Affectation des vols aux appareils d'une compagnie arienne avec prise en compte des contraintes de maintenance

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arienne avec prise en compte des contraintes de

maintenance

Hasan Murat Afsar

To cite this version:

Hasan Murat Afsar. Affectation des vols aux appareils d’une compagnie arienne avec prise en compte

des contraintes de maintenance. Sciences de l’ingénieur [physics]. Institut National Polytechnique de

Grenoble - INPG, 2007. Français. �tel-00189184�

Nattribuépar labibliothèque

THESE

pourobtenir legradede

DOCTEUR DE L'INPG

Spé ialité: "Génie Industriel"

préparée au laboratoireG-SCOP (Grenoble- S ien espour laCon eption, l'Optimisationet la

Produ tion)

dansle adre de l'E oleDo torale Organisation Industrielleet Systèmes de Produ tion"

présentéeet soutenuepubliquement

par

H.MuratAFSAR

version:18 Septembre2007

Ae tationdes vols aux appareils d'une

ompagnie aérienne ave priseen ompte des ontraintes de maintenan e

Dire teursde thèse : Mme Marie-Laure Espinouse et M. Bernard Penz

JURY

M. Alexandre Dolgui Président

M. ChristianArtigues Rapporteur

M. AzizMoukrim Rapporteur

M. OlivierBriant Examinateur

M. BernardPenz Dire teurde thèse

TABLE DES MATIÈRES

. . . .

iii

CHAPITRE1:INTRODUCTION GÉNÉRALE

. . . .

1

CHAPITRE2:INTRODUCTIONÀLAPLANIFICATIONDESVOLS ET À LA ROTATION DES AVIONS

. . . .

3

2.1 Industrie du transportaérien. . . 3

2.2 Diérentes étapesde planning . . . 4

2.2.1 Planning des vols . . . 4

2.2.2 Ae tation des ottes . . . 5

2.2.3 Rotations des avions . . . 7

2.3 Importan eet ara téristiques de la maintenan e . . . 9

2.3.1 Aspe ts é onomiques de la maintenan e . . . 9

2.3.2 Contraintes de maintenan e . . . 10

CHAPITRE3:PRÉSENTATIONDUPROBLÈME,MODELISATION ET COMPLEXITÉ

. . . .

13

3.1 Présentation du problème . . . 13

3.1.1 Dénition du problèmede larotation des avions . . . 13

3.1.2 Diérentes politiques dans le planningde la maintenan e . . . 17

3.2 Modèlisationdu problème . . . 19 3.2.1 Stru ture du réseau . . . 19 3.2.2 Notations utilisées . . . 21 3.2.3 Graphe asso ié . . . 23 3.2.4 Modèle du Problème . . . 26 3.3 Analyse de omplexité . . . 29 3.3.1 Problème de faisabilité . . . 32

CHAPITRE4:ALGORITHMES DE LISTE ET RECUIT SIMULÉ 41

4.1 Appro hes heuristiques . . . 41

4.1.1 Heuristiques basées sur la méthode du plus long hemin . . . 41

4.1.2 Heuristique basée sur le premieratterrisage . . . 45

4.1.3 Couverture des vols . . . 45

4.2 Appro he méta-heuristique . . . 47

4.2.1 Re uit simulé . . . 49

4.2.2 Modélisation. . . 51

CHAPITRE5:APPROCHE PAR GÉNÉRATION DE COLONNES 57 5.1 Introdu tionà ladé omposition de Dantzig Wolfe. . . 57

5.2 Modélisationdu problème . . . 61

5.3 Dé omposition du problème . . . 62

5.3.1 Problème maître . . . 63

5.3.2 Problème maîtrerestreint . . . 65

5.3.3 Problème dual. . . 66 5.3.4 Sous-problème . . . 67 5.4 Génération de olonnes . . . 69 5.4.1 Programmationdynamique . . . 70 5.4.2 Symétrie de la solution . . . 72 5.4.3 Appro he heuristique . . . 74

5.4.4 Borne inférieurelagrangienne . . . 83

5.4.5 Cal ul de la borne lagrangienne . . . 84

5.4.6 Condition d'arrêt . . . 85

CHAPITRE6:RÉSULTATS NUMÉRIQUES

. . . .

89

6.1 Des ription des instan es testées . . . 89

6.1.1 Avions . . . 89

6.1.2 Vols . . . 90

6.1.3 Diérentes politiques de maintenan e . . . 93

6.2.2 Équilibrage de harge - Avions non ritiques . . . 103

6.2.3 Étude de l'appro he heuristique basée sur Dantzig-Wolfe . . . 127

6.2.4 Comparaison des durées d'exé ution des méthodes . . . 131

CHAPITRE7:CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

. . . .

135

7.1 Con lusions . . . 135

7.2 Perspe tives . . . 136

Cette thèseest lefruit d'unere her he menée auseine du Laboratoire G-SCOP

(Grenoble - S ien e pour laCon eptionl'OptimisationetlaProdu tion) de l'INPG

(Institut National Polyte hnique de Grenoble).

Mesremer iements s'adressent tout d'abordà mes dire teurs de thèseMonsieur

Bernard Penz, professeur à l'INPG et Madame Marie-Laure Espinouse, Maitre de

Conférén e à l'Université Joseph Fourier - IUT 1.Leure onan e, leurs onseils et

leurs ritiquesm'ont guidétout aulong de ma thèse.

Je remer ie sin èrement Monsieur Christian Artigues (LAAS-CNRS) et

Mon-sieur AzizMoukrim (Université de Te hnologiede Compiègne)pour leur travail de

rapporteur.Parleurs questions etremarques onstru tives, ilsm'ontété d'uneaide

pré ieuse.

Jesouhaiteégalementremer ieràMonsieurAlexandreDolgui,professeuràE ole

Nationale Supérieuredes Mines de Saint Etienne,qui a présidémon jury.

J'exprimetoutemagratitude àMonsieurOlivierBriant,Maitre deConférén e à

l'INPG,quiétait un ollaborateur,un vrai hefetunvraiami. Ilm'aguidédans les

labyrinthes de lathéorie haque fois quand je suis perdu et il a égalementexaminé

ma thèse.

Je suis parti ulièrement re onnaissant enver Monsieur Christophe Rapine,

Ma-dame AyseAkbalikRapine,MonsieurJean-PhilipeGayon, MonsieurJulienMon el,

Monsieur Onur Hisar iklilar qui m'ont aidé à traquer les erreurs et préparer une

meilleure soutenan e.

Jetiens à remer ieri i tous lesmembres du LaboratoireG-SCOPqui m'ont

a - epté ommeun desleurs etilsm'onttoujourssoutenuetsupporté.Lesdis ussions,

autourd'un aféou,desfois,d'unebièreirlandaisem'ontpermisd'oublierlesdoutes

et de remonter lemoral.

Je voudrais aussi remer ier mes futurs ollègues, les étudiants de l'ENSGI ave

qui j'ai eu le privilège de faire quelques séan es de travaux dirigés. La onan e

Enn,jenesauraisoubliermafamille,lasour edel'amouretd'unsoutienabsolu

INTRODUCTION GÉNÉRALE

Dans le milieu industriella plani ation est dénie omme l'allo ation des

res-sour esauxtâ hesande satisfaireles ontraintesetatteindrelesobje tifs.Deplus,

assurer le bonfon tionnement des équipementsest indispensable. Les interventions

de maintenan efontréféren e àlanotiondeprévention d'unéventuel mauvais

fon -tionnement des appareils.

Malgré l'importan e de l'intégration des a tivités de maintenan e dans le

plan-ning de produ tion de servi es ou de biens, nous n'avons que très ré emment

om-men é à voir des travaux qui prennent en ompte des périodes d'indisponibilité

dues à la maintenan e des ressour es.

Laplani ation des vols des appareilsdans une ompagnieaérienne a beau oup

de similitude ave les problèmes d'ordonnan ement dans un atelier de produ tion.

Les volspeuventêtre onsidérés ommelestâ hes etlesavions omme lesma hines

né essaires à exé uter es tâ hes. Il est évident que la maintenan e des avions est

un enjeu ru ial pour une ompagnie aérienne.

Dans le adre de ette thèse, nous allons étudier la plani ation des vols où les

interventions de maintenan e sont déjàplaniées.

Plan du le ture

Chapitre 1 fait une introdu tion générale à l'ordonnan ement des tâ hes ave

prise en omptede lamaintenan e

Chapitre 2 explique le ontext industriel du problème et donne une brève

des- riptiondesdiérentsétapesdeplanningdesa tivitésdansune ompagnieaérienne.

L'étudebibliographiquedans eahpitrenouspermetde omprendrelesaspe ts

é o-nomiques et légalesdes interventions de maintenan e.

Chapitre 3 modélise le problème de la rotation des avions à l'aide d'un

mo-dèle de la programmationlinéaire en nombres entiers et d'un modèle du graphe de

Chapitre4 proposedeuxappro hesheuristiquesetuneappro heméta-heuristique

basée sur lere uit simulé. Ces méthodes traitent lesavionssuivant un ordre.

Chapitre 5 présente un modèle mathématique ave une fon tion obje tif

qua-drati et propose un s héma de la génération de olonnes. Nous proposons aussi

une méthode heuristique qui fon tion parallèle au problème es lave. Pour éviter le

problème de symetrie et a elerer la résolution, nous présentons l'aggregation des

vols etdes avionsidentiques.

Chapitre 6 ontient les résultats numériques des méthodes proposées dans les

hapitrespré édents.Lesméthodesheuristiques etméta-heuristiques sonttestéssur

un horizon de 40 périodes de planning et nous observons l'evolution de l'état des

avions. Nous testons également la méthode basée sur la génération de olonnes et

nous donnons aussi une borne inférieure al uléepar larelaxationLagrangienne.

INTRODUCTION À LA PLANIFICATIONDES VOLS ET À LA

ROTATION DES AVIONS

2.1 Industrie du transport aérien

Les ompagnies du transport aérien sont fa e à des onditions exigeantes pour

survivre dans un mar hé oùla on urren e est très forte.Ce faitamène les

ompa-gnies aériennesà l'obligationdediminuer les oûts etd'augmenter laqualitéan de

répondre aux besoins des passagers.

Dans ette perspe tive, la diminution des oûts opérationnels devient de plus

en plus importante. Selon Hayes [Hay01℄ les oûts opérationnels d'une ompagnie

aérienne sedivisent en six atégories :

 les oûts liésaux personnel,

 le arburant,

 les fraisde navigation etd'atterrissage,

 les oûts de possession,

 la dépré iation (laperte de valeur des avions) et l'amortissement(la

onsom-mation irréversibles des avantages é onomiques des avions),

 les oûts liésà lamaintenan e.

Les oûts de maintenan e varie entre 10 et 15% de es oûts. Même si ette

proportion n'apparaît pas importante, ilfaut savoir que le budgetannuel de

main-tenan e d'une grande ompagnie aérienne peut dépasser 1 milliardde dollars.

La diminution des oûts de maintenan e peut être réaliséede deux façons :

 Améliorationde la on eption de l'avion,

 Améliorationduplanningde lamaintenan e parl'optimisationdel'utilisation

des avions.

Nouspouvons onstater queseulement l'améliorationdu planningde la

impa ts importants sur le planning de vols des appareils. Dans le adre de ette

thèse, nous nous intéressons auplanning des volsen tenant omptedu planningde

la maintenan e, dans une ompagnie aérienne.

2.2 Diérentes étapes de planning

Lestâ hes dansl'industrieaériennesont ritiques,par eque haque voldoitêtre

réaliséquandilestplaniéetau unetâ henedoitretarderunvol.Cetteindustrieest

don onstamment fa e à des problèmes d'ordonnan ement sur diérents horizons

de temps.

Ces problèmes sont beau oup plus ompliquésque les problèmes

d'ordonnan e-menttraditionnels.Une ompagnieaériennedoitrésoudreunensembledeproblèmes

très omplexes. Cha un de es problèmes a des impa ts importantssur lesautres.

Une ompagnie aérienne doit ae ter des milliers de vols à des avions qui

dif-fèrent aussi bien en type qu'en apa ité. Cette ae tation est soumise à diérentes

ontraintes ommela onnexionoula ompatibilitédes vols,touten satisfaisantles

besoins de maintenan e des avions. Parallèlement l'équipe de vol doit être ae tée

ave des ontraintes telles que lalimite de volou la ompéten ené essaire pour un

avionpré is.

Enpratique,leproblèmed'ordonnan ementestrésolupardesdé isions

onsé u-tives[Leu04℄.Nouspouvonsvoirlesdiérentes étapesde etteappro heséquentielle

dans legure 2.1.

2.2.1 Planning des vols

Dans ette étape de planning, les paires origine-destination des vols proposés

par la ompagnie aérienne sont dé idées. Cette dé ision est prise en fon tion de la

demande. La demande prévisionnelle est estimée à partir de l'information ré oltée

sur lemar hé.Cetteétapedeplanningfaitrarementl'objetdetravauxde re her he

opérationnellemais elleest étudiéeen revan he dansledomainedu managementdu

Planning des Vols

Affectation des Flottes

Rotation des Avions

Fig. 2.1 Lesétapesde planning

Cet a tivité est équivalente à la on eption du réseau des vols. La littérature qui

étudiela on eptionde réseauxdanslese teurdes télé ommuni ationsestri hepar

rapportau se teur du transportaérien.

Laqualitédurésultatde etteétapeesttrèsimportantepuisquelesdé isionsdes

pro haines étapes sont basées sur ette table d'horaires de vols. Même si les

om-pagnies harters ont lapossibilitéde hanger plus librement latable d'une période

à une autre, les ompagniesqui opérentrégulièrement ontbesoind'une table

beau- oup plus robusteet déposent traditionnellementleur plan de vol un anà l'avan e.

Bian et al. donnent une méthode pour mesurer la robustesse de la table d'horaires

de la ompagnie aérienne KLM[BBJ

+

05℄.

2.2.2 Ae tation des ottes

Lesavionsauseind'une ompagnieaériennenesontpasidentiques.Chaquetype

d'avionadiérentes autonomiesdevol,diérentes apa ités depassagers, diérents

besoinsde maintenan e.Don , aulieude traitertouslesavionsenmême temps,les

ompagnies préfèrent les diviser en grandes famillesouen ottes.

Après l'étapedu planningdes vols,la ompagnie aériennedoit dé iderqueltype

d'appareil sera ae té à haque vol [BBC

+

98℄. Les entrées de ette étape sont le

planning des vols, le type des ottes, le oût d'ae tation d'une otte à un vol

problème d'ae tation des ottes respe te le nombre d'avions dans haque otte.

Par ontre, la sortie de ette étape n'est pas for ément réalisable pour les étapes

suivantes.

L'importan e de ette étape est ompréhensible puisqu'elle a des impa ts

di-re ts sur les oûts et les revenus. Par exemple, l'utilisation d'un petit avion pour

un vol fortement demandé peut minimiser les oûts du arburant mais représente

un manque à gagner par rapport à la demande non satisfaite. Subramanian et al.

estiment en 1994 é onomiser 300 millions de dollars en 3 ans grâ e à une nouvelle

te hnique d'ae tationdes ottes [SSQ

+

94℄.

Par rapport à l'étape pré édente, nous trouvons plus de littérature sur le

pro-blème d'ae tation des ottes. Guet al. étudient ertaines propriétés du problème.

Ils donnent une expression analytique pour déterminer le nombre d'avions

né es-saire dans le as d'une seule otte et ils montrent que le problème de faisabilité

de l'ae tation de ottes est NP- omplet quand il y a plus de 3 ottes [GJNW94℄.

Abara explique le problèmed'ae tation des ottesetdonne diérentes ontraintes

omme la ouverture des vols ou le nombre d'avions né essaires [Aba89℄. Hane et

al. propose un modèle de multiot. Ils utilisent diérentes méthodes omme

l'al-gorithme du point intérieur, la perturbation des oûts, l'aggrégation des sommets

et la prioritédu bran hement et trouvent des solutions pro hes de la solution

opti-male[HBJ

+

95℄.Clarkeetal.[CJNZ97℄introduisentles ontraintesdelamaintenan e

etde l'équipagedanslemodèle lassiqueandefournirune entréeplusréalisable au

problème de rotation des avions ar les routes ae tées dans l'étape de la rotation

des avions doivent respe ter es ontraintes. Barnhart et al. ajoutent la ontrainte

de onne tivité pour l'utilisation équilibrée des avions [BBC

+

98℄ et ils utilisent un

Bran h-and-Pri e pour résoudre le problème. Les méthodes omme la

programma-tion dynamique et les heuristiques sont employées notamment par El Moudani et

Mora-Camino[MMC00℄.Ioa himetal.résolventleproblèmed'ae tationdesottes

ave fenêtres de temps sur l'horaire des vols. Ils introduisent la ontrainte de

syn- hronisationetutilisentlate hniquede dé ompositionDantzig-Wolfepourrésoudre

modèle et utilisent les te hniques de re her he de voisinage multi ritères grande

é helle [AGL

+

03℄.

2.2.3 Rotations des avions

Unefois que l'ae tationdes ottesaux volsest réalisée, la ompagnie aérienne

doit dé ider quelle route sera ae tée à quel avion. Une route est une suite de

vols onsé utifs et ompatibles. Deux vols onsé utifs

i

et

j

sont ompatibles si la destination du premiervolest lamême quel'origine du deuxième etl'attente entre

les deux vols est a eptable.

La solution du problème de rotation des avions doit assurer tous les vols en

respe tant la ontraintede maintenan e des avions.

Pendant les étapes pré édentes du planning, les avions de la même otte sont

onsidérés omme identiques. Bien qu'ayant lamême distan e autorisée etlamême

apa ité de passagers,lesavionsd'uneottene sontplus identiques.Ilsonten eet,

à un momentdonné, des besoins diérents en maintenan e ar le taux d'utilisation

de haque avion est diérent. Pour ette raison, une route maintenan e-réalisable

pour un avionpré is peut être non réalisablepour un autre.

Dans la littérature nous voyons une variété de modèles pour la rotation. Car,

malgré la similitude des modèles pour l'ae tation des ottes, les ompagnies

aé-riennes modèlisent et résolvent diéremment le problème de la rotation des avions

Certaines ompagnies préfèrent un planningsur lelong terme tandis que lesautres

favorisent le planningde dernière minute [Gro05℄.Ces dernières doivent utiliser, en

général, les te hniques relativement simples omme PAPS (premier arrivé premier

servi) ou DAPS (dernier arrivé premier servi). L'intérêt de es méthodes est la

ra-pidité, mêmesilasolutionobtenue n'est pas optimalepour ertains ritères omme

l'utilisationdes avions, l'équilibragede harge,la minimisationdes oûts ou en ore

la minimisationd'attente des passagers entre deux vols.

Certaines autres ompagnies préfèrent onstruire des routes qui se répètent à

haquepériodedu planning.Ce faitgarantitl'utilisationéquilibréedes avions, mais

ajustements sont né essaires avantl'appli ation.

Daskin et Panayotopoulos donnent l'une des premières formulations de la

rota-tion des avions. Ils modèlisent le problème en programmation linéaire en nombres

entiers(PLNE). Leur modèle est basé sur la séle tion des routes générées. Ils

ré-solventle problèmeen utilisantleprin ipede relaxationLagrangienne[DP89℄. Une

autre relaxationLagrangienneest proposée par Clarkeet al.Leur modèle maximise

le prot obtenu par les bonnes onnexions pour les passagers. L'optimisation est

faite par un algorithme de sous-gradient [CJNZ97℄. Gopalan et Talluri proposent

deux modèles : l'un à horizon inni (statique - le planning se répète) et l'autre à

horizon ni (dynamique- le planningest refait). Leur algorithme est polynmial et

donne une rotationsemaine-type[GT98℄. Desaulniers et al. [DDD

+

97℄ etBarnhart

et al.[BBC

+

98℄ ombinentlesproblèmesde l'ae tationdesottes etde larotation

des avions. Ré emment Sara et al. donnent un algorithme de Bran h-and-Pri e.

Le ritère à optimiser n'est plus de maximiser le prot obtenu par une bonne

af-fe tation d'un vol à un avion mais de maximiser l'utilisationdes avions avant une

intervention de maintenan e [SBR06℄. Sriram et Haghani introduisent les oûts de

maintenan e et minimisent es oûts ave une heuristique de re her he en

profon-deur d'abord et aléatoire [SH03℄. Ils hoisissent un avion aléatoirement et trouvent

une route omplète pour et avion. La méthode s'arrête quand tous les vols sont

ouverts.

Le transport aérien a une nature sto hastique et les phénomènes inattendus

ausent souvent des hangements dans le planning des vols. Un autre axe de

re- her he est la re onstru tion de la rotationdes avions après un tel hangement de

dernière minute. Après une fermeture d'un aéroport entral ave 250 départs par

jour, si une ompagnie aérienne peut reprendre normalement lesvolsà la n d'une

demi journée, au lieu de perdre la journée omplète, elle peut é onomiser jusqu'à

937 500 dollars [BYA01℄. Bard et al. propose un modèle de ot pour minimiser les

oûts [BYA01℄. Teodorovi et Guberini [TG84℄ et Teodrovi et Stojkovi [TS90℄

donnent respe tivement un modèle de Bran h-and-Bound et un modèle de

les oûts de re-rotation et d'annulation des vols. Ave des simulations, ils valident

leur appro he [RJN03℄.

2.3 Importan e et ara téristiques de la maintenan e

La dénition de la maintenan e selon l'Agen e Européenne de la Sé urité

Aé-rienne est "... l'une ou la ombinaison des a tivités suivantes :révision, réparation,

inspe tion, rempla ement modi ation ou re ti i ation des défauts d'un avion ou

de es omposants..." [EC03℄.

Laréglementationdes administrationsinternationalesde larégulation de

l'avia-tion obligent les ompagnies aériennes à prévoir les interventions de maintenan e

pourlesavions.Don lamaintenan edes omposantsoudelatotalitéde l'avionont

lieu périodiquement,sauf pour les pannes. La fréquen e dépend de la ombinaison

de la durée de vol, du nombre de dé ollages, de la durée totale é oulée depuis la

dernière maintenan e [SH03℄.

2.3.1 Aspe ts é onomiques de la maintenan e

Le rle de l'équipe de maintenan e dans une ompagnie aérienne est de fournir

des avions omplètement opérationnels quand ilssont né essaires,ave un oût

mi-nimal [AkPN05℄. En 1996 les oûts de maintenan e représentent 10-15% des oûts

opérationnelsd'une ompagnie aérienne [Ser95℄. Selon World Airline Finan ial

Re-sults de 2005 [WAF06℄ la dépense opérationnelle totale d'Air Fran e est de 24 775

737 000 dollars, elle de LufthansaGroupeest de 20713 663 000 $. Flinte onstate

que lemar hé de lamaintenan e dans lese teur de transportaérienaugmente ave

un ratio annuelde 10,1% [Fli06℄.

La fortetendan e sur le mar hé du transport aérien est de sous-traiter les

a ti-vités de maintenan e. Le pro essus de maintenan e est ompliquéet demande une

expertise de haut niveau et don un grand investissement. De e fait, les

relative-ment petites ompagnies préfèrent sous-traiter e servi e au lieu d'une intégration

Al'inverse,pour ertaines ompagnies,leurprésen edanslese teurdela

mainte-nan epeutamortirlavariationdelademandeets'adapterplusfa ilementaumar hé

dynamique [KV04℄. L'avantage non négligeable de l'intégration totale des a tivités

de maintenan e est l'expérien e a quise et l'installation déjà établie [AkPN05℄. En

plus il y a la possibilité d'orir le servi e aux autres ompagnies qui souhaitent

sous-traiter la maintenan e.

2.3.2 Contraintes de maintenan e

Tous lesavionsdoiventêtrerégulièrementmaintenus. Uneintervention de

main-tenan e peutêtreuneinspe tiondepetiteé helle ommelavéri ationduniveaude

l'huiledu moteurouune intervention de grande é helle pendant laquellel'avionest

omplètementdémonté, inspe tévisuellementetremonté. Engénérallesinspe tions

de petite é helle peuvent être faites dans tous les aéroports mais les interventions

de plus grande é helle né essitent des bases de maintenan e parti ulières, ave un

personnel ayant la ompéten e requise. Ces bases peuvent être otte-dépendantes,

'est-à-direquelamaintenan ede ertaines ottespeuventavoirlieudans esbases.

Il fautnoter que lenombre et la apa ité des bases de maintenan e sont limités.

Pour haque type de maintenan e, la duréeentre deux interventions de

mainte-nan eestproposéeparle onstru teurde l'avionetestbaséesurletemps,lenombre

de vols et la durée totale des vols. Cette proposition doit être validée par les

asso- iations omme (US) Federal Aviation Administration, l'Agen e Européenne de la

Sé urité Aérienne ouTransportCanada. Les ompagnies aériennes sontobligées de

respe ter de façon ferme es règles. Les ompagnies aériennes appelle es ontrles

A,B,C et D. Lestypes Aet B sont des ontrleslégers, tandis queles typesC etD

sontdes ontrlsbeau oupplusimportantsquimettentl'avionhorsservi ependant

une durée onsidérable.

Par exemple, avant les dernières approbations de 2004; la durée entre deux

ontrlesdetypeApourlesavionsA320étaitde500heuresdevol,pourles ontrles

C, elleétait de 15 mois etpour lesinspe tions lourdes, elleétait de 5ans [AB004℄.

des ressour es humaineset matérielles pour répondre aux hangements de statu de

la otte, de la disponibilité du personnel ou du planning des vols. Les tâ hes de

maintenan e peuvent être regroupées en deux ensembles, la maintenan e planiée

etlamaintenan enon-planiée.Lepremierensemble ontientlestâ hes de la

main-tenan e préventive. Les a tions orre tives à la suite d'un évènement non attendu,

sont dans l'ensemble de la maintenan e non-planiée [VDK

+

02℄.

Leste hniquesdelamodélisationmathématiquesontappliquéespourla

onstru -tion du planning d'une base de maintenan e. Ce planning de maintenan e tient

ompte du type de laotte, des besoins de maintenan e de l'avion quiva visiter la

base de maintenan e on ernée, de ladurée pendant laquelle l'avionpeut rester au

soletdeladisponibilitédesressour es.Dijkstraetal.proposentunsystèmed'aideà

la dé isionpour leplanningdu personnel dans une base de maintenan e [DKJS91℄.

La simulation a également été utilisée pour développer des systèmes d'aide à la

dé ision. Duuaa et Andijani la onsidèrent omme une meilleure méthode pour

évaluer lesfon tions de maintenan e que les modèles mathématiques,à ause de la

ompléxité etde l'aspe t sto hastique du problème [DA99℄. Nouspouvons voirune

appro he ré ente de Bazargan-Lari et al., basée sur la simulation pour résoudre le

problème de planning des ressour es humaines des bases majeures de maintenan e

de ContinentalAirlines [LGY03℄.

Les ompagnies qui sous-traitent la maintenan e et elles qui l'assurent

elles-même n'ontpas les mêmes ontraintes. Les ompagniesqui sous-traitent e servi e,

en général, n'ont pas besoin de faire le planning des opérations pour une base de

maintenan e puisque ette base ne leur appartient pas. En revan he, elles doivent

payerpour e servi e.Don l'obje tifde es entreprisesest deminimiserles oûtsde

maintenan e. D'autre part, surtout les grandes ompagnies aériennes, qui ne

sous-traitentpas lamaintenan e mais proposent aussi leurs servi es, ont des ontraintes

très importantes sur la apa ité de la base de maintenan e. Ces ompagnies ne

peuvent pas se ontenter de minimiserles oûts de maintenan e sans tenir ompte

de lagestionde la apa ité des bases. AinsiSara et al.rajoutentles ontraintes de

Une autre appro he est de dénir le planning de maintenan e et de la rotation

des avions séparément [CPZ00℄. Puisque le planning de maintenan e ne doit pas

tenir ompte seulement de besoins de maintenan e des avions, mais aussi de la

a-pa itéde main-d'oeuvre danslesbasesde maintenan e, deladisponibilitédesbases

de maintenan e, de la ompatibilité de l'appareil ave la ompéten e du personnel

présentaux bases de maintenan e;dans ertaines grandes ompagnies aériennes, le

planning de maintenan e est préparé par un autre département quiest responsable

de la maintenan e de tous lesavionsde la ompagnie.

Pendantlapréparationduplanningdemaintenan e,les ontraintesde apa itéet

lebesoinde laottesontprisen ompteetnalementleplanningde lamaintenan e

est transmis au département on erné. La rotation nale respe te le planning de

maintenan e etaussi lepotentieldevoldesavions.Don ilfaut ompterleplanning

de maintenan e ommeune étape séparée, omme dans lagure 2.2.

Planning des Vols

Affectation des Flottes

Rotation des Avions

Planning de Maintenance

Fig.2.2 Les étapes de planning ave le planningde maintenan e

Dans le adre de e travail,nous onsidérons les entreprises qui ne sous-traitent

pas leservi edemaintenan eetdontleplanningde maintenan e estpréparé parun

départementdiérent.Pendantla onstru tiondelarotationdesavions, leplanning

PRÉSENTATIONDU PROBLÈME, MODELISATION ET

COMPLEXITÉ

3.1 Présentation du problème

3.1.1 Dénition du problème de la rotation des avions

Dans e hapitrenous allons expliquerle problème de larotationdes avions, les

ritères quenousoptimisons etles ontraintes onsidérées. Nousdénissonsla

rota-tiondesavions ommelare her hedesroutespourunensembled'avions.Par ontre,

même silesavionssontdans lamêmeotte,don ave des propriétésidentiques, ils

sont traités séparément ar haque avion a un besoin diérent de maintenan e. Ce

besoin est représenté par lepotentielde vol.

Potentiel de vol : Ladurée pendantlaquelle un avionpeut voler sans une

inter-ventionde maintenan e.Soit

L

lalimitemaximalede duréeentredeux interventions

de maintenan e et

P

d

v

laduréetotale pendant laquellel'avionadéjà voléaprès la

dernière maintenan e où

d

v

est laduréedu vol

v

.Don lepotentielde volde l'avion

a

est

P

a

= L

−

P

d

v

.

Comme nous l'avons vu dans le hapitre pré édent, il y a diérents types de

maintenan e et pour haque type ily a une limite diérente. Enrevan he, les

om-pagnies peuvent ombiner les interventions et don les limites de vol. Mais au une

ompagnie aérienne ne peut faire voler un avion plus que la limite

L

à ause des pénalités sévères. Don le suivi de la onsommation du potentiel de vol des avions

est ru ial pour une ompagnie aérienne.

Nous avons deux a tivités prin ipales à onsidérer : les vols et les interventions

de maintenan e.Touteslesa tivitéssontdéniesparl'origine,ladestination,ladate

et l'heurede départ.La plusimportantediéren eentre un voletune maintenan e

est que ette dernière est une a tivité au sol. Don , l'origine et la destination sont

par e que e plan dépend du potentiel de vol et de la maintenan e ae tée aux

avions.Leplan générique ontientseulementlenomde laotteetlesvolsae tés à

ette otte.Le planningdaté désigne quel parti ulier avionfait quel parti ulier vol

pendant l'étape de la rotationdes avions.

L'ae tation de la maintenan e est préparée haque semaine, par un autre

dé-partement.Enfon tiondu planningdemaintenan e, haque semainelarotationdes

avionsest préparée. Lapériode du planningdaté est don ,une semaine.

La fon tion obje tif de la rotation des avions est souvent liée aux oûts ou à

la qualité de la solution. Les obje tifs nan iers regroupent la minimisation des

oûts opérationnels [SH03℄ etla maximisationdes revenus [CJNZ97℄. D'autre part,

la qualité de la solution est liée à la robustesse ou à la onsommationdu potentiel

de vol[SBR06℄.L'obje tifnan ierest di ileàestimeretdière onsidérablement

d'une ompagnie à une autre. Nous préférons regarder du té de la qualité de la

solution naleen fon tion de la onsommationdu potentielde vol.Nous allonsvoir

que ette appro he a des impa ts sur laminimisation des oûts opérationnels.

3.1.1.1 Maximisation de l'utilisation des avions

Selon Culioli et Partou he-Zembra, la première ri hesse d'une ompagnie

aé-rienne est onstituée par sa otte. C'est la ma hine de produ tion. Cette ma hine

de produ tion est à la fois extrêmement oûteuse et parti ulièrement omplexe. Il

s'agit don de l'utiliserau mieux [CPZ00℄.

Nous traduisons l'utilisation au mieux par la maximisation de l'utilisation de

l'avion

a

sans dépasser lalimite de vol. Don la première fon tion obje tif est :

min P

a

= L

−

X

d

v

(3.1)

où

P

d

v

est ladurée totalependantlaquelle l'avion

a

a déjavolédepuis ladernière

interventiondemaintenan e.Cettedurée ouvreaussila onsommationdespériodes

pré édentes.

min P

a

= L

− (

X

v∈c(t<T,a)

d

v

+

X

v∈c(t=T,a)

d

v

)

(3.2)

où

c(t = T, a)

est le hemin (lasuite des vols)ae té à l'avion

a

à la période

T

et

c(t < T, a)

est la liste des hemins ae tés à l'avion

a

avant la période

T

. Comme nous l'avons déjàdit, lapériode planningest une semaine.Le hemin

c

dans laliste

c(t < T, a)

se onne te ave le hemin

c

′

de lapériodesuivante. Nous pouvons don

onsidérer

c(t < T, a)

omme un seul heminqui ouvre

T

− 1

périodes.

Sinousdénissons

L

a

ommelepotentielde volaudébutde lapériode a tuelle, nous avons :

L

a

= L

−

X

v∈c(t<T,a)

d

v

(3.3)

Alors lefon tion obje tif devient :

min P

a

= L

a

−

X

v∈c(t=T,a)

d

v

(3.4)

Cette fon tion obje tif minimise la perte de potentiel d'un avion. Mais nous avons

une ottealors ilfaut onsidérer toute laotte.

min

X

a∈A

P

a

=

X

a

(L

a

−

X

v∈c(t=T,a)

d

v

)

(3.5)

Ave ette fon tion obje tif nous minimisons la somme des pertes de potentiel des

avionsetminimisonslenombrede maintenan esurlelongterme arlesavionsvont

passer la maintenan e plus tard, don moins fréquemment, sans dépasser la limite

de vol.

Nous allons dénir le hemin ae té à l'avion

a

omme

c(a)

puisque nous nous

intéressons seulement àla période a tuelle.

3.1.1.2 Equilibrage de harge

Unautre obje tif pour les ompagniesaériennes est d'équilibrer la harge de vol

des avions. Cet obje tif est ru ial pour les ompagnies pour plusieursraisons :

 Long terme:Sila hargede voldes avionsn'estpaséquilibrée,unavionjeune

Lorsque la harge est équilibrée, la otte reste homogène et il est plus fa ile

de prévoirl'evolutionde son vieillissement,

 Court terme : Si la harge n'est pas équilibrée, les prévisions en besoin de

maintenan epeuventêtretrompeusespuisque ertainsavions onsommentleur

potentielplusoumoinsvitequelerestedelaotte.Parexemple,àunmoment

donné,soient

L

a

et

L

a

′

lepotentielde voldesavions

a

et

a

′

où

L

a

estinférieur à

L

a

′

.Don l'interventionde maintenan e de l'avion

a

est planiéeavant elle de l'avion

a

′

.Mais sil'avion

a

′

vole toujoursplus que l'avion

a

,nous pouvons nous trouver dans lasituation oùles deux avionsont épuisé leur potentiel en

même temps. Alorsl'avion

a

′

est bloquéen attentede maintenan e.

Pour ette raison, beau oup de ompagnies préférent les rotations y liques. Dans

une telle rotation, une série de routes est générée et un avion prend une route

diérente,à haquepériode.Don surlelongterme,touslesavionssuiventlamême

grande route [GT98℄.

L'in onvénient de ette méthode est lié à la nature sto hastique du transport

aérien. Quand il n'est plus possible d'ae ter une route pré-dénie à un avion

par-ti ulier, il faut hanger tout leplanning de long terme.

Pour etteraison,nousproposonsun omposantde lafon tionobje tifqui

favo-rise l'équilibragede la harge dans la période a tuelle. Nousdénissons une harge

souhaitée

M

a

pourun avion

a

. L'é artde harge del'avion

a

estformuléde lafaçon suivante :

ε

a

=

|M

a

−

X

v∈c(a)

d

v

|

(3.6)

où

c(a)

estle hemin(laroute)ae téàl'avion

a

.Ainsiladeuxièmefon tionobje tif

est traduite omme

min

X

a

ε

a

(3.7)

Nous allons ombiner les expressions 3.5 et 3.7 pour obtenir la fon tion obje tif

prin ipal.

min α

X

a

P

a

+ β

X

a

ε

a

(3.8)

où

α

et

β

sont des poids attribués aux omposants de la fon tion obje tif nale.

α

et

β

sont hoisis de telle façon que l'obje tif prin ipale reste la minimisation des pertes de potentiel.

3.1.2 Diérentes politiques dans le planning de la maintenan e

Dans ette se tion, nous allons étudier la ontrainte de la maintenan e et ses

impa ts sur le planning des vols. Nous onsidérons seulement les interventions de

type A(les inspe tionslégères de sé urité) etnousprenons une otte du type A320

ommeexemple.Nousavons déjàvuquelalimitede volentre deuxinterventions de

maintenan e de type A, pour un avion de type A320 est de 500 heures de vol. Les

interventions de e type de maintenan e ontlieupendantla nuit, oùil n'ya pas de

vol, an de ne pas bloquer l'avion etne pas perturberles vols.

Nous avons déjà vu dans la gure 2.2 que le planning de maintenan e est une

donnée du problème de la rotation des avions. Don la maintenan e

m

a

est une

a tivité pré-déniepourl'avion

a

.Commela apa itéde labasede maintenan e est limitée, lenombre de maintenan esest un nombre ni. End'autres termes,la

sous-otte quipeut passeruneintervention de maintenan eest limitéeparla apa ité de

labasedemaintenan e.Pourfa iliterlanotation,nousallonsappelerlesavionspour

lesquels une intervention de maintenan e est planiée dans la période de planning

a tuelle, les avions ritiques. Naturellement, un avion ritique devient non- ritique

après une intervention de maintenan e.

Nouspouvons imaginerquelesavions ritiquesetnon- ritiquesontdes obje tifs

et des ontraintes diérents.Même sila ontraintede maintenan e est valable pour

tous les avions, elleest beau oup plus importantepour les avions ritiques. Car le

potentielde voldes avions ritiquesest inférieurauxavionsnon- ritiques. Enmême

temps, les avions ritiques sontde très bons andidats pour maximiserleur

utilisa-tion puisque nous savons exa tement quand et où ils vont passer la maintenan e.

Connaissant ladate de leur maintenan e, nous pouvons ae ter lesvols auxavions

ritiques an de onsommer leur potentielde vol.D'autre part, nous pouvons

Les avions ritiques sont dire tement on ernés par la politique de la

mainte-nan e.Commenousl'avonsdéjàdit,lenombrede maintenan es parsemainedénit

le nombred'avions ritiques.Ave lamaximisationde l'utilisation,ilserait possible

de hanger de politique de maintenan e etde diminuer le nombre de maintenan es

par semaine,don le nombre d'avions ritiques.

3.1.2.1 Nombre onstant de maintenan es par jour

La politique la plus simple est de xer le nombre de maintenan es par jour et

d'utiliserlarèglepremierarrivé,premierservi.Don l'avionleplus ritiqueaudébut

de lasemainepasse en premierla maintenan e. L'avantage de ettepolitiqueest sa

régularité etdon lafa ilitéde laprévision.

3.1.2.2 Nombre variable de maintenan es par jour

Uneautrepolitiquesimpleestde xerlenombrede maintenan esparjour,pour

les jours de la semaine et d'enlever totalement ou une partie des maintenan es en

week-end. En eet le oût de main-d'oeuvre représente une part importante des

oûts de maintenan e et il oûte plus évidemment pendant le week-end. Ainsi une

politique qui diminue le nombre de maintenan es en week-end minimise les oûts

de maintenan e plus qu'une politique qui diminue le nombre de maintenan es en

semaine.

3.1.2.3 Nombre variable de maintenan es par semaine

Une dernière politique de maintenan e est de ne pas xer le nombre des avions

ritiques. En revan he, puisque la apa ité de la base de maintenan e est limitée,

le nombre maximal d'avions ritiques sera toujours limité. La diéren e de ette

politique est que,au débutde haque période de planning, lesavions ritiques sont

dé idés en fon tion de leur utilisation.Silepotentielde vol d'un avionest inférieur

à un seuil, l'avion est onsidéré omme ritique. Si le nombre des avions ritiques

un seuil depotentielde vol,àpartirduquel unavionsera onsidéré omme ritique.

Un autre in onvénient est l'irrégularité éventuelle de la harge de travail dans les

bases de maintenan e, ar haque semainelenombre d'avions ritiques peut varier.

3.2 Modèlisation du problème

An de modéliser le problème de rotation des avions, nous allons étudier la

stru ture du réseaudedestinations etlegrapheasso iéà e problème.Ensuitenous

allons proposer un modèlede programmationlinéairemixte.

3.2.1 Stru ture du réseau

Lesvillesdesserviesparla ompagnieaérienne onstituentunréseau de hemins

aériensproposésparla ompagnieentre lesvilles.Ceréseaupeutavoirunestru ture

très omplexe. En revan he, le réseau desservi par une otte de la ompagnie peut

montrer des ara téristiques intéressantes. En général, nous pouvons observer une

densité plus élevée autour de ertaines villes.

Fig. 3.1 Centre-Satellite etroutes dire tes

Danslagure 3.1nous voyons unedensité de sommetsblan squi sontles

satel-lites (ou spokes) autourdes sommets noirs qui sont appelés les entres (ou hubs).

Nous pouvons voir une liaison dire te entre deux satellites (en pointillés). Par

Fig. 3.2 Centre-Satellitesde multi-ae tation

de lagure3.2est liéàdeux entres.Dans e as,leréseauprendlenomde

Centre-Satellites de multi ae tation. Si haque satelliteest liéàun seul entre ommesur

la gure 3.3alors le réseauest Centre-Satellites de mono ae tation [BO99℄.

Fig.3.3 Centre-Satellitesde mono ae tation

Lalittérature on ernantlesproblèmes delo alisationde entress'est intensiée

depuisqueO'Kelly[O'K87℄aproposéunmodèlemathématique.Cemodèleminimise

divers oûts du réseau. Leproblème de lo alisationde entres s'intéresse àlo aliser

les entres et àae ter lessatellites auxbons entres.

Dans le adre de e travail, nous nous intéressons aux réseaux du type

Centre-Satellites ave un seul entre. Le réseau mono Centre-Satellites est une restri tion

nous obtenonsplusieursréseauxde monoCentre-Satellites.Cetteliaisonest enlevée

seulementauniveauplanning,ilexistetoujoursunvolentreles entres.Enrevan he,

pendant le planning, haque entre ne onsidere que les vols dont l'origine et la

destination sont e entre. Ainsi, pour haque entre il y a une stru ture de mono

Centre-Satellites.Danslagure3.4nousvoyons quenous avonsdeux réseauxmono

Fig. 3.4Mono Centre-Satellites

Centre-Satellite en enlevant l'arêteentre deux entres de la gure3.3. Il est logique

de hoisir le entre omme aussi la base de maintenan e puisque tous les avions

doiventpasser par le entre.

L'avantage ru ialdelastru turemonoCentre-Satellites estlapossibilité

d'agré-gation des vols. Car, quand un avion vole de la ville

x

à la ville

y

sa hant que la ville

x

est le entre, ildoit revenir àlaville

x

.Don lesvols

x

→ y

et

y

→ x

doivent

être ae té au même avion.Dans e as là, nous pouvons agréger es deux vols et

diminuer la tailledu problème.

3.2.2 Notations utilisées

Dans ette se tion nous donnons les notations que nous allons utiliser dans le

tableau 3.1.

La hargedevolidéaleparavionparsemaineest al uléeparl'équationsuivante:

M H

=

P

v∈V

d

v

Tab. 3.1 Paramètres utilisés

A

Ensembledes avions

AC

Ensembledes avions ritiques

a, a

c

Avion,avion ritique

L

a

Limitede vol de l'avion

a

V

Ensemble des vols

v

Vol

d

v

Durée du vol

v

M aint

Ensembledes interventions de maintenan e

m

a

Intervention de maintenan e planiéepour l'avion

a

P

a

Potentielde vol de l'avion

a

CH

Capa ité hebdomadaire de la base de maintenan e

M H

Chargede vol idéalepar avion par semaine

M

k

Charge de vol idéalepar avionpour

k

jours

k

∈ {1, ..., 7}

prec(m

a

)

Toutes lesa tivités qui pré édent la maintenan e

m

a

succed(m

a

)

Toutes lesa tivités qui su èdent à la maintenan e

m

a

δ

+

(v)

Ensemble des sommets voisins sortantsdu sommet

v

δ

−

_(v)

Ensembledes sommetsvoisins entrantsau sommet

v

où

|A|

est la ardinalité de l'ensemble

A

don représente la taillede la otte.

Remarque : Puisque nous avons déni un avion ritique omme étant l'un de

eux qui passent la maintenan e dans la semaine du planning, le nombre d'avions

ritiques est inférieurà la apa ité hebdomadairede maintenan e :

|AC| ≤ CH

.

De plus, nous pouvons noter quela harge de vol idéalepour

k

jours est :

M

k

= k

×

M H

7

où k

∈ {1, .., 7}

(3.10)

Nous avons déja donné la dénition de

M

a

omme étant la harge souhaitée pour l'avion

a

. Une partie de la otte est toujours non ritique tandis que les avions

ritiques deviennent non ritiques au fur et à mesure. Don pour un avion non

ritique, la harge souhaitée est

M H

, la durée moyenne de vol par avion et par semaine. Enrevan he, pour un avion ritique quipasse lamaintenan e dansla nuit

du 5ème jour, la harge idéale est

M

2

puisque pendant 2 jours et avion est non ritique. Comme nous savons pendant ombien de jours l'avion

a

est non- ritique, pour la généralisation,nous allons utiliser

M

a

pour la harge idéale orrespondant

à l'avion

a

.

Dansletableau3.1nousavonsdéni

prec(m

a

)

et

succed(m

a

)

ommelanotation pour la liste des a tivités pré édant et suivant respe tivement la maintenan e

m

a

. Mais nous pouvons imaginer le même type de liste pour les avions au début de la

semaine ou pour les vols. Don nous pouvons dénir

prec(a)

,

succed(a)

,

prec(v)

et

succed(v)

.Leparamètre

a

dénitàlafoisl'avionetl'étatdel'avion

a

audébutde la semaine.L'état de l'avionest saposition etsadisponibilitéaudébut de lasemaine.

Don les a tivités suivantes de l'avion

a

dépendent de son état. Evidemment les a tivitéspré édentesdel'avionn'appartiennentpasàlapériodea tuelledeplanning,

don

prec(a)

est onsidéré vide.

Nous donnons les variables de dé ision asso iées au problème de rotation des

avionsdans le tableau3.2.

Tab. 3.2 Variablesde dé isionutilisées

x

v,w,a

=1si l'a tivité

w

su ède à l'a tivité

v

sur l'avion

a

=0sinon

T

_a

ut

Sommedes durées des vols ae tés àl'avion

a

/ Temps d'utilisation

(Temps d'utilisationavant lamaintenan e pour les avions ritiques)

T

am

a

Sommedes durées des vols ae tés àl'avion

a

après la

maintenan e jusqu'àla n de la semaine

ε

+

_a

,

ε

−

a

Variablespermettant de mesurer l'é art absolu

entre la harge de l'avion

a

etsa harge idéale, 'est-à-dire

|M

a

− T

a

ut

|

Il est évident que les variables

x

v,w,a

sont les variables prin ipales et les autres variablessont al ulées ave l'aidede

x

v,w,a

.

3.2.3 Graphe asso ié

Traditionnellement, deux types de graphes sont utilisés pour modèliser le

des vols et l'ensemble des variables atta hées aux a tivités au sol. Les sommets

orrespondent auxdéparts ouaux arrivées des vols.

Ville a

Ville b

Ville c

Ville d

Ville e

temps

Fig. 3.5 Graphede ligne de temps

Dans lagure 3.5, lesar s ontinus etpointillésreprésentent respe tivement les

vols et les variables atta hées aux a tivités au sol. Chaque ligne orrespond à une

ville, au ours du temps.

Le deuxième type de graphe inverse les rles : les sommets représentent les

a -tivités et les ar s sont des possibilités de onnexions entre les a tivités. Même si le

graphe de onnexions est plus dense que legraphe de lignes de temps, en montrant

toutes lespossibilitésde onnexions, lareprésentationexpli itedes onnexions

om-pense et in onvénient. Pour ette raisonnous préféronsutiliser e type de graphe.

La dénition formelle d'un graphe de onnexions est un graphe

G

= (N, E)

où

N

est l'ensemble des sommets et

E

est l'ensemble des ar s. Les a tivités de vols (

V

) et de maintenan es (

M

) ainsi que les états initiaux des avions (

A

) font partie de

N

. Don

N

= A

S

V

S

M

S

_{s}

S

_{t}

où

s

et

t

sont des sommets  tifs qui or-respondent à la sour e et au puits (le début et la n de la période de planning).

Commenous onsidéronsun graphedu typemonoCentre-Satellites,lessommetsde

la somme des durées des vols aller etretour. De même, le entre du réseau (qui est

également labase de maintenan e)est à lafoisl'origineet ladestinationde e vol.

Ces aggregationsdiminuent onsidérablementla tailledu graphe.

000

000

000

000

000

111

111

111

111

111

000

000

000

000

000

111

111

111

111

111

Avion i

Avion j

Avion k

Maintenance j

Maintenance i

Puit

Vol v

Vol w

Fig. 3.6 Graphede onnexions

Lagure3.6donneun sous-graphede notremodèle.Unar entre deux sommets

montre lapossibilité de l'exé ution su essive de deux a tivités par le mêmeavion.

Nous pouvons fa ilement voir que la otte ontient 3 avions, et deux interventions

de maintenan e sont prévues. Nous devons assurer tous les vols par es 3 avions,

don trouver un hemin par avion, qui l'amène au sommet du puit et es hemins

doivent ouvrir tous les sommets du graphe. Nous ne montrons pas le sommet de

sour e, puisque les sommetsdes avions peuvent être onsidéres ommela sour e.

Maintenant, nous pouvons redénir leproblème grâ e augraphe de onnexions.

Nous her honsàtrouveruneroute(ouun hemin)pour haqueavion, omposéede

vols.Sa hantqu'un volseraae té àun seulavion,lesroutesdoiventêtre

sommets-disjoints. Une autre ontrainte est d'assurer tous les vols, don de partitionner le

graphe par les hemins sommets-disjoints. En plus, omme il y a la ontrainte de

limite de vol, la longueur de es hemins doit être inférieure à ette limite et le

dernier sommet du hemind'un avion ritique

a

doit être l'intervention de mainte-nan e

m

a

qui est planiée pour l'avion

a

. Un avion ritique

a

devient non- ritique

semaine.Sous es ontraintesnousallonsmaximiserl'utilisationdes avions ritiques

et équilibrerla harge des avionsnon- ritiques.

Dansle adrede ette thèse,nousmodélisonsleproblème ommele

partitionne-ment d'un graphepar des hemins sommetsdisjoints, ave une limite de longueur.

3.2.4 Modèle du Problème

Dans ette se tion nous proposons un modèle mathématiquede programmation

min

α

X

a∈AC

(L

a

− T

a

ut

) + β

X

a∈A

(ε

+

_a

+ ε

−

_a

)

(3.11) sa hant que

X

w∈δ

−

_(m

a

)

x

w,m

a

,a

= 1

∀a ∈ AC

(3.12)

X

w∈δ

+

_(m

_a

₎

x

m

a

,w,a

= 1

∀a ∈ AC

(3.13)

X

a∈A

X

w∈δ

+

_(v)

x

v,w,a

= 1

∀v ∈ V

(3.14)

X

w∈δ

+

_(v)

x

v,w,a

−

X

w∈δ

−

_(v)

x

w,v,a

= 0

∀v ∈ V ∀a ∈ A

(3.15)

X

w∈δ

+

_(s)

x

s,w,a

= 1

∀a ∈ A

(3.16)

X

w∈δ

−

_(t)

x

w,t,a

= 1

∀a ∈ A

(3.17)

X

v∈V

X

w∈δ

+

_(v)

x

v,w,a

.d

v

= T

a

ut

∀a ∈ A − AC

(3.18)

X

w∈prec(m

a

)

X

v∈δ

−

_(w)

x

v,w,a

.d

v

= T

a

ut

∀a ∈ AC

(3.19)

X

v∈succed(m

a

)

X

w∈δ

+

_(v)

x

v,w,a

.d

v

= T

a

am

∀a ∈ AC

(3.20)

T

ut

a

≤ L

a

∀a ∈ AC

(3.21)

M

a

− T

a

am

= ε

+

a

− ε

−

a

∀a ∈ AC

(3.22)

M

a

− T

a

ut

= ε

+

a

− ε

−

a

∀a ∈ A − AC

(3.23)

x

v,w,a

∈ {0, 1}

∀v, w ∈ N, ∀a ∈ A

(3.24)

ε

+

_a

, ε

−

_a

_{≥ 0}

_{∀a ∈ A}

(3.25)

Ce modèle est basé sur les onnexions entre les a tivités qui ont été dénies dans

les se tions pré édentes : la variable de dé ision

x

v,w,a

vaut 1 si et seulement si les a tivités

v

et

w

sont ae tées su essivement à l'avion

a

. Dans le modèle nous

séparons les fon tions é onomiques de oûts des avions ritiques et non ritiques.

somme des é arts de harge de voldes avions non ritiques.

La fon tion obje tif (3.11) est omposée de deux parties : pour les avions

ri-tiques etlesavionsnon ritiques. Lapartie on ernant lesavions ritiques, onsiste

à minimiserlasommedespertesde potentiel.Ladeuxièmepartiede lafon tion

ob-je tif, minimiselasomme des é artsdes hargesde vol des avionsnon ritiques par

rapport àla harge souhaitée. Par ontre il ne faut pas oublierque l'avion ritique

devient non ritique après la maintenan e. Les omposantes de la fon tion obje tif

sont pondérés par les paramètres

α

et

β

. Grâ e à es paramètres, nous agrégeons deux ritères (la minimisation de la perte de potentiel et l'équilibragede la harge

de vol)dans une seule fon tion obje tif.

Les ontraintes (3.12) et (3.13) relient les vols aux sommets de maintenan e

prévue pour lesavions ritiques. La ontrainte(3.14) garantitl'ae tationd'un vol

à un seul avion. Car haque vol

v

doit être lié à un vol

w

sur un hemin qui est ae té àun avion.

Les ontraintes (3.15), (3.16), et (3.17) sont des ontraintes de ot et elles

dé-nissent un hemin omme une suite de onnexions des vols. Notons que

s

et

t

signientla sour eet lepuits dans le graphe.

Les ontraintes (3.18) et (3.19) dénissent respe tivement la onsommation du

potentiel de vol pour lesavionsnon ritiques et ritiques avant lamaintenan e. La

ontrainte(3.20)estaussiunedénitiondela onsommationdupotentieldevolmais

pour les avions ritiques après l'intervention de maintenan e. Dépasser la limite de

vol est interdit par la ontrainte (3.21). Les ontraintes (3.22) et (3.23) dénissent

les é arts par rapport à la harge idéale, pour lesavions ritiques et non ritiques,

respe tivement.Pour ela,la onsommationdupotentieldevolaprèslamaintenan e

des avions ritiquesest prise en ompte. Finalementla ontrained'intégralité(3.24)

montre que la variable

x

v,w,a

ne peut être que

0

ou

1

. Don un vol

v

peut être lié à un seul vol

w

sur un seul avion

a

. Les é arts

ε

sont positifs grâ e à la ontrainte

3.3 Analyse de omplexité

Un problème est dé rit par ses paramètres et les propriétés que la solution de

e problème doit satisfaire. Les algorithmes sont des pro édures pas-à-pas pour

ré-soudre es problèmes. En général, nous nous intéressons aux algorithmes e a es.

La notion d'e a ité implique l'utilisationdes diérentes ressour es informatiques

an d'exé uterun algorithme.Lesressour essont onsomméesen fon tiondela

du-rée d'exé ution de l'algorithme. Don le temps est la ressour e la plus importante.

Le besoin en ette ressour e est exprimé en fon tion de la "taille" de l'instan e du

problème.

Diérentsalgorithmesontuneimmensevariétéd'e a ité,suivantlatailleetles

paramètres du problème. Certains algorithmes sont e a es tandis que les autres

sont "ine a es" (exponentiels ou pseudo-polynomiaux). La distin tion entre es

deux typesd'algorithmes est la base de la théoriede la omplexité[GJ79℄.

Comme nous l'avons déjà dit, dans le adre de ette thèse, nous modélisons

le problème omme la ouverture du graphe (orienté a y lique), par des hemins

sommets disjoints.Ces heminsont une ontraintede limitede longueur.

Dans le domaine de la re her he opérationnelle, les problèmes de hemins

som-metsdisjoints(ouarêtesdisjointes)attirentune ertaineattention.Leproblème

las-siqueestdéni omme:"Trouver

k

heminssommetsdisjointsquirelient

k

pairesde sommets

(s

i

, t

i

), i

∈ {1, ..., k}

dans ungrapheorienté(ou nonorienté)"[Ngu07℄. Shi-loa hmontre que2 heminsexistent toujoursdansun graphenonorienté4- onnexe

et planaire, entre n'importe quelles 2 paires de sommets

(s

1

, t

1

)

et

(s

2

, t

2

)

[S h80℄. Itaietal.donnentunesériederésultatsde omplexité[IPS82℄:danslesgraphesnon

orientés sans pondération, trouver

k

hemins sommets-disjoints (arêtes-disjointes)

dont la longueur est limitée par

B

où

B

≥ 5

est NP- omplet. La longueur d'un

hemindans un graphesans pondération, est lenombre d'arêtes sur le hemin. Les

résultatsde omplexitérestentlesmêmesquandils'agitdesgraphesorientéspourle

problème de heminssommets-disjoints.Lietal.prouvent queleproblèmede

mini-misation du oût total des

k

- heminssommets(ou arêtes)disjointsdans un graphe

Une arête d'un graphe

k

-pondéré, a

k

oûts diérents, un pour haque hemin. Ils proposent un algorithme polynmial pour le graphe orienté a y lique. Une autre

variante du problème est de trouver deux hemins sommets (ou arêtes) disjoints,

tels que la longueur du plus long soit minimisés dans un graphe orienté ou non

orienté. Liet al. montrent que e problème est NP- omplet ausens fortet propose

un algorithmepseudo-polynmialpourun grapheorientéa y lique [LMSL90℄.Natu

et Fang proposent un algorithme basé sur la méthode de Dijkstra, de omplexité

O(

n

4

) qui minimise la somme des distan es de 2 hemins qui relient 2 paires de

sommets dans un graphe orienté[NF95℄. Par ontre les hemins ne sont pas

né es-sairement disjoints. Van Der Holst etde Pina prouvent que le problème de trouver

k

heminsdisjointsdont leslongueurssontlimitéespar des bornessuperiéures

b

i

où

i

_{∈ {1, ..., k}}

dans un graphenon orientéplanaire est NP- ompletausens fort pour

k >

2

etproposentune méthode de programmationdynamiquepseudo-polynmiale pour le as où

k

= 2

[Vd02℄.

Unautreproblèmed'optimisationestdetrouverleplusgrandnombre

k

depaires

de sommets tel qu'il existe des hemins disjoints qui relient es paires. Gruswami

et al. montrent que le problème de hemins ar s-disjointsdans lesgraphes orientés

ne peut pas être approximé à moins d'un fa teur

Ω(m

1/2−ε

₎

où

m

est le nombre

d'ar s [GKR

+

03℄. En utilisant les te hniques de ouplage (mat hing) et de ot,

pour résoudre le problème de hemins disjoints, Nguyen donne une approximation

de garantie O

(

√

n)

où

n

est le nombre de sommets, pour les graphes non orientés, orientés a y liques et orientés ave une apa ité d'arêtede 2[Ngu07℄.

La ouverture (partition) d'un graphe est un ensemble de hemins

sommets-disjoints qui passent par tous les sommets du graphe. Le problème d'optimisation

est de trouver une ouverture (partition) de graphe de ardinalité minimum. Ce

problème est NP- ompletpuisqu'il ontient leproblème de hemin Hamiltonienqui

est NP- omplet [GJ79℄ pour les graphes arbitraires. Hung et Chang proposent un

algorithme de garantie O(

n

) pour le problème de ouverture par hemins pour les

graphes ar - ir ulaires, où

n

est le nombre d'ar s. La ardinalité de la ouverture obtenueest auplusla ardinalitéoptimaleplusun[HC06℄.Ilsréduisent eproblème

la omplexité est la même que le problème du y le (ou hemin) Hamiltoniendans

les graphes ar - ir ulaires.Ce problème peut être résolu en O(

n

2

log

n

)[SCH92℄.

Une autre appro he pour le problème de rotation des avions est basée sur le

problème du voyageurde ommer e(

P V C

).Leproblèmedu voyageur de ommer e

est de trouver un ir uit hamiltonien de oût minimum dans un graphe pondéré.

Nous pouvons imaginerles sommets omme des villes etles ar s omme des routes

reliant les villes. La pondération d'un ar est la distan e entre les deux villes que

et ar relie.Le ir uithamiltoniende oûtminimalest un ir uitde distan e

mini-male,quipasse partouteslesvillesuneseulefois.Selonlegrapheoudes ontraintes

spé iales,leproblème peut varier.Barhart et al.resolventun problème de oupe de

apa ité minimale,an d'éliminer lessous-tours d'un PVC asymétrique [BBC

+

98℄.

Boland et al. résolvent le PVC asymétrique ave des ar s de remplissage. Les ar s

de remplissagesontparallèlesauxar s normauxave un oûtplus élevé.Lesar s de

remplissage orrespondent aux interventions de la maintenan e tandis que les ar s

normaux orrespondentauxvols.Lalongueurdu heminentre deuxar sde

remplis-sagenepeutpasdépasserunelimite

W

.Ilsdonnentunmodèlemathématiquedérivé

de la dé omposition de Dantzig-Wolfe et des résultats polyédraux. Finalement ils

résolvent le problème pour diérentes famillesd'instan es[BCN00℄. Mak etBoland

al ulentuneborneinférieureau PVCasymétrique ave lesar s de remplissagepar

la relaxation lagrangienne et une borne supérieure trouvée à partir d'une solution

réalisable onstruitepar lere uitsimulé.Ils proposentégalementuneappro he

heu-ristique qui aune garantiede performan e a posteriori de 3% [MB00℄.Ils prouvent

aussi que deux types de ontraintes développées par les auteurs sont des fa ettes

pour leproblème de voyageurs de ommer e ave les ar s de remplissage [MB06℄.

Nous pouvons ompter le PVC ave des sommets noirs et blan s omme une

autreappro heintéressanteduproblèmedelarotationdesavions.Lessommetsnoirs

sont lesa tivités demaintenan e etlessommetsblan ssontdes vols.La on eption

de réseaux de télé ommuni ation peut être modélisée par e problème. Bourgeois

et al. proposent 3 appro hes heuristiques et les omparent sur des instan es qui

de larotation des avions.

3.3.1 Problème de faisabilité

Lapremière question quenous nous posons,fa e à un problème de rotationdes

avions est de savoir si une solution réalisable existe. Une solution réalisable doit

assurer tous les vols sans faire voler les avions ritiques plus que la limite légale.

Diérents as apparaissent suivantle nombre d'avions ritiques.

3.3.1.1 Au un avion ritique

Imaginons qu'au un avionn'ait de ontraintede limite de vol. Ce qui veut dire

quedanslapériodeduplanning onsidéréeau unavionn'abesoind'uneintervention

demaintenan e.Lesavionspeuventdon volerlibrementjusqu'àlandelasemaine.

Dans e as, leproblèmede faisabilitéest de savoirsi nouspouvons assurertous les

vols.

Leproblèmede faisabilitérevientalors àdé idersiilest possiblede ouvrirtous

lessommetsdu graphede onnexions

G

asso iéauproblèmede rotationdesavions, par

|A|

hemins sommets disjoints, où

|A|

est la taille de la otte. Nous pouvons

modéliser e problème à l'aide du graphe de onnexions

G

′

ave des modi ations

suivantes faitessur le graphe

G

que nous avons montré dans la gure 3.6:

 Pour haque vol

v

, nous séparons le sommet orrespondant en deux :

v

−

et

v

+

;

 Entre haque ouple de sommets

v

−

et

v

+

ily a un seul ar de oût -1;

 Tous les ar s entrants au sommet

v

dans legraphe

G

, entrent au sommet

v

−

dans le graphe

G

′

ave un oût 0;

 Tous les ar s sortants du sommet

v

dans le graphe

G

, sortent du sommet

v

+

dans le graphe

G

′

ave un oût 0;

 Un sommet de sour e

s

est ajouté et il est lié à tous les sommets qui re-présentent l'état de l'avion au début de la semaine. Le oût de es ar s est

surer tous les volsave

|A|

avions se ramene auproblème de trouver un ot entier de valeur

|A|

et de oût de

−|V |

dans le réseau

G

′

. En d'autres termes, s'il existe

un ot entier de

|A|

ave un oût de

−|V |

danslegraphe

G

′

alors,tous lesvols sont

assurés. Sinon, ily adeux possibilités:

 Le oût total est supérieur à

−|V |

. Cela signie qu'une partie des vols n'est pas assurée

 La valeur du ot est diérente de

|A|

. Nous avions ajouté le sommet

s

lié

aux sommets d'état-avion. Don les ar s sortants de

s

forment une oupe de apa ité de

|A|

.Don lavaleurmaximaledu ot est né essairement inférieure à

|A|

.Il existedon une oupestri tementinférieureà

|A|

dans leréseau.Ce i

signie que, à un moment donné, ertains avions ne peuvent pas trouver un

vol et restent bloqués à l'aéroport. Sur l'exemple de la gure 3.7, supposons

que l'avion 1 assure les vols 1 et 3, l'avion 2 assure le vol 2. Tous les vols

sont assurés mais l'avion 2 ne peut pas arriver au puit, et reste bloqué à la

destination du vol 2.

Avion 1

Avion 2

Vol 1

Vol 2

Vol 3

Source

Puits

Fig. 3.7 Valeur de ot maximaleinférieure à

|A|

Dans e as iln'existe pas de solutionréalisable.Pour empê her ela, nous

pou-vons liertous lessommets aupuits, sauf la sour e (voir la gure 3.8). Remarquons

quela oupeminimumduréseauestalors

|A|

.Commelessommetsd'état-avionsont liés à la sour e et au puits, il existe alors des solutions où ertains avions peuvent