´ ees aux diff´ erents d´ efauts et appel´ ees signatures fonctionnelles. La diagnosticabilit´ e fonctionnelle est ´ etroitement li´ ee ` a la notion d’identifiabilit´ e qui garantit que les param` etres d’un mod` ele peuvent ˆ etre d´ eduits de mani` ere univoque

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a partir des mesures des sorties du syst` eme. Ce lien a permis de fournir une condition suffisante pour tester la diagnosticabilit´ e fonctionnelle d’un syst` eme. La diagnosticabilit´ e fonctionnelle a ´ et´ e ´ etendue au cadre ensembliste et li´ ee ` a l’identifiabilit´ e ensembliste. L’impact de l’identifiabilit´ e ensembliste sur les propri´ et´ es des solutions obtenues par estimation de param` etres a ´ et´ e analys´ e.

Diagnosticabilit´ e et le diagnostic de motifs de fautes Une analyse de diagnosticabilit´ e est une analyse a priori faite sur le syst` eme qui vise ` a garantir que lorsque le syst` eme sera en op´ eration, si une faute a lieu, une fonction de diagnostic pourra la d´ eterminer avec certitude et en un temps fini. L’analyse de diagnosticabilit´ e dans les syst` emes ` a ´ ev´ enements discrets s’appuie sur la recherche d’une paire critique i.e deux ´ evolutions du syst` eme ayant la mˆ eme trace observable que l’´ evolution observ´ ee telle que la faute est pr´ esente dans une de ces deux

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evolutions et absente dans l’autre. Le diagnostic est formellement caract´ eris´ e par la notion de concordance de motif et pos´ e comme un probl` eme d’atteignabilit´ e r´ esolu par model checking. La recherche de paires critiques

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repose sur la construction d’un twin-plant et sur une recherche de cycle dans le twin-plant formul´ ee comme un probl` eme d’atteignabilit´ e en Logique Temporelle Lin´ eaire [91, 30].

Certificats de propri´ et´ es asymptotiques (stabilit´ e et autres)

Une partie des travaux r´ ealis´ es dans DO concerne la production de certificats de stabilit´ e (ou de performance) pour les syst` emes d´ ecrits par des ´ equations diff´ erentielles et aux diff´ erences, de dimension finie ou infinie, pou- vant avoir ´ egalement des comportements hybrides. Deux propri´ et´ es ` a v´ erifier simultan´ ement pour les syst` emes non-lin´ eaires ou hybrides sont les propri´ et´ es de stabilit´ e et d’attractivit´ e : la stabilit´ e caract´ erise la propri´ et´ e d’une solution initialis´ ee proche d’une r´ egion donn´ ee d’´ evoluer en restant proche de cette r´ egion ; l’attractivit´ e caract´ erise le fait qu’une solution initialis´ ee loin de cette r´ egion ´ evoluera en se rapprochant de la r´ egion. Satis- faire simultan´ ement ces deux propri´ et´ es pour un syst` eme dynamique peut ˆ etre tr` es difficile, voire impossible, car demande d’´ enum´ erer toutes les ´ evolutions et solutions possibles. Utiliser une fonction avec des conditions de po- sitivit´ e et de n´ egativit´ e dans une certaine r´ egion (fonction de Lyapunov) permet de s’affranchir de la description de toutes les solutions.

Stabilit´ e asymptotique via une fonction de Lyapunov hybride Diff´ erents tests pour assurer qu’une fonc- tion donn´ ee est une fonction de Lyapunov ont ´ et´ e propos´ es [213, 56], et ´ evalu´ es pour divers domaines d’applications (a´ eronautique, m´ edical, r´ eseaux ´ electriques, automobile, r´ eseaux de communication) [57, 58]. Par ailleurs, dans le contexte de commande avec information limit´ ee, les lois de commande sont souvent ´ echantillonn´ ees ` a des fr´ equences limit´ ees, alors qu’elles sont connect´ ees ` a des processus continus, conduisant ` a des syst` emes hybrides. On peut dis- tinguer deux situations diff´ erentes. En premier lieu, l’´ etude de la robustesse de loi de commande par rapport ` a des incertitudes sur l’´ echantillonnage peut se faire ` a l’aide des approches Lyapunov d´ edi´ ees aux syst` emes ` a retard va- riable, par fonctionnelle boucl´ ee (”Looped-functionals”) ou encore par syst` emes dynamiques hybrides. Cette ´ etude est dite robuste car les mises-` a-jour de la commande sont subies et soumises ` a des al´ eas (souvent appel´ es ”jigues”), [22, 11]. La seconde situation correspond aux cas d’´ echantillonnages contrˆ ol´ es (les instants d’´ echantillonnage sont alors des entr´ ees additionnelles de commande). Ces ´ etudes s’appuient sur des approches en temps continu [25] ou au travers d’une mod´ elisation par syst` emes dynamiques hybrides [27].

Stabilit´ e pour la dimension infinie Plusieurs travaux sur la construction de crit` eres de stabilit´ e de dimen- sion finie issus de l’application du Th´ eor` eme de Lyapunov-Krasovskii ont ´ et´ e publi´ es pour des syst` emes conti- nus/discrets, ` a retards discrets/distribu´ es et constants/variables, comme par exemple [11, 55]. L’objectif est de comprendre quels sont les meilleurs m´ ecanismes permettant de produire des crit` eres de dimension finie pour des syst` emes ` a retard mais qui s’appliquent aussi ` a une plus grande classe de syst` emes de dimension infinie. Dans un contexte d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles plus g´ en´ erales, la description d’une fonctionnelle de Lyapunov appropri´ ee, compos´ ee de plusieurs termes ` a mˆ eme de prendre en compte les diff´ erents ´ el´ ements de complexit´ e des

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equations (leur nature, pr´ esence de retards, de saturations, de non-lin´ earit´ es...) est primordiale [28, 59]. Un autre type d’approche part de la preuve d’une in´ egalit´ e d’observabilit´ e et utilise un argument par contradiction [59], perdant alors la valeur explicite de la vitesse de d´ ecroissance exponentielle.

S-variables, un certificat utile en analyse robuste et pour la synth` ese Nombre de probl` emes ont une formulation du type : prouver que des formes quadratiques (d´ eriv´ ees de fonction de Lyapunov) sont n´ egatives quand des contraintes lin´ eaires (trajectoires des syst` emes) sont satisfaites. Une fa¸ con de r´ esoudre cela est d’introduire des variables additionnelles, que nous nommons les S-variables en r´ ef´ erence ` a la S-proc´ edure de Yakubovich. Ces approches ont eu des succ` es tr` es importants au cours des vingt derni` eres ann´ ees et le livre [75] offre un panorama assez complet de celles-ci. On y trouve des r´ esultats d’analyse robuste mais aussi de synth` ese de correcteurs. A noter d’autres utilisations de ces certificats pour la synth` ese robuste dans un cadre probabiliste [102].

Synchronisation et consensus Consid´ erant un syst` eme dynamique constitu´ e de plusieurs syst` emes dyna-

miques interagissant entre eux (syst` eme distribu´ e ou multi-agent), le certificat recherch´ e vise ` a assurer la synchro-

nisation ou consensus (les agents convergent vers la mˆ eme trajectoire ou vers une valeur constante). La propri´ et´ e

de synchronisation a ´ et´ e obtenue pour des agents d´ ecrits par des dynamiques identiques, lin´ eaires ou non-lin´ eaires,

via une approche Lyapunov [210] ou via une approche issue de la th´ eorie de la contraction [60], les hypoth` eses de

2.1. CERTIFICATS 15 connectivit´ e entre les agents supposant des graphes fortement connect´ es, non dirig´ es, ... Ces outils ont par exemple permis de construire des lois de commande distribu´ ees pour le contrˆ ole de robots [3], la recherche distribu´ ees de sources [12] ou la pr´ eservation de la qualit´ e de services dans l’´ echange de vid´ eos [44].

Certificats de satisfaction de contraintes

Les certificats de satisfaction de contraintes incluent le fait de tenir compte des contraintes sur l’´ etat et/ou la commande d’un syst` eme dynamique, ainsi que la caract´ erisation de domaines d’attraction.

Commande optimale : application au guidage pour le rendez-vous spatial Dans le contexte du rendez- vous orbital, le probl` eme de guidage impulsionnel (propulsion chimique) consiste essentiellement en un probl` eme de commande optimale sous contraintes. Ainsi le mouvement contrˆ ol´ e se d´ efinit comme une suite de trajectoires libres entrecoup´ ees de sauts provoqu´ es par la commande. Lorsque ces trajectoires sont contraintes, le probl` eme de commande optimale peut s’exprimer comme un probl` eme d’optimisation de dimension semi-infinie. Plutˆ ot que de passer par des sch´ emas de discr´ etisation, un certificat a ´ et´ e propos´ e liant l’ensemble des trajectoires admissibles au cˆ one de matrices semi-d´ efinies positives, permettant de transformer le probl` eme de guidage en un probl` eme de programmation semi d´ efinie [13]. Ce certificat a ´ et´ e aussi exploit´ e pour d´ ecrire comme un ensemble semi-alg´ ebrique l’ensemble des orbites relatives p´ eriodiques incluses dans dans un polytope donn´ e [130].

Caract´ erisation de domaines d’attraction Les syst` emes dynamiques abord´ es ou les algorithmes d´ evelopp´ es sont soumis ` a des limitations impos´ ees par les ´ el´ ements de calcul, de transmission de l’information, de contrˆ ole ou de structure, dues ` a des contraintes physiques, d’op´ eration ou de s´ ecurit´ e (erreur d’arrondi, quantification des signaux, saturation, discontinuit´ e, ...) [74]. Tenir compte de ces contraintes est primordial pour garantir les propri´ et´ es de stabilit´ e et/ou de convergence des solutions du syst` eme ou algorithme consid´ er´ e vers une r´ egion donn´ ee. La propri´ et´ e souhait´ ee est la caract´ erisation de l’attracteur vers lequel les solutions vont converger de mani` ere globale ou locale, qui est en g´ en´ eral impossible ` a ´ etablir d’une mani` ere analytique. La capacit´ e ` a caract´ eriser cet attracteur via une fonction de Lyapunov ad´ equate est alors plus simple et constitue un certificat [213, 170, 53]. Les techniques d´ evelopp´ ees peuvent s’adapter pour traiter le cas o` u l’on souhaite ´ eviter une r´ egion non sˆ ure [149].

Certificats de complexit´ e

La notion de certificat est au coeur de l’´ etude de la complexit´ e des probl` emes. La d´ emonstration de l’apparte- nance ` a une classe repose sur un certificat (e.g. un algorithme avec une certaine propri´ et´ e), et la notion de difficult´ e par rapport ` a une classe repose sur une r´ eduction.

Complexit´ e de probl` emes combinatoires Des algorithmes de programmation dynamique polynomiaux et des r´ esultats de type FPT (Fixed-Parameter Tractability) ont ´ et´ e propos´ es pour des probl` emes int´ egr´ es d’ordon- nancement de tˆ aches de production et de planification de livraison ou de tˆ aches de production [166, 189]. Des preuves de complexit´ e du probl` eme de propagation de contraintes globales ont ´ et´ e ´ etablies [92, 94]. Ainsi, en or- donnancement cumulatif, une preuve que la condition n´ ecessaire du ”raisonnement ´ energ´ etique” reste polynomiale dans le cas o` u les tˆ aches peuvent moduler leur consommation et en pr´ esence de fonctions de rendements concaves est ´ etablie [16, 195]. En th´ eorie des graphes, pour certains probl` emes d’optimisation NP-difficile, des algorithmes

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a temps constant et lin´ eaires sont propos´ es dans le cas des rotagraphes et des fasciagraphes [18]. D’autre part, des ´ etudes de complexit´ e en optimisation multi-agent d´ emontrent que la recherche de solutions stables au sens de l’´ equilibre de Nash et Pareto optimales est NP-difficile pour des probl` emes d’ordonnancement de projet ` a dur´ ees contrˆ olables [10] et d’expansion de r´ eseaux [96, 197]. En optimisation robuste, la complexit´ e du retour ` a une so- lution nominale dans le cas d’une perturbation des pr´ ef´ erences pour le probl` eme du mariage stable est d´ emontr´ ee NP-difficile [64].

Certificat polynomial pour les Probl` emes de Satisfaction de Contraintes (CSP) conservatifs L’exis-

tence d’un polymorphisme d’un certain type est un certificat de ”traitabilit´ e” pour un langage de contraintes,

autrement dit, une garantie que tous les probl` emes exprimables dans ce langage sont polynomiaux. La dichotomie

de Feder-Vardi, selon laquelle tout fragment de CSP est soit dans P soit NP-complet, est r´ esolue pour les lan- gages ”conservatifs”. Cependant, v´ erifier ce crit` ere ´ etait conjectur´ e NP-difficile, et avec lui le ”meta-probl` eme”, de d´ eterminer l’appartenance d’une instance d’un probl` eme ` a un fragment conservatif traitable. Il a ´ et´ e montr´ e que ce meta-probl` eme est en fait polynomial, et qu’il existe un algorithme uniforme pour toute une s´ erie de langages pour lesquels cette question ´ etait ouverte [113, 114, 93, 194].

”Kernelization” pour la propagation de contraintes Dans le cas de la complexit´ e param´ etr´ ee, un noyau (”kernel”) est un type particulier de certificat, qui garantie l’appartenance du probl` eme ` a la classe (FPT) en montrant que toute instance peut ˆ etre associ´ ee ` a une instance ´ equivalente dont la taille est born´ ee par une function d’un param` etre du probl` eme. Un noyau permet aussi souvent de concevoir des m´ ethodes efficaces pour r´ esoudre le probl` eme lorsque le param` etre est petit. Cependant, la d´ efinition classique de noyau n’est pas pertinente dans le cas de la propagation de contraintes, o` u il s’agit de caract´ eriser les affectations de variables qui ne peuvent pas s’´ etendre ` a une solution. Dans ce contexte, un nouveau type de noyaux dit ”sans perte” a ´ et´ e propos´ e [136, 115, 194]

et des noyaux de ce type ont ´ et´ e mis en ´ evidence pour plusieurs probl` emes [125].

Garanties d’approximation Les contributions dans ce domaine incluent un algorithme donnant des solutions approch´ ees pour l’ordonnancement sur machines parall` eles, de tˆ aches sujettes ` a des resources disjonctives addition- nelles [17] ; et dans le cas de l’ordonnancement sur une machine unique avec une p´ eriode d’inactivit´ e, l’am´ elioration de l’analyse de la garantie fournie par un algorithme de la litt´ erature, et la d´ emonstration que cette nouvelle borne est exacte [2].

2.2 Hi´ erarchies

Notions de hi´ erarchies

Afin d’´ evaluer la performance (stabilit´ e, bornes sur des ´ energies) de syst` emes d’ing´ enierie, on se confronte souvent ` a des probl` emes de d´ ecision (in´ egalit´ es ` a satisfaire, optimisation) difficiles (dans des espaces de dimension infinie et/ou pr´ esentant des non-lin´ earit´ es et/ou non-convexit´ es).

On peut alors concevoir des hi´ erarchies de probl` emes plus simples (dans des espaces de dimension finie et/ou lin´ eaires et/ou convexes) dont les solutions peuvent converger dans un certain sens vers la solution du probl` eme original.

Par hi´ erarchie convergente ou hi´ erarchie compl` ete, on entend une famille de probl` emes dont la taille (nombre de variables) croit de mani` ere contrˆ ol´ ee, en fonction d’un indice (un nombre entier croissant, par exemple le degr´ e d’un polynˆ ome), et dont les solutions deviennent arbitrairement proches de la performance ´ evalu´ ee lorsque l’indice tend vers l’infini.

Quand on ne dispose pas de preuve de convergence, mais uniquement d’une am´ elioration de performance prouv´ ee ou observ´ ee exp´ erimentalement, on parle de hi´ erarchie incompl` ete.

Les activit´ es de DO pouvant se regrouper sous cette cat´ egorie sont les suivantes.

Optimisation combinatoire

Placement de faisceaux pour les satellites Les travaux relatifs ` a l’optimisation du design de satellite ont mis en lumi` ere une sur-approximation param´ etrable et une sous-approximation param´ etrable de la norme euclidienne en dimension deux. Cette hi´ erarchie compl` ete est utilis´ ee dans des mod` eles de programmation lin´ eaire en nombres entiers (PLNE) pour l’optimisation de placement de faisceaux pour les syst` emes de satellites multi-faisceaux [119].

Fonctions de conversion d’´ energie Diff´ erentes sources d’´ energie peuvent avoir des caract´ eristiques tr` es diff´ erentes

en termes de gamme de puissance ou de fonctions de coˆ ut ´ energ´ etique. Dans les probl` emes d’optimisation (par

exemple le probl` eme de distribution de ressources ´ energ´ etiques) cela g´ en` ere des probl` emes mixtes non-lin´ eaires ` a

variables enti` eres sans propri´ et´ es de convexit´ e ou concavit´ e. On propose des hi´ erarchies compl` etes d’encadrement

2.2. HI ´ ERARCHIES 17 de fonctions non-lin´ eaires, ` a l’aide de fonctions lin´ eaires par morceaux possiblement discontinues, avec un degr´ e de pr´ ecision fix´ e ` a l’avance, ce qui permet de g´ en´ erer un couple de PLNE (sur-approximation et sous-approximation) avec garanties de performance [51]. Ces travaux ont ´ et´ e r´ ecompens´ es par la 3` eme place de Sandra U. Ngueveu au prix Robert Faure de ROADEF en 2018.

Etudes poly´ edrales de probl` emes d’ordonnancement cumulatifs Pour la r´ esolution de probl` emes NP- difficiles d’ordonnancement avec ressources cumulatives, nous nous sommes int´ eress´ es ` a l’obtention de relaxations de qualit´ e. Pour cela, on cherche des formulations de programmation lin´ eaire en nombres entiers dont les relaxations continues sont les plus serr´ ees possibles relativement ` a l’enveloppe convexe des solutions enti` eres. Par ailleurs, pour une variante de ce probl` eme o` u les tˆ aches sont mall´ eables en contraintes par une quantit´ e d’´ energie, de nouvelles formulations et des familles d’in´ egalit´ es valides ont ´ et´ e propos´ ees. Parmi ces derni` eres des in´ egalit´ es d´ efinissant des facettes ont ´ et´ e trouv´ ees. Malgr´ e un nombre exponentiel d’in´ egalit´ es, un algorithme de s´ eparation polynomial est donn´ e [34, 158].

Formulations ´ etendues en optimisation combinatoire Les formulations de programmation lin´ eaire en nombres entiers de probl` emes NP-difficiles dites compactes comportent un nombre polynomial de variables et de contraintes. Aussi la qualit´ e de leur relaxation est souvent m´ ediocre. Les formulations ´ etendues, g´ en´ eralement issues de la d´ ecomposition de Dantzig-Wolfe d’une formulation compacte, am´ eliorent substantiellement cette re- laxation au prix d’un nombre exponentiel de variables. La technique de g´ en´ eration de colonnes permet d’´ eviter une ´ enum´ eration exhaustive de ces variables, tout en convergeant vers l’optimum de la relaxation. Nous avons propos´ e de nouvelles formulations ´ etendues am´ eliorant significativement la relaxation du mod` ele compact pour des probl` emes d’ordonnancement pr´ eemptifs avec coˆ uts de consommation ´ energ´ etique lin´ eaires par morceaux [19].

Dans un cadre g´ en´ erique d’optimisation multi-objectif, nous avons montr´ e comment la g´ en´ eration de colonnes sur une formulation ´ etendue permet d’obtenir efficacement un front de Pareto relˆ ach´ e et appliqu´ e ce principe ` a un probl` eme de tourn´ ees de v´ ehicules complexe [137].

Optimisation continue

Approximation par polynˆ omes homog` enes A l’aide de la dualit´ e entre les moments et les sommes de carr´ es (aussi connu sous l’acronyme anglais SOS) de polynˆ omes, essentielle pour prouver la convergence de la hi´ erarchie compl` ete dite moment-SOS ou de Lasserre originalement propos´ ee pour l’optimisation polynomiale au d´ ebut des ann´ ees 2000, il a ´ et´ e possible de g´ en´ eraliser le th´ eor` eme de L¨ owner-John caract´ erisant l’ellipso¨ıde de volume minimal contenant un ensemble convexe donn´ e. Cette g´ en´ eralisation est double. D’une part, l’ellipso¨ıde d´ ecrit par une forme quadratique est remplac´ e par un ensemble semi-alg´ ebrique d´ ecrit par une forme homog` ene de degr´ e quelconque. D’autre part l’ensemble ` a approcher est un semi-alg´ ebrique non n´ ecessairement convexe. Les conditions d’optimalit´ e permettent la mise au point d’un algorithme num´ erique.Ces travaux ont ´ et´ e effectu´ es dans le cadre du projet ERC Advanced Grant “Taming on convexity ?” de Jean-Bernard Lasserre.

Plan d’exp´ erience optimal Dans le cadre d’une collaboration avec des probabilistes-statisticiens de Toulouse et Paris, la hi´ erarchie compl` ete moment-SOS et donc les in´ egalit´ es matricielles lin´ eaires (LMI) sont utilis´ ees pour fournir une solution calculatoire au probl` eme du plan d’exp´ erience optimal pour des r´ egression polynomiales sur des ensembles semi-alg´ ebriques, ce qui permet de g´ en´ eraliser les m´ ethodes existantes qui ´ etaient limit´ ees essentiellement aux r´ egressions quadratiques sur des polytopes ou des ellipso¨ıdes [67].

R´ egions d’attraction La hi´ erarchie compl` ete moment-SOS permet de r´ esoudre le probl` eme de la r´ egion d’at- traction d’une ´ equation diff´ erentielle ordinaire polynomiale sous contraintes polynomiales. On obtient une hi´ erarchie de sous-lignes de niveau de polynˆ omes de degr´ es croissants approchant par l’ext´ erieur la r´ egion d’attraction, et qui converge en volume lorsque le degr´ e tend vers l’infini. Pour un degr´ e fix´ e, le polynˆ ome se calcule en r´ esolvant un probl` eme LMI. Ces travaux ont contribu´ e au recrutement de M. Korda au LAAS en 2018.

Syst` emes ` a retards, couplage EDO-EDP Une hi´ erarchie est ´ egalement propos´ ee dans l’analyse de stabilit´ e

de syst` emes ` a retards et de syst` emes d´ ecrits par des ´ equations aux d´ eriv´ ees ordinaires (EDO) coupl´ ees avec des

´

equations aux d´ eriv´ ees partielles (EDP). Pour ces syst` emes l’´ etat mod´ elisant le retard ou l’EDP est discr´ etis´ e ` a l’aide de polynˆ omes de Legendre de degr´ es croissants. Une hi´ erarchie incompl` ete de conditions num´ eriquement solvables est form´ ee par des in´ egalit´ es matricielles lin´ eaires (LMI) en fonction du degr´ e d’approximation [54, 68].

Ces travaux ont ´ et´ e en partie men´ es dans le cadre du projet ANR SCIDIS.

Diagnostic

Diagnosticabilit´ e des syst` emes hybrides Hi´ erarchies incompl` etes d’abstraction pour la diagnosticabilit´ e des syst` emes hybrides : La m´ ethode d´ etermine une premi` ere abstraction discr` ete de la dynamique continue de l’automate hybride et v´ erifie la diagnosticabilit´ e de l’automate r´ esultant par les m´ ethodes standard pour les syst` emes ` a ´ ev´ enements discrets. Celles-ci v´ erifient s’il existe un “contre-exemple”, c’est-` a-dire une paire critique de trajectoires ayant la mˆ eme projection observable, l’une avec d´ efaut et l’autre normale. Si aucun contre-exemple n’est trouv´ e, alors l’abstraction est diagnosticable, ce qui conf` ere la propri´ et´ e au syst` eme hybride initial. Dans le cas contraire, le contre-exemple est analys´ e et guide l’abstraction courante pour qu’elle soit affin´ ee. Cette m´ ethode construit ainsi une hi´ erarchie incompl` ete d’abstractions pour la diagnosticabilit´ e des syst` emes hybrides.

Calcul certifi´ e

Solutions rigoureuses d’EDO Dans le cadre du projet ANR Fastrelax (2014-2019), on d´ eveloppe des preuves assist´ ees par ordinateur, qui fournissent de fa¸con efficace une valeur num´ erique du r´ esultat, ainsi qu’une borne d’erreur suffisamment fine. Dans ce contexte, nous avons con¸ cu une m´ ethode de calcul valid´ ee pour la solution des ´ equations diff´ erentielles ordinaires lin´ eaires (LODE). Pour cela, nous avons analys´ e la complexit´ e th´ eorique et pratique d’une m´ ethode de validation a posteriori, qui repose principalement sur la structure matricielle d’une suite d’op´ erateurs quasi-Newton tronqu´ es, agissant dans un espace des coefficients appropri´ e aux s´ eries de Chebyshev.

Plus pr´ ecis´ ement, nous ´ etudions des propri´ et´ es th´ eoriques telles que compacit´ e, convergence, inversibilit´ e des op´ erateurs int´ egraux lin´ eaires associ´ es. Cela fournit des algorithmiques num´ eriques tr` es efficaces pour calculer des solutions num´ eriques de LODEs et un calcul rigoureux de l’erreur d’approximation via une hi´ erarchie compl` ete pour tronquer les op´ erateurs lin´ eaires [61].

2.3 Gestion des incertitudes

Introduction

Dans le d´ epartement DO, la prise en compte des incertitudes est essentiellement orient´ ee vers (a) la commande, (b) l’estimation de param` etres et le diagnostic de syst` emes dynamiques et (c) l’optimisation continue et combi- natoire. L’ensemble des valeurs possibles des param` etres incertains (l’ensemble d’incertitudes) est g´ en´ eralement d´ efini par un ou plusieurs mod` eles math´ ematiques. L’enjeu est alors de proposer des m´ ethodes de r´ esolution du probl` eme prenant en compte ces mod` eles d’incertitude.

Il faut noter que dans tous les probl` emes pos´ es, les incertitudes sont pr´ esentes en entr´ ee dans les donn´ ees

(param` etres incertains) mais se trouvent ´ egalement parfois en sortie dans la solution avec possiblement diff´ erents

mod` eles d’incertitudes : en commande robuste, des param` etres peuvent ˆ etre ` a incertitudes ellipso¨ıdales alors que

l’on cherche en sortie ` a ´ evaluer ou minimiser la norme H

du syst` eme [112] ; en estimation ensembliste, on peut

ainsi avoir des incertitudes sous la forme d’intervalles sur les erreurs de mesure en entr´ ee, et une estimation des

param` etres en sortie plus fine, par exemple sous la forme de zonotopes [15] ; en optimisation, une erreur de mesure

sur un param` etre d’entr´ ee peut ˆ etre ` a norme infinie born´ ee alors que la solution peut ˆ etre encadr´ ee par un polytope

avec un objectif visant ` a minimiser sa taille [14]. Dans ce qui soit, nous d´ ecrivons tout d’abord les contributions

de DO au regard de la richesse des mod` eles d’incertitudes consid´ er´ es, voire propos´ es. Ensuite, nous d´ etaillons les

contributions relatives aux grands axes (a), (b) et (c).