Ondes de surface dans un système de deux phases fluides superposées

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Ondes de surface dans un système de deux phases fluides superposées

M. Papoular

To cite this version:

M. Papoular. Ondes de surface dans un système de deux phases fluides superposées. Journal de

Physique, 1968, 29 (1), pp.81-87. �10.1051/jphys:0196800290108100�. �jpa-00206623�

ONDES

DE

SURFACE DANS

UN

SYSTÈME DE DEUX PHASES FLUIDES SUPERPOSÉES

Par M.

PAPOULAR,

Laboratoire de Physique des Solides

(1),

Faculté des Sciences

d’Orsay, gi-Orsay,

^France.

(Reçu

^{le 20}

juin 1967.)

Résumé. 2014 On étudie la

propagation

^et l’amortissement des ondes de surface dans un

système

^{de deux}

phases

^fluides

superposées. Lorsque

les effets de viscosité sont

prédominants,

le

régime

^devient

apériodique,

^les fluctuations de surface ne se

propageant plus.

^{Il est}

possible d’analyser expérimentalement

^la

dynamique

des fluctuations par diffusion

inélastique

^de

lumière cohérente. En

régime périodique (faible viscosité),

^on doit observer ^un doublet

Brillouin,

et en

régime apériodique

^une raie centrale non

déplacée

^en

fréquence.

^En

pratique,

pour ^recueillir

un

signal appréciable,

^il faut observer la diffusion dans une direction voisine de la réflexion

régulière (écart

maximum de l’ordre du

degré).

Abstract. ²⁰¹⁴ The

propagation

^and

damping

^{of surface waves are} considered in a

system

of two fluid

phases.

^At

high

viscosities the flow becomes

aperiodic,

^the surface fluctuations

no

longer being propagated. Experimentally,

^the

dynamics

of fluctuations can be studied

through

^inelastic

scattering

^{of coherent}

light.

^At low viscosities

(periodic flow),

^{one should}

observe a Brillouin

doublet,

^{while a}

central, undisplaced

^{line should}

correspond

^to

aperiodic

flow. In order for the

signal

^{to be}

appreciable,

^one should observe the

scattering

^{in a direction}

near that of

regular

reflection

(maximum

^{shift of order one}

degree).

LE JOURNAL PHYSIQUE JANVIER 1968,

1.

Introduction.

^- La loi de

dispersion

^{des ondes}

superficielles

^à la surface libre d’un fluide est bien

connue

[1] :

(X est la tension

superficielle,

p la masse

spécifique

^du

fluide, g

l’accélération de la

pesanteur.

Nous nous proposons ici de discuter la

dispersion

^et

l’amortissement des ondes de surface dans un

système

fluide

composé

^d’une

phase semi-infinie,

^recouverte

d’une deuxième

phase d’épaisseur

^h

quelconque.

^Les

deux

phases

^sont

supposées

^{infinies dans} les direc- tions

parallèles

^à l’interface

(«

^{infini »}

signifie

^bien

entendu : très

grand

par

rapport

^aux

longueurs

d’onde

considérées).

^{Le terme de}

gravité

^n’est

appré-

ciable _par

rapport

^{au terme de tension}

superficielle qu’aux

^très

grandes longueurs

^d’onde

(typiquement :

À

= 2n >

^{1 cm; voir}

[1]).

^Pour des raisons

pratiques (expériences

^{de diffusion de}

lumière,

^voir

§ IV),

^nous

(1)

laboratoire associé au C.N.R.S.

ne nous intéressons ici

qu’à

^des

longueurs

d’onde très inférieures au

centimètre,

^ce

qui

^nous

permettra

d’omettre le terme de

gravité

dans les calculs.

Nous montrerons que l’on doit

distinguer

^deux

régimes

de fluctuation

opposés,

suivant le

rapport

^du

terme «

élastique »

^de

type : rxq3/p

^{au terme d’amor-}

tissement de

type : v2 q4 (le paramètre v

⁼

n/p est

dit : viscosité

cinématique) [2].

^Si

«q3)p » v- q4@

^{il y}

a

propagation

^d’ondes de surface _peu amorties.

Si

«q3)p ^« v2 q4,

^{@ les} fluctuations de surface ne se

propagent

pas : ^{on est en}

régime apériodique.

Si l’on

envisage

^{alors une}

expérience

^{de diffusion}

de lumière cohérente _{par les} fluctuations de

surface,

on

prévoit

que, dans le

premier

^cas

(régime oscillant),

la lumière sera diffusée suivant les

composantes

Stokes et anti-Stokes d’un doublet

Brillouin,

^alors

qu’en régime apériodique

^{la diffusion se} fera selon une

raie centrale non

déplacée

^en

fréquence.

^{Une telle}

expérience,

^{dont nous discutons}

au §

^{IV les chances}

de

réussite, permettrait

^de mesurer avec

précision

^et

la tension

superficielle

^{et la viscosité.}

II.

Équations

du mouvement et

conditions

aux

limites.

^- Nous

désignons

par 1 le milieu fluide

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0196800290108100

82

infini,

par l’ la couche fluide

d’épaisseur h;

par p, 7],

v

et p

^{la masse}

spécifique,

^la

viscosité,

la vitesse d’écou- lement et la

pression

dans le milieu

1;

par

p’, 7~’,

^v’

et p‘

^les

grandeurs correspondantes

^{dans 1’.}

Enfin,

^nous

désignons

par ^{« et} oc’ les tensions

superficielles

^à

l’interface 1-l’ et à la surface libre de l’. Nous ne

faisons aucune

hypothèse quant

^à

l’importance

^rela-

tive de ces diverses

grandeurs.

On suppose par ^contre les deux fluides

incompressibles.

^Nous

désignons

par Oz la direction verticale ascendante et nous fixons son

origine

^à l’interface 1-l’. Nous étudions la propaga- tion d’ondes de surface suivant la direction horizon- tale Ox.

11.1.

ÉQUATIONS

DU MOUVEMENT. ^-- Dans le mi- lieu

1,

^{on a :}

Les deux

premières équations

^{de ce}

système repré-

sentent les

projections

^{sur Ox et Oz de}

l’équation

^de

Navier-Stokes;

la troisième traduit

l’incompressibilité

du milieu. On a dans le milieu l’ un

système identique d’équations.

^On cherche des solutions

harmoniques

^de

la forme :

On suppose Re

m’ positif,

^{comme Re m. Le milieu 1}

étant infini ne

comporte

pas de termes en

e-mz. On omettra dans la suite d’écrire le terme de

phase

Nous poserons, pour

simplifier

^encore

l’écriture :

Les

équations (2)

^{donnent :}

II.2. CONDITIONS AUX LIMITES. ^- En 2’ ⁼ Ï2

(sur-

face libre de

1’),

les contraintes doivent être nulles :

où 1’ représente

^la fluctuation de coordonnée z ^sur la surface : v’

dZ’

^. Dérivant par

rapport

^au

temps

la dernière des deux conditions ci-dessus et utilisant les

équations (4),

écrites à la cote z ⁼

h,

^{on obtient :}

De

même,

^{en z = 0}

(interface 1-l’),

^{vitesses et} contraintes doivent être

continues,

^ce

qui

^fournit

quatre équations supplémentaires.

La relation de

dispersion

^{cherchée est donnée par la condition de}

compatibilité

^{de ces}

quatre équations

avec les deux

équations (5).

^{Elle se met sous} la forme :

D6

⁼

0,

^où

D6

^{est le} déterminant

(voir ( 6) ) .

Remarques :

a)

^Dans

l’expression

^de

D6,

nous avons utilisé la

relation : ,

b)

^{Il est entendu} que, sauf mention

explicite,

m

représente

^{une notation}

compacte

pour

l’expres-

sion

(ce

^-

iy)

^{où le}

premier

^terme

représente

^la

pul-

sation et le second l’amortissement

(y

>

0).

III.

Discussion, ^les

^deux

régimes d’amortissement.

- La relation de

dispersion D6

^{= 0 est}

indépendante

du choix des divers

paramètres.

^{Nous ne} la résoudrons

cependant

que dans deux cas limites : nous suppo-

serons d’abord que le milieu l’ est infini comme 1

(qh > 1),

^ensuite

qu’il

^{est réduit à un film}

superficiel (qh 1 ) .

^{Dans chacun de ces cas, nous}

envisagerons

successivement deux situations extrêmes .

2 )

¹

(régime périodique)

^et

vq2 «

¹

(régime apério-

dique).

^’Jq

I I I .1. DEUX FLUIDES INFINIS

(qh » 1).

^{- Deux}

possibilités

^se

présentent : 1 m’h 1

> ¹

ou ~ m’ h ~

^1.

Nous écartons la seconde

qui représenterait

^un

régime

très fortement amorti :

y ^~ v’ q2.

^{Nous nous}

plaçons

donc dans le cas où :

qh » 1 »

^{1. Le déter-} minant

D6

^se réduit alors au

produit D2 D4

^{de deux}

déterminants d’ordres 2 et 4

respectivement. D2

^{= 0}

se met sous la forme :

qui représente

la loi de

dispersion

^{des ondes}

superfi-

cielles à la surface libre du milieu 1’. Suivant _que oc, est très

supérieur

^{ou très inférieur à v’2}

q4,

^on

est en

régime périodique :

ou

apériodique :

(racine purement imaginaire) . (8 b)

De

même, D4 =

⁰

représente

^la

dispersion

^des

ondes

superficielles

^à l’interface 1-l’. Ces ondes sont totalement

découplées

^des

précédentes puisque

la pro- fondeur de

pénétration

^{d’une onde de} surface dans le milieu 1’ est d’ordre

q-1

^ou

(Re

^et que ^nous

supposons qh » 1, 1 mh 1 »

^1.

D4

^{= 0 se réduit à :}

84

Il est facile de voir _que ^cette

équation

^{reste inva-}

riante par

permutation

de p, 7~ ^{m et}

p’, J1’,

^{m’. Ceci}

traduit

simplement

^la

symétrie

^du

problème,

^{dans le}

cas

considéré qh > 1,

par

rapport

^aux

paramètres

des deux milieux

(rappelons

que nous avons d’emblée

négligé

les effets de

gravité).

a) Régime périodique.

^{- Pour}

simplifier (9),

^nous

supposons l’un des milieux ^- _{l’ par}

exemple

^{- beau-}

coup moins

visqueux

que

l’autre,

^{lui-même assez} peu

visqueux

pour que les ondes étudiées soient peu amorties :

On trouve :

b) Régime apériodique.

^{- Le résultat}

précédent

sup-

pose - aq3 , » v2q4.

^{Si on renverse cette}

inégalité P+P

(en

^{ne faisant}

plus d’hypothèse

restrictive sur les valeurs relatives de ^v et

v’) : v2 q4 (ou v’2 q4),

^@

P + P

on obtient _pour

l’équation (9)

^une

racine, purement

imaginaire,

de module :

Il est clair _que

(8 a)

^et

(8 b)

^{sont bien des cas}

parti-

culiers de

(10 a)

^et

(10 b).

III.2. FILM SUPERFICIEL

(qh « 1).

^{- Dans ce cas,}

m’ h )

¹

supposerait

^{dans le film une} viscosité si faible _que l’écoulement serait

pratiquement poten-

tiel

[1].

^{Si l’on}

peut également négliger

les effets de viscosité dans le milieu

1,

^{il est}

plus simple

^{de traiter}

le

problème

par la théorie des fluides idéals ^en

régime

d’écoulement

potentiel. Compte

^{tenu des conditions}

aux

limites,

^{on obtient :}

Soit,

pour

qh 1,

^deux

régimes périodiques (fai-

blement

amortis) :

Remarque.

^{- Dans la limite}

opposée qh » 1, l’équa-

tion

( 11 ~

^{redonne :}

Plaçons-nous

maintenant dans la situation

opposée : 1 1,

^comme

qh.

En ne retenant que les ^termes du 1 er ordre ^en

h,

la relation de

dispersion D6

^{= 0}

prend

^{la forme :}

a) Régime périodique.

^{- Si}

vq2, v’ q2,

^{on tire}

de

(13) :

Si

vq2 v’ q2 (ce qui

suppose ^un film consi- dérablement

plus visqueux

que le fluide

sous-jacent) :

Notons _{que l’on} retrouve ce résultat en considérant le

film,

^du

point

^{de vue de}

l’amortissement,

^comme

une

pellicule

^solide

posée

^{sur le fluide}

[1].

^La

présence

du film accroît l’amortissement dans la

proportion :

4

2vq2

^{1 c’est l’effet « calmant » bien connu de}

l’huile sur l’eau.

b) Régime apériodique.

^-

Si 1 vq2 (7)’ quel- conque), (13)

^{donne :}

III.3.

REMARQUES. - a)

^{Les résultats}

(14), (15)

et

(16)

^{ont été obtenus en ne tenant}

compte

que des forces ordinaires de tension

superficielle,

^{normales à la}

surface. Or la déformation même du film suscite des forces

tangentielles, proportionnelles

^aux

gradients

^de

tension

superficielle.

Ces forces s’annulent si le fluide

sous-jacent

^{est considéré comme idéal}

[1].

^{Mais dans}

un calcul

complet

^{du cas}

général,

elles doivent être

prises

^en

compte.

b)

^La

comparaison

^de

(14)

^et

(16)

^avec

(8 a)

^et

(8 b)

montre que, dans les conditions relatives à ces

résultats,

le seul rôle du film est de modifier la tension _super- ficielle.

c)

^{Revenant aux} conditions de validité des diffé-

rents résultats

obtenus,

^{on aboutit au critère suivant :}

suivant _{que le} terme de tension

superficielle

^de

type «q3Jp

^{est très}

grand

^{ou très}

petit

par

rapport

^au

terme de viscosité de

type v2 q~,

^le

régime

des fluctua- tions de surface est

périodique

^ou

apériodique.

En

particulier,

^en

régime apériodique,

^l’amortis-

sement y

- Î

^est très inférieur à

vq2, grandeur qui

^{mesure en}

général

l’amortissement des oscillations

en

régime périodique (voir

par

exemple (8 a) ) .

IV. Diffusion

inélastique

de lumière cohérente par les ondes de surface. ^- IV . 1. LA THÉORIE DE RAY- LEIGH-MANDELSTAM. - Sur la base d’une théorie de

la réflexion diffuse sur une surface

irrégulière

^{due à}

Rayleigh [3],

Mandelstam

[4]

^a étudié la diffusion de la lumière ordinaire par les fluctuations

thermiques

de la surface libre d’un fluide. Il a d’abord calculé

l’amplitude quadratique

moyenne de ^ces fluctuations à l’aide de formules de

thermodynamique classique.

Utilisant ensuite les résultats que

Rayleigh

^avait

déduits de la théorie des

réseaux,

^{il a} pu calculer

l’amplitude

de la lumière diffusée elle-même. Man- delstam ^a obtenu la formule suivante _pour l’intensité diffusée dans un

angle

^solide

^dQ

^autour de la direc- tion

(cp, Oq)

^{à la}

température

^{T :}

À et

10

^{sont la}

longueur

^{d’onde et} l’intensité du _rayon-

nement

incident; kB le

facteur de

Boltzmann;

^{ex la}

tension

superficielle; ⁰ l’angle d’incidence; 6q ^l’angle

de diffusion et cp

l’angle

que fait le

plan

de diffusion

avec le

plan

d’incidence. Le vecteur d’onde _q de la fluctuation de surface

responsable

^{de cette diffusion}

est donné en module _{par :}

Enfin,

^{le facteur}

angulaire 1(8, Oq, c~) dépend

peu de (p, pour p 1.

Pour cp ⁼

0,

^{il est donné} par les formules

suivantes,

1> et étant les

angles

de réfraction

régulière

^et

diffuse :

a) Champ électrique

^{dans le}

plan d’incidence :

h) Champ électrique perpendiculaire

^au

plan

^d’in-

cidence :

On voit ^sur la formule

(17)

que ^le rendement de diffusion

DIII,

^{est d’autant}

plus grand

que q ^est

plus petit. (18)

^{montre alors}

qu’on

^a intérêt à étudier la diffusion dans le

plan

d’incidence

(c~

⁼

0)

^{et dans}

une direction aussi voisine que

possible

^{de la réflexion}

régulière (8q ~ ^{6) .}

^{Dans la}

^pratique,

^{on devra se}

limiter à :

(8q - 8) N quelques

^minutes

d’angle,

^soit

avec une lumière

visible, à q N

^{300 cm-l. Dans ces}

conditions, (19 a)

^montre

qu’en polarisation parallèle

il faut éviter l’incidence de

Brewster (e ⁺

^(D

= n/2)

qui supprime

^la réflexion diffuse comme la réflexion

86

régulière. D’ailleurs,

^{si on travaille sous}

angle

^d’inci-

dence

faible, (19 a)

^et

(19 b)

^se

simplifient

^et

prennent

la même forme :

où n est l’indice de réfraction du fluide.

Substituant

(20)

^dans

(17),

^{on trouve :}

IV . 2. DisCUSSION.

- a)

^Du

point

^{de vue}

expéri- mental,

^{il est clair} que l’on ^a intérêt à travailler en

lumière

cohérente,

^{à la fois du fait} des faibles

angles impliqués (la dispersion angulaire

^d’un faisceau laser

est de l’ordre de la

demi-minute),

^et parce que l’on pourra faire

l’analyse

^en

fréquence

^{de la lumière}

diffusée.

Prenons par

exemple

^les

caractéristiques numériques

d’un interface eau-air à

l’ambiante,

^{soit :}

et un

rayonnement

^de

0,5

!-le Si l’on observe à 10’ de la direction de réflexion

régulière,

^{on vérifie}

qu’on

^est

largement

^en

régime périodique

^et la formule

(21)

donne la valeur suivante _pour le rendement de réflexion diffuse _par unité

d’angle

^{solide :}

et les formules

(8 a),

pour le

déplacement

^de

fréquence

et la

largeur

^{de raie :}

Ces valeurs

permettent d’espérer qu’une expérience

effectuée dans ces conditions donnerait facilement des résultats

positifs.

Notamment l’ordre de

grandeur

^du

rendement

(obtenu grâce

^aux faibles écarts

angulaires choisis)

^est

largement supérieur

^aux rendements ordi- naires de diffusion en volume.

b)

^La formule de Mandelstam ne

dépend

pas de la

viscosité,

^{donc du}

régime

des fluctuations. En

régime périodique,

^{la lumière est diffusée suivant les deux com-}

posantes

d’un doublet « Brillouin _»; chacune de ces

composantes correspond

^{à l’une} des deux racines réel- les de la relation de

disp.ersion

^{ce = + En}

régime apériodique,

^cette relation n’a

qu’une

^racine

imaginaire physiquement

intéressante :

et la lumière est diffusée suivant ^une seule raie centrale

(non déplacée

^en

fréquence)

^de

largeur

y. On pour- rait en

principe envisager

de suivre l’évolution du

spectre

d’une forme à

l’autre,

par

simple

^variation

de

(620136),

c’est-à-dire de q,

passant

^d’un

régime

d’amortissement

» 1

^{à l’autre}

1

Mais il faudrait

augmenter q

^d’au moins deux ordres de

grandeur,

^{donc diminuer}

dI)4

^{d’un fac-}

teur

104,

^et l’on serait limité par la sensibilité de

l’expérience.

^On

pourrait

par ^contre observer

plus

facilement les deux

types

^de

spectre

^sur deux fluides de viscosités très différentes : _par

exemple

^l’eau

(dou- blet)

^{et une huile}

épaisse

^{de viscosité} J1 ^~ 1

gj(cm.s) (raie centrale).

Remarque.

^{- Une des} difficultés

expérimentales majeures

sera sans doute d’assurer à la surface une

propreté rigoureuse.

^Des

poussières

détermineraient

une diffusion centrale

susceptible

^de masquer la raie

«

apériodique

^».

c)

^{Dans cette}

section,

^{nous n’avons discuté}

jus- qu’ici

que ^{le cas de la} surface libre d’un

fluide,

^donc

d’un seul indice de réfraction. A

partir

des calculs de

Rayleigh [3],

^on

peut

^montrer que la

présence

d’un film

superficiel

^mince

(h C A),

introduisant un

deuxième

indice, augmente

^en

général

^{le rende-}

ment

DIII.,

par réflexions

multiples

^{sur les deux faces}

du film. On

peut

^donc

envisager

de vérifier des lois de variation

plus particulières,

^telles que :

V. Conclusion. ^- La méthode de diffusion inélas-

tique

de lumière cohérente _que nous venons de décrire devrait

permettre

une mesure

précise

des coefficients de tension

superficielle

^{et de viscosité}

[5].

^oc

pourrait

être déduit soit d’une mesure d’intensité diffusée

(formule

de Mandelstam

(17)),

^{soit - avec une}

meilleure

précision

^{- du}

^spectre

^{diffusé. En}

régime périodique

^par

exemple, ^rx1l2

^est

proportionnel

^au

dépla-

cement de

fréquence,

tandis que la

viscosité n

^{est donnée}

par la

largeur

^{de la} raie diffusée

(formules (8 a) ) .

Nous avons vu aussi que

l’analyse

^en

fréquence

per- mettrait de vérifier des

expressions particulières

^telles

que

(15).

Une

application

intéressante consisterait à suivre la décroissance de ce à

l’approche

^d’un

point critique thermodynamique

^{ou d’un}

point

^de

démixtion,

^c’est-à-

dire

lorsque

^la

séparation

^{des deux}

phases

^{est sur le}

point

^de

disparaître.

Il n’existe pas, à ^notre connais- sance, de théorie

acceptable

^{de ce}

phénomène.

^Du

point

^{de vue}

expérimental,

^{il est} certain que dans le

cas

général

^une

complication importante

résulterait de l’annulation simultanée de la différence des indices de réfraction

(voir

^formule

(21 ) ) .

^Par contre, ^on

peut envisager l’expérience

^{dans le cas d’un film}

superfi-

ciel l’ sur un fluide 1 au

voisinage

^du

point

^{de mixtion}

de ces deux

phases. Plaçons-nous

par

exemple

^en

régime périodique;

nous avons vu

(formule ( 14) )

^{que :}

m2 = ~’ + «

q3.

L’évolution en

température

^{de l’écart}

P

entre les

composantes

du doublet Brillouin

permettra

de déterminer la loi

oc(T)

^en supposant ^{connues les}

dépendances

^rx’

( T)

^et

p ( T ) .

Remerciements. ^-

J’adresse

^mes remerciements à M. le Professeur P. G. de Gennes

qui

^m’a

proposé

^d’étu-

dier ce

problème

^{et m’a} fait bénéficier de ses remarques.

Notes

ajoutées

^sur

épreuves.

1 ~ Ce travail était achevé

lorsque ^parut

^{une note}

expérimentale

^se

rapportant

^{au même}

sujet [Ka- tyl (R. H.)

^et

Ingard (U.), Phys.

^Rev.

Lett., 1967, 19, 64].

^Ces auteurs ont cherché à étudier la diffusion de lumière à la surface libre du méthanol d’une

part,

^de

l’isopropanol

^d’autre

part;

^mais les résultats

(prélimi- naires)

^{obtenus ne sont} pas très

probants

du fait des écarts

angulaires

considérables

qu’ils

^{se sont fixés}

(cep = ^{50-, 0}

⁼

^800, Oq

⁼

^700).

^{Il est même}

surprenant, compte

^{tenu de ces}

écarts,

^{de voir les auteurs cités}

attribuer la moitié de leur

signal

^{à la} diffusion de

surface,

l’autre moitié seulement étant attribuée à la diffusion en volume.

20 Il est intéressant de

rappeler

que le

concept

^de tension

superficielle

ne concerne pas que les interfaces de milieux fluides. Ainsi W. W. Mullins et R. F. Se- kerka

( J. Appl. Phys., 1964, 35, 444), prenant

^en

compte

la tension

superficielle

^à l’interface

liquide-

solide d’un

alliage

^binaire

dilué,

^{en cours} de solidifi-

cation,

^ont pu aboutir à ^un critère

général

^{de stabilité}

de forme de l’interface. Il est clair en effet que la tension

superficielle

^oc

(notre notation), jouant

par définition le rôle de constante de

rappel

^à

l’égard

des

courbures,

^{tend à} stabiliser la

planéité

de l’inter- face. Dans le modèle de Mullins et

Sekerka,

^{la loi}

d’évolution d’une

perturbation superficielle comporte

un terme d’amortissement

proportionnel

^{à oc. C’est}

également

^{le cas dans notre}

expression (8 b) :

y ⁼

2 ,

relative au

régime apériodique. [Je

suis reconnaissant à M. le Professeur

J.

^Friedel d’avoir bien voulu me

signaler

^cette

analogie.]

BIBLIOGRAPHIE

[1]

^LANDAU

(L. D.)

^{et LIFSHITZ}

(E. M.),

^{Course of theo-}

retical

Physics :

^{« Fluid Mechanics ».}

[2]

^{LANDAU et LIFSHITZ}

[1]

^{font une} distinction

analogue

dans le cas d’ondes de surface

purement

^«

gravita-

tionnelles » à la surface libre d’un fluide.

[3]

^RAYLEIGH

(J. W.),

Scientific

Papers,

^{V 322, 388.}

[4]

MANDELSTAM

(L. I.),

^{Ann. der}

Physik,

^1913, 41, ^609.

[5]

^{Une telle}

expérience

^est actuellement

projetée

par Mme M. BOUCHIAT et

M. J.

^{MEUNIER au Labora-}

toire de

Physique

^de

l’École

^Normale

Supérieure.