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Hyperbolicity properties of general complete
intersection varieties
Damian Brotbek
To cite this version:
Damian Brotbek. Hyperbolicity properties of general complete intersection varieties. Algebraic Ge-ometry [math.AG]. Université de Strasbourg, IRMA, 2018. �tel-01934597�
Ins titut de Recherche Mathématique Avancée
INSTITUT DE
RECHERCHE
MATHÉMATIQUE
AVANCÉE
UMR 7501
Strasbourg
https://irma.math.unistra.frHabilitation à diriger des recherches
Université de Strasbourg
Spécialité MATHÉMATIQUES
Damian Brotbek
Propriétés d’hyperbolicité des variétés
intersections complètes générales
Soutenue le 04 Décembre 2018
devant la commission d’examen
Olivier Debarre, rapporteur Jean-Pierre Demailly, rapporteur Simone Diverio, examinateur Carlo Gasbarri, garant Gianluca Pacienza, examinateur Erwan Rousseau, rapporteur Claire Voisin, examinatriceTable des matières
Liste des travaux 5
1. Introduction 6
1.1. Hyperbolicité 6
1.2. Conjecture de Kobayashi 7
1.3. Conjecture de Debarre 7
1.4. Équations différentielles de jets 8
1.5. Liens entre les conjectures de Debarre et Kobayashi 10
1.6. Organisation du manuscrit 12
1.7. Notations et convention 17
1.8. Notation and conventions 18
2. Symmetric differential forms on complete intersection varieties 19
2.1. Motivation 19
2.2. Cohomological description 21
2.3. Symmetric differentials on Fermat type complete intersections 24
2.4. A special case of Debarre’s conjecture 28
2.5. More examples of symmetric differential form computations 35 3. The universal family of zero dimensional complete intersections 38
3.1. Motivation 38
3.2. A cheap version of Nakamaye’s theorem 39
3.3. Universal complete intersection 40
3.4. Restricted universal complete intersections 41
3.5. Deng’s Theorem 42
3.6. Dimension estimate of the exceptional locus 42
3.7. Polynomial notation 44
4. Proof of Debarre’s conjecture 45
4.1. Motivation and statements 45
4.2. Setting 45
4.3. Stratification 46
4.4. Reduction to dimension zero 46
4.5. Rank computation 48
4.6. Controlling the indeterminacy locus 49
4.7. Map to the universal complete intersection 50
4.8. Avoiding the exceptional locus 51
4.9. End of proof 52
4.10. Xie’s proof of the Debarre conjecture 53
5. Wronskian jet differentials 55
5.1. Motivation 55
5.2. Associated curves 55
5.3. Jets of curves 57
5.4. Jet differentials 59
5.5. Jet of functions 60
5.6. Pairing between jets 61
5.7. Wronskian bundle and space of associated jets 61
5.8. Families of spaces of associated jets 66
5.9. Space of associated jets depending on a line bundle 67
5.10. Comparison with the Demailly Semple jet tower and the curvilinear Hilbert scheme 78
5.11. The fundamental vanishing theorem 81
6. Proof of the Kobayashi conjecture 89
6.1. Motivation 89
6.2. Setting 89
6.3. Stratification 90
6.4. Reduction to dimension zero 90
6.5. Rank computations 92
6.6. Controlling the indeterminacy locus 93
6.7. Map to the universal complete intersection 94
6.8. Avoiding the exceptional locus 95
6.9. End of proof 96
7. Further developpements 98
7.1. Deng’s work on the Diverio and Trapani conjecture 98
7.2. Logarithmic analogues 98
7.3. Demailly’s proof of the Kobayashi conjecture 99
7.4. Mohsen’s work on the curvature of complete intersections 99
7.5. Riedl and Yang’s proof of the Kobayashi conjecture 100
References 100
Liste des travaux
Articles présentés
1. Symmetric differential forms on complete intersection varieties and application. Mathematische Annalen, 366(1): 417-466, 2016.
2. On the hyperbolicity of general hypersurfaces. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., 126:1-34, 2017.
3. Complete intersection varieties with ample cotangent bundles, avec Lionel Darondeau. Invent. Math., 212(3):913-940, 2018.
4. On the positivity of the logarithmic cotangent bundle, aver Ya Deng. Pré-publication 2017. 5. Hyperbolicity of the complements of general hypersurfaces of high degree. Pré-publication 2018.
Articles non-présentés
1. Hyperbolicity related problems for complete intersection varieties. Compositio Mathematica, 150(3): 369-395, 2014.
2. Differential equations as projective embeddings and vanishing theorems. Pré-publication 2011.
1. Introduction
L’objectif de ce mémoire est d’étudier certaines propriétés d’hyperbolicité des variétés intersec-tions complètes.
1.1. Hyperbolicité. La théorie des variétés hyperboliques a été initiée et largement développée par Kobayashi. Sur n’importe quelle variété complexe X, Kobayashi a défini une pseudo-métrique dX qui généralise la métrique de Poincaré d∆ sur le disque unité. Pour tout x, y ∈ X la distance de Kobayashi entre x et y est définie par
dX(x, y) = inf k∈N γi:∆→X k X i=1 d∆(ai, bi)
où l’infimum est pris sur toutes les chaines de disques joignant x à y : γi : ∆ → X, γ1(a1) = x, γk(bk) = y et γi(bi) = γi+1(ai+1) pour tout i ∈ {1, . . . , k − 1}.
La pseudo-métrique dX est appelée pseudo-métrique de Kobayashi. Si dX est une métrique, c’est à dire si pour tout x, y ∈ X dX(x, y) = 0 si et seulement si x = y, alors X est alors dite hyperbolique au sens de Kobayashi. L’ouvrage [49] reste une référence pour les propriétés des variétés hyperboliques. En général il est difficile d’étudier directement la distance dX, mais dans certains cas il est possible de ramener l’étude de l’hyperbolicité d’une variété X a l’étude des courbes entières qu’elle contient. Une courbe entière de X est un morphisme holomorphe non constant f : C → X. Le lemme de Schwarz implique que les applications holomorphes sont décroissante pour la métrique de Kobayashi. De là il découle aisément qu’une variété hyperbolique ne possède pas de courbe entière. La réciproque n’est en général pas vérifiée, mais Brody a démontré que si X est compacte, alors X est hyperbolique au sens de Kobayashi si et seulement si X ne contient pas de courbe entière.
Ce résultat permet donc dans une certaine mesure de ramener l’étude des propriété d’hyperbolicité de X à l’étude des courbes entières de X et motive la définition suivante :
Definition 1.1. Une variété complexe X est dite hyperbolique au sens de Brody si X ne contient aucune courbe entière.
Dans la suite du manuscrit nous travaillerons principalement sur des variétés projectives, donc compactes, et nous utiliserons simplement le terme «hyperbolique» au lieu de «hyperbolique au sens de Brody (ou Kobayashi)». Dans le cas où X n’est pas compacte, nous spécifierons quelle notion d’hyperbolicité nous utilisons.
La question qui se pose naturellement est alors de savoir quelles sont les propriétés géométriques de X qui ont une influence sur la distribution des courbes entières de X. En vue du programme du modèle minimal dans la classification birationnelle des variétés algébriques, la géométrie de X est en grande partie contrôlée par les propriétés de son fibré canonique KX. Dans cette direction, le plus important problème ouvert dans l’étude de l’hyperbolicité des variétés algébriques est la conjecture suivante due à Green, Griffiths et Lang [42, 51] :
Conjecture 1.2 (Green-Griffiths/Lang). Soit X une variété projective lisse. Alors X est de type général si et seulement si il existe un fermé de Zariski Z ( X tel que Z contienne toutes les courbes entières de X.
Rappelons que X est de type général si le fibré canonique de X est gros, c’est à dire si la croissance de la dimension des espaces de sections pluricanoniques est maximale, h0(X, Km
X) > Cmnpour un certain C ∈ R, où n = dim X. Cette conjecture impliquerait en particulier qu’une variété est hy-perbolique si et seulement si toutes ses sous-variétés (y compris elle-même) sont de type général. Cela donnerait ainsi une caractérisation algébrique de l’hyperbolicité, qui est a priori une notion de
nature analytique.
1.2. Conjecture de Kobayashi. On peut chercher a étudier cette conjecture dans des cas parti-culiers. La conjecture suivante de Kobayashi (antérieure à la conjecture de Green-Griffiths-Lang) peut être interprétée en ce sens.
Conjecture 1.3 (Kobayashi). Soit N > 2. Si H est une hypersurface générale1 de PN de degré d suffisamment grand alors H est hyperbolique.
Observons qu’avec les notations de cette conjecture KH =OH(d − N − 1). Ce fibré est ample (donc gros) si d > N + 1. En particulier la conjecture de Green Griffiths Lang implique que dès que d > N + 1 il existe un fermé Z ( H contenant toutes les courbes entières de H. Néanmoins, cela n’est pas suffisant pour conclure l’hyperbolicité de H, et il est assez simple de voir que si d6 2N − 3 alors H contient des droites de PN (donc des courbes entières). L’énoncé original de Kobayashi ne contenait pas de borne explicite sur le degré de H, mais en vue de la conjecture de Green-Griffiths-Lang et d’une série de travaux sur les sous-variétés des hypersurfaces générales due à Clemens, Ein, Voisin et Pacienza, on s’attend aux bornes suivantes dans la conjecture de Kobayashi.
– Si N = 3, 4, 5, d> 2N − 1. – Si N > 6, d > 2N − 2.
En effet, sous ces hypothèses, les travaux de Voisin, raffinés par Pacienza, impliquent que toutes les sous-variétés d’une hypersurface très générale H sont de de type général. En particulier, si la conjecture de Green Griffiths Lang est vraie, on en déduirait la conjecture de Kobayashi pour ces bornes (sous l’hypothèse très générale).
Kobayashi a aussi énoncé l’analogue logarithmique de cette conjecture.
Conjecture 1.4 (Kobayashi). Soit N > 2. Si H est une hypersurface générale de PN de degree d suffisamment grand alors PN \ H est hyperbolique au sens de Kobayashi.
1.3. Conjecture de Debarre. On peut obtenir facilement l’hyperbolicité d’une variété projective si on demande une condition de positivité non pas sur le fibré canonique mais sur le fibré cotangent : Si le fibré cotangent ΩX de X est ample, alors X est hyperbolique. En fait de facon plus générale, on a la proposition suivante :
Proposition 1.5 (Noguchi). Soit X une variété projective lisse et soit A un fibré ample sur X. Pour tout entier m ∈ N, pour toute forme différentielle symétrique ω ∈ H0(X, SmΩX ⊗ A−1) et pour toute courbe entière f : C → X on a
f∗ω = 0.
En vue de travaux de Sakai [71] (et aussi Schneider [72]), si N > 3 et H est une hypersurface de PN, alors H0(H, SmΩH) = 0 pour tout m ∈ N∗. En particulier, on ne peut pas utiliser cette propriété pour démontrer l’hyperbolicité de H. Nous verrons dans la section suivante comment on peut généraliser la notion de formes différentielles symétriques en introduisant la notion de différentielles de jets, qui vérifient des propriétés analogues et qui peuvent être utilisé pour contrôler les courbes entières dans les hypersurfaces de grand degré.
On peut par contre espérer construire des variétés à fibré cotangent ample en prenant l’intersection de suffisamment d’hypersurfaces.
Conjecture 1.6 (Debarre [24]). Si X ⊂ PN est une intersection complète générale de multi-degré suffisamment grand et de codimension c> N/2, alors le fibré cotangent ΩX de X est ample.
1. Il y a dans la littérature une confusion autour de l’usage des termes «général», «générique», «très générique»... Voir la section 1.7 pour la convention que nous utilisons dans ce manuscrit.
Les motivations principales pour cette conjecture provenaient de constructions de Bogomolov et de Debarre : Bogomolov a construit des variétés à fibré cotangent ample comme intersections complètes dans des produits de variétés à fibré cotangent gros (par exemple des produits de courbes de genre plus grand que 2). Debarre a démontré l’analogue de la conjecture 1.6 pour les intersections complètes dans les variétés abéliennes. Mis à part ces deux constructions, il existait relativement peu d’exemples de variétés à fibré cotangent ample, alors que l’on pouvait raisonnablement espérer que de tels exemples soient abondants. En vu d’un résultat de Schneider [72], la condition sur la codimension est optimale. En fait, pour toute sous variété lisse X ⊂ PN de codimension c, si c < N/2 alors ΩX n’est pas ample. Sous cette hypothèse on a même H0(X, SmΩX) = 0 pour tout m > 1. En vu de ce résultat, Schneider à soulevé la question de savoir si ce résultat était optimal et si par exemple il existait des surface à cotangent ample dans P4. La conjecture de Debarre implique bien entendu une réponse affirmative à cette question.
1.4. Équations différentielles de jets. Dans cette section nous donnons un très bref aperçu de la théorie des équations différentielles de jets, qui joue un rôle central dans ce mémoire.
Soit X une variété projective lisse. Soit k> 0. Étant donné deux germes de fonctions holomorphes γ1, γ2 : (C, 0) → X, on dit que γ1 et γ2 définissent le même k-jet, noté γ1∼kγ2, si γ1(p)(0) = γ
(p) 2 (0) pour tout 06 p 6 k. L’espace des k-jets de X est alors l’ensemble
JkX = {γ : (C, 0) → X} / ∼k.
Pour tout γ : (C, 0) → X, on note jkγ ∈ JkX la classe d’équivalence de γ. Il y a une application naturelle pk : JkX → X définie par pk(jkγ) = γ(0). Via l’application pk l’espace JkX est un fibré en Cnk au dessus de X. En effet, si on prend des coordonnées locales (z1, . . . , zn) sur un ouvert U ⊂ X, on peut définir des coordonnées induites
z1, . . . , zn, dz1, . . . , dzn, . . . , dkz1, . . . , dkzn
sur p−1k (U ) en posant
djzi(jkγ) := γi(j)(0),
pour tout k-jet jkγ ∈ p−1k (U ) associé à un germe γ : (C, 0) → U de la forme γ : t 7→ (γ1(t), . . . , γn(t)). On a une action naturelle de C∗ définie par λ · jkγ := jkγλ où γλ(t) = γ(λt) pour t dans un voisinage de 0 dans C. Suivant l’approche de Green et Griffiths [42], on peut alors pour tout k, m > 0 considérer le fibré d’équations différentielles de jets de Green-Griffiths d’ordre k et de degré m comme étant le fibré vectoriel associé au faisceau localement libre défini par
EGGk,mΩX(U ) :=Q ∈O p−1k (U ) | Q(λ · jkγ) = λmQ(jkγ), ∀λ ∈ C∗ ∀jkγ ∈ p−1k (U ) . Si U est muni de coordonnées locales comme ci-dessus, on a la description
Ek,mGGΩX(U ) = Q(z, dz, . . . , dkz) = X |I1|+2|I2|+···+k|Ik|=m aI1,...,Ik(z)(dz) I1· · · (dkz)Ik aI1,...,Ik ∈O(U) ,
où nous utilisons la notation multi-indices, c’est à dire que pour Ij = (ij1, . . . , ijn) on pose (djz)Ij:= (djz1)ij1· · · (djzn)ijn et |Ij| = ij1+ · · · + ijn.
Pour k = 1 on retrouve les formes différentielles symétriques : EGG
1,mΩX = SmΩX. Ces fibrés sont d’une grande utilité dans l’étude des courbes entières contenues dans une variété, grâce à l’énoncé fondamental suivant :
Théorème 1.7 (Green-Griffiths, Siu-Yeung, Demailly). Soit X une variété projective lisse munie d’un fibré en droites ample A. Pour toute courbe entière f : C → X et pour toute forme différentielle
de jets Q ∈ H0(X, Ek,mGGΩX ⊗ A−1), on a
Q ◦ jkf ≡ 0, où jkf : C → JkX est le relevé canonique.
Ce résultat permet donc d’utiliser des méthodes algébriques (existence de sections globales d’un certain fibré vectoriel) pour obtenir des conséquences sur les courbes entières, qui sont des objets de nature analytique. Demailly a introduit dans [26] des sous-fibrés Ek,mΩX ⊂ Ek,mGGΩX qui possèdent des propriétés de positivité plus favorables. La construction est la suivante. On considère le groupe des k-jets de biholomorphismes de (C, 0),
Gk:= n
ϕ : t 7→ a1t + a2t2+ · · · + aktk | a1 ∈ C∗, aj ∈ C ∀j > 2 o
/tk+1. Il y a une action naturelle de Gk sur JkX définie par
ϕ · jkγ := jk(γ ◦ ϕ), ∀ϕ ∈ Gk, ∀jkγ ∈ JkX.
On peut alors, pour tout k, m > 0, définir le fibré d’équations différentielles de jets de Demailly-Semple d’ordre k et de degré m comme entant le fibré vectoriel associé au faisceau localement libre défini par
Ek,mΩX(U ) :=Q ∈O p−1k (U ) | Q(ϕ · jkγ) = ϕ0(0)mQ(jkγ), ∀ϕ ∈ Gk ∀jkγ ∈ p−1k (U ) . Clairement Ek,mΩX est un sous fibré de Ek,mGGΩX, donc les conclusions du théorème 1.7 restent vraies pour les équations différentielles de jets Q ∈ H0(X, Ek,mΩX⊗A−1). De plus, ce sont aussi des généralisations naturelles des puissances symétriques du cotangent car l’on a aussi E1,mΩX = SmΩX pour tout m> 0. Demailly, se basant sur des constructions de Semple, a donné une interprétation géométrique de ces objets en introduisant ce que l’on appelle couramment la tour de jets de Demailly-Semple. Comme le groupe Gk n’est pas un groupe réductif, il n’y a a priori pas de quotient GIT naturel JkX/Gk. Mais Demailly a montré que, si l’on note JkXreg := {jkγ ∈ JkX | γ0(0) 6= 0} l’ensemble des k-jets réguliers, alors il existe un quotient géométrique JkXreg/Gk. Ce quotient peut être vu comme un ouvert Xkregdans une variété projective lisse Xk. De plus, il existe une projection canonique πk: Xk→ X et un fibré en droites tautologiqueOXk(1) sur Xk vérifiant
πk,∗OXk(m) = Ek,mΩX ∀k, m ∈ N
∗.
Grace à ce résultat, ainsi qu’au théorème d’annulation fondamental (théorème 1.7) les propriétés de positivité de OXk(1) ont des implications immédiates sur les propriétés d’hyperbolicité de X. En particulier, si il existe m ∈ N et un fibré en droites ample sur X tel que
Bs OXk(m) ⊗ π
∗ kA
−1 ∩ Xreg k = ∅ , alors X est hyperbolique.
Un des résultats les plus remarquables en direction de la conjecture de Green-Griffiths-Lang est dû à Demailly [27] et à Merker dans le cas où X est une hypersurface de Pn [58].
Theorem 1.8 (Demailly). Soit X une variété projective lisse de type général. Alors il existe k, m> 1 tels que
H0(X, Ek,mΩX ⊗ A−1) 6= 0 . En particulier, ce résultat implique que
Bs OXk(m) ⊗ π
∗ kA
−1 6= X k.
Même en vu de ce théorème, nous sommes encore loin d’une réponse affirmative à la conjecture de Green-Griffiths-Lang car ce résultat d’existence ne donne pas d’information sur la géométrie des formes différentielles de jets en question. En fait, en général, on ne peut pas espérer avoir un
critère aussi direct, comme le montrent des exemples mentionnés par Lang et Green [51], qui ont été détaillés et largement généralisés par Diverio et Rousseau [35]: pour tout n > 2 il existe une variété de type général X de dimension n telle que pour tout m, k ∈ N∗ et pour tout fibré en droites ample sur X π Bs OXk(m) ⊗ π ∗ kA −1 ∩ Xreg k = X .
1.5. Liens entre les conjectures de Debarre et Kobayashi. La théorie des différentielles de jets permet de faire un lien assez direct entre les conjectures de Debarre et de Kobayashi. En effet, pour démontrer l’amplitude du cotangent d’une variété X il suffit (et il faut) démontrer que X a beaucoup de formes différentielles symétriques (des formes différentielles de jets d’ordre 1) et de contrôler leur géométrie. Et d’autre part, pour démontrer qu’une variété est hyperbolique, une des stratégie est de construire beaucoup de formes différentielles de jets d’un certain ordre, puis de contrôler leur géométrie.
Cette remarque a motivé la conjecture suivante de Diverio et Trapani [36].
Conjecture 1.9 (Diverio-Trapani). Si X ⊂ PN est une intersection complète générale de multi-degré suffisamment grand et de codimension c et soit k un entier tel que kc> dim X, alors le fibré Ek,mΩX est ample pour m suffisamment grand.
Avant de poursuivre, donnons un bref historique des conjectures de Kobayashi et Debarre, afin de clarifier le contexte de nos travaux.
La conjecture de Kobayashi a une longue histoire et nous n’en présentons ici que les grandes lignes. Pour N = 2, cela découle simplement du fait qu’une courbe lisse de degré d dans P2 est de genre (d−1)(d−2)2 et qu’une courbe est hyperbolique si et seulement son genre est plus grand que deux. Pour N > 3, les premiers travaux en direction de la conjecture de Kobayashi portaient sur la construction d’exemples d’hypersurfaces hyperboliques. Le premier tel exemple fut construit par Brody et Green, qui démontrèrent que la surface de P3 donnée par l’équation
x2r0 + x2r1 + x2r2 + x2r3 + axr0xr1+ bxr0xr2= 0
est hyperbolique pour des valeurs génériques de a et b et pour r> 25. Ensuite, de nombreux auteurs ont donné des exemples de nature similaire [60, 39, 28, 73]. Mentionnons tout particulièrement le travail de Masuda et Noguchi [53], qui contient de nombreux exemples en toute dimension. Nous renvoyons le lecteur à l’article de survol [87]. Grâce aux travaux de Brody, nous savons par ailleurs que l’hyperbolicité est une propriété ouverte dans la topologie euclidienne. Par contre il n’est pas connu à l’heure actuelle si l’hyperbolicité est une propriété ouverte pour la topologie de Zariski. En particulier, on ne peut pas déduire l’hyperbolicité des hypersurfaces générales à partir d’un exemple d’hypersurface hyperbolique.
Pour le cas N = 3, les premières démonstrations de la conjecture de Kobayashi pour les hyper-surfaces très générales sont dues à McQuillan [55] (pour d> 36) et à Demailly et ElGoul [29] (pour d > 21), et reposent, entre autre, sur les idées de McQuillan sur les feuilles entières d’une feuilletage sur une surface. Cette borne a été améliorée par la suite par Pa˘un (d> 18) dans [66].
Comme nous l’avons déjà mentionné ci-dessus, en vu de la conjecture de Green-Griffiths-Lang, on peut aussi s’intéresser aux sous-variétés algébriques des hypersurfaces générales. Il a été démontré dans une succession de travaux de Clemens [20], Ein [37, 38] et Voisin [79], puis raffiné par Pacienza [65], que pour les bornes ci-dessus, toutes les sous-variétés des hypersurfaces très générales de degré d sont de type général. En particulier, la conjecture de Kobayashi pour les hypersurfaces très générales découlerait de la conjecture de Green-Griffiths-Lang.
Dans [74], Siu a généralisé la méthode variationnelle de Voisin au jets d’ordres supérieurs et a mis en place une stratégie pour démontrer la conjecture de Kobayashi en toute dimension. Cette stratégie a donné lieu a un grand nombre de travaux ces dix dernières années [69, 66, 32, 33, 56, 34, 36, 23] culminant par les travaux de Diverio, Merker et Rousseau [34], qui ont montré que les hypersurfaces
générales H ⊂ PN de degré d> 2(N −1)5 vérifient les conclusions de la conjecture de Green-Griffiths-Lang (les courbes entières sont algébriquement dégénérées). Cette borne a par la suite été améliorée par différents auteurs [27, 4, 22], mais reste très loin des bornes optimales.
Dans l’article [75] Siu a donné plus de détails à la stratégie développée dans [74] afin de conclure la preuve de la conjecture de Kobayashi. Son argument est néanmoins très long et difficile à suivre, et il semblait donc intéressant de chercher à en donner une autre approche.
L’histoire de la conjecture de Debarre est naturellement plus courte. Comme mentionné plus haut, Debarre a montré que les intersections complètes générales de multidegré suffisamment grand et de codimension c> N/2 dans une variété abélienne de dimension N ont un fibré cotangent ample. Bogomolov avait précédemment construit des intersections complètes à fibré cotangent ample dans des produits de variétés à fibré cotangent gros (e.g. des courbes de genre plus grand que deux).
Les premiers résultats dans PN ont été obtenus dans l’article [11], où nous avons utilisé le lien entre la conjecture de Kobayashi et la conjecture de Debarre pour adapter le travaux de Diverio, Merker et Rousseau au cas des intersections complètes de grande codimension, afin d’obtenir, entre autre, le résultat partiel suivant en direction de la conjecture de Debarre:
Théorème 1.10. Soit X ⊂ Pn une intersection complète générale de multi-degré suffisamment grand et de codimension c tel que 2c> n. Alors, ΩX et ample en dehors d’un lieu de codimension au moins 2. En particulier, la conjecture de Debarre est vraie pour les surfaces.
La raison pour laquelle on obtient seulement l’amplitude en dehors d’un lieu de codimension au moins deux est la même que la raison pour laquelle Diverio, Merker et Rousseau n’obtiennent la dégénérescence des courbes entière que dans un lieu de codimension au moins deux, et pas l’hyperbolicité directement. C’est une faiblesse de l’approche de Siu de la méthode variationnelle de Voisin. L’approche de Siu consiste en deux étapes:
(1) Construire une équation différentielle de jet (relative) sur l’hypersurface universelle.
(2) Différentier cette équation différentielle par rapport à des champs de vecteurs «obliques» afin de produire de nouvelles équations différentielles de jets.
L’idée est que si l’on construit suffisamment de telles équations différentielles de jets, on pourra au final conclure à l’hyperbolicité des hypersurfaces générales.
La difficulté provient du fait que pour parvenir à faire la première étape, on utilise soit un argument de type Riemann-Roch (en petite dimension), soit les inégalités de Morse holomorphes de Demailly (plus souples car ne reposant pas sur des annulations en cohomologie). Dans les deux cas, on obtient uniquement l’existence d’une certaine forme différentielle de jets mais on n’obtient pas de contrôle géométrique ni de description explicite.
Cette difficulté nous a poussé à chercher d’autres méthodes pour construire des formes dif-férentielles symétriques et des formes difdif-férentielles de jets sur les variétés intersections complètes. Dans un premier temps, dans l’article [12], nous avons construit explicitement certaines formes différentielles symétriques sur des intersections complètes particulières et comme conséquence de cela nous avons montré que les intersections complètes générales X ⊂ PN de multidegrée (d, . . . , d) (d > 2N + 3) et de grande codimension (c > 3N − 2) ont un cotangent ample. Il faut noter ici que l’amplitude étant une condition ouverte dans la topologie de Zariski, il suffit de construire un exemple (d’une certaine codimension et d’un certain multidegré) pour en déduire le résultat pour les intersections complètes générales (de même codimension et même multidegré).
Cette approche a ensuite été généralisée indépendamment par Xie [84] et dans un travail en collaboration avec Darondeau [14], afin d’atteindre la codimension optimale c > N/2, quitte à prendre des degrés bien plus grands.
En vu du lien entre la conjecture de Kobayashi et la conjecture de Debarre il était alors naturel de généraliser cette approche aux équations différentielles de jets d’ordre supérieur, ce que nous avons fait dans [13].
1.6. Organisation du manuscrit. L’objectif de ce mémoire est de présenter les trois articles [12], [14] et [13] en essayant de mettre en avant l’unité de ces travaux. Nous avons organisé le manuscrit en cinq parties.
1.6.1. Formes différentielles sur les intersections complètes. Dans le chapitre 2, nous présentons l’article [12]. D’un point de vu strictement logique, cette partie n’est pas indispensable à la bonne compréhension de la suite du texte. Mais comme cet article est le point de départ du travail [14], ainsi que de l’article [84], nous avons tout de même décidé de l’incorporer ici.
L’objectif de l’article [12] était de construire des outils permettant de faire des calculs de formes différentielles symétriques sur les variétés intersections complètes de PN afin d’obtenir des résultats en direction de la conjecture de Debarre.
Le point de départ de cette stratégie était d’interpréter l’espace des formes différentielles symétriques holomorphes sur une intersection complète définie par des équations (F1, . . . , Fc) comme le noyaux d’une application linéaire A dépendant explicitement des coefficients de F1, . . . , Fc.
Afin de démontrer l’amplitude du cotangent de la variété définie par (F1, . . . , Fc), on peut alors essayer de procéder en deux étapes.
(1) Expliciter certains éléments du noyaux de A.
(2) Contrôler le lieu base des formes différentielles symétriques ainsi obtenues.
Pour des équations Fi quelconques, il est très difficile d’ implémenter cette stratégie car la taille de la matrice A croit exponentiellement avec N et le degré des polynômes Fi. Cependant, pour des équations particulières, des déformations d’équations de Fermat, ces deux étapes peuvent se résoudre, au moins partiellement, de façon explicite. D’autre part, l’amplitude étant une propriété ouverte, il suffit de construire un exemple d’intersection a cotangent ample pour obtenir la conjecture de Debarre pour les mêmes dimensions et multidegrés. Grace à cela nous pouvons obtenir le résultat suivant :
Théorème 1.11. Soit X ⊂ PN une intersection complète générale de codimension c et de multidegré (d, . . . , d). Si 4c > 3N − 2 et d > 2N + 3, alors ΩX est ample.
L’une des raisons pour laquelle on peut faire le calcul pour les intersections complètes de type Fermat et que formellement, le calcul permettant de construire certaines formes différentielles symétriques particulières est le même que le calcul que l’on devrait faire pour montrer qu’un cer-tain fibré en droites sur une intersection complète Σ ⊂ PN de dimension 0 possède des sections globales. Mais évidement de telles sections existent (la dimension de l’espace des sections globales étant simplement la longueur de Σ), donc ce calcul doit aboutir. Ce calcul doit aussi permettre de construire des formes différentielles sur la variété intersection complète X dont nous sommes parti. Cet argument est l’idée initiale de [14]. Mais pour contrôler les formes différentielles symétriques obtenues de cette manière-là, nous avons pris un point de vue plus géométrique, basé sur l’étude de famille universelle d’intersections complètes de dimension 0.
1.6.2. Familles d’intersections complètes universelles. La section 3 décrit la géométrie de certaines intersections complètes universelles que nous utiliserons de façon cruciale dans la suite. Ces familles remplacent avantageusement la variété Σ mentionnée précédemment pour faire marcher notre ar-gument.
Pour des entiers δ, γ ∈ N∗ on considère la grassmanienne
Gγ(PN, δ) := Grγ H0(PN,OPN(δ)) .
Cette grassmanienne paramétrise naturellement une famille d’intersections complètes Yγ(PN, δ) :=(G, [T ]) ∈ Gγ(PN, δ) | P (T ) = 0 ∀P ∈ G . Sur Y il y a pour tout entiers a, b ∈ Z, un fibré en droites
OYγ(a, b) := q
∗
1OGγ(a) ⊗ q
∗
2OPNJ(b) ,
où q1 :Yγ(PN, δ) → Gγ(PN, δ) et q2 :Yγ(PN, δ) → PN sont les projections canoniques et où OGγ(1)
est le fibré de Plücker Gγ(PN, δ).
Le point clé de toute cette approche est que lorsque γ> N , le morphisme q1 est génériquement fini. En particulier, le fibré OYγ(1, 0) est gros et nef. Donc d’après le théorème de Nakamaye [61], pour un entier m suffisamment grand, le lieu base du fibré OYγ(m, −1), qui coïncide avec le lieu base augmenté deOYγ(1, 0), est précisément le lieu non-fini du morphisme q1, c’est-à-dire la réunion de toutes les fibres de dimension strictement positive de q1.
Cette remarque est essentielle car pour un choix judicieux de variété intersection complète de type Fermat de codimension c, en posant γ = 2c, la traduction dans ce cadre de l’argument formel men-tionné ci-dessus implique que chaque section globale de OYγ(m, −1) induit une forme différentielle symétrique (avec un twist négatif) sur X.
Il est donc essentiel de comprendre la géométrie du lieu non-fini de q1. En fait nous avons juste besoin d’une borne inférieure raisonnable sur la codimension de ce lieu, ce qui découle facilement des travaux de Benoist. Pour des raisons d’effectivité dans nos applications, il nous faudra aussi connaitre la valeur de m nécessaire à la réalisation de l’égalité énoncée ci-dessus. Ce problème a été résolue par Deng dans [30].
1.6.3. Preuve de la conjecture de Debarre. Dans la section 4, nous donnons la preuve de la version simplifiée suivante du résultat obtenu dans [14] en collaboration avec Darondeau.
Théorème 1.12. Soit M une variété projective de dimension N munie d’un fibré en droites très ample OM(1). Soit d > (2N )N +3 et soit c un entier vérifiant N/26 c 6 N − 1. Si H
1, . . . , Hc ∈ |OM(d)| sont des hypersurfaces générales, alors l’intersection complète X = H1∩ · · · ∩ Hc⊂ M a un fibré cotangent ample.
La forme générale de ce résultat permet aussi de prendre des mulitidegrés de la forme un peu plus générale (dδ1, . . . , dδc), où l’entier d dépend du choix de direction (δ1, . . . , δc), mais nous n’avions pas de borne uniforme pour traiter les multidegrés de la forme générale (d1, . . . , dc). D’autre part, soulignons que nous n’avions pas la borne effective d > (2N )N +3 car nous n’avions pas résolu le problème de déterminer l’entier m vérifiant que le lieu base deOYγ(m, −1) coïncide avec le lieu base non-fini de q1 comme dans la section précédente. Deng [30] (voir aussi [31]) a cependant résolu ce problème et a ainsi obtenu une borne effective.
Indépendamment, Xie a donné une preuve différente de ce même résultat (avec une borne effective et M = PN). Mais aussi, Xie a donné un argument permettant de déduire de ce résultat (ou plutôt d’une très légère généralisation technique de ce résultat, dont la preuve est identique), une borne uniforme de l’ordre de N34N
2+o(N2log N )
sur le multidegrée des intersections complètes vérifiant la conclusion de la conjecture de Debarre. Nous donnerons dans la section 4.10 quelques brèves explications des idées de Xie. Mettant tout cela ensemble on obtient le résultat suivant
Théorème 1.13 (Xie/Darondeau-B/Deng). Soit M une variété projective de dimension N munie d’un fibré en droites très ample OM(1). Soit c un entier vérifiant N/2 6 c 6 N − 1 et soit d1, . . . , dc > 16(2N )4N +1. Si H1 ∈ |OM(d1)|, . . . , Hc ∈ |OM(dc)| sont des hypersurfaces générales, alors l’intersection complète X = H1∩ · · · ∩ Hc⊂ M a un fibré cotangent ample.
Afin de mettre en avant l’unité des articles [12], [14] et [13], nous avons légèrement modifié l’approche de l’article original [14]. Cette modification est purement technique et ne change en rien l’idée globale de la preuve que nous résumons ici. Comme déjà mentionné ci-dessus, il suffit de construire un exemple. Notre exemple est le suivant (supposons pour simplifier que M = PN muni des coordonnées homogènes [z0 : · · · : zN]). Pour des entiers ε, δ, r ∈ N∗ et pour 16 j 6 c nous considérons des équations de la forme
(1) Fj = X i0+···+in=δ aj,i0···inz (r+1)i0 0 · · · z (r+1)iN N = X |I|=δi aj,Iz(r+1)I ∈ H0(PN,OPN(ε + (r + 1)δ)).
Ici, les aj,I sont des polynômes homogènes de degré ε.
Localement, on peut calculer la différentielle Fj et on obtient
dFj loc
= X
|I|=δ α1j,IzrI
où α1j,I est une 1-forme définie localement, et où nous avons abusivement utilisé zi à la place de cordonnées locales. En notant α0j,I = aj,IτI et en considérant le changement de variables Ti = τir, on obtient (localement) les écritures
(2) F (aj) = X |I|=δ α0j,ITI, dF (aj) loc = X |I|=δ α1j,ITI.
En interprétant correctement ces équations, on obtient, pour des choix génériques de paramètres aj,I, un morphisme P(ΩX) Ψ // Y2c G ,
où nous avons noté X = (F1 = 0) ∩ · · · ∩ (Fc= 0). De plus, nous avons
(3) Ψ∗OY2c(m, −1) =OP(ΩX)(cm) ⊗ π∗OX 2mc(ε + δ) − r,
où π : P(ΩX) → X est la projection canonique. En particulier, pour r > 2m(ε + δ) on peut construire des formes différentielles symétriques sur X, s’annulant le long d’un diviseur ample, en tirant en arrière des sections globales de OY2c(m, −1). Mais grâce à l’étude fait dans le chapitre 3, on peut non seulement construire de telles sections, mais aussi contrôler dans une certaine mesure leur lieu base. Il suffit alors de comprendre le comportement du morphisme Ψ pour conclure. Il y a certaines difficultés techniques qui proviennent de la forme très particulière de nos équations, qui nous force à traiter à part les lieux où les zi s’annulent. Ce problème survenait déjà dans [12] et il semble difficile de s’en débarrasser.
1.6.4. Équations différentielles de jets wronskiennes. Le chapitre 5 est consacrée aux équations différentielles de jets «wronskiennes». Dans [13], nous avons introduit pour tout fibré en droites L sur une variété X et pour toutes sections globales σ0, . . . , σk∈ H0(X, L) une équation différentielle de jets «wronskienne»
W (σ0, . . . , σk) ∈ H0 X, Ek,k(k+1) 2
ΩX ⊗ Lk+1 . 14
Evidement, en vu du twist positif Lk+1, on ne peut pas utiliser directement ces objets pour déduire des propriétés d’hyperbolicité, mais ces équations différentielles permettent, dans certaines situa-tions, d’en construire d’autres plus élaborées avec un twist négatif qui nous permettront de déduire des propriétés d’hyperbolicité.
En utilisant la tour de jets de Demailly-Semple, ces wronskiens induisent un faisceau d’idéaux wk sur Xk (le k-ème étage de la tour des jets de X), qui est indépendant de L, pourvu que L soit suffisamment ample. En éclatant ce faisceau d’idéaux, nous obtenons une modification de la tour de jets νk: bXk→ Xkqui possède en un certain sens de meilleures propriétés de positivité. En effet, sur Xk, il existe un fibré tautologique OXk(1) qui n’est malheureusement pas relativement ample (et même pas relativement nef) par rapport à Xk→ X. Par contre, en tirant en arrière ce fibré sur
b
Xk et en le tensorisant par le diviseur exceptionnel Fk, nous obtenons OXbk(1) := ν
∗
kOXk k(k + 1)/2 ⊗OXbk(−Fk)
qui est relativement nef (et même relativement globalement engendré). L’étude des propriétés de positivité de ce fibré O
b
Xk(1) était le point clé de la preuve de la conjecture de Kobayashi donnée dans [13].
Dans ce manuscrit, au lieu de présenter les choses de la sorte nous avons décidé de donner une approche qui nous semblait plus directe, en essayant de construire directement l’espace de jets naturel adapté aux équations différentielles de jet wronskiennes. Nos motivations étaient les suivantes.
(1) Sans doute la motivation principale de cette approche provient de l’article de Deng [30]. En effet, dans cet article, pour rendre effective notre démonstration de la conjecture de Kobayashi, Deng a observé que notre construction de Wronksien provenait en fait d’un morphisme
Λk+1JkL → E
k,k(k+1)2 ΩX ⊗ L k+1.
Cette observation est importante pour plusieurs raisons. Premièrement, cela montre que le faisceaux d’idéaux wronskien wkne dépend que des k-jets des sections de L et cela implique que ce faisceaux d’idéaux est indépendant de L dès que L sépare les k-jets en tout point de X. D’autre part, cela repose sur une dualité très naturelle entre k-jets de courbes et k-jets de sections. Nous avons donc tenté de pousser un peu plus loin l’idée de Deng en introduisant les formes différentielles wronskiennes non pas comme les sections d’un sous-fibré de E
k,k(k+1)2 ΩX ⊗ L
k+1 mais (et c’est bien entendu équivalent) comme les sections d’un quotient de Λk+1JkL. Cet exercice nous a permis de clarifier certaines choses sur la géométrie des formes différentielles wronskiennes ainsi que sur la géométrie de bXk.
(2) Si le fibré en droites L est très ample, et induit donc un plongement X ,→ PN pour un certain entier N , et si les sections σ0, . . . , σksont linéairement indépendantes et se prolongent donc en une base de H0(X, L), alors pour tout k-jet jkf , l’évaluation W (σ0, . . . , σk)(jkf ) correspond à l’une de coordonnées de Plücker de la k-ème courbe associée au germe f : (C, 0) → PN. Rappelons que si f : C → PN est une courbe entière, la k-ème courbe associée est la courbe
f ∧ f0∧ · · · ∧ f(k): C → Gr
k(PN) ⊂ P(Λk+1CN +1),
en supposant que ce morphisme soit bien défini. Ceci implique que les wronskiens ne peuvent pas distinguer deux germes de courbes qui ont la même courbe associée. On peut donc naturellement se poser la question de trouver un espace de jets donc les points serait les classes d’équivalence de jets jkf ∈ JkX modulo la relation d’équivalence serait jkf ∼ jkg
si et seulement pour tout plongement X ,→ PN les courbes associées sont les même quand évaluée au point 0:
f ∧ · · · ∧ f(k)(0) = g ∧ · · · ∧ g(k)(0).
A priori il n’est pas clair quel est cet objet. Mais en se restreignant à l’ouvert JkXreg =jkf ∈ JkX | f0(0) 6= 0
cette relation d’équivalence correspond très précisément à la relation d’équivalence induite par reparamétrisation qui a été déjà été mentionné ci-dessus. Néanmoins, l’approche par les courbes associées nous amène naturellement à construire une autre compactification du quotient JkXreg/Gk. Il s’avère que nous retrouvons ainsi le schéma de Hilbert des sous-schémas curvilignes de longueur k + 1 de X.
Cela montre au passage que ce schéma de Hilbert curviligne est aussi la contraction (fibre à fibre) du fibréO
b
Xk(1), et donc la variété bXk donne un lien entre la tour de jets de Demailly-Semple et le schéma de Hilbert curviligne, qui sont deux compactifications naturelles et géométrique du quotient JkXreg/Gk. En un certain sens, la preuve de la conjecture de Kobayashi que nous présenterons plus tard se fait plus naturellement sur cette deuxième compactifiaction et justifie à notre avis de la présenter de cette manière. Notons aussi que l’étude et l’utilisation du schéma de Hilbert curviligne dans des problèmes d’hyperbolicité apparait déjà dans les travaux de Berczi [3, 6, 4, 5].
(3) La théorie des courbes associées a aussi joué un rôle très important dans le développement de la théorie de Nevanlinna. Le second théorème de la théorie de Nevanlinna a été généralisé par Cartan en dimension supérieure [19]. Ce deuxième théorème de Cartan reste à ce jour l’une des clés de voute de la théorie de Nevanlinna. Ahlfors [1] (ignorant l’existence de la preuve de Cartan), en a donné une autre démonstration, basé très largement sur la théorie des courbes associées, ainsi que des idées de Weyl-Weyl [83], qui comprenaient les résultats de type second théorème de Nevanlinna pour les courbes associées comme des versions transcendantes des formules de Plücker. Cette démonstration (d’une très grande technicité) a par la suite été reprise par différents auteurs dont Cowen et Griffiths [21], qui prenaient le point de vu de géométrie différentielle pour démontrer ces résultats. Bien plus récemment, Vojta [81] a réussi à donner un point de vu plus arithmétique qui s’appuie sur les inégalités tautologiques de McQuillan. Cette approche est de notre point de vue très satisfaisante car certaines des relations cruciales de la théorie d’Ahlfors-Weyl sont alors comprises comme des relations tautologiques vérifiées par certains fibrés en droites sur certaines variétés de drapeaux. Il était alors tentant d’essayer d’utiliser une partie de cet argument dans notre situation afin de donner un éclairage nouveau sur les équations différentielles wronskiennes. C’est ce que nous faisons dans la section 5.11, où nous donnons, dans le cas particulier des équations différentielles wronskiennes, une démonstration du théorème fondamental 1.7 basée sur la formulation de Vojta de la théorie d’Ahlfors-Weyl.
(4) Notre dernière motivation, qui pour l’instant est purement spéculative, provient de l’arithmétique. En effet, il est conjecturé que si X est une variété définie sur un corps de nombre K, alors X(C) est hyperbolique si et seulement si X(L) est finie pour toute extension finie L de K. Cette conjecture est due à Lang et est une très vaste généralisation du théorème de Faltings (anciennement conjecture de Mordell). Il est remarquable que cette conjecture soit encore ouverte même pour les variétés à fibré cotangent ample.
Il n’existe pas de version arithmétique du théorème 1.7, et donc toutes les techniques développées ici pour l’étude des courbes entières ne donnent pas de contrôle sur l’étude des points rationnels. Néanmoins, en un certains sens les wronskiens ont aussi été abondamment utilisé en approximation diophantienne et il ne semble pas hors d’espoir qu’en utilisant des
équations de jets wronskiennes et non des équations différentielles de jets générales, il soit possible d’importer dans ce cadre certains arguments d’approximation diophantienne, afin d’obtenir des informations non-triviales sur le comportement des points rationnels. Notons que c’était aussi une des motivation de Vojta, qui cherchait à donner une preuve unifiée du second théorème de Cartan et du théorème du sous-espace de Schmidt via la théorie d’Ahlfors-Weyl.
1.6.5. Preuve de la conjecture de Kobayashi. Dans le chapitre 6, nous présentons une preuve de la conjecture de Kobayashi.
Théorème 1.14. Soit M une variété projective de dimension N , munie d’un fibré en droites très ampleOM(1). Pour d > N2N +3(N + 1) les hypersurfaces générales H ∈ |OM(d)| sont hyperboliques. La preuve est essentiellement la même que celle de [13], mais nous avons remplacé ici l’utilisation de la variété ˆXk(l’éclatement de la tour de Demailly Semple le long du faisceau d’idéaux wronskien) par le schéma de Hilbert curviligne que nous notons ici AsskX afin de mettre en avant le lien avec la théorie des courbes associées. Grâce à ce qui a été fait dans le chapitre 5, la démonstration est une traduction assez directe de la preuve de la conjecture de Debarre donnée au chapitre 4. Là encore, pour une hypersurface H de type Fermat, on construit un morphisme
Ψ : AsskH →Yk+1
vérifiant que toute section globale de OY2c(m, −1) se tire en arrière en une forme différentielle de jets wronskienne sur H qui, pour de bons choix de paramètres, a de plus un twist négatif. On en déduit alors qu’un certain fibré tautologique sur AsskH est ample. Comme l’amplitude est une propriété ouverte, cette propriété va aussi être vraie pour une hypersurface générique (de même degré) et grâce au théorème d’annulation fondamental, on en déduit que les hypersurfaces générales sont hyperboliques.
Là encore, soulignons que dans l’article original [13], la preuve n’était pas effective sur le degré car deux de nos arguments ne l’étaient pas. Deng a rendu ces deux arguments effectifs dans [31] : l’un des arguments a été rendu effectif grâce au théorème 3.5, et l’autre a été rendu effectif car Deng a montré que le faisceau d’idéaux wronskien ne dépendait que des k-jets de L. Nous n’avons plus besoin ici de ce deuxième point car nous avons incorporé l’idée de Deng directement dans la construction de AsskX.
1.6.6. Développement récents. La dernière partie et consacrée à une brève discussion de travaux plus récents obtenues par divers auteurs sur des problématiques reliées. Nous décrierons ainsi succinctement les travaux suivants.
(1) Les travaux de Deng sur la conjecture de Diverio Trapani.
(2) Les analogues logarithmiques des conjectures de Kobayashi et Debarre que nous avons con-sidéré dans un travail en commun avec Deng.
(3) La preuve de Demailly de la conjecture de Kobayashi.
(4) Les travaux de Mohsen sur les propriétés de courbures des intersections complètes générales. (5) Les travaux de Riedl et Yang sur la dérivation de la conjecture de Kobayashi des travaux de
Diverio-Merker-Rousseau.
1.7. Notations et convention. Dans ce mémoire, nous travaillons sur le corps de nombres com-plexes C.
Étant donné un fibré vectoriel E sur une variété complexe X, la notation P(E) sera utilisé pour désigner le projectivisé des quotients de rang 1 de E et P (E) sera utilisé pour désigner le projectivisé
des droites de E, de sorte que P(E) = P (E∨) où E∨ désigne le dual de E. De manière analogue, pour tout entier k, Grk(E) désigne la grassmanienne des quotients de rang k de E et Grk(E) la grassmanienne des sous-espaces linéaires de dimension k de E.
Le fibré tangent de X est noté T X, le fibré cotangent est noté ΩX et le fibré canonique est noté KX. Si L est un fibré en droites sur X et σ ∈ H0(X, L) une section globale, alors (σ = 0) ⊂ X désigne le diviseur défini par σ.
Si on se donne une famille π :X → T , nous dirons qu’une propriété est vraie pour un membre générique ou général de cette famille si il existe un ouvert de Zariski U ⊂ T non-vide tel que Xt:= π−1({t}) vérifie cette propriété pour tout t ∈ U . En particulier, nous dirons qu’une propriété est vraie pour une hypersurface générale de degré d de PN si il existe un ouvert de Zariski non-vide U ⊂ |OPN(d)| tel que la propriété en question soit vérifiée pour tout élément H ∈ U .
Nous dirons qu’une propriété est vraie pour un membre très générique ou très général de cette famille si il existe une famille dénombrable (Un)n∈N d’ouverts de Zariski non-vides tel que cette propriété est vraie pour tout t ∈T
n∈NUn.
1.8. Notation and conventions. In this manuscript, we will work over the field of complex num-bers C.
Given a vector bundle E on a complex variety X, we will denote by P(E) the projectivised bundle of rank one quotients of E, and we will denote by P (E) the projectivised bundle of lines in E, so that P(E) = P (E∨) where E∨ denotes the dual of E. Similarly, for any integer k, Grk(E) will denote the Grassmaniann bundle of rank k quotients of E, and Grk(E) will denote the Grassmaniann bundle of rank k subspaces of E.
The tangent bundle of X will be denoted by T X, the cotangent bundle will be denoted by ΩX and the canonical bundle will be denoted by KX.
Given family π :X → T , we will say that a property holds for a general or a generic member of this family, if there exists a non-empty Zariski open subset U ⊂ T such that Xt := π−1({t}) satisfy this property for all t ∈ U . In particular, we will say that a property holds for a general hypersurface of degree d in PN if there exists a non-empty Zariski open subset U ⊂ |O
PN(d)| such that this property holds for all H ∈ U.
We will say that a property holds for a very general or a very generic member of this family, if there exists a countable family (Un)n∈N of non-empty Zariski open subset of T such that Xt:= π−1({t}) satisfy this property for all t ∈T
n∈NUn.
2. Symmetric differential forms on complete intersection varieties
2.1. Motivation. Our first motivation was the study of the Debarre conjecture: a general complete intersection in PN, of large enough multidegree and whose codimension is larger than its dimension, has ample cotangent bundle. In order to prove that a variety has ample cotangent bundle. The first step is to prove that it has (many) symmetric differential forms. Therefore one is led to consider the following problem:
Given a smooth complete intersection X ⊂ PN of codimension c defined by equations F1, . . . , Fc, and given an integer m > 0, describe the group H0(X, SmΩX) in terms of the defining equations F1, . . . , Fc.
The questions that one might ask are the following. (1) Can one describe completely H0(X, SmΩX)? (2) Is H0(X, SmΩX) 6= 0?
(3) If H0(X, SmΩX) 6= 0, can one construct explicitly a non-zero element ω ∈ H0(X, SmΩX)? Let us first treat the simplest case, when c = 1 and N = 2. Consider a smooth projective plane curve C ⊂ P2 of degree d> 3. The genus of C is
g(C) = (d − 1)(d − 2) 2 > 2.
Therefore H0(C, ΩC) 6= 0. It is a classical exercise to describe explicitly a holomorphic differential 1-form on C. Let us present here three approaches to this.
The quickest is to use the adjunction formula. Since C is of dimension one, ΩC = KC, and by the adjunction formula one obtains KC ∼=OC(d − 3). One has the restriction short exact sequence
0 →OP2(−3) →O
P2(d − 3) →OC(d − 3) → 0. Since H0(C,OP2(−3)) = H1(C,O
P2(−3)) = 0, it follows that
H0(P2,OP2(d − 3)) ∼= H0(X,OC(d − 3)) ∼= H0(C, ΩC).
It is however legitimate to wonder how to explicitly describe the holomorphic 1-form ωP associated to an element P ∈ H0(P2,OP2(d−3)) ∼= C[X0, X1, X2] under the above isomorphism. This can be done for instance by giving an explicit description of the isomorphism KC ∼= KP2⊗OC(d) ∼=OC(d − 3). The most naive way to understand H0(C, ΩC), which is merely a more down to earth point of view on the previous approach, is to make an explicit local computation. This is a classical exercise. Take projective coordinates [x0: x1 : x2] on P2such that C is covered by the open sets U0 = (x06= 0) and U1= (x1 6= 0). On U0, consider the affine coordinates y1 = xx10 and y2= xx20 and on U1 consider the affine coordinates z0 = xx01 and z2 = xx21. Let F ∈ C[x0, x1, x2]d be such that C = (F = 0) and let f ∈ C[y1, y2] and g ∈ C[z0, z2] be the dehomogeneisations of F in U0 and U1 respectively.
On C ∩ U0 one has the relation
fy1dy1+ fy2dy2= 0.
Since C is smooth, C ∩ U0 is covered by the open sets (fy1 6= 0) and (fy2 6= 0). On the intersection (fy1 6= 0) ∩ (fy2 6= 0) one has dy1 fy2 = −dy2 fy1 . 19
In particular for any polynomial Q0 ∈ C[y1, y2] of degree k, the 1-form Q0
dy1 fy2
on C ∩ U0∩ (fy2 6= 0) extends as a holomorphic 1-form on C ∩ U0. To see wether it also extends on the entire C, it remains to verify that it is holomorphic at the points on C ∩ (x0= 0). We may suppose (up to choosing our coordinates appropriately) that C ∩ (x0 = 0) ⊂ (Fx2 6= 0). Therefore, one can use the relations z0 = y11, z2 = yy20, dy1 = −z12
0dz0
, fy2 =
1
z0d−1gz2 and the fact that there exists a polynomial Q1∈ C[z0, z1] such that Q0(y1, y2) = z1k
0 Q1(z0, z2) to observe that Q0 dy1 fy2 = −z0d−3−kQ1 dz0 gz2 .
Therefore, as soon as k6 d − 3, the form Q0dyf 1
y2 extends as a holomorphic 1-form on C. To see that all holomorphic 1-forms on C are of this type, it suffices to observe that the form dy1
fy2 is nowhere vanishing on C ∩ U0.
The last approach we mention, comes from a careful study in cohomology. The bundle ΩC is determined by the following exact sequence:
0 →OC(−d) → ΩP2|C → ΩC → 0.
It is not hard to see that H0(C, ΩP2|C) = 0 and therefore one has an inclusion H0(C, ΩC) ,→ H1(C,OC(−d)).
On the other hand, the restriction exact sequence 0 →OP2(−2d) →O
P2(−d) →OC(−d) → 0 yields an inclusion
H1(C,OC(−d)) ,→ H2(P2,OC(−2d)). One can show that under the induced inclusion
H0(C, ΩC) ,→ H2(P2,OP2(−2d)), the space H0(C, ΩC) is identified with the kernel of the map
Ψ : H2(P2,OP2(−2d)) → H2(P2,O P2(−d − 1)) ⊕3 ω 7→ (ω · Fx0, ω · Fx1, ω · Fx2) where ·Fxi : H 2(P2,O P2(−2d)) → H 2(P2,O
P2(−d − 1)) is the map induced by ·Fxi :OP2(−2d) → OP2(−d − 1). Observe that from the smoothness of C and the Euler formula
deg(F )F = x0Fx0 + x1Fx1 + x2Fx2
it follows that the affine open subsets Ux0 := (Fx0 6= 0), Ux1 := (Fx1 6= 0) and Ux2 := (Fx2 6= 0) cover P2. Therefore one can use the covering U = (Ux0, Ux1, Ux2) to describe
H2(P2,OP2(−2d)) ∼= ˇH2(U,O
P2(−2d))
in Čech cohomology. For any P ∈ C[x0, x1, x2]d−3, since (d − 3) − 3(d − 1) = −2d, one obtains an element
P Fx0Fx1Fx2
∈ ˇH2(U,OP2(−2d)). But on the other hand
P Fx0Fx1Fx2 · Fx0 = P Fx1Fx2 = 0 ∈ ˇH2(U,OP2(−d − 1)). 20
By doing the same computation for ·Fx1 and ·Fx2 it follows that
ωP = P Fx0Fx1Fx2
∈ ker Ψ ∼= H0(C, ΩC).
It is not too hard to see that in fact all the elements of ker Ψ are of this form. Therefore we ob-tain once again the isomorphism H0(C, ΩC) ∼= C[x0, x1, x2]d−3. Moreover, to obtain an explicit description of ωP as a 1-form on C, it suffices to follow carefully how the map H0(C, ΩC) ,→ H2(P2,OP2(−2d)) is constructed.
Let us now compare those three approaches. The first one relies critically on the fact that ΩC ∼= KC, which of course only holds in dimension one and therefore cannot be generalized in higher dimensions.
It might be possible to generalize the second approach to higher dimensions, but it seems very difficult. From our point of view, it requires some serious computational skills to guess the correct local formula for a symmetric differential form that extends holomorphically at infinity. Let us however mention a work of Merker [57] and a work of Vojta [82], where the authors are able to perform such a computation on some explicit examples.
The last approach is certainly the most convoluted one of the three, however it is the only one that we were able to generalize in higher dimensions, albeit in a very partial way. The purpose of the rest of this chapter is to state a generalization of the third approach and then to apply it to prove a partial result towards the Debarre conjecture.
2.2. Cohomological description. In this section, we state, without proof, the description of the space of (twisted) symmetric differential forms on a complete intersection variety in PN in terms of its defining equations. The proof is basically just a careful study of the coboundary maps appearing in different long exact sequences and is given in [12].
2.2.1. The tilde cotangent bundle. We will use the bundle eΩ, studied in particular by Bogomolov and DeOliveira in [8], but also by Debarre in [24]. In some way, the bundle eΩ allows us to work naturally in homogenous coordinates. As we shall see later, the bundle eΩX is just the bundle of 1-jets of a polarization OX(1) on X (see Section 5.9.5). We will however not use this here and therefore we present this bundle from a more geometric point of view.
Consider PN = P(CN +1) with its homogenous coordinates [Z0 : . . . : ZN]. Let X ⊆ PN be a smooth subvariety of dimension n. We denote by γX the Gauss map
γX : X → Gr(n, PN) x 7→ TxX
where TxX ⊂ PN is the embedded tangent space of X at x, and where Gr(n, PN) denotes the grassmannian of n-dimensional linear projective subspaces of PN. LetSn+1denote the tautological rank n + 1 vector bundle on Gr(n, PN). Then define
e
ΩX := γX∗Sn+1∨ ⊗OX(−1).
We refer to this bundle as the tilde cotangent bundle of X, and we refer to a holomorphic section of SmΩeX as a tilde symmetric differential form. Observe that one has a natural identification
e ΩPN ∼= CN +1⊗O PN(−1) ∼= N M i=0 OPN(−1)dZi. (4) 21
Therefore, given any homogenous degree e polynomial F ∈ C[Z0, . . . , ZN] one can define an element dF :=PN
i=0∂Z∂FidZi ∈ H
0(PN, eΩ
PN(e)). This element induces a map ·dF :O
PN → eΩPN(e). (5)
One easily verifies that if X ⊆ PN is a smooth subvariety and if F defines a hypersurface H such that Y := X ∩ H is a smooth hypersurface in X then the above map fits into the following exact sequence
0 →OY(−e) ·dF
→ eΩX|Y → eΩY → 0. (6)
We refer to it as the tilde conormal exact sequence. On the other hand, let bX ⊆ CN +1\ {0} be the cone above X, and let ρX = bX → X be the natural projection. Observe that ρ∗XγX∗Sn+1 = T bX. The differential dρX : T bX → ρ∗XT X is not invariant under the natural C∗ action on bX because for any x ∈ bX, any ξ ∈ TxX and any λ ∈ Cb ∗, dρX,λxξ = 1λdρX,xξ. We can compensate this by a twist by OX(−1) as in the following
γX∗Sn+1,x → TxX ⊗OX,x(−1) (x, ξ) 7→ (x, dρX,xξ ⊗ x).
This yields an exact sequence 0 →OX(−1) → γX∗Sn+1→ T X(−1) → 0 which we twist and dualize to get
0 → ΩX → eE ΩX E
0
→OX → 0. (7)
We refer to it as the Euler exact sequence. Note that the mapE can be understood very explicitly. Indeed, if we consider the chart CN = (Z0 6= 0) ⊂ PN, with zi = ZZ0i for any i ∈ {1, . . . , N }, then E (dzi) = Z0dZiZ−Z2 idZ0
0 . Let us mention that in our computations we often write dzi
instead ofE (dzi) for simplicity. Those two exact sequences fit together in the following commutative diagram
0 0 y y OY(−e) OY(−e) y y 0 −−−−→ ΩX|Y −−−−→ ΩeX|Y −−−−→ OY −−−−→ 0 y y 0 −−−−→ ΩY −−−−→ ΩeY −−−−→ OY −−−−→ 0. y y 0 0 (8)
2.2.2. Statement of the result. Let us now consider the following setting. Fix integers γ 6 c 6 N , and integers e1, · · · , ec∈ N∗. Consider polynomials Fi ∈ H0(PN,OPN(ei)) for 1 6 i 6 c. For any 1 6 i 6 c, write Hi = (Fi = 0) and Xi = H1∩ · · · ∩ Hi. Let also Y = Xγ and X = Xc. Suppose that for any 16 i 6 c, Xi is a smooth complete intersection of codimension i in PN.
Theorem 2.1. Same notation as above. Take m ∈ N, take an integer a < m+γ−1, let q := N −c−γ and b :=Pc
i=1ei+ Pγ
i=1ei. Then one has a commutative diagram Hq(X, Sm+γΩY|X(a)) // E ϕ ** HN PN, SmΩPN(a − b) E HqX, Sm+γΩeY|X(a) ϕ˜ //HN PN, SmΩe PN(a − b) .
Such that all the arrows are injective and such that: (1) im ˜ϕ = (Tc
i=1ker(·Fi))T (Tri=1ker(·dFi)). (2) im ϕ = im ˜ϕ ∩ imE .
Here the the vertical maps E are just the maps induced in cohomology by the Euler exact sequence. The arrows ϕ and ˜ϕ can be explicitly described. For instance ˜ϕ is the map obtained by composing the following chain of (injective) coboundary maps
Hq X, Sm+γΩeY|X(a) δ·dFγ ,→ Hq+1 X, Sm+γ−1ΩeXγ−1|X(a − eγ) · · · · δ·dF1 ,→ HN −c X, SmΩe PN|X(a − e1− · · · − eγ) δ·Fc ,→ HN −c+1 X, SmΩe PN|Xc−1(a − e1− · · · − eγ− ec) · · · · δ·F1 ,→ HN X, SmΩe PN(a − e1− · · · − eγ− ec− · · · − e1).
Where each of the maps δ·dFi is obtained by looking at the suitable coboundary map in the long exact sequence associated to the suitable twist of the exact sequence obtained by taking the symmetric power of the exact sequence
0 →OXi(−ei)
·dFi
→ eΩXi−1|Xi → eΩXi → 0.
Each of the the maps δ·Fi is obtained by looking at the suitable coboundary map in the long exact sequence associated to the suitable twist of the restriction exact sequence
0 →OXi−1(−ei)
·Fi
→OXi−1 →OXi → 0.
The important thing to note about this result, is that it gives a way to describe the vector space Hq(X, Sm+rΩY|X(a)) as a subspace of HN
PN, SmΩe
PN(a − b)
, that this last space is easily de-scribed, and that one can precisely determine, in terms of the defining equations of X, what this subspace is.
2.2.3. Descrtiption in Čech cohomology. Let us now explain how to use Čech cohomology to make Theorem 2.1 explicit. We use the standard homogenous coordinates [Z0 : . . . : ZN] on PN and the standard affine subsets Ui := (Zi 6= 0) ⊂ PN. Let U := (Ui)06i6N. Recall, see for example [46], that if a> N + 1 then HN(PN,OPN(−a)) ∼= ˇHN(U,O PN(−a)) ∼= M i0,...,iN>1 i0+···+iN=a 1 Zi0 0 · · · Z iN N · C. (9) 23
Recall also that eΩPN =LNi=0O
PN(−1)dZi = V ⊗OPN(−1), where V = LN
i=0C · dZi. Now take an integer m> 0 and a < m − N − 1. We have
HN PN, SmΩe PN(a) ∼ = SmV ⊗ HN PN,OPN(a − m) ∼ = SmV ⊗ M i0,...,iN>1 i0+···+iN=m−a 1 Zi0 0 · · · Z iN N · C. Therefore an element of HN PN, SmΩe PN(a)
can be thought of as an element of the form
ω = X J,I∈NN +1, I>1 |J|=m, |I|=m−a ωJIdZ J ZI .
Where ωJI ∈ C and where 1 := (1, . . . , 1) ∈ NN +1. If K = (k0, . . . , kN) and J = (j0, . . . , jN) are both in NN +1 we write K > J if ki > ji for all 06 i 6 N. We also use the standard multi-index notation: if I = (i0, . . . , iN) ∈ NN +1 then ZI := Z0i0· · · Z iN N and dZI:= dZ i0 0 · · · dZ iN N .
The maps ·F and ·dF are explicitly described as follows. Start with a monomial ZM in HN(PN,OPN(e)) of degree e, where M ∈ NN +1. Take m as above. The multiplication by ZM induces the map
·ZM : HN PN, SmΩe PN(a) → HNPN, SmΩe PN(a + e) ω = dZZIJ 7→ ω · ZM = dZJ ZI−M if I − 1 > M 0 if I − 1 M.
If we take any F ∈ H0(PN,OPN(e)), it suffices to decompose F as a sum of monomials and extend the above description by linearity. Similarly, for dF =PN
i=0∂Z∂FidZi, we just decompose it as sums of degree e − 1 monomials ZM multiplied by some dZ
i and then extend by linearity the following description ·ZMdZ i: HN PN, SmΩe PN(a) → HNPN, Sm+1Ωe PN(a + e) ω = dZZIJ 7→ ω · ZMdZi = dZJdZ i ZI−M if I − 1 > M 0 if I − 1 M.
2.3. Symmetric differentials on Fermat type complete intersections. Because the dimen-sion of the spaces HN involved in Theorem 2.1 are exponential in e1, . . . , ec it is in general very hard to compute the kernel of the map ˜ϕ. However, for some particular choice of equations, and by restricting our attention to suitable subspaces of those spaces HN, it is possible to construct some symmetric differential forms in this way. The purpose of this section it to illustrate this for deformations of Fermat type equations.
The setting is the following. We fix N, c, ε, e, a ∈ N such that N > 2, N > c > N2, a> 0, ε > 0, e > a + N (ε + 1) + 1, and set r := e − 1, e0 := ε + e and n := N − c. Let
Aε:= C[Z0, . . . , ZN]ε= H0(PN,OPN(ε)). For any s = (s0, . . . , sN) ∈ AN +1, we consider
(10) Fs:= N X i=0 siZie∈ C[Z0, . . . , ZN]e0 and Hs= (Fs= 0). 24
Observe that one can write (11) Fs= N X i=0 ai(si)Zir and dFs= N X i=0 αi(si)Zir, where ai(si) = siZi and αi(si) = Zidsi+ esidZi.
We will now intersect several such equations. For any 1 6 j 6 c, we take sj ∈ AN +1ε such that for any 1 6 p 6 c and for any2 I := (i1, . . . , ip) ∈ {1, . . . , c}6=p, the set XI := Hsi1 ∩ · · · ∩ Hsip is a smooth complete intersection variety. Of course, this last condition holds if the sij’s are general. We also denote X := X(1,...,c). As we shall see in the following statement, if e> a + N ε + N + 1, then for any polynomial P of degree
deg P = e − a − N ε − N − 1, we can consider the element
P Zr
0· · · ZNr
∈ ˇHN(U,OPN(−a − N e0)) .
Because of the powers Zir that appear in the expression of Fsj and dFsj one easily sees that those element are in the kernel of the map ˜ϕ of Theorem 2.1. Let us write this properly. For any i ∈ {0, . . . , n} set Ui:= (Zi6= 0), U = (Ui)06i6N and UX := (Ui∩ X)06i6N, UX is an open covering of X.
Lemma 2.2. With the above notation, for any I = (i1, . . . , in) ∈ {1, . . . , c}n6=, and for any degree e−a−N ε−N −1 homogeneous polynomial P ∈ C[Z0, . . . , ZN], there exists a non-zero element ˜ωI,P ∈ H0(X, SnΩeX(−a)) such that, when computed in Čech cohomology one has ˜ωI,P = (˜ω
I,P 0 , . . . , ˜ω I,P N ) ∈ ˇ H0(UX, SnΩeX(−a)) with ˜ ωI,Pj = (−1) jP Zr j a0(s10) · · · aj−1(s1j−1) aj+1(s1j+1) · · · aN(s1N) .. . ... ... ... a0(sc0) · · · aj−1(scj−1) aj+1(scj+1) · · · aN(scN) α0(si01) · · · αj−1(sij−11 ) αj+1(sij+11 ) · · · αN(siN1) .. . ... ... ... α0(si0n) · · · αj−1(sij−1n ) αj+1(sij+1n ) · · · αN(siNn) .
Proof. For simplicity, for any i ∈ {1, . . . , N } and any j ∈ {1, . . . , c}, we write aji := ai(sji), αji := αi(sji), Fj = Fsj and Hj = Hsj. As in the statement, take I = (i1, . . . , in) ∈ {1, . . . , c}n6=, and take (in+1, . . . , ic) ∈ {1, . . . , c}c−n6= such that {i1, . . . , ic} = {1, . . . , c}. For any j ∈ {0, . . . , c} write Ij = (i1, . . . , ij). We can apply Theorem 2.1 with X = Hi1 ∩ · · · ∩ Hic, γ = n and m = 0. Here the order in which we intersect the different hypersurfaces to obtain X is crucial. We obtain an injection H0X, SnΩeXIn|X ⊗OX(−a) ϕ˜ → HN PN,OPN(−a − N e0) such that im( ˜ϕ) = c \ j=1 ker(·Fj) \ n \ j=1 ker(·dFij) . (12)
2. Given any finite set of integers E ⊂ N, and any positive integer k, we denote by E6=k :=
(a1, . . . , ak) ∈ Ek | ai6= aj, ∀i 6= j and E<k :=(a1, . . . , ak) ∈ Ek | ai6= aj, ∀i < j
