Approximations des lois et Convergences stochastiques

Approximations des lois et Convergences stochastiques

Prof. Mohamed El Merouani 1

Chapitre 4

Approximations des lois

Approximations des lois:

• Approximation d’une loi hypergéométrique par une la loi binomiale

• Approximation de la loi binomialepar la loi de Poisson

• Approximation de la loi binomialepar la loi normale

• Approximation de la loi de Poisson par la normale

3 Prof. Mohamed El Merouani

Tendance de la loi hypergéométrique Tendance de la loi hypergéométrique

vers la loi binomiale:

vers la loi binomiale:

• Soit X

~

Si N=a+b→∞, alors H(n,a,b)

• X

~

• En pratique, cette approximation est vraie dès que

4

( )

b a

k n b k a

C C k C

X P

+

= −

=



 



→ 

N n a B ,

( )

k k

n p p

C k X

P( = ) = 1− ⁻

1 ,

< 0 N

n

Approximations de la loi binomiale Approximations de la loi binomiale

Il existe deux approximations possibles de la loi binomiale:

1. Approximation par la loi de Poisson 2. Approximation par la loi normale

5 Prof. Mohamed El Merouani

Approximation de la loi binomiale par la Approximation de la loi binomiale par la

loi de Poisson:

loi de Poisson:

Si les conditions suivantes pour net p sont réalisées:

• nest grand (n≥50),

• pest voisin de 0 (p<0,1),

C’est-à-dire dans le cas de la réalisation d’événements rares, la loi binomiale B(n,p)peut-être approximée par une loi de Poisson P(λ):

(

)

(

)

P

k k

k n k n

λ

λ

− ≈ −

−

=

=

Exemple:

• La probabilité pour qu’une machine produise une pièce défectueuse est égale à 0,01. La machine a produit 300 pièces. Donner la probabilité de reconnaître 2 pièces défectueuses dans cette production.

• Soit X« le nombre de pièces défectueuses parmi les 300 pièces ».

• On peut dire que Xsuit une B(300; 0,01).

7 Prof. Mohamed El Merouani

• La probabilité recherchée est égale à:

• Puisque la probabilité pest inférieure à 0,1 et n>50, on peut approcher la loi binomiale B(300; 0,01)par une loi de Poisson de paramètre

et écrire X

~

( X = ² ) = C

( ) ( ^{0 , 01}

^{0 , 99} )

= ^{0 , 2244} P

3 01 , 0 300× =

=

=np λ

( )

! 2

9 0498 , 0

! 2 2 3

2

3 = × =

=

= e⁻

X P

8

• Cet exemple a été donné pour permettre uniquement la comparaison. Mais, il ne montre pas la nécessité d’un recours aux approximations.

• Supposons maintenant que nous cherchons la probabilité d’avoir 10 pièces défectueuses parmi les 300 pièces.

• Le résultat exact serait de calculer

qui est difficile à calculer.

(

)

( ) (

)

P = =

9 Prof. Mohamed El Merouani

• Nous sommes amenés dans ce cas à rapprocher ce résultat du résultat donné par une loi de Poisson de paramètre 3 et de calculer

( )

! 10 10 3

10

3 =

=

= e⁻ X

P

Approximation de la loi binomiale par Approximation de la loi binomiale par

la loi normale:

la loi normale:

Si les conditions suivantes pour net psont réalisées:

• n est grand (≥20)

• p et q ne sont pas trop petites (pratiquement npq≥3) La loi binômialeB(n,p)peut être approximée par une loi normale ^N

(

)

11

( )























 −

−

⋅

≈

=

= ⁻

2

2 exp 1 1

2 1

npq np k q npq

p C k X

P _n^{k k n k}

π

•La quantité suit une loi normale centrée réduite.

npq

np t = k −

Exemple:

• Étudions la probabilité d’obtenir 5 fois pile en 20 parties de pile ou face:

– Par la loi binomiale

– Par son approximation par la loi normale.

• La probabilité d’obtenir 5 piles en 20 coups est:

0000305 ,

0 03125 , 0 504 2 15

. 1 2 . 1

! 15

! 5

! 20 2

1 2 ) 1

5

( _{5 15}

15 5 5

20  = = × ×



 



 



 



= 

= C X

P

(

)

P

12 Prof. Mohamed El Merouani

• Cette loi binomiale est approximée par la loi normale:

• On voit sur cet exemple, que pour n=20, l’approximation est très bonne.

( )

2

2 1 2 20 1

2) 20 1 ( 5 2 1

2 1 2 20 1

1 2

5 1 ^



















×

×

×

− −

×

×

=

= e

X

P π

( ) ^{12 55 21 5 25}

10 1 10

1 5

1 2 5 1

2

 −



 



 ×

−



 



−

− = =

=

= e e e

X

P π π π

08208 ,

0 17841 ,

0 ×

=

(

)

P

13

Approximation de la loi de Poisson par la Approximation de la loi de Poisson par la

loi normale:

loi normale:

) , ( λ λ N

Soit une v.a. qui suit une loi de Poisson de paramètre λ.

Si λ≥15, alors cette loi de Poisson P(λ)peut être approximée par une loi normale

Alors, la variable suit une normale centrée, réduite N(0,1). λ

λ

= X − T

Exemple:

• Une usine fabrique 400 lampes électriques à l’heure. On admet que le nombre Xde

lampes défectueuses produites en une heure suit une loi de Poisson de paramètre λ.

1. On suppose que λ=15. Calculer P(X>15).

2. Calculer cette même probabilité par son approximation par la loi normale.

15

1. Xsuit une loi de Poisson de paramètre λ.

Donc

λ=15

• La table de la loi de Poisson nous donne D’où

( )

! k k e X P

λk λ

= −

=

( )

! ) 15

15( k k e

X P

− k

=

=

⇒

( )

∑

∑

=

−

=

− = − ≤ ≤ = −

=

> ¹⁵

0 400 15

16 15

! 15 1 .

15 0

! 1 15 15 .

k

k

k

k

k X e

k P X e

P

( ) _0,568

! 15

15 .

0

15 ≈

∑

− k

k

k e

16

(

)

P

2.

17

(

)

(

)

P



 



 − ≤ −

−

= 15

15 15 15

1 X 15 P

(

)

(

)

où Φest la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite. D’après la table de la loi normale centrée réduite, on Φ(0)=0,5.

D’où, ^P

(

)

Car, comme X

~

Résumé des approximations des lois:

H(n,a,b) B(n, p)

N(np,√npq) P _(np)

1 ,

< 0 N

n

n≥50 et

n≥20 et λ=np≥15

Convergences stochastiques

19

Convergences stochastiques:

– Convergence en probabilité – Convergence en loi

– Convergence en moyenne d’ordre k – Convergence presque sûre

– Loi faible des grands nombres – Théorème de la limite centrale

20 Prof. Mohamed El Merouani

Convergence en probabilité:

Convergence en probabilité:

• On dit qu’une suite de variables aléatoires (X_n)_n converge en probabilité vers une variable aléatoire X si:

• On écrit alors

21

( ) ¹

lim ,

0 − < =

>

∀ ε

^{P X}

^X ε

n

X X

P

n→

Prof. Mohamed El Merouani

Convergence en loi:

Convergence en loi:

• On dit qu’une suite de variables aléatoires (X_n)_n de fonctions de répartition F_n converge en loivers une variable aléatoire Xde fonction répartition F si la suite (F_n)_n converge vers la fonction F en tout point x.

• Ou encore: en tout point

xЄIR, sauf aux points de discontinuités de F.

• On écrit alors , et on parle aussi de )

( ) (

limF_n x F x

n =

∞

→

X X

→L

Convergence en moyenne d’ordre Convergence en moyenne d’ordre k k ^::

• On dit qu’une suite de variables aléatoires (X_n)_n converge en moyenne d’ordre

k

variable aléatoire X si:

• Si k=2, on dit « convergence en moyenne quadratique ».

( ) ⁰

lim − =

∞

→

k

n

E X

X

23 Prof. Mohamed El Merouani

Convergence presque sûre:

Convergence presque sûre:

• On dit qu’une suite de variables aléatoires (X_n)_n converge presque sûrement une variable aléatoire X si:

• On écrit alors

( ) ^{0  = 1}



 



 − =

∞

→ n

n

X

X Lim P

X X

s p n

.

→.

24 Prof. Mohamed El Merouani

Hiérarchie des différents mode de Hiérarchie des différents mode de

convergence:

convergence:

Convergence en moyenne d’ordre k

Convergence en probabilité Convergence en moyenne d’ordre

k’ < k

Convergence presque sûre

Convergence en loi

25

Loi faible des grands nombres:

Loi faible des grands nombres:

Théorème 1:

Soit une suite de nexpériences de Bernoulli et soit Xla variable aléatoire égale au nombre de succès au cours de ces n expériences. Alors,

1 lim

a on ,

0  =



 



 − <

>

∀ ε

^p ε

n P X

n

Démonstration du théorème 1:

• On sait que X~B(n,p)

Donc E(X)=np et Var(X)=np(1–p).

• Soit la variable . On a E( f )=p

et

• En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a:

n f = X

( ) ( )

n p f p

Var = 1−

( ) ⁽

⁾

1

ε ε

n p p p

f

P − ≥ ≤ −

27 Prof. Mohamed El Merouani

Démonstration du théorème 1 (suite):

• La quantité p(1-p) est maximale en p=1/2 et elle est égale à 1/4; donc

ou

• Par conséquent:

( )

4 1

ε ε

p n f

P − ≥ ≤

( )

4 1 1

ε ε

P − < ≥ −

( f ⁻ p ^< ) ^

^{ →}

^

¹

P ε

28 Prof. Mohamed El Merouani

Loi faible des grands nombres:

Loi faible des grands nombres:

Théorème 2:

Soit une suite de X₁, X₂, …, X_n,… de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi avec E(X_i)=μ et Var(X_i)=σ² , (i=1,2,…). Alors,

où S_n= X₁+ X₂+ …+X_n.

1 lim

,

0  =



 



 − <

>

∀ ε

µ ε

n P S

n

29 Prof. Mohamed El Merouani

Démonstration du théorème 2:

• Soit S_n= X₁+ X₂+ …+X_n, on a E(S_n)=nµ et Var(S_n)=nσ²_.

• Soit la variable . E( f )= µ et

• En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a:

ou

n

f = Sⁿ

( )

f n Var

σ2

=

( )

2

ε ε σ

µ

f

P − ≥ ≤

(

^{µ ε} )

^σ _ε

P − < ≥ −

Théorème de la limite centrale:

Théorème de la limite centrale:

• Soit une suite de X₁, X₂, …, X_n,… de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi avec E(X_i)=µ et Var(X_i)=σ², (i=1,2,…). Alors, lorsque n→∞, où S_n= X₁+ X₂+ …+X_n tend vers la loi normale N(0,1), c’est-à-dire:

où Φest la fonction de répartition de N(0,1).

) (

lim x x

n n P Sⁿ

n  = Φ



 



 − ≤

∞

→ σ

µ

n n S_n

σ

µ

−

31 Prof. Mohamed El Merouani

Exemple:

• On jette 15 fois une pièce de monnaie.

Trouver la probabilité d’obtenir un nombre de faces compris entre 6 et 11.

• En notant par Xla v.a. égale au nombre de faces obtenu au cours des 15 jets, l’utilisation de la loi binomiale donne:

( )

2 1 2 11 1

6

11

6

15

15  = ≅



 



 



 



= 

≤

≤

∑

=

− k

k k

Ck

X P

32 Prof. Mohamed El Merouani

• On peut résoudre ce problème en utilisant une approximation de la loi binomiale par une loi normale.

• On sait que la loi binomiale est discrète alors que la loi normale est continue! Donc, si on suppose que la variable est continue, il faut tenir compte du fait que (X=3) devient (2,5≤X<3,5) et, par suite, dans ce problème, on doit chercher P(5,5≤X<11,5).

• La v.a. X suit une loi binomiale; elle peut donc être considérée comme la somme de n=15 v.a.

suivant toutes une loi de Bernoulli de même paramètre p. On a donc:

33 Prof. Mohamed El Merouani

X=X₁+X₂+…+X₁₅, et en posant X=S₁₅, avec

nµ=np= =7,5 et

(car E(X_i)=p et Var(2 X_i)=p(1-p)), on obtient:

151

( )

22 1− = 11 =

= p p n σ n

( )



 



 − ≤ − < −

=

<

≤ 1,94

5 , 7 5 , 11 94

, 1

5 , 7 94

, 1

5 , 7 5 , 5 5

, 11 5

,

5 Sⁿ

P X

P

(

) (

)

Φ

=

(

) ( )

Φ

=

Théorème de la limite centrale:

Théorème de la limite centrale:

Cas particuliers Cas particuliers

a) Si X~B(n,p), alors

b) Si X~P _{(λ), alors}

; npq Z

np X

n L

∞

→

− 

; X Z

n L

∞

→

−  λ

λ

où Z~N(0,1)

où Z~N(0,1)

35 Prof. Mohamed El Merouani

Démonstrations:

• Le premier résultat (a) s’appelle « théorème de De Moivre-Laplace ».

• La preuve de (a) et de (b) résulte du théorème de la limite centrale et de la propriété d’additivité des lois binomiale et de Poisson (une somme des lois binomiales est une binomiale et, de même, la somme des lois de Poisson est une loi de Poisson dont les paramètres sont les sommes des

paramètres des lois que l’on somme).

36 Prof. Mohamed El Merouani