Calcul littéral
Exercices d’entraînement et d’approfondissement
« Qui veut aller loin, ménage sa monture ! »
« Chi va piano va sano ! »
Exercice 1
Factorise le plus possible : 4
212
A = y − y B = 35 t
2− 7 t
2 2
60 84 12
C = − x + xy − x y D = 12 mn
2− 5 m n
2 2− 49 m n
22 2
289 85 68
E = q + qt − t F = 2 a b c
2 2− 6 ab + 38 bc
2Exercice 2
Factorise par 15
2 2a b :
275
2105
245
2A a b ab a b
= − + −
Factorise par 12
xy : 84
60 144
B y
= x − +
Exercice 3
Réduis les expressions suivantes :
4 14 32 17
A = − x + x − x + x 2
21
23
27 3 5
B = − t − t + t
2
27 3
3 2 5 7
C = q − q − × q q + q D = 2,5 x
2− 3,1 6, 5 + x − 7,8 x
2− 10, 2 x + 8, 3
Exercice 4
Supprime les parenthèses et réduis :
( 2 7 ) ( 5 10 )
A = − x + + − − x
(
2) (
2)
25 5 13 17 16 2
B = a + − + a a − − − a + − a
(
2) (
2) (
2)
3 6 4 7 3 8 3 8 2 3 7
C = − t + − t − − t − + t − t − − t
( 2, 3
25, 7 7, 6 ) ( 5 1, 2 3, 4
21, 7 ) ( 3, 3 5, 2
2)
D = − x + x − − x − x + + − x
2 2
2 1 2 1 1
5 2 7
3 4 5 4 2
E = ⎛ ⎜ ⎝ y − y − ⎞ ⎟ ⎠ − ⎛ ⎜ ⎝ − y + y − ⎞ ⎟ ⎠
Exercice 5
Développe et réduis :
( 2 5 )( 12 )
A = m − m +
( 5 3 )( 11 )
B = − m − m −
( 7 )( 6 5 )
C = − + m − m + 1 5 1
2 5
D = − ⎛ ⎜ ⎝ a ⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝ a − ⎞ ⎟ ⎠
11 11
12 12
13 13
E = ⎛ ⎜ ⎝ t − ⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝ t + ⎞ ⎟ ⎠
2 3
2 3 5 4
x y y
F = − + ⎛ ⎜ ⎝ ⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝ − + x ⎞ ⎟ ⎠ 2 5
23 4 G = ⎛ ⎜ ⎝ n − ⎞ ⎟ ⎠
Exercice 6
Donne l’expression développée la plus réduite possible :
( )( )
3
211 13 2 5 3 2 A = x + x − − x − x +
(
2) ( )( )
7 4 3 2 3 5 9
B = − t − + − t t − t −
3
21 3 1
5 2
4 3 5 2
C = ⎛ ⎜ ⎝ a − ⎞ ⎟ ⎠ − ⎛ ⎜ ⎝ a − ⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝ a + ⎞ ⎟ ⎠
Calcul littéral
Exercices d’entraînement et d’approfondissement - Réponses
Exercice 1
( )
4
212 4 3
A = y − y = y y −
( )
35
27 7 5 1 B = t − = t t t −
( ) ( )
2 2 2 2
60 84 12 12 5 7 12 5 7
C = − x + xy − x y = x − + y − xy = − x − y + xy
( )
2 2 2 2
12 5 49 12 5 49
D = mn − m n − m n = mn n − mn − m
( )
2 2 2 2
289 85 68 17 17 5 4
E = q + qt − t = q + qt − t
( )
2 2 2 2 2
2 6 38 2 3 19
F = a b c − ab + bc = b a bc − a + c
Exercice 2
( )
2 2 2 2 2 2
75 105 45 15
5 7 3
A a b
a b ab a b a b
= − + − = − + −
(
2)
84 12
60 144 7 5 12
B y y xy xy
x xy
= − + = − +
Exercice 3
4 14 32 17 5
A = − + x x − x + x = − x
2 2 2 2 2
2 1 3 2 1 3 2
7 3 5 7 3 5 105
B = − t − t + t = − − + ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ t = − t
2 2 2
2 2 2
2
2 7 3 2 7 3
2 2
3 5 7 3 5 7
2 7 3 2 7 3
2 2
3 5 7 3 5 7
11 11
15 7
C q q q q q q q q q
q q q q q q
q q
= − − × + = − − +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + − = ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠
= − −
( ) ( ) ( )
2 2
2
2
2, 5 3,1 6, 5 7,8 10, 2 8, 3 2, 5 7,8 6, 5 10, 2 3,1 8, 3
5, 3 3, 7 5, 2
D x x x x
x x
x x
= − + − − +
= − + − + − +
= − − +
Exercice 4
( 2 7 ) ( 5 10 ) 2 7 5 10 7 17
A = − x + + − − x = − − − x x − = − − x
(
2) (
2)
2 2
2 2
2
25 5 13 17 16 2
25 5 13 17 16 2
2 25 5 17 13 16
47 29
B a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a
= + − + − − − + −
= − + − + − +
= − + + + − −
= + −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
3 6 4 7 3 8 3 8 2 3 7
3 6 3 4 3 7 3 8 3 8 2 8 3 8 7
18 12 21 3 8 3 16 24 56
18 3 16 21 3 24 12 8 56
31 76
C t t t t t t
t t t t t t
t t t t t t
t t t t t t
t
= − + − − − − + − − −
= − × + × − × + + − − × − × − − × −
= − + − + + − − + +
= − + − − − + + + +
= − +
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2, 3 5, 7 7, 6 5 1, 2 3, 4 1, 7 3, 3 5, 2 2, 3 5, 7 7, 6 5 1, 2 5 3, 4 5 1, 7 3, 3 5, 2 2, 3 5, 7 7, 6 6 17 8, 5 3, 3 5, 2
17 2, 3 5, 2 5, 7 6 7, 6 8, 5 3, 3 9, 5 11, 7 2, 4
D x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x
= − + − − − + + −
= − − + − × − × − − × + −
= − − + − + − + −
= − − − − + − +
= − +
( ) ( )
2 2
3 4 5 4 2
2 1 2 2 2 1 1 1 1
5 2 7
3 4 3 3 5 4 4 2 4
2
y y y y
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= × − × − × − × − − × − × −
= 3 2 × × 2
2
2 5 2 2 1 2
3 3 5
y − × × − y × − − ×
× 2 × 2
2
2 2
2 2
2
2
2
1 7
4 2 4
1 10 4 1 1 7
6 3 15 2 8 4
1 1 10 1 4 7
6 8 3 2 15 4
1 1 10 1 7 4
6 8 3 2 4 15
1 4 1 3 10 2 1 3 7 15 4 4
6 4 8 3 3 2 2 3 4 15 15 4
4 3 20 3 105
24 24 6 6
y y
y y y y
y y y y
y y
y y
y y
× − − −
×
= − − + − +
= − − + − +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −
= ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ + − ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ + +
× × − × × × − ×
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎝ × − × ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ × + × ⎟ ⎠ + × + ×
⎛ ⎞ ⎛ − ⎞
= ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ +
2
2
16 60 60
1 17 89
24 6 60
1 17 89
24 6 60
y y
y y
+ −
= + − +
= − +
Exercice 5
( )( )
2
2
2 5 12
2 2 12 5 5 12
2 24 5 60
2 19 60
A m m
m m m m
m m m
m m
= − +
= × + × − × − ×
= + − −
= + −
( )( )
( ) ( )
2
2
5 3 11
5 5 11 3 3 11
5 55 3 33
5 52 33
B m m
m m m m
m m m
m m
= − − −
= − × − × − − × − × −
= − + − +
= − + +
( )( )
( ) ( )
2
7 6 5
6 5 7 6 7 5
6 5 42 35
C m m
m m m m
m m m
= − + − +
= − × − − × + × − + ×
= − − +
2
2
2
1 5 1
2 5
1 1
1 5 1 5
5 2 2 5
1 5
5 5 2 10
5 1
2 5 10 5
5 50 1 1
2 10 10 5
5 51 1
2 10 5
D a a
a a
a a
a a a
a
a a
a
a a a
a a
⎛ ⎞⎛ ⎞
= − ⎜ ⎝ ⎟⎜ ⎠⎝ − ⎟ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= × + × − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ − × − × − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠
= − − × +
= − + + −
= − + + −
= − + −
2
11 11
12 12
13 13
11 11 11 11
12 12 12 12
13 13 13 13
11 11 11 12
13 13 13
E t t
t t t t
t t
⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎝ − ⎟⎜ ⎠⎝ + ⎟ ⎠
= × + × − × − ×
= × × + × 12 11
13 × t
−
22 2 2
2
12
11 144
13
121 144 169
t t
−
= × −
= −
( ) ( )
2 3 5 4
2 3 2 3
2 5 2 4 3 5 3 4
2 3 2 3
2 5 2 4 3 5
x y x y y y
x x
x y x x y y y
⎝ ⎠⎝ ⎠
− −
= − × − × + × + ×
− × − × × × − ×
= − + +
× × × 3
× x 4 2
×
= 2 x y
× ×
2 22 2
2 2
2 2
2 2
3 2
8 15 4
5
3 2
8 15 5 4
3 2 4 5
8 15 20 20
3 2 9
8 15 20
3 2 9
8 15 20
x y xy
xy xy
x y
xy xy
x y
x y xy
x y xy
− + − +
×
= − − + +
= − − + +
= − − +
= − − +
2
2
2
2
2
2
2
2 5
3 4
2 5 2 5
3 4 3 4
2 2 2 5 5 2 5 5
3 3 3 4 4 3 4 4
2 2 2 5 5 2 5 5
3 3 3 4 4 3 4 4
4 5 5 25
9 6 6 16
4 5 5 25
9 6 6 16
4 5 5 25
9 6 16
4 10 25
9 6 16
4 5 25
9 3 16
4 9 G n
n n
n n n n
n n n n
n n n
n n n
n n n
n n
n n
n
⎛ ⎞
= ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎝ − ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ × − ⎟ ⎠
⎛ ⎞
= × + × − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ − × − ×
× × × ×
= − − −
× × × ×
= − − −
− −
= + + −
= + − − −
= + − −
= + − −
= 5 25
3 16
− n −
Exercice 6
( )( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
3 11 13 2 5 3 2
3 11 13 2 3 2 2 5 3 5 2
3 11 13 6 4 15 10
3 11 13 6 11 10
3 11 13 6 11 10
3 6 11 11 13 10
3 22 3
A x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
= + − − − +
= + − − × + × − × − ×
= + − − + − −
= + − − − −
= + − − + +
= − + + − +
= − + −
( ) ( )( )
( ) ( ( ) ( ) )
( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
7 4 3 2 3 5 9
7 7 4 7 3 2 3 3 9 5 5 9
7 28 21 2 3 27 5 45
7 28 21 2 3 32 45
7 28 21 2 3 2 32 2 45
7 28 21 6 64 90
7 6 28 64 21 90
13 92 111
B t t t t
t t t t t t
t t t t t
t t t t
t t t t
t t t t
t t t t
t t
= − − + − − −
= − × − × − − × − × + × − − × − × −
= − + − − − − +
= − + − − − +
= − + − − × − × − − ×
= − + − − + −
= − − + + − −
= − + −
On pouvait aussi procéder de la façon suivante :
( ) ( )( )
( ( ) ) ( ( ) ( ) )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
7 4 3 2 3 5 9
7 7 4 7 3 2 3 3 9 5 5 9
7 28 21 2 3 27 5 45
7 28 21 2 3 32 45
7 28 21 2 3 2 32 2 45
7 28 21 6 64 90
7 28 21 6 64 90
7 6 28 64
B t t t t
t t t t t t
t t t t t
t t t t
t t t t
t t t t
t t t t
t t t
= − − + − − −
= − × + × − + × − × + × − − × − × −
= − − + − − − +
= − + − − − +
= − + − − × + × − + ×
= − + − − − +
= − + − − + −
= − − + +
2
21 90 13 92 111
t
t t
− −
= − + −
2
2 2
4 3 5 2
3 3 1 1 3 3 1
5 2 2
4 4 3 2 5 5 2
3 3 3 3 1 2 3 3
5 2
4 4 4 4 3 2 5 10
3 3 9 1 3 3
5 2
4 4 16 3 5 10
a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎝ − ⎟⎜ ⎠⎝ − ⎟ ⎠ − ⎜ ⎝ × + × − × − × ⎟ ⎠
⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎝ × + × − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ − × − × − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎟ ⎠ − ⎜ ⎝ + − − ⎟ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎝ − − + ⎟ ⎠ − ⎜ ⎝ + − − ⎟ ⎠
=
2 22 2
2 2
2 2
2 2
2
6 9 1 5 3 3
5 2
4 16 3 5 5 10
3 9 1 2 3
5 2
2 16 3 5 10
5 3 5 9 1 1 2 1 3
5 2
2 16 3 3 5 3 10
15 45 2 2 1
5 2 16 3 15 10
2 15 2 45 1
5 3 2 15 16 10
2 1
5 3
a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a
⎛ − + ⎞ − ⎛ + + − − ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎝ − + ⎟ ⎠ − ⎜ ⎝ + − ⎟ ⎠
× × ⎛ ⎞
= − + − × − × − × − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠
= − + − − +
− − −
= + + + + +
− −
⎛ ⎞
= ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ +
2
2
2
