Morphismes sturmiens et règles de Rauzy

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

F

ILIPPO

M

IGNOSI

P

ATRICE

S

ÉÉBOLD

Morphismes sturmiens et règles de Rauzy

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

5, n

o

_{2 (1993),}

p. 221-233

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1993__5_2_221_0>

© Université Bordeaux 1, 1993, tous droits réservés.

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Morphismes

sturmiens

et

_règles

de

_Rauzy

par FILIPPO MIGNOSI ET PATRICE

SÉÉBOLD

ABSTRACT - We give a complete characterization of _{binary morphisms}

which _preserve Sturmian words and show that infinite words generated by

these morphisms are _rigid.

RÉSUMÉ - Nous donnons une caractérisation _complète de tous les

mor-phismes binaires _{qui préservent} les mots sturmiens et montrons que les

mots infinis engendrés par ces morphismes sont _rigides.

1. Introduction

Un mot sturmien est un mot infini binaire

_qui,

_pour tout _{entier n,}

_possède

exactement n + 1 facteurs de

_longueur

n. Les

premières

études concernant ces mots remontent à

_plus

de deux siècles

_(voir

à ce

sujet

l’exposé

de Venkov

[16]),

mais c’est Hedlund et Morse

_qui

ont les

_premiers

utilisé

_{l’appellation}

de mots "sturmiens"

_{[6, 7].}

Une

_importante

littérature a

_depuis

été

publiée

à _propos de leurs

_propriétés

tout à fait

_{remarquables,}

en

particulier

au cours de la dernière décennie

[1,

_{2, 3, 4, 5, 8, 11, 14,}

15].

Un

_morphisme

est sturmien si

_l’image

_par ce

morphisme

de tout mot

sturmien est un mot sturmien. Dans

_[9]

Kôsa a énoncé des conditions

suffisantes _pour

_{qu’un morphisme}

soit sturmien

_(cf

_[13]).

Nous prouvons ici que ces conditions sont

_également

nécessaires ce

_qui

donne une

ca-ractérisation constructive des

_morphismes

sturmiens et établit que le

pro-blème de savoir si un

_morphisme

est sturmien est décidable. En

_rapprochant

ces conditions de

règles

présentées

dans

Rauzy

[12]

nous obtenons alors une

autre caractérisation de certains

_morphismes

sturmiens

_qui

_engendrent

des

mots infinis

_rigides.

Manuscrit reçu le 6 décembre 1991, version définitive le 3 novembre 1993.

Ce travail a été en _partie réalisé au sein de l’équipe "Codes et séries formelles" du

Programme de Recherches Coordonnées _{"Mathématiques} et _{Informatique"} du Ministère de la Recherche et de la _Technologie.

Les résultats contenus dans cet article ont été _exposés au _{colloque "Thémate",}

Plus

_{précisément, après}

avoir introduit

_quelques

notations

_{(section 2)}

et

défini les mots sturmiens

_(section

_3),

nous nous intéressons aux

morphismes

sturmiens en établissant une

propriété caractéristique

(section 4)

puis

nous

montrons

_qu’ils

sont exactement les éléments d’une famille de

_morphismes

obtenus à

_partir

de trois

_{morphismes particuliers}

définis _par Kôsa

_(section

5).

Pour

_finir,

nous étudions les

morphismes

obtenus à

_partir

de

règles

introduites

_par

_Rauzy

et _{prouvons que} ces

morphismes

sont sturmiens et

qu’ils

engendrent

des mots

_rigides

_{(sections 6-7)}

Remarque :

pour ne _pas

surcharger

l’article _par des considérations

tech-niques

relativement ardues _{mais peu}

_{significatives,}

nous n’avons donné _que

les _preuves ou

_esquisses

de _preuves des

_principaux

résultats.

2. Notations

Les notations utilisées sont

_classiques

_(cf,

_par

_exemple,

_[10])

et nous

n’en

_rappelons

_que

_{quelques-unes}

_largement

utilisées dans l’ensemble de ce

travail.

Soit A =

fa, bl,

_un

alphabet

à deux lettres.

_A*,

ensemble des _mots de

A,

est le monoïde libre

_engendré

_par

_{A, e}

le mot vide et

A+

=

A* B

Pour tout u e

A* , ~

lui

représente

le nombre de lettres du mot u

_(1£1

=

0)

et

si a E

_{A, ~}

_lula

est le nombre d’occurrences de la lettre a dans le mot u.

Un mot infini sur A est une

application

x : N ---+ A. On note AúJ

l’ensemble des mots infinis sur A et A°° = Pour tout mot u _E

A°°,

11 =

E(u)

où E : A4* 2013 A* _est le

morphisme a F---+ b,

b H a.

Soient u E A°° et v E A* . v est un facteur de u s’il existe ui E A* et

u2 E tels _{que u} = si _{e, v est un} facteur

gauche

de u _et

si,

de

_plus,

_{u2 ~ ~, v}

est un facteur

_gauche

_propre de u.

3. Mots sturmiens

DÉFINITION

1. Soit x E Aw. x est sturmien

_si,

_{pour tout} n

_EN,

x

possède

exactement n ₊ 1

_facteurs

distincts de

_longueur

n.

Remarques :

au vu de cette

_définition,

il est clair _que

- les

mots sturmiens _que nous allons considérer sont tous infinis et

non ultimement

_{périodiques,}

- ab et ba

sont facteurs de tout mot

_sturmien,

- tout mot

La caractérisation suivante des mots sturmiens est fort utile :

PROPRIÉTÉ

_[7].

Soit x E A". x est sturmien si et seulement si x est non

ultimement

_périodique

et _pour tous

_facteurs

u et v de x tels _que

lui

=

Ivl,

et pour tout a E

_A,

soit

_lula

=

IVIA,

soit

lula -

Ivla

= ±1.

4.

_Morphismes

sturmiens On note

_IdA

l’identité sur A.

DÉFINITION 2. Soit

_{f :}

A* -~ A* un

_morphisme,

-

f

est sturmien

_si,

_pour tout mot sturmien x E

AW,

f (x)

est un mot

sturmien,

-

f

est sturmiens stationnaire si tout mot stationnaires de

f

est sturmien

(x

E A°° est stationnaire de

_f

si

_{f (x)}

=

x),

-

f

est sturmien strict si

f

est sturmien stationnaire et si tout mot _x

E A" stationnaires de

_f

est tel _que x = _{ou x} =

( f 2 )W (a)

_pour un

aEA.

Remarques :

-

un

_{morphisme f :}

A* --&#x3E; A*

_effaçant

_(c’est

à dire tel _que

_f(a)

= e

ou

f(b)

=

s)

ne

_peut

visiblement _pas être sturmien

(resp.

stationnaire,

strict).

Dans tout ce

qui suit,

sauf mention

particulière,

tous les

morphismes

considérés seront donc

_supposés

être non

effaçants.

- les trois notions introduites ci-dessus sont très

proches

l’une de l’autre.

Cependant,

elles doivent

_être,

a

priori,

distinguées.

En

effet,

on

_peut

trou-ver des

_{morphismes qui}

sont sturmiens mais dont tous les mots stationnaires

ne le sont _pas

_(par

_exemple,

_{l’identité).}

_{Réciproquement,}

un

morphisme

dont tous les mots stationnaires sont sturmiens

_peut

ne _pas

préserver

le

ca-ractère sturmien d’un mot

_particulier.

_Enfin,

un

morphisme

_peut

posséder

des mots stationnaires sans _que ces mots soient

_engendrés

_par le

_morphisme

ou son carré. En

fait,

nous _prouvons dans ce

qui

suit

(théorème

1)

_que les

deux familles de

_morphismes

sturmiens stationnaires et sturmiens stricts n’en font

_qu’une

et

_{qu’il s’agit}

d’un sous-ensemble strict de la famille des

morphismes

sturmiens.

La notion de

_morphisme

a-sturmien définie

_ci-après

intervient en per-manence dans tout ce

_qui

suit.

DÉFINITION 3. Un

_morphisrrce

sturmien

_{f :}

A* -&#x3E; A* est a-sturmien

_(resp.

de la même

_façon

les

_morphismes

a-sturmiens stationnaires et a-sturmiens

stricts.

Le lemme

_{qui suit,}

dont la _preuve,

_quoiqu’un

_peu

_technique,

n’est pas

difficile,

justifie

l’introduction de la notion de

_morphisme

a-sturmien.

LEMME 1. Tout

_morphisme

sturmien

_(resp.

_{stationnaire,}

y

strict),

autre que

IdA

et

_E,

est soit

_a-sturmien,

soit b-sturmien

_(resp.

stationnaire

_strict),

mais pas les deux.

On définit sur A huit

morphismes :

et,

pour tout

f

e

7

= E o

f.

LEMME 2. Soit

_{f :}

A* -&#x3E; A* un

morphisme

a-sturmien

(resp.

b-sturmien),

il existe 9 E

ta, 0,

y,

b}

(resp. f â,

73;7, 6}}

et

h, morphisme

sur

A,

tels _que

f=goh.

Preuve : Soit

_{f :}

A* -- A* un

morphisme

et supposons que

f

est

a-sturmien. Il faut _prouver

_qu’il

_{existe 9}

E

_{f a, ~3, y, ô}}

tel _que

_{f (a)}

=

g(x)

et

_{f (b)}

=

g(y)

où x

et y

sont deux mots de A*

_(x

=

h(a), y

=

h(b)).

Il

est clair _{que pour}

_{qu’un tel g}

_existe,

il faut et il suffit _que

_{f remplisse}

les

quatres

conditions suivantes :

(1) f (a)

et

_{f (b)}

ne contiennent _pas

b2

en

facteur;

(2) f (a) (resp. f(b))

commence ou se _{termine par a,}

(3)

si

_{f (a)}

_(resp.

_{f (b))}

commence _par

b,

alors

f (b) (resp.

f(a))

se

termine _{par a,}

(4)

si

_{f (a) (resp. f (b~)}

se termine par

b,

alors

_{f (b~ (resp. f (a))}

commence

par a.

D’après

le lemme

_1,

les conditions

_{(1), (3)}

et

₍₄₎

sont

_remplies

_pour tout

morphisme

a-sturmien. De

_même,

_{f (a)}

ne

_peut

_pas à la fois commencer et

se terminer _par

_b,

sinon

_f(a2)

contiendrait

b2 en

facteur. Il suffit donc de

prouver que

f (b)

commence ou se termine _par a.

_Supposons

_que

_{f (b)}

= b

ou

f (b)

=

bvb, v

_E A*. Dans _{ce cas,} les conditions

(3)

_et

(4)

indiquent

que soit

_{f (a)}

= _a soit

f (a)

= _{aua, u E} A*.

Soit x E AW un mot sturmien. On sait _que,

_{puisque f}

est

_a-sturmien,

il

existe n E N

_{B {0}}

tel _que

_{f (x)}

E

_[7].

_Donc,

soit

_{f (b)}

=

b,

soit

_{f (b)}

commence _par banb ou

ban+1b.

Mais

alors,

f (a)

commence et se

termine _par an. Donc

_l(a2)

contient et ceci n’est

_possible

_que si n = 1.

Par

_conséquent,

trois cas sont

_{possibles :}

Mais on constate aisément _que dans aucun des trois cas

f

n’est

a-sturmien,

ce

qui

contredit

l’hypothèse.

Naturellement,

les

_arguments

seraient les mêmes si

_f

était b-sturmien et

le lemme est

_prouvé.

D

Remarque :

le lemme 2 reste vrai si l’on

_remplace

sturmien _par sturmien stationnaire ou strict.

5.

_Morphismes

de Kôsa

Les trois

_morphismes

_E,

_a,

₍₃

sont les

_morphismes

introduits _par Kosa dans

_[9].

On vérifie assez aisément _que

LEMME 3.

_{{a, a, y, 6}+}

U

_{{â, ~, , b}+}

=

fE}+.

Kôsa

_[9]

a

_également

introduit la définition suivante :

DÉFINITION 4. Soit

_{f :}

A* ~ A* un

morphisme, f

est

_régulier

si les trois

conditions suivantes sont

_{vérifiées :}

(1~ f (a), contient

au moins une occurrence de la lettre

_b,

(2) f(b)

contient au moins urte occurrence de la lettre _a,

(3)

l’une au moins des deux conditions suivantes est

_{vérifiée :}

(a) f(a)

contient au moins une occurrence de la lettre _a,

(b) f(b)

contient au moins une occurrence de la lettre b.

L’ensemble de tous les

_{morphismes réguliers}

sur A est noté

_Reg(A).

Remarque :

l’appartenance

d’un

_morphisme

à l’ensemble

_Reg(A)

assure

que tout mot stationnaire de ce

_morphisme

est un mot infini dans

lequel

Le lemme suivant est très facilement vérifié.

THÉORÈME 1. Soit

_{f :}

A* -- A* un

morphisme.

(1)

f

est sturmien si et seulement si

(2)

f

est sturmien stationnaire si et seulement si

(Il/

--(3)

f

est sturmien strict si et seulement si

Preuve : Dans les trois _cas, la

_partie

"seulement si" a été

prouvée

dans

[13].

Il faut _prouver les conditions nécessaires.

Soit

_{f :}

A* A* un

_morphisme

sturmien et _supposons

_f

_IdA

et

E. Dans ce _cas,

f

est soit

_a-sturmien,

soit

_b-sturmien,

donc

_d’après

le lemme

_2,

il existe _{g E} et h

_morphisme

sur A tels _que

f

= g o h. Montrons

_{que h}

est sturmien. Pour ce

faire,

nous allons utiliser

le fait suivant

FAIT. Soit x E Si

_g(x)

est sturmien alors x = ax’ _{ou x} = bx’ _avec x’

sturmien.

Preuve du fait : Soit x E AW un mot non sturmien et _{supposons que} x

n’est _pas ultimement

_périodique.

Dans ce _cas, x

possède

deux facteurs u et

v tels _que

jul = Ivl

et

_{lula -}

2. On

_peut

choisir un tel u de

longueur

minimale et l’on a alors u = au’a et v = bv’b _avec =

lv’la.

Deux _cas

sont alors

_possibles

suivant _{que g} E ou g E

Dans le

_premier

_{cas, supposons par}

_exemple

_g = a.

_Alors,

_g(u)

=

a( u) =

aba(u’)ab

et

_g(v)

=

a(v)

=

aa(v’)a.

Or la lettre

qui

suit

a(v)

dans

a(x)

est nécessairement un _{a ;} donc

aa(v’)aa

est facteur de

_a(x).

Mais

_puisque

iu’la

=

lvla,

_{on a}

la(U’)Ib

= donc

Iba( u’)ablb

=

laa(v’)aalb

₊ 2.

Ainsi,

a(x)

n’est _pas sturmien. Par

_conséquent,

si

_a(x)

est sturmien alors

x est sturmien et les

_arguments

sont tout à fait semblables _{si g} E

Dans le second _{cas, supposons par}

_{exemple g}

= 6.

Alors,

g(u)

=

6(u) =

baô(u’)ba

et

_g(v)

=

6(v)

=

ab(v’)a.

Si v

_apparaît

_comme facteur dans _x à

b(x)

est un a et l’on conclut comme dans le

_premier

cas. Le seul autre cas

possible

est v

_préfixe

de x et x ne

possède

aucun autre

_couple

de facteurs

avec 2. Ceci

_signifie

_que x = bx’ où x’ est un mot

sturmien. Par

_conséquent,

si est sturmien et x n’est _pas sturmien alors x = bx’ où x’ est sturmien. Les

_arguments

sont tout à fait semblables si

g E

{,~, p, b} (avec

x = ax’ _{ou x} = bx’ selon les

cas)

_et le fait _est donc

prouvé.

Nous sommes maintenant en mesure de terminer la _preuve du théorème

1. Soit x un mot sturmien.

_{f (x)}

_{= g} o

_h(x)

=

g(y)

avec _y=

_h(x)

_{et y}

= ay’

ou =

by’, y’

sturmien.

Mais si _y n’est _pas

_sturmien,

alors _y a _pour

préfixe

un facteur de la

forme UWlVW2 où = 2 _{et uwlvzv2} =

h(r)

où r est un

préfixe

de x. Or

_puisque

x est sturmien il contient une autre occurrence de _r, donc

y’

contient une occurrence de _UWlVW2 ce

_qui

contredit le fait _que

_y’

est

sturmien.

Ainsi _{y est}

_sturmien,

_par

_{conséquent f}

= _g o h _est sturmien si _et

seulement si h est sturmien et l’on

_peut

donc conclure _par induction sur

lf(a)1

+

_{lf(b)1 .}

Maintenant,

soit

_{f :}

A* ~ A* un

morphisme

sturmien stationnaire ou

strict. Il est clair _que

_{J fi.}

U

_{6} *}

sinon a" ou b" est un mot

stationnaire de

_f

mais non sturmien. Donc

f

est

_régulier

et on conclut comme

précédemment

en

appliquant

le lemme

_2,

ce

qui

achève la _preuve

du théorème 1.

D

COROLLAIRE. Soit

_{f :}

A* 2013~ A* un

_morphisrrie.

_f

est sturmiens station-naire si et seulement si

_f

est sturmien strict.

6. Les

_règles

de

_Rauzy

Dans

_[12],

_Rauzy

a réalisé la construction ci-dessous.

On

_fabrique

deux suites de

_{(Bn)n&#x3E;o,}

comme suit :

Ao

=

a, Bo

= b et est obtenu à

partir

de

(An, Bn)

en

Si chacun des deux schémas est

_appliqué

un nombre infini de

fois,

(An)n&#x3E;o

et

_(Bn)n&#x3E;o

_convergent

vers un même mot infini

_qui

débute _par

_An

et

Bn

(n &#x3E; 1)

et

_qui

est sturmien

_[12].

Dans tout ce

_{qui suit,}

nous

appellerons règles

de

_Rauzy

les deux

règles

On prouve aisément que les mots obtenus _par la construction de

_départ

sont les mêmes _que ceux obtenus en

appliquant

les deux

règles

G et D ci-dessus à

_partir

de

_(Ao

=

a,

Bo =

b)

ou

(Ao =

b,

Bo =

a)

et en

_imposant

que la

première règle appliquée

soit la

règle

G

qui

doit de

plus

être utilisée

un nombre infini de fois.

C’est de cette construction _que nous allons maintenant nous

_inspirer.

Soit U =

al , ~2 ? ’ "

ip,

B

{0}?

une suite non

_périodique

_(c’est

à dire

_qui

n’est _pas

_répétition

d’une de ses sous-suites

_commençant

_par

_{i1 )}

d’entiers

strictement

_positifs.

Soit la suite infinie définie _par uk =

~c, pour

tout k E N :

On associe à cette suite un mot infini sur

_A,

T = où 0 est

l’application

de N dans

_{.~G, D}°°}

_qui,

à tout n associe la suite G

On note xu le mot infini obtenu en

appliquant

T à

_partir

de

Ao

= a et

Bo

= b.

Exemples :

- soit u = 1. Alors = 111’" _et T = G G G... La suite

commence _par

et le mot infini xu est le mot de Fibonacci où A* --~ A* est le

morphisme

a ~

_ab,

b - a.

- soit u = 12. Alors = 121212 ... et T = G G D G G D..- La

suite des

_(An,

_Bn)

obtenue _par

_application

des

_règles

de

_Rauzy

correspon-dantes commence _par

et le mot infini Xu est le mot

_{f W (a)}

où

_{f :}

A* ~ A* est le

morphisme

- soit u = 31. Alors = 313131 -’etT=GDDGGDDG’"

La suite des

_{(An, En)}

obtenue _par

_application

des

_règles

de

_Rauzy

corre-spondantes

commence _par

et le mot infini xu est le mot

_{f w(a)}

où

_{f :}

A* --~ A* est le

_morphisme

a ~

aaaba,

b H aaab.

7.

_Morphismes

et

_règles

de

_Rauzy

Par

_définition,

T =

(8(u))w.

Donc,

si l’on

fabrique

deux suites

de

_A°°,

la

_façon

suivante :

_{Uo -}

_a, b et

( Un+1, Vn+1 )

est obtenu en

appliquant

à

(Un, Vn)

la suite de

_règles

0(u),

il

est clair _que xu est

également

la limite des suites et et

qu’il

en est de même si l’on

_{remplace u}

_par un

u’, 1

E

_{N B}

_foi.

À

toute suite finie et non

_{périodique u}

d’entiers strictement

_positifs,

on

associe le

_{morphisme fu}

sur A défini _par

_fu(a)

=

Ut,

fu(b)

=

Vi.

Les

_{morphismes fu}

ainsi définis ont de nombreuses

_{propriétés.}

En

par-ticulier, d’après

ce

qui

précède,

on a

LEMME 5. Pour tout

_couple

_{(u, v)}

de suites

_finies

et non

périodiques

d’en-tiers strictement

_positifs,

les

_affirmations

suivantes sont

_vérifiées

1) fu(b)

est

_{facteur gauche}

de

_fu(a),

/

.fuv

=

Iv,

3)

Xu =

fû (a)

=

Le lemme

_qui

suit est

_{plus technique}

et c’est sur lui _{que repose} la _preuve

du résultat

_principal

de cette section :

LEMME 6. Soient u et v deux suites

finies

et non

_périodiques

d’entiers

strictement

_positifs.

Si

_{u 0}

v alors

xu 0

x,.

Preuve : Soient u et v deux suites finies et non

périodiques

d’entiers

strictement

_positifs.

Si

_{u =1=}

v alors il existe tel _que

0(u) =

wGu’ et

0(v)

= iuDv’ où

w, u’

et v’ sont dans

f G, D}+

et

lwl

= k.

Notons

_{(An), (Bn)}

les suites obtenues _par

_application

des

_règles

de

_Rauzy

correspondant

à u et

_{(An), (Bn)}

les suites obtenues _par

_application

des

règles

de

_Rauzy

_{correspondant}

à v.

Maintenant,

quelles

que soient les suites de

règles

~c’ et

v’,

on aura

qu’il

existe 1 E N et m’ E N tels que xu commence _par

AkBk et

_xv commence

par

Bk Ak.

Or,

les mots sturmiens étant non

périodiques,

aucun des deux

facteurs

_AkBk

et

_{Bk Ak}

ne

_peut

être facteur

gauche

de

l’autre,

donc

Xv.

D Nous sommes maintenant

_prêts

_pour énoncer le résultat

principal

de

DÉFINITION 5. Soit x un mot

_infini

sur A. x est

_rigide

de base

_f

si

_f

est un

_morphisme

sur A tel _que x = , _pour un a E A et

_si,

_{pour tout}

morphisme

g sur A tel _que x =

gw(a)

_pour un a E

A,

il existe n E N tel

que g =

,f’~.

THÉORÈME 2. Pour toute suite

_finie

et non

_périodique

u d’entiers

stricte-ment

_positifs,

xu est

rigide

de base

fu.

Preuve : la preuve de ce résultat étant assez

longue,

nous n’en donnons

ici _que la _preuve d’une

_partie,

à savoir _que ce résultat est vrai si l’on se

restreint à l’ensemble des

_{morphismes fu}

définis ci-dessus.

D’après

le lemme

_5,

_pour toute suite finie et non

_{périodique u}

d’entiers

strictement

_positifs,

xu = D’autre

_part,

si u _{et v} sont deux

suites finies et non

périodiques

d’entiers strictement

positifs,

alors u ~ v

implique

xv

(lemme 6).

Donc,

si xu = xv alors soit u = v, soit u

ou v est

_périodique.

Dans ce _cas, notons _{ul et VI} les suites finies et non

périodiques

d’entiers strictement

_positifs

telles _{que u} =

u1

et v =

vl 1, m

_E

xu = _x~, =

xv , donc Vl

(lemme

6)

et u et v sont

puissances

d’une même suite non

_périodique.

Mais = donc

d’après

le

2)

du lemme

5,

et =

Ainsi, fu

et

_fv

sont deux

_puissances

de

_fui,

donc xu = _x

Ut n’est

engendré

par un

morphisme

_{que si v} est une

_puissance

de _{ul .}

’ D Remerciements : les auteurs remercient un

_rapporteur

_{anonyme pour} des

commentaires judicieux

et _{pour avoir}

_permis

de

_corriger

une erreur _grave

dans la _preuve du théorème 1.

Note

_ajoutée

fin 93 : Jean-Paul Allouche nous

indique

_que les résultats

de ce

_{papier joints}

à un travail de Z.-X. Wen et Z.-Y.

_Wen,

intitulé Local

isomorphisms

of invertible

_{substitutions,}

à

_paraître

aux

Comptes-Rendus

de l’Acadé‘mie des

_{Sciences, implique}

le théorème :

Un

_morphisme

de monoïde d’un

_alphabet

à deux lettres est sturmien si

et seulement s’il est inversible

BIBLIOGRAPHIE

[1]

T. C. _BROWN, A characterization _of the quadratic irrationals, Canad. Math. Bull.

34

_(1991),

36-41.

[2]

D. CRISP, W. MORAN, A. _POLLINGTON, P. _SHIUE, Substitution invariant

[3] E. COVEN, G. A. _{HEDLUND, Sequences} with minimal block _growth, Math.

Sys-tems _{Theory 7 (1973), 138-153.}

[4]

S. _DULUCQ, D. _{GOUYOU-BEAUCHAMPS,} Sur les _facteurs des suites de _Sturm, Theoret. Comput. Sci. 71

_(1990),

381-400.

[5]

A. S. _FRAENKEL, M. _MUSHKIN, U. TASSA, Determination _of

_[n03B8]

by its

se-quence of differences, Canad. Math. Bull. 21 _(1978), 441-446.

[6]

G. A. _HEDLUND, Sturmian minimal sets, Amer. J. Math 66 _(1944), 605-620.

[7]

G. A. _HEDLUND, M. _{MORSE, Symbolic dynamics} II - Sturmian trajectories,

Amer. J. Math. 62

_{(1940), 1-42.}

[8]

S. _ITO, S. _YASUTOMI, On continued fractions, substitutions and characteristic

sequences, Japan. J. Math. 16

_(1990),

287-306.

[9]

M.

_KÓSA,

Problems 149-151, "Problems and Solutions", EATCS Bulletin 32

(1987), 331-333.

[10]

M. _LOTHAIRE, Combinatorics on words, Addison Wesley, 1982.

[11]

F. _MIGNOSI, On the number _{of factors of} Sturmian words, Theoret. _Comput. Sci. 82

_(1991),

71-84.

[12]

G. _RAUZY, Mots _infinis en _{arithmétique, in} Automata on _{infinite words, Nivat,}

Perrin

_(Eds),

Lecture Notes in _{Computer Science, Springer-Verlag} 192

_(1984),

165-171.

[13]

P.

SÉÉBOLD,

Fibonacci _morphisms and Sturmian words, Theoret. _Comput. Sci.

88

_(1991),

365-384.

[14]

C. SERIES, The geometry of Markoff numbers, Math. _{Intelligencer 7}

_(1985),

20-29.

[15]

K. B. STOLARSKY, Beatty sequences, continued fractions, and certain shift

oper-ators, Canad. Math. Bull. 19

_(1976),

473-482.

[16] B. A. _{VENKOV, Elementary} Number _Theory, Wolters-Noordhoff, Groningen, 1970.

Filippo Mignosi

Dipartimento di Matematica e _Applicazioni

Università _degli Studi di _Palenno,

via _Adrirafi, 34

90123 _Palenno, ITALIE Patrice Séébold

Laboratoire _{d’Informatique Théorique} et de _{Programmation,} Université Paris 7,

2 _place Jussieu

F-75251 Paris Cedex 05

et

Laboratoire de Mathématiques et _Informatique Fondamentale d’Amiens,

Université de Picardie,

’

33 rue Saint Leu