Modèle MA(q):•

(1)

Prof. Mohamed El Merouani Département de Statistique et Informatique

Faculté Polydisciplinaire de Tétouan Université Abdelmalek Essaâdi e-mail: [email protected]

Chapitre 2: Modèles linéaires (de Box-Jenkins)

1

Modèle MA(q):

• Un modèle MA(q) est donné par

Y

_t

=ε

_t

-θ

₁

ε

_t-1

-θ

₂

ε

_t-2

-…-θ

_q

ε

_t-q

• ou en utilisant l’opérateur des retards:

Y

_t

= (1- θ

₁

L- θ

₂

L

²

-…- θ

_q

L

^q

) ε

_t

=θ(L)ε

_t

• Si on multiplie les deux membres par de ce modèle par Y

_t-τ

, et si on calcul des

espérances mathématiques, …

(2)

3

( )

 



>

= +

+ +

= −

⁺ ⁻

q

τ τ σ

θ θ θ

θ

γ

_τ

θ

^τ ^τ ^τ ^ε

0 , , 2 ,

2

1

Λ Κ

(

¹² ²

)

²

0

1 θ θ σ

_ε

γ = + + Λ +

_q

on obtient les résultats suivants:

Par conséquent, dans les auto-covariances existe une brusque coupure en q,

puisqu’après ce retard leurs valeurs sont égales à 0.

Prof. Mohamed El Merouani

• Le même phénomène se présente avec les coefficients d’auto-corrélations qui viennent données par:

• Lorsqu’on a analysé les propriétés d’un MA(1), on a remarqué que |R₁|≤1/2.

• En général, les coefficients des auto- corrélations R_τ d’un MA(q) sont bornés.

4







>

+ = + + +

+ + +

−

= ⁺ ⁻

q

R _q q

q q

τ θ τ

θ θ

θ θ θ

θ

_τ _τ _τ

τ

0

, , 2 , 1 ₁² ₂² ² 1

1

1 Κ

Λ Λ

(3)

5

Ordre du retatrd

(τ)

Ordre du processus des moyennes mobiles (q)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 ^0,50 ^0,71 ^0,81 ^0,87 ^0,90 ^0,92 ^0,94 ^0,95 ^0,96 ^0,97 ^0,97 ^0,97 ^0,98 2 ^0,50 ^0,50 ^0,71 ^0,71 ^0,81 ^0,81 ^0,87 ^0,87 ^0,90 ^0,90 ^0,92 ^0,92 3 ^0,50 ^0,50 ^0,50 ^0,71 ^0,71 ^0,71 ^0,81 ^0,81 ^0,81 ^0,87 ^0,87 4 0,50 0,50 0,50 0,50 0,71 0,71 0,71 0,71 0,81 0,81 5 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,71 0,71 0,71 0,71

6 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,71 0,71

7 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50

8 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50

9 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50

10 ^0,50 ^0,50 ^0,50 ^0,50

11 ^0,50 ^0,50 ^0,50

12 ^0,50 ^0,50

13 0,50

On donne les valeurs maximales des coefficients des auto-corrélations d’un MA de différents ordres.

• Pour qu’un MA(q) soit inversible, il faut que les racines de l’équation polynomiale:

1- θ₁L- θ₂L²-…- θ_qL^q=0 tombent en dehors du cercle unité.

(4)

Modèles mixtes auto-régressifs- moyennes mobiles (ARMA):

• Un modèle ARMA(p,q) est définie par:

Y_t-Φ₁Y_t-1-Φ₂Y_t-2-…-Φ_pY_t-p=ε_t-θ₁ε_t-1-θ₂ε_t-2-…-θ_qε_t-q

• En utilisant les opérateurs polynomials de retards, le modèle vient dans sa forme compacte:

7

t

t L

Y

L⁾

θ

⁽ ⁾

ε

( =

Φ

• Pour que le modèle soit stationnaire, il faut que les racines de l’équation polynomiale

Ф(L)=1-θ₁L- θ₂L²-…- θ_qL^q=0 tombent en dehors du cercle unité.

• Si les conditions de stationnarité sont vérifiées, le modèle ARMA(p,q) peut s’exprimer comme un MA(∞) et se représente de la forme suivante:

• Par conséquent, les coefficients de l’opérateur polynolial , qui a une infinité de termes, doivent satisfaire l’identité suivante:

8

t t

t L

L

Y θ L ε ψ ε ) ) (

( )

( =

= Φ ) ψ(L

) ( ) ( )

(L

ψ

L ≡

θ

L Φ

(5)

ou, par une notation plus détaillée,

A partir de cette identité, on peut déduire un ensemble d’équations qui nous donnent les ψ_i, en fonction des coefficients Фh et θ_i. Ainsi, dans un modèle ARMA(1,1), l’identité

antérieure sera:

Développant le produit du premier membre et regroupant selon le degré de l’opérateur retard, on obtient:

9

(

¹⁻^Φ¹^L⁻^...⁻^Φ^p^L^p

)(

¹⁺^ψ¹^L⁺^ψ²^L²⁺^...

) (

^≡ ¹⁻^θ¹^L⁻^...⁻^θ^q^L^q

)

(

^L

) (

^L ^L

) ⁽

1^L

⁾

2

2 1

1 1 ... 1

1−Φ +ψ +ψ + ≡ −θ

(

^L ^L ^L

) (

1^L

)

3 2 1 3 2 1 1 2 1

1 ) ( ) ( ) ... 1

(

1+ ψ −Φ + ψ −Φψ + ψ −Φψ + ≡ −θ

• En égalisant, terme à terme, les coefficients des différentes puissances de L des deux membres, on obtient:

• Pour τ>1, les coefficients ψ_τpeuvent s’obtenir de forme récursive à partir de l’équation aux différences

1 1

1

θ

ψ

−Φ = − d’où

ψ

¹ = Φ¹ −

θ

¹

1 0

1

2 −Φ

ψ

=

ψ

d’où

ψ

² = Φ¹

ψ

¹

1

1 −

Φ

= _τ

τ

ψ

pour τ>1

(6)

• De forme analogue, dans un modèle ARMA(p,q), les coefficients ψ₁ ,ψ₂,… ψ_i peuvent s’obtenir à partir de l’identité

• Les valeurs de ψ_τpourτ>q peuvent se déduire de l’équation aux différences suivantes:

• Pour qu’un modèle ARMA(p,q) soit inversible, il faut que les racines de l’équation

polynomiale Ф(L)=1- θ₁L- θ₂L²-…- θ_qL^q=0 tombent en dehors du cercle unité.

11

) ( ) ( )

(L

ψ

L ≡

θ

L Φ

p

p −

− + +Φ

Φ

= _τ _τ

τ

ψ ψ

ψ

₁ ₁ ^...

_τ>q

• Si les conditions d’inversibilité sont verifiées, le modèle ARMA(p,q) peut s’exprimer en fonction d’un AR(∞):

où

• Les coefficients de l’opérateur polynomial π(L) doivent satisfaire l’égalité suivante:

12

t t

t Y L Y

L

L ( )

) (

)

( π

ε = Φθ =

( )

L =¹−π1L−π2L² −^...

π

) ( )

( )

(L

θ

L ≡Φ L

π

(7)

• Par un raisonnement identique à celui fait pour passer à un MA(∞), on obtient que, pour τ>p, les coefficients

π

_τ vérifient l’équation aux différences suivante

• Dans le modèle ARMA(p,q), la moyenne est nulle. Si on ajoute au second membre un

terme constant δ, la moyenne du processus se déduit de l’expression suivante:

• Donc

13

q

q −

− + +

= _τ _τ

τ θπ θ π

π ₁ ₁ ^... ^τ>p

[

L Yt

]

E

[

L t

]

E Φ⁽ ⁾ =δ + θ⁽ ⁾ε

( )

=δ Φ(L)E Yt

• Si le processus est stationnaire, alors E(Y_t)=µ, pour tout t, et alors

puisque lorsqu’on applique l’opérateur L à une constante –dans ce cas δ- on obtient la valeur de la constante elle-même.

• Dans la suite, nous examinons les propriétés d’un modèle ARMA(1,1), pour les généraliser, après, à un processus ARMA(p,q).

p p

pL

L = −Φ − −Φ

Φ

−

− Φ

= −

...

1 ...

1 ₁ ₁

δ µ δ

(8)

Modèle ARMA(1,1):

• Un modèle ARMA(1,1) est donné par l’expression

• En multipliant les deux membre du modèle par Y_t-τet en prenant les espérances de tous les termes, on obtient:

• En tenant compte que

15

1 1

1 − + − −

Φ

= _t _t _t _t

t Y

Y ε θε

[

τ

]

τ

[

τ

] [

τ

]

τ

γ ε θ ε

γ = E Y

_t

Y

_t₋

= Φ

₁ ₋₁

+ E

_t

Y

_t₋

−

₁

E

_t₋₁

Y

_t₋

[ ] ε

_t

Y

_t

= σ

ε²

E

[ ε

_t₋1Y_t

]

= E

[ ε

_t₋1

(

Φ1Y_t₋1 +

ε

_t −

θ

1

ε

_t₋1

) ]

=

(

Φ1−

θ

1

) σ

ε²

E

• Pour τ=0, on obtient l’expression suivante

• Pour τ=1, on trouve facilement,

• Pour τ>1, il résulte que

• Si on substitue la valeur de γ₁trouvée pour τ=1, dans l’expression trouvée pour τ=0, on obtient

16

(

1 1

)

²

1 2 1

1

0

γ σ

ε

θ θ σ

ε

γ = Φ + − Φ −

2 1 0 1

1

γ θ σ

ε

γ = Φ −

1

;

1

>

Φ

= γ

₋

τ

γ

_τ _τ

[

¹ ⁰ ¹ ²

]

² ¹

⁽

¹ ¹

⁾

²

1

0

γ θ σ

ε

σ

ε

θ θ σ

ε

γ = Φ Φ − + − Φ −

(9)

• Après, quelques opérations, on trouve

• Et si on substitue cette valeur obtenue dans l’expression pour τ=1, et après quelques opérations, on obtient

• En divisant cette dernière expression de γ₁et l’expression de γ_τ(τ>1) obtenue avant, par γ₀, on obtient la suite suivante des coefficients d’auto- corrélations

17

2 2

1 2 1 1 1

0 1

2 1

σ

ε

θ γ θ

Φ

− + Φ

= −

( )( )

²

2 1

1 1 1 1

1 1

1

σ

ε

θ γ θ

Φ

−

− Φ Φ

= −

( )( )

2 1 1 1

1 1 1 1

1 1 2

1

θ θ

+ Φ

−

− Φ Φ

= − R

1

;

1

>

Φ

=

_τ₋

τ

R

Dans les figures suivantes, on représente la fonction d’auto-corrélation correspondante à quatre modèles ARMA(1,1).

(10)

19 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

(a) Y_t-0,5Y_t-1=ε_t+0,5ε_t-1

20 -1,5

-1 -0,5 0 0,5 1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

(b) Y_t+0,8Y_t-1=ε_t-0,8ε_t-1

(11)

21

(c) Y_t-0,8Y_t-1=ε_t-0,5ε_t-1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

(d) Y_t-0,5Y_t-1=ε_t-0,8ε_t-1

(12)

Remarques:

• Les coefficients d’auto-corrélations décroisent toujours en valeur absolue en tenant comme condition initiale R₁.

• Rappelons que dans les modèles AR(1), il y avait aussi une décroissance exponentielle mais la condition initiale était R₀.

• Dans quelques modèles, comme les cas (a) et (b), la partie des moyennes mobiles atténue

considérablement la condition initiale à partir de laquelle commence la décroissance

exponentielle.

23 Prof. Mohamed El Merouani

• Dans les figures suivantes, on représente une réalisation correspondante à chacun des quatre modèles.

24 Prof. Mohamed El Merouani

(13)

25

(a) Y_t-0,5Y_t-1=ε_t+0,5ε_t-1

Nombre d’observations: 120

(b) Y_t+0,8Y_t-1=ε_t-0,8ε_t-1

(14)

27

(c) Y_t-0,8Y_t-1=ε_t-0,5ε_t-1

28

(d) Y_t-0,5Y_t-1=ε_t-0,8ε_t-1

(15)

Modèle ARMA(p,q):

• Un modèle ARMA(p,q) est donné par l’expression:

Y_t-Φ₁Y_t-1-Φ₂Y_t-2-…-Φ_pY_t-p=ε_t-θ₁ε_t-1-θ₂ε_t-2-…-θ_qε_t-q

• Et si dans cette expression, on multiplie les deux membre du modèle par Y_t-τet en

prenant les espérances de tous les termes, on obtient:

Prof. Mohamed El Merouani 29

[ ] [

τ τ

] [

τ

]

τ τ

τ γ γ ε θ ε θ ε

γ −Φ₁ ₋₁−...−Φ_p ₋_p=E _tY_t₋ − ₁E _t₋₁Y_t₋ −...− _qE _t₋_qY_t₋

• Pour le calcul des espérances du second membre, il faut tenir compte que

• Par conséquent, on vérifie que

Cette équation aux différences permet

d’obtenir les auto-covariances à partir de τ>q.

• D’une façon analogue, on divise par γ₀, on obtient:

[

^Y

]

^pour ^t ^t

E ε _t _t_' = 0 '<

q

p pour

p = >

Φ

−

− Φ

− γ ₋ γ₋ τ

γ_τ 1 _τ 1 ^... _τ ⁰

q pour R

R

R_τ−Φ1 _τ₋1−^...−Φ_p _τ₋_p=⁰ τ>

(16)

• Cette dernière équation aux différences nous permet d’obtenir les coefficients d’auto-

corrélations pour τ>q.

Lors de la détermination des qpremières valeurs de R_τintervient la partie des moyennes mobiles du modèle.

• Dans les modèles ARMA(p,q), il convient de factoriser la partie autorégressive et la partie des moyennes mobiles pour voir si il existe des racines communes.

• Soient λ₁,λ₂,…,λ_p les racines de l’équation aux différences

et soient δ₁,δ₂,…,δ_q les racines de l’équation aux différences

δ^q-θ₁δ^q-1-…-θ_q=0

• Une forme alternative d’exprimer le modèle ARMA(p,q) sera, par conséquent, la suivante:

0

1 ...

1 − −Φ =

Φ

− ⁻ p

p

p λ

λ

( ¹ ⁻ ^λ

¹

^L ) ^... ( ¹ ⁻ ^λ

^p

^L ) ^Y

^t

⁼ ⁽ ¹ ⁻ ^δ

¹

^L ⁾ ^... ( ¹ ⁻ ^δ

^q

^L ) ^ε

^t

(17)

• S’il existe une certaine racine identique pour les deux membres (par exemple, si λ₁=δ_q) alors le modèle ARMA(p,q) sera excessivement

paramétré d’une manière inutile, puisqu’un modèle avec les mêmes propriétés sera un ARMA(p-1,q-1).

• Dans ce cas, on vérifie que

( ¹ − ^λ

²

^L ) ^... ( ¹ − ^λ

^p

^L ) ^Y

^t

= ( ¹ − ^δ

¹

^L ) ^... ( ¹ − ^δ

^q−¹

^L ) ^ε

^t

Processus non-stationnaires

• Pour les processus que l’on a vu avant dans ce cours, on a supposé les conditions de

stationnarité ou d’inversibilité.

• Mais, comme on a déjà mentionné, la majorité des séries temporelles du domaine de l’économie doivent être considérées comme générées par des processus non-stationnaires.

• Alors, on doit aussi inclure dans notre étude, des séries temporelles de l’économie, basée sur les processus stochastiques, au moins un certain type de processus non-stationnaires.

(18)

• En principe, on peut imaginer une infinité de manières par lesquelles on peut introduire la non-stationnarité en un processus. Néanmoins, il nous intéresse de considérer seulement quelques types de processus non stationnaires qui soient adéquats pour décrire le comportement des séries économiques, et, au même temps, ils soient facilement transformables en processus stationnaires pour pouvoir profiter des avantages qui offrent ces derniers.

• Dans cette perspective, parmi les modèles non stationnaires, on considère, en un premier lieu, comme introduction, le modèle:

t t

t Y

Y = ₋₁+ε

• Ce modèle

Y

_t

=Y

_t-1

+ε

_t est un AR(1) avec le coefficient Ф₁=1.

• Ce modèle s’appelle aussi « marche aléatoire » ou « random walk ».

• Si le processus débute en un passé lointain, par des substitutions successives, on peut l’exprimer ainsi:

• La variance de ce processus est infinie comme nous avons déjà vu, et par conséquent, il est non stationnaire.

∑

^∞

= −

=

0 j

j t

Yt ε

(19)

• Si on suppose, de nouveau, que le processus commence en , la variance pour la période t sera donnée par l’expression

suivante:

• Ce processus est non stationnaire puisqu’il prend des valeurs distinctes pour chaque t.

• D’une manière analogue, on obtient l’auto- covariance d’ordre τpour l’instant t

+ 1

− N

( )

²

,

0

σ

ε

γ

t

= ^t + ^N

( )

²

, ε

τ τ σ

γ _t = t+ N −

• Le coefficient d’auto-corrélation d’ordre τpour l’instant tsera

• La valeur que prend R_t dépend clairement de l’instant tde référence. Mais, pour t

suffisamment grand, sa valeur se situe très proche de 1. Lorsque t tend vers l’infini (ou bien lorsque l’instant initial remonte vers -∞) alors le coefficient d’auto-corrélation n’est défini.

N t

N t N

t N t

N R t

t t

t

+

−

= +

− + +

−

= +

=

−

τ τ

τ γ

γ γ

τ τ τ

, 0 , 0

, ,

(20)

• Mais, le processus « Marche aléatoire » Y_t=Y_t-1+ε_t

peut être transformé facilement en un processus stationnaire.

• En effet, le processus

w_t=Y_t-Y_t-1=∆Y_t Donc w_t=∆Y_t=ε_t

c’est-à-dire, le processus transformé –obtenu en prenant les différences premières dans le processus original- est exactement le « bruit blanc »

• En prenant des différences de premier ordre, on passe de Y_t au processus w_t.

• Considérons, maintenant, le cas inverse, c’est- à-dire comment obtenir Y_t à partir du

processus w_t.

• Par substitutions successives, on a Y_t=w_t+Y_t-1=w_t+w_t-1+Y_t-2

………

=w_t+w_t-1+w_t-2+w_t-3+w_t-4+…

• Par conséquent, le processus Y_ts’obtient en sommant, ou ce qui est le même, en intégrant le processus w_t.

(21)

• Pour cette raison, on dit que la « marche aléatoire » appartient à la classe des modèles intégrés.

• Cette classe est constituée par tous les modèles qui peuvent être transformés en des modèles stationnaires en prenant des différences d’un ordre déterminé, ou autrement dit, les modèles intégrés sont ceux qui peuvent être obtenus par une somme ou une intégration d’un processus stationnaire.

• On appelle ces modèles aussi des modèles non stationnaires homogènes et ils étaient étudiés par Tintner (1940), Tintner et Rao (1963), Yaglom (1955) et finalement par Box et Jenkins (1976) qui ont largement contribué à leur divulgation.

• Á un processus intégré Y_t, on l’appelle un processus ARIMA(p,d,q) si en prenant des différences d’ordre don obtient un processus stationnaire w_tdu type ARMA(p,q).

• La lettre «I » au centre du terme ARIMA est une abréviation d’intégré.

• Ainsi, on a

w_t=∆^dY_t=(1-L)^dY_t

(1-Ф₁L-…-Ф_pL^p)w_t=(1-θ₁L-…-θ_qL^q)ε_t

• En une forme plus réduite, un processus ARIMA(p,d,q) est défini par:

Ф(L)(1-L)^dY_t=θ(L)ε_t

(22)

• Les modèles ARIMA constituent une classe particulière des processus non stationnaires.

Quand même, dans plusieurs cas, ils sont

suffisantes pour représenter le comportement des séries économiques.

• Lorsqu’une série économique est observée le long d’une période dilatée du temps, il arrive fréquemment que la variance vient affectée par une tendance, et cette tendance ne

disparaissent pas par la prise des différences.

• Lorsque cette circonstance se présente, la transformation adéquate consiste à introduire des logarithmes.

Exercices

Ex. 1:

Soit le modèle AR(1) suivant:

Y_t=0,8Y_t-1+ε_t σ_ε²=2

On demande:

1) Est-il stationnaire?

2) Est-il inversible?

3) Calculer la suite γ₁,γ₂,…,γ₅. 4) Calculer la suite R₁, R₂,…, R₅.

5) Calculer les coefficients ψ₁,ψ₂,…,ψ₅du modèle MA(∞) en lequel, c’est si possible, peut se transformer le modèle AR(1) donné.

(23)

Ex. 2:

Soit le modèle MA(1) suivant:

Y_t= ε_t-0,9ε_t-1 σ_ε²=4

On demande:

3) Calculer la suite γ₁,γ₂,…,γ₅. 4) Calculer la suite R₁, R₂,…, R₅. 5) Calculer les coefficients π₁,π₂,…,π₅

correspondants au modèle inverti AR(∞).

Ex. 3:

Soit le modèle AR(2) suivant:

Y_t=0,6Y_t-1+0,3Y_t-2+ε_t σ_ε²=3

On demande:

(24)

Ex. 4:

Soit le modèle MA(2) suivant:

Y_t=ε_t-0,4ε_t-1+1,2ε_t-2 σ_ε²=2

On demande:

Ex. 5:

Soit le modèle ARMA(1,1) suivant:

Y_t=0,9Y_t-1+ε_t−0,8 ε_t-1 σ_ε²=5

On demande:

(25)

Ex. 6:

Soit le modèle ARIMA (0,1,1) suivant:

Y_t=Y_t-1+ε_t−0,9 ε_t-1 On demande de:

1) Exprimer l’équation antérieure comme un modèle AR(∞).

2) On notant π_i les coefficients du modèle AR(∞), démontrer que

Cette démonstration est-elle valable pour tous les modèles ARIMA(0,1,1)?

1

∑

^∞ =

= j

πj

Références:

• Ezequiel URIEL JIMÉNEZ:«Análisis de series temporales. Modelos ARIMA», Collection ábaco, editorial PARANINFO, Madrid, 1995.

• Régis BOURBONNAIS, Michel

TERRAZA: «Analyse des séries temporelles:

Applications à l’économie et à la gestion», DUNOD, 2004.

• Sandrine LARDIC, Valérie MIGNON:

«Économétrie des Séries Temporelles Macroéconomiques et Financières», Economica, 2002.