ROBUGLASS Robot d'entretien de la pyramide du Louvre

1- Mise en situation

Le musée du Louvre sous traite le nettoyage des surfaces vitrées de la pyramide d'entrée. Le sous traitant a donc émis le besoin énoncé par le cas d'utilisation suivant :

Ainsi, la société ROBOSOFT a développé un robot qui assure de manière automatisée l’entretien de la pyramide du Louvre sans nécessiter l’intervention (difficile et périlleuse) des opérateurs directement sur l’édifice.

Grand édifice de verre et d’acier (20 mètres de hauteur pour 35 mètres de côté), la pyramide du Louvre est emblématique du musée à plus d’un titre puisqu’elle constitue également son entrée principale, son état doit donc être irréprochable.

Le robot dénommé ROBUGLASS, développé par la société ROBOSOFT, s’inspire des machines utilisées pour le lavage des sols utilisant une brosse tournante et un dispositif de raclage. La forte déclivité des faces de la pyramide, les surfaces glissantes sur lesquelles le robot doit évoluer, et la volonté de le rendre automatique pour un nettoyage rapide et optimal ont soulevé de nombreuses problématiques (voir figure 1).

On se propose d'analyser quelques aspects de sa structure et de son comportement, et de vérifier qu'il satisfait aux exigences liées au besoin du client.

Le contexte du robot est précisé par le diagramme de contexte suivant :

ROBUGLASS

Robot d'entretien de la pyramide du Louvre

figure 1

S2I A partir de Mines AADN 2009 page 2/14 Les exigences partielles liées à ce système sont énoncées par le diagramme d'exigences suivant :

2- Analyse topofonctionnelle 2.1 - Architecture générale

Le robot ROBUGLASS se compose de 4 sous ensembles distincts (voir figure 2) :

figure 2 Véhicule atelier

Porteur + outils de nettoyage

Poste de commande

Liquide de nettoyage Énergie électrique Vide

Émissions Haute Fréquence Chariot ombilical

• le porteur : qui constitue le robot qui se déplace sur la surface vitrée, emportant l’outil de nettoyage. L’outil de nettoyage est constitué d’une brosse, d’une buse qui l’arrose de produit nettoyant et d’un dispositif de raclage (raclette + essuie glace).

• le chariot ombilical : qui supporte les 2 pompes à vide (assurant une redondance pour des raisons de sécurité) et auquel sont connectées toutes les sources d’énergie provenant du véhicule atelier.

• le poste de commande : qui permet à l’opérateur de choisir le mode de commande adapté, de commander manuellement le porteur et de vérifier le bon déroulement de l’opération de nettoyage.

• le caisson de rangement intégré au véhicule de transport (véhicule atelier) : qui permet le rangement du porteur, de l’outillage et du chariot ombilical. Il contient une cuve avec sa pompe pour la préparation et le transfert du produit de nettoyage. Il permet de réaliser l’entretien courant et les petites réparations.

2.2- Description structurelle

Le porteur est constitué d’un plateau supportant les différents composants (voir figure 3 et figure 4) :

• La motricité est assurée par quatre groupes propulsion (figure 3) composés chacun d’une chenille équipée d’un motoréducteur électrique indépendant. Chaque moteur à courant continu est alimenté en électricité par un variateur, qui permet d’adapter l’énergie électrique. Un réducteur permet de réduire la vitesse de rotation et d’augmenter le couple aux roues motrices. Les roues motrices entraînent les chenilles. Un codeur incrémental permet la mesure de la position angulaire de l’arbre moteur. Chaque groupe de motorisation est asservi en vitesse.

• Huit ventouses (figure 3) sont disposées sous le plateau afin d’améliorer l’adhérence du porteur à la surface vitrée. La pression à l’intérieur des ventouses est inférieure à la pression atmosphérique, créant ainsi un effet d’aspiration et donc un effort plaqueur sur la surface vitrée. Une nourrice assure la liaison aux pompes à vide du chariot ombilical et aux ventouses.

• Des capteurs de pression (non visibles sur les schémas) contrôlent le vide dans chacune des ventouses.

• Des capteurs photoélectriques (figure 4) sont disposés à l’avant du porteur. Lorsque le porteur arrive en haut de la pyramide, les capteurs ne détectant plus la surface vitrée n’envoient plus de signal électrique, provoquant ainsi l’arrêt du robot.

• Des capteurs inductifs (figure 4) disposés sur les côtés gauche et droit du robot permettent la détection des joints de vitre en aluminium. Ils permettent de contrôler la trajectoire en mode automatique.

• Le porteur est équipé d’un boîtier de commande (figure 4) (comportant un calculateur) capable de gérer le système. Il traite toutes les informations reçues des différents capteurs et du boîtier HF et élabore les consignes pour les groupes de motorisation et l’outil de nettoyage.

• Un boîtier d’émission réception HF (figure 4) permet la communication avec le poste de contrôle.

L'outil de nettoyage (figure 3) embarqué sur le robot est équipé d’une brosse rotative alimentée en fluide de nettoyage et de deux raclettes. La brosse est entrainée par un motoréducteur. Une courroie transmet la puissance du réducteur à la brosse. Un vérin électrique permet de positionner l’outil de nettoyage dans les différentes phases et de contrôler l’effort normal entre l’outil et la surface vitrée en phase de nettoyage.

Question 1

Le diagramme SysML qui permet de définir les allocations fonctionnelles est donné figure 5. On demande de donner le nom des composants alloués à l'exécution des activités associées à l'exigence de nettoyage.

3 - Vérification de l'exigence 1.4.2 de cinématique de l'outil de nettoyage

Entre deux phases de nettoyage l'outil de nettoyage est relevé pour éviter que l'outil perturbe les mouvements du porteur lors des changements de directions. Un actionneur de type vérin électrique (voir figure 4) permet de mettre l’outil contenant la brosse en position haute ou basse et d’appliquer la brosse sur la surface vitrée. Les concepteurs ont choisi un actionneur dans la gamme proposée par le constructeur. Nous allons donc vérifier que le vérin choisi permet de satisfaire l'exigence 1.4.2.

Données constructeur pour les performances du vérin électrique:

La vitesse de sortie de tige est constante et égale à 4 mm/s quel que soit l’effort appliqué.

Le vérin (voir figure 6) est modélisé par le corps 1 et la tige 2 respectivement en liaison pivot d’axe

( )

^{A, Xp et}

( )

^{B, Xp} avec le porteur 5 (considéré comme fixe par rapport à la surface vitrée 0), et le support d’outil 3. Ce dernier

S2I A partir de Mines AADN 2009 page 4/14 est en liaison pivot d’axe

( )

^{C, Xp} avec le porteur. La brosse 4 est en liaison pivot d’axe

( )

^{D, Xp} avec le support d’outil 3. Le point de contact entre la brosse 4 et la surface vitrée fixe 0 est noté I (Document Réponse Question 10).

Question 2

Ecrire la fermeture géométrique du cycle CABC sous forme vectorielle en fonction de a, b, c, d et

λ

^.

Question 3

Dessiner les figures de changement de base planes correspondant aux rotations d'angles θ1 et θ3. Question 4

Projeter l’expression obtenue à la question B1 sur l’axe Y . p

Question 5

Projeter l’expression obtenue à la question B1 sur l’axe Z . _p Question 6

On considère que la brosse est en contact avec le sol pour : θ3 =0 rad. Pour cette valeur de θ3, en déduire l’expression de λ en fonction uniquement des longueurs a, b, c et d.

Question 7

Effectuer l’application numérique en considérant la longueur (d - b) négligeable devant (a + c).

Question 8

En position haute, la longueur λ vaut 380 mm. En déduire la course totale du vérin entre deux positions extrêmes.

Question 9

En vous appuyant sur les valeurs de l'exigence 1.4.2, et en supposant la vitesse de sortie de tige constante, valider le choix du vérin effectué par le concepteur.

On considèrera dans cette partie que la brosse ne tourne pas par rapport au support d’outil 3. Afin de préserver la surface vitrée d’une part, et de ne pas perturber l’équilibre du robot d’autre part, la vitesse de l’outil lorsque celui-ci impacte la vitre au point I doit être limitée selon les valeurs de l'exigence 1.4.2. Comme le porteur est fixe par rapport à la surface vitrée, on a ^{V I,3 / 0}

( )

^{=V I, 3 / 5}

( )

^.

Question 10

Définir le mouvement du solide 2 par rapport au solide 1. En déduire la vitesse de sortie de tige qui peut être caractérisée par le vecteur V B,2 / 1 , sa norme sera déterminée à l’aide des données constructeur. Reporter ce

( )

vecteur sur le document réponse.

Question 11 Définir :

• le mouvement du solide 2 par rapport au solide 3.

• le mouvement du solide 1 par rapport au solide 5.

• le mouvement du solide 3 par rapport au solide 5.

Question 12

Exprimer ^{V B,2 / 5}

( )

en fonction de V B,1 / 5 et

( )

V B,2 / 1 .

( )

Question 13

Déterminer graphiquement V B,3 / 5 en faisant apparaître toutes les constructions utiles.

( )

Question 14

Déterminer graphiquement V I,3 / 5 en faisant apparaître toutes les constructions utiles. Conclure.

( )

4 - Vérification de l'exigence 3.2 d’adhérence en phase de changement de trajectoire

On souhaite déterminer si l'exigence 3.2 d’adhérence en phase de changement de trajectoire est satisfaite. Lors d’un changement de trajectoire les moteurs des 4 groupes de propulsion tournent à des vitesses différentes et l’on souhaite également connaître le rapport entre les différentes vitesses de rotation afin de programmer la partie commande. Pour cela, on adopte la modélisation présentée figure 7, qui représente un mouvement de rotation du porteur 5 par rapport à la surface vitrée 0 de centre I50, on notera ^Ω

(

^{5 / 0}

)

^{= −ω50Zp} le vecteur rotation avec ω50>0.

On connaît la valeur V0, égale à la vitesse nominale définie par l'exigence 1.2.1.1, de la vitesse du point C telle que

( )

^{0 p}

V C,5 / 0 =V Y . On cherche à déterminer la vitesse de glissement aux points A’1 et A’2. On supposera pour cette étude que les liaisons pivot entre le porteur 5 et les différents châssis de chenille 11 sont fixes en raison de la planéité des vitres.

Question 15

Déterminer ω50en fonction de R et V0, puis les vitesses de A1 et A2 liées au porteur 5 par rapport à la surface vitrée 0 en fonction de V0, D, d, e et R.

Question 16

Montrer que ^{V A ,5 / 0}

(

¹

)

=V A ' ,5 / 0

(

¹

)

(vitesse du point A1 et A’1 dans le mouvement de 5 par rapport à 0). Le rayon des roues sera noté r.

On suppose que la chenille 14 s’enroule sans glisser sur la roue motrice 12, en liaison pivot d’axe

(

^{A , X1 p}

)

^{avec le}

châssis 11, de telle sorte qu’au point A’1 on peut écrire : V A ' ,14 / 5

(

¹

)

= V A ' ,12 / 5

(

¹

)

. Question 17

Déterminer V A ' ,14 / 5 en fonction de la vitesse de rotation

(

¹

)

ω1 de la roue motrice 12 et de son rayon r. On a

(

^{12 / 5}

)

^{=−ω1 Xp avec ω1 >0}

Ω .

Question 18

En déduire V A ' ,5 / 0 en fonction de

(

¹

)

V A ' ,14 / 0 , de r et de

(

¹

)

ω1.

Par définition, la vitesse de glissement entre la chenille 14 et la surface vitrée 0 est V A ' ,14 / 0 . On suppose que

(

¹

)

cette vitesse de glissement est portée par le vecteur X . p

Question 19

Déterminer la norme de la vitesse de glissement V A ' ,14 / 0 en fonction de V

(

¹

)

0, d, e et R.

Question 20

Déduire de la question précédente, la valeur minimale du rayon de braquage minimum Rmin qui satisfait l'exigence 3.2.

5 - Vérification de l'exigence 1 à réaliser un nettoyage efficace en mode automatique

Le système étudié doit pouvoir fonctionner en mode automatique. Pour ce faire, il doit maîtriser la trajectoire du porteur sans intervention de l’opérateur. Nous avons vu dans la partie précédente la nécessité de contrôler la vitesse de rotation des chenilles. Chaque groupe de propulsion est donc asservi en vitesse de rotation. On se propose d’étudier cet asservissement afin de valider sa capacité à satisfaire l'exigence principale 1.

Le schéma bloc de l’asservissement de l’axe moteur est représenté figure 8. On néglige l’effet des perturbations extérieures.

Question 21

Expliquer ce qui dans le schéma bloc permet d’affirmer que le système étudié est bien un système asservi.

Question 22

Déterminer la relation à imposer entre k_a et k_p pour garantir que le système soit bien asservi sur la vitesse de rotation de l’axe moteur. Préciser lequel de ces deux paramètres est ajustable.

On modélise le comportement du moteur électrique par les équations suivantes : Equations électriques et mécaniques Caractéristiques

( ) ( ) ( )

u t −e t =R.i t

( )

^{e m}

( )

e t =k .ω t

( ) ( )

m

m

d C

d J t

t = t

⋅ ω

( )

ⁱ

( )

m k

C t = . ti

R : résistance de l’induit

k : constante de force contre électromotrice e

k : constante de couple i

J : inertie de l’axe moteur

u(t) : tension d’alimentation du moteur i(t) : courant dans le moteur

e(t) : tension contre électromotrice ωm(t) : taux de rotation de l’arbre moteur Cm(t) : couple disponible sur l’arbre moteur

S2I A partir de Mines AADN 2009 page 6/14 Question 23

Exprimer les transformées de Laplace de ces équations, sachant que les conditions initiales sont nulles. On notera A(p) la transformée de Laplace de la fonction temporelle a(t).

Question 24

En déduire la fonction de transfert du moteur électrique

( ) ( )

m

( )

m

m

H p

p = ΩU p

. La mettre sous sa forme canonique en spécifiant toutes les caractéristiques.

On prendra par la suite pour fonction de transfert du moteur : ^m

( )

^m

m

H 1

p k

= .p +

τ

Dans un premier temps, le dispositif de correction est un gain proportionnel : ^{k pc}

( )

^=kc.

Question 25

Exprimer la fonction de transfert en boucle fermée

( ) ( )

m

( )

1

c

F p

p = Ω p Ω ^. Question 26

Mettre F p sous forme canonique et exprimer le gain statique noté ¹

( ) k

₁ et la constante de temps notée

τ

1 ^en

fonction de : k_m,k ,k ,k ,k ,_{c a p v}

τ

_m^.

Un système est précis en réponse à un échelon si l’écart en sortie du comparateur tend vers 0 en régime établi :

t

( )

lim t 0

→∞

ε

= ^. Question 27

Pour une entrée de type échelon : ^ΩC

( )

^{p =} _p¹, déterminer l’expression de

^ε ( )

^p et conclure sur la précision du système.

On choisit à présent un dispositif de correction sous la forme d’un intégrateur : ^{k pc}

( )

^=k_p^{c .}

Question 28

Déterminer la nouvelle expression de la fonction de transfert en boucle fermée

( ) ( )

m

( )

2

c

F p

p = Ω p

Ω en fonction de km,k ,k ,k ,k ,c a p v

τ

m. Vous identifierez le gain statique noté k , la pulsation propre non amortie notée 2 ω0 et le coefficient d’amortissement noté z en fonction de : km,k ,k ,k ,k ,c a p v

τ

m^.

Question 29

En utilisant la même démarche qu’à la question 27, caractériser à nouveau la précision du système en réponse à un échelon : ^ΩC

( )

^{p =} _p^1.

Question 30

Déterminer la valeur de k en fonction des autres paramètres garantissant que la réponse se fera sans c

dépassement de la consigne tout en étant le plus rapide possible.

6 - Vérification de l'exigence 1.4.1 relative à l’effort de contact

L’objectif est de déterminer l’effort développé par le vérin afin de vérifier la satisfaction de l'exigence 1.4.2.

Données constructeur pour les performances du vérin électrique:

L’effort maximum développé par le vérin est de 130 N.

Le vérin (voir figure 6) est modélisé par le corps 1 et la tige 2 respectivement en liaison pivot d’axe

( )

^{A, Xp et}

( )

^{B, Xp} avec le porteur 5 (considéré comme fixe par rapport à la surface vitrée 0), et le support d’outil 3. Ce dernier est en liaison pivot d’axe

( )

^{C, Xp} avec le porteur. La brosse 4 est en liaison pivot d’axe

( )

^{D, Xp} avec le support d’outil 3. Le point de contact entre la brosse 4 et la surface vitrée fixe 0 est noté I (Document Réponse Question 10).

On négligera les effets du poids sur l’ensemble des pièces de l’outil. On notera les actions mécaniques d’un solide i sur un solide j :

F

ⁱ_→^j

. L’action

F

⁵_→⁴

appliquée au point I est donnée par :

F

⁵_→⁴

= − 20 Y

_p

+ 100 Z

_p

. On supposera que le problème peut être résolu sous les hypothèses de statique plane.

Question 31. Isoler l’ensemble {1,2}, déduire le support de l’action

F

³_→²

et le reporter sur le document réponse (Document Réponse Question 31-33).

Question 32. Isoler l’ensemble {3,4}. Effectuer un bilan des actions mécaniques qui s’exercent sur l’ensemble {3,4}.

Question 33. En déduire par une méthode graphique l’action

F

³_→²

. Vous ferez apparaître toutes les constructions utiles en les justifiant succinctement. Conclure.

7 - Vérification de l'exigence 3.1 d’inclinaison

On considère maintenant le problème simplifié présenté Figure 9, composé de deux solides : le demi porteur 5 et la surface vitrée 0. Ces deux solides sont en liaison ponctuelle en J1 de normale

Z

^p

(liaison équivalente aux liaisons en série entre le porteur 5, le groupe de propulsion 1 et la surface vitrée 0) et en liaison ponctuelle en J4 de normale

Z

^p

(liaison équivalente aux liaisons en série entre le porteur 5, le groupe de propulsion 4 et la surface vitrée 0). Ce sont deux liaisons ponctuelles avec frottement. On suppose que les composantes

Y

⁰_→⁵

et

Z

⁰_→⁵

de

{

⁰ 5

}

₁, J Rp

T

→

sont positives ainsi que les composantes

Y '

⁰_→⁵

et

Z '

⁰_→⁵

de

{ '

^{0 5}

}

₄, J Rp

T

→

. On notera dans la suite le torseur des efforts transmissibles du solide i sur le solide j exprimé au point M par :

{ }

,

, p

p

i j i j

i j i j

M R

i j i j M

i j

R

X L Y M Z N

→ →

→

→

→ →

→

 

 

= 

 

 

T

avec

^R

^p

⁼ ( ^X

^p

^{, Y}

^p

^{, Z}

^p

)

On se place ainsi dans le cadre d’une modélisation plane dans le plan

( ^{Y Z}

^p

^,

^p

)

_:

{ }

₁

1 0 5

0 5 ,

0 5

0

p J

J R

Y Z_→

→ →

 − 

 

= −

 −

 

T

et

{ }

₄

4 0 5 0 5 5

, 0

0

' '

'

p J

J R

Y Z _→

→ →

 − 

 

= −

 −

 

T

Question 34. Exprimer le torseur des actions de pesanteur sur le demi porteur considéré exprimé au centre de gravité dans la base Rp. On note 2M la masse du porteur complet.

Question 35. Ecrire les équations du Principe Fondamental de la Statique (PFS) appliquées au demi-porteur uniquement soumis aux actions du poids et des appuis sur la surface vitrée. Vous exprimerez les moments au point J1. Projeter ces équations sur

X

^p

,

Y

^p

et

Z

^p

(en modélisation plane toujours).

Question 36. En déduire la valeur des composantes normales des efforts transmissibles par les ponctuelles.

Effectuer l’application numérique avec l1=100 mm, l2=300 mm, h=50 mm, M=24 kg et g=10 m/s².

Question 37. Dans la théorie du frottement de Coulomb, quelle relation existe-t-il entre l’effort normal noté

i j

Z

_→

et l’effort tangentiel noté

Y

ⁱ_→^j

transmissible par une liaison ponctuelle à la limite du glissement. On note le coefficient de frottement

f

_.

Question 38. En déduire la valeur maximum des composantes tangentielles

Y

⁰_→⁵

et

Y '

⁰_→⁵

à la limite du glissement sachant que le coefficient de frottement vaut

f = 0, 7

_.

Question 39. Vérifier alors si les équations d’équilibre du robot sont vérifiées. Conclure quand à la vérification du critère du cahier des charges pour une trajectoire rectiligne.

Question C40. Expliquer succinctement comment l’utilisation de ventouses permet la vérification du critère d’inclinaison 3.1 .

S2I A partir de Mines AADN 2009 page 8/14 Boîtier de commande

Vérin électrique

Nourrice

Porteur Capteur photoélectrique

Boîtier HF

Capteur inductif

Motoréducteur

figure 4 Vue de dessus

Raclette inférieure Raclette supérieure Groupe propulsion

Outil de nettoyage (Brosses)

Ventouse

figure 3 Vue de dessous

figure 5

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

S2I A partir de Mines AADN 2009 page 10/14

A

B

C D

1 2

3

4

( ) ( )

1

p p

3 3

3 3

4 p

1 p 1

3 p 3

AB (t)Y AC aY bZ CB cY dZ CD eY fZ ID r Z

Y ,Y Y , Y

a 360 mm b 120 mm c 40 mm d 130 mm

=

= −

= +

= −

=

=

=

=

=

=

= λ

θ θ Yp

Zp

Y3

Y1

5

Surface vitrée 0

figure 6

moteur variateur

correcteur

Codeur Calculateur

ka

+ -

Hm(p) kv

+ -

^kc(p)

kp

Vitesse de rotation Axe moteur

( )

c p

Ω ^{U pa}

( )

^Ωm

( )

^p

( )

U pp

( )

U pc ^Um

( )

^p

( )

^p

ε

Consigne de vitesse

figure 8

A’1 B’1

e

B1

A1

A1 B1

J1

H1

Plateau du porteur 5

Chenille 14

Codeur Moteur Réducteur Roue motrice 12

Châssis de chenille 11 Roue libre 13

H’1

Yp

Zp

Yp

Xp

e

B2

A2

J2

H2

A’2 H’2 B’2

De même pour le groupe de propulsion 2, on définit les différents points :

A1 A2

B3

B4

B1 B2

A3

A4

C

D D

d I50

e

α1 α2

Yp

Xp

Y1

Y2

I C50 R e 350 mm d 70 mm D 300 mm

=

=

=

=

figure 7

S2I A partir de Mines AADN 2009 page 12/14 figure 9

Document réponse

5 D

I

1 2

3

4

Y

1

Y

p

A

B C

Question 10 Echelle 1 cm ↔ 1 mm/s

S2I A partir de Mines AADN 2009 page 14/14

5 D

I 3

4 1

2

Y

p

Y

1

A

B C

Questions 31 et 33 Echelle 1 cm ↔ 20 N